高二数学上学期期末模拟试题_11

上学期高二数学期末模拟试题05

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ）

A ．(20)，

B ．(20)-，

C ．(02)，

D ．(02)-，

2. 已知直线经过点(04)A ，

和点(12)B ，，则直线AB 的斜率为（ ） A ．2

B ．2-

C ．1

2

-

D ．不存在

3．过点(12)P -，

与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ） A ．240x y -+= B ．052=+-y x C ．032=-+y x D ． 032=++y x 4．已知命题2:10q x x ?∈+>R ，，则q ?为（ ）

A ．210x x ?∈+≤R ，

B ．210x x ?∈+

C ．210x x ?∈+≤R ，

D ．210x x ?∈+>R ，

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 是（ ）

6．棱长为2的正方体的外接球的体积为（ ）

A ．8

B ．8π

C

．

D

．

3

7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，11AD AA ==，则直线1BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）

A ．1

2

B

．3+ C ．

2+D ．6

左视图

俯视图

C

D

1A

1B

1C

1D

8．已知αβ，

表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

9．过点(11)，

的直线l 与圆224x y +=交于A B ，

两点，若|AB l 的方程为（ ）

A ．+2=0x y -

B ．2+1=0x y -

C ．21=0x y --

D ．1=0x y --

10.设双曲线22

219

x y a -

=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则此双曲线的离心率为 （ ）

11. 已知抛物线C ：2

=4y x 的焦点为F ，

直线=24y x -与C 交于A ，B 两点，则cos =AFB ∠（ ）

A ．4

5

B ．

35

C ．35

-

D ．45

-

12．若椭圆1C ：

12

1

22

1

2=+

b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：

12

2

22

2

2=+

b y a x （022>>b a ）

的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是（ ）

① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 2

22

12

22

1b b a a -=-

③

11

22

a b a b > ④ 1212a a b b -<- A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③

A ．

3

B ．

2

C ．

3

D ．12

A

B

C ．

32

D ．

52

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．

13．命题“a b ?∈R ，，如果a b >，则33a b >”的逆命题是___________________________．

14．椭圆22

192

x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________．

15．圆222210x y x y +--+=上动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为_______．

16．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，

E ，

F 分别为棱1DD ，AB 上的点．已知下列判断：①1

AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面

ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，

与点F 的位置无关．

其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）.

三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分6分)

已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为

24，求直线l 的方程.

18．(本小题满分6分)

已知直线1:20l x y +=，直线2:20l x y +-=和直线3:3450l x y ++=． （Ⅰ）求直线1l 和直线2l 交点C 的坐标；

（Ⅱ）求以C 点为圆心，且与直线3l 相切的圆C 的标准方程．

A B

C

D

F

E

1A

1B

1C 1D

19．(本小题满分6分)

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；

（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE .

20．(本小题满分8分)

如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，1PA AB ==

，PB PD ==点E 在

PD 上，且:2:1PE ED =.

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，

使得//BF 平面ACE .

21．(本小题满分7分)

A

B

C

D O

E

P

C

D

P

A

E

B

已知平面内一点P 与两个定点1(0)F 和20)F 的距离的差的绝对值为2． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程C ；

（Ⅱ）设过(02)-，的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），

求直线l 的方程．

22．(本小题满分7分)

已知椭圆的两个焦点1F (0)，2F 0)，过1F 且与坐标轴不平行的直线m 与椭圆相交于M ，N 两点，如果2MNF ?的周长等于8．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点(10)，

的直线l 与椭圆交于不同两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (0)m ，，使PE QE ?恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.

（一题两空的题目第一问1分，第二问2分.第16题答对一个给1分，但有多答或答错不给分.）

三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分6分)

解：直线3470x y +-=的斜率为34

-

. 因为直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，

所以3

=4

l k -

. ……………1分 设直线l 的方程为3

=+4y x b -，

令=0y ，则4

=3

x b . ……………2分

因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，

所以14

=||||=2423

S b b ?， 所以=6b ±. ……………4分

所以直线l 的方程为3

=64

y x -±，

即3+4+24=0x y 或3+424=0x y -． ……………6分

18．(本小题满分6分) 解：（Ⅰ）由2020x y x y +=??

+-=?，，得24x y =-??=?

