自动控制理论例题集锦-第3章

第3章 线性系统的时域分析法

例1 一个温度计插入100℃水中测温，经3min 后，指示95℃，如果温度计可视作一个一阶环节且1=K ，求：

1. 时间常数T ；

2. min 1=t 时，单位阶跃响应是多少？

3. 如果给该容器加热，使容器内水温以1.0℃s /的速度匀速上升，当定义)()()(t c t r t e -=时，温度计的稳态指示误差有多大？

解:

1. 求时间常数T 。

解法1. 根据调节时间的定义，有

m in 33==T t s min 1=T

解法2. 依题意1=K ，一阶环节的标准数学模型为

1

11

)

()()(+=

+=

=

Ts Ts K s R s C s G

输入信号为)(1100)(t t r ?=，即s s R 100)(=

，故有

)111(

1001001

1

)(1

1)(T s s s

Ts s R Ts s C +

-

=?+=

+=

对其进行拉氏反变换，有

)e

1(100)(T

t t c --= 依题意 )e

1(100953T

-

-=

解得 m i n 1=T 2. 输入信号为)(1)(t t r =，即s

s R 1)(=

，则有

1

11111

)(1

1)(+-

=?+=

+=

s s s

s s R s s C

t

t c --=e

1)(

min 1=t 时

632.0e

1)(1

=-=-t c

3. 水温以1.0℃s /的速度匀速上升，表示输入信号为斜坡信号t t r 1.0)(=，即

2

1.0)(s

s R =

。一阶系统稳定，根据误差的定义)()()(t c t r t e -=，有

)

1(1.0)(1

)()()()()()(+=

+=

-=-=s s s R s s s R s G s R s C s R s E

因为)(s E 在s 平面右半平面及虚轴上（除原点外）解析，满足终值定理的应用条件，故有

1.0)

1(1.0lim )(lim )(lim 0

0=+?

===→→→

s s s s sE t e e s s t ss ℃

例2 已知二阶系统的单位阶跃响应为

)1.536.1sin(e

5.1210)(2.1?+-=-t t h t

试求系统的超调量%σ、峰值时间p t 和调节时间s t 。 解:

为便于计算，先求出正弦函数的拉氏变换，有

t t t 6.1cos 8.06.1sin 6.0)1.536.1sin(+=?+

[]2

2

6

.1)2.1(8.0)1.536.1sin(++=

?+s s t L

对单位阶跃响应进行拉氏变换，得

)

44.2(4106

.1)2.1()2.12.1(8.05.1210)(2

2

++?=

++++?

-=

s s s s s s

s H

单位阶跃输入s

s R 1)(=

，系统的传递函数为

4

4.2410)

()()(2

++?=

=

s s s R s H s Φ

典型二阶系统的传递函数为

2

2

2

2)(n

n n

s s s ωζωωΦ++=

比较以上二式，有6.0=ζ，2=n ω，10=K 。则有

超调量 %5.9%100%2

1=?=--ζ

ζπ

σe

峰值时间 s 96.112

=-=

ζωπn p t

调节时间 s 92.25

.3==

n

s t ζω

例3 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性，并指出根的分布情况。 1. 03482234=++++s s s s 2. 025103234=++++s s s s

3. 0133234=++++s s s s

4. 0108744423456=+--+-+s s s s s s 解:

∞

1. 由系统特征方程

034822

3

4

=++++s s s s

列写劳斯表

3s 2

s 4

s 1

s 14

3

60

s

283

33

由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半s 平面。 2. 由系统特征方程

0251032

3

4

=++++s s s s

列写劳斯表

3

s

2

s 4

s 1

s

3

10512

10/472

s

47

/153-

2

由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半s 平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半s 平面。

3. 由系统特征方程

01332

3

4

=++++s s s s

列写劳斯表

3

s

2

s 4

s 1

s

13ε

s

33-131

1

1

因ε是一个很小的正数，所以033<-ε，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半s 平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半s 平面。

4. 由系统特征方程

010874442

3

4

5

6

=+--+-+s s s s s s

列写劳斯表

3

s

4

s 0

6

s 5

s

144-47-8

-10

5-5

-10

劳斯表的3

s 行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。

3

s 2

s

4

s 1

s 20

-5.2-0

s

90

-6

s 5

s

144-47-8

-10

10-5-5-10

01055)(2

4=+--=s s s F 辅助方程0

1020)(3

=--=s s s F'10

10

构造新

行

求解辅助方程 01055)(24=+--=s s s F 解得 1±=s ，j s 2±=

因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半s 平面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6阶，故有两个根在左半s 平面。

例4. 已知系统结构图如图3-1所示，试确定闭环系统稳定性。

)

s

图3-1

解：

由图3-5系统结构图，闭环系统的传递函数为

)2)(1(11

111111

)

()(1)()(+-+=

+-?

