上学期高二数学期末模拟试题05
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.抛物线28y x =的焦点坐标为( )
A .(20),
B .(20)-,
C .(02),
D .(02)-,
2. 已知直线经过点(04)A ,
和点(12)B ,,则直线AB 的斜率为( ) A .2
B .2-
C .1
2
-
D .不存在
3.过点(12)P -,
与直线210x y +-=垂直的直线的方程为( ) A .240x y -+= B .052=+-y x C .032=-+y x D . 032=++y x 4.已知命题2:10q x x ?∈+>R ,,则q ?为( )
A .210x x ?∈+≤R ,
B .210x x ?∈+ C .210x x ?∈+≤R , D .210x x ?∈+>R , 5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( ) 6.棱长为2的正方体的外接球的体积为( ) A .8 B .8π C . D . 3 7.已知长方体1111D C B A ABCD -中,2AB =,11AD AA ==,则直线1BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为( ) A .1 2 B .3+ C . 2+D .6 左视图 俯视图 C D 1A 1B 1C 1D 8.已知αβ, 表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“αβ⊥”是“m β⊥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件 9.过点(11), 的直线l 与圆224x y +=交于A B , 两点,若|AB l 的方程为( ) A .+2=0x y - B .2+1=0x y - C .21=0x y -- D .1=0x y -- 10.设双曲线22 219 x y a - =(0)a >的渐近线方程为320x y ±=,则此双曲线的离心率为 ( ) 11. 已知抛物线C :2 =4y x 的焦点为F , 直线=24y x -与C 交于A ,B 两点,则cos =AFB ∠( ) A .4 5 B . 35 C .35 - D .45 - 12.若椭圆1C : 12 1 22 1 2=+ b y a x (011>>b a )和椭圆2C : 12 2 22 2 2=+ b y a x (022>>b a ) 的焦点相同,且12a a >,则下面结论正确的是( ) ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 2 22 12 22 1b b a a -=- ③ 11 22 a b a b > ④ 1212a a b b -<- A .②③④ B. ①③④ C .①②④ D. ①②③ A . 3 B . 2 C . 3 D .12 A B C . 32 D . 52 二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分.把答案填在题中横线上. 13.命题“a b ?∈R ,,如果a b >,则33a b >”的逆命题是___________________________. 14.椭圆22 192 x y +=的焦点为12F F ,,点P 在椭圆上,若1||4PF =,则2||PF =_________;12F PF ∠的小大为__________. 15.圆222210x y x y +--+=上动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为_______. 16.如图,正方体1111ABCD A BC D -中, E , F 分别为棱1DD ,AB 上的点.已知下列判断:①1 AC ^平面1B EF ;②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线;④平面1B EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点E 的位置有关, 与点F 的位置无关. 其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确结论的序号). 三、解答题:本大题共6个小题,共40分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分6分) 已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,求直线l 的方程. 18.(本小题满分6分) 已知直线1:20l x y +=,直线2:20l x y +-=和直线3:3450l x y ++=. (Ⅰ)求直线1l 和直线2l 交点C 的坐标; (Ⅱ)求以C 点为圆心,且与直线3l 相切的圆C 的标准方程. A B C D F E 1A 1B 1C 1D 19.(本小题满分6分) 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,O 是正方形ABCD 的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点. 求证:(Ⅰ)PA ∥平面BDE ; (Ⅱ)平面PAC ⊥平面BDE . 20.(本小题满分8分) 如图,在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,1PA AB == ,PB PD ==点E 在 PD 上,且:2:1PE ED =. (Ⅰ)求证:PA ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角D AC E --的余弦值; (Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F , 使得//BF 平面ACE . 21.(本小题满分7分) A B C D O E P C D P A E B 已知平面内一点P 与两个定点1(0)F 和20)F 的距离的差的绝对值为2. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程C ; (Ⅱ)设过(02)-,的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点), 求直线l 的方程. 22.(本小题满分7分) 已知椭圆的两个焦点1F (0),2F 0),过1F 且与坐标轴不平行的直线m 与椭圆相交于M ,N 两点,如果2MNF ?的周长等于8. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点(10), 的直线l 与椭圆交于不同两点P ,Q ,试问在x 轴上是否存在定点E (0)m ,,使PE QE ?恒为定值?若存在,求出E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分. 