，

，

所以直线1l 和直线2l 交点C 的坐标为()24-，． ……………2分 （Ⅱ）因为圆C 与直线3l 相切， 所以圆的半径35

15

4351662

2==

+++-=

r ， ……………4分 所以圆C 的标准方程为()()9422

2

=-++y x ． ……………6分

19．(本小题满分6分)

证明：（Ⅰ）连结OE ．

因为O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，

所以OE ∥AP ， ……………2分 又因为OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，

所以PA ∥平面BDE ． ……………3分 （Ⅱ）因为PO ⊥底面ABCD ，

所以PO ⊥BD ， ……………4分 又因为AC ⊥BD ，且AC PO =O ，

所以BD ⊥平面PAC ． ……………5分 而BD ?平面BDE ，

所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………6分 20．(本小题满分8分)

解：（Ⅰ）正方形ABCD 边长为1，1PA =

，PB PD ==

所以90PAB PAD ∠=∠=，即PA AB ⊥，PA AD ⊥， 因为AB

AD A =，

所以PA ⊥平面ABCD . ………………2分 （Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(110)AC =，，，21

(0)33

AE =，，. 由（Ⅰ）知AP 为平面ACD

(001)AP =，，，

设平面ACE 的法向量为()n a b c =，，

由n AC ⊥，n AE ⊥，

得021

03

3a b b c +=???+=??，， 令6c =，则3b =-，3a =，

所以(336)n =-，，， ………………4分

所以6

cos 3

n AP AP n n AP

?

<>=

=

，， 即所求二面角的余弦值为

3

………………5分 （Ⅲ）设([01])PF PC λλ=∈，，则(111)()PF λλλλ=-=-，，，，，

(11)BF BP PF λλλ=+=--，，，

若//BF 平面ACE ，则BF n ⊥，即0BF n ?=，(11)(336)0λλλ--?-=，，，，， 解得1

2

λ=

， ………………7分 所以存在满足题意的点，

当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面ACE . ………………

8分

21．(本小题满分7分

)

解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P

的轨迹为双曲线， 其中1a =，c =b =

所以动点P 的轨迹方程C ：2

2

=12

y x -． ………………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，11()A x y ，，22()B x y ，，

由方程组2

212

2y x y kx ?-=???=-?

，，得()22

2460k x kx -+-=． ………………3分 因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，

所以2

22

20=(4)4(2)(

6)>0k k k ?

-≠???-?-?-

??，，

即k k ≠ ()* ………………4分 由根与系数关系得 12242k x x k -+=

-，12

2

6

2x x k -?=-， 因为112y kx =-，222y kx =-，

所以21212122()4y y k x x k x x =?-++． ………………5分 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即12120x x y y +=， ………………6分 所以 21212(1)2()40k x x k x x +-++=， 所以(

)2

2

2

64124022k

k

k k

k -

-+?-?

+=--， 即2

1k =，解得1k =±，由()*式知1k =±符合题意．

所以直线l 的方程是2y x =-或2y x =--． ………………7分 22．(本小题满分7分)

解：

（Ⅰ）由题意知c ，4=8a ，

所以=2a ，=1b ，

所以椭圆的方程为22

+=14

x y . ……………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为=(1)y k x -，

因为点(1,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，k ∈R .

由22

+=14=(1)x y y k x ????-?

，，消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --， ……………3分 设P 11()x y ，，Q 22()x y ，，

则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ，2122

44=4+1

k x x k -， 所以21212=(1)(1)y y k x x --， ……………4分 则=PE 11()m x y --，，=QE 22()m x y --，， 所以PE QE ?＝1212()()+m x m x y y --

＝2121212(+)++m m x x x x y y -

＝22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x ---

＝2222

2

2222

2844448++(+1)4+14+14+14+1

k m k k k m k k k k k ---- ＝2222

(48+1)+4

4+1

m m k m k -- ……………5分

要使上式为定值须22

48+14

=41

m m m --，解得17=8m ， 所以PE QE ?为定值

33

64

. ……………6分

当直线l 的斜率不存在时P (12，

，Q (1)2

-，，

由E 17(

0)8，可得=PE 9(82-，，=QE 9(82

，， 所以81333

==64464

PE QE ?-， 综上所述当E 17(

0)8，时，PE QE ?为定值3364

. ……………7分