二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分. (一题两空的题目第一问1分,第二问2分.第16题答对一个给1分,但有多答或答错不给分.) 三、解答题:本大题共6个小题,共40分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分6分) 解:直线3470x y +-=的斜率为34 - . 因为直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等, 所以3 =4 l k - . ……………1分 设直线l 的方程为3 =+4y x b -, 令=0y ,则4 =3 x b . ……………2分 因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24, 所以14 =||||=2423 S b b ?, 所以=6b ±. ……………4分 所以直线l 的方程为3 =64 y x -±, 即3+4+24=0x y 或3+424=0x y -. ……………6分 18.(本小题满分6分) 解:(Ⅰ)由2020x y x y +=?? +-=?,,得24x y =-??=? , , 所以直线1l 和直线2l 交点C 的坐标为()24-,. ……………2分 (Ⅱ)因为圆C 与直线3l 相切, 所以圆的半径35 15 4351662 2== +++-= r , ……………4分 所以圆C 的标准方程为()()9422 2 =-++y x . ……………6分 19.(本小题满分6分) 证明:(Ⅰ)连结OE . 因为O 是AC 的中点,E 是PC 的中点, 所以OE ∥AP , ……………2分 又因为OE ?平面BDE ,PA ?平面BDE , 所以PA ∥平面BDE . ……………3分 (Ⅱ)因为PO ⊥底面ABCD , 所以PO ⊥BD , ……………4分 又因为AC ⊥BD ,且AC PO =O , 所以BD ⊥平面PAC . ……………5分 而BD ?平面BDE , 所以平面PAC ⊥平面BDE . ……………6分 20.(本小题满分8分) 解:(Ⅰ)正方形ABCD 边长为1,1PA = ,PB PD == 所以90PAB PAD ∠=∠=,即PA AB ⊥,PA AD ⊥, 因为AB AD A =, 所以PA ⊥平面ABCD . ………………2分 (Ⅱ)如图,以A 为坐标原点,直线AB ,AD ,AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则(110)AC =,,,21 (0)33 AE =,,. 由(Ⅰ)知AP 为平面ACD (001)AP =,,, 设平面ACE 的法向量为()n a b c =,, 由n AC ⊥,n AE ⊥, 得021 03 3a b b c +=???+=??,, 令6c =,则3b =-,3a =, 所以(336)n =-,,, ………………4分 所以6 cos 3 n AP AP n n AP ? <>= = ,, 即所求二面角的余弦值为 3 ………………5分 (Ⅲ)设([01])PF PC λλ=∈,,则(111)()PF λλλλ=-=-,,,,, (11)BF BP PF λλλ=+=--,,, 若//BF 平面ACE ,则BF n ⊥,即0BF n ?=,(11)(336)0λλλ--?-=,,,,, 解得1 2 λ= , ………………7分 所以存在满足题意的点, 当F 是棱PC 的中点时,//BF 平面ACE . ……………… 8分 21.(本小题满分7分 ) 解:(Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点P 的轨迹为双曲线, 其中1a =,c =b = 所以动点P 的轨迹方程C :2 2 =12 y x -. ………………2分 (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为2y kx =-,11()A x y ,,22()B x y ,, 由方程组2 212 2y x y kx ?-=???=-? ,,得()22 2460k x kx -+-=. ………………3分 因为直线l 与曲线C 交于A ,B 两点, 所以2 22 20=(4)4(2)( 6)>0k k k ? -≠???-?-?- ??,, 即k k ≠ ()* ………………4分 由根与系数关系得 12242k x x k -+= -,12 2 6 2x x k -?=-, 因为112y kx =-,222y kx =-, 所以21212122()4y y k x x k x x =?-++. ………………5分 因为OA OB ⊥,所以0OA OB ?=,即12120x x y y +=, ………………6分 所以 21212(1)2()40k x x k x x +-++=, 所以( )2 2 2 64124022k k k k k - -+?-? +=--, 即2 1k =,解得1k =±,由()*式知1k =±符合题意. 所以直线l 的方程是2y x =-或2y x =--. ………………7分 22.(本小题满分7分) 解: (Ⅰ)由题意知c ,4=8a , 所以=2a ,=1b , 所以椭圆的方程为22 +=14 x y . ……………2分 (Ⅱ)当直线l 的斜率存在时,设其斜率为k ,则l 的方程为=(1)y k x -, 因为点(1,0)在椭圆内,所以直线l 与椭圆有两个交点,k ∈R . 由22 +=14=(1)x y y k x ????-? ,,消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --, ……………3分 设P 11()x y ,,Q 22()x y ,, 则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ,2122 44=4+1 k x x k -, 所以21212=(1)(1)y y k x x --, ……………4分 则=PE 11()m x y --,,=QE 22()m x y --,, 所以PE QE ?=1212()()+m x m x y y -- =2121212(+)++m m x x x x y y - =22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x --- =2222 2 2222 2844448++(+1)4+14+14+14+1 k m k k k m k k k k k ---- =2222 (48+1)+4 4+1 m m k m k -- ……………5分 要使上式为定值须22 48+14 =41 m m m --,解得17=8m , 所以PE QE ?为定值 33 64 . ……………6分 当直线l 的斜率不存在时P (12, ,Q (1)2 -,, 由E 17( 0)8,可得=PE 9(82-,,=QE 9(82 ,, 所以81333 ==64464 PE QE ?-, 综上所述当E 17( 0)8,时,PE QE ?为定值3364 . ……………7分