-+-=

+=s s s s s s s s H s G s G s Φ 可见系统的闭环极点有一个在右半s 平面，故系统不稳定。 例5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

1

2)1()()(2

3

++++=

s as s s K s H s G

试确定K 和a 的值，使系统以2弧度/秒的频率持续振荡。 解：

系统的特征方程为

01

2)1(1)()(12

3

=+++++

=+s as s s K s H s G

即 01)2(23=+++++K s K as s 列写劳斯表

2

s 1

s 1

a

s

2

+K a

a K a 1

2)1(-+-3

s 1

+K 1

+K

依题意，系统以=n ω2弧度/秒等幅振荡，故有

01

2)1(=-+-a

a K a （3-1）

用1s 行的上一行的系数构造辅助方程，有

01)(2

=++=K as s F （3-2）

由（3-2）式，有

a

K j

s 1+±=

所以

21=+a

K （3-3）

由（3-1）、（3-3）式解得0=a ，1-=K 和4

3=a ，2=K 。将两组解分别带入特征方

程可知，0=a ，1-=K 不符合题意。故使系统以2弧度/秒的频率持续振荡的4

3=a ，2=K 。

例6 单位负反馈系统的开环传递函数为

)

1)(1()(++=

s Ts s K s G

其中0>K 、0>T 。

1. 试确定闭环系统稳定时，参数K 、T 应满足的关系，在T K -坐标中画出使系统稳定的区域

2. 计算在输入)(1)(t t t r ?=作用下系统的稳态误差。

解：

1. 系统的特征方程为

0)(1=+s G

即 0)1(23=++++K s s T Ts 列写劳斯表

3

s 2

s 1

s T 1

+T 0

s

1

1+-+T TK T 1K

K

根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元为正，考虑到0>K 、0>T ，可求得参数K 、

T 应满足的关系为

T

K 11+

<

使系统稳定的K 、T 取值范围如图3-2中阴影部分。

1

23K

图3-2

2. 求系统稳态误差用静态误差系数法。

因输入信号为单位斜坡信号， 系统静态速度误差系数为

K s Ts s K

s s sG K s s v =++?

==→→)

1)(1(lim )(lim 0

稳态误差为

K

K e v

ss 11==

例7 设某复合控制系统的结构图如图3-3所示。

R )

(s

图3-3

其中1

)(111+=

s T K s G ， )

1()(222+=

s T s K s G ，2

33)(K K s G =

。要求系统在扰动信号)

(1)(t t n =

作用下的稳态误差为零，试确定顺馈通道的传递函数)(s G n 。

解：

令0)(=s R ，用结构图等效变换或梅逊公式易求得扰动引起的系统输出为

[])()

()(1)()()()()(21231s N s G s G s G s G s G s G

s C n

n ++=

按扰动误差的定义，有

[])()

()(1)()()()()()(21231s N s G s G s G s G s G s G

s C s E n

n n ++-

=-=

系统的扰动输入信号为)(1)(t t n =，即s

s N 1)(=。应用终值定理，扰动作用下的稳态误

差为

[]s s G s G s G s G s G s G

s s sE e n

s n s ssn 1

)()(1)()()()(lim )(lim 212310

?

++?

-==→→

依题意0=ssn e ，故有

0)()()(31=+s G s G s G n

)1()

()()(12

1313+-

=-

=s T K K K s G s G s G n

例8 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图3-4所示。要求： 1. 确定系统的开环传递函数。

2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。

t

0.3

图3-4

解：

1. 由图3-4所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为

%30%=σ，s 1.0=p t 。由超调量及峰值时间的计算公式，有

%30%100%2

1=?=--ζ

ζπσe

1.012

=-=

ζ

ωπn p t

解得36.0=ζ，7.33=n ωrad/s 。故系统的开环传递函数为

)3.24(7.1135)

2()(2

+=

+=

s s s s s G n n

ζωω

2. 单位斜坡输入信号)(1)(t t t r ?=，即2

1)(s

s R =。因二阶系统稳定，故有系统的速度

静态误差系数为

7.462)

2(lim )(lim 2

==

+?

==→→ζ

ωζωωn

n n

s s v s s s s sG K

02.01==

v

ssv K e

例9 系统结构图如图3-5所示

(s R )

(s

图3-5

求：

1. 为使系统闭环稳定，确定K 的取值范围。

2. 当K 为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。

3. 为使系统的闭环极点全部位于s 平面的虚轴左移一个单位后的左侧，试确定K 的取值范围。

【分析】

本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列各元均大于零时，系统稳定；当劳斯表出现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而系统所有特征根均位于1-=s 的左侧，称为稳定度为1，可先进行坐标轴的平移，然后再用劳斯判据判稳。

【解答】

1. 系统特征方程为

04040142

3

=+++K s s s

列写劳斯表

3

s 2

s 1

s 10

s

14

404014K

-?40

K

40K

4014

根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的K 的取值范围为

140<

14=K

以2s 行各元构造辅助函数，并将14=K 带入，有

04014)(2

=+=K s s F

解得

102j s ±=

当14=K 时，系统出现等幅振荡，等幅振荡的频率102=n ω弧度/秒。 3. 将虚轴左移一个单位，得新坐标系11+=s s 。将11-=s s 带入特征方程

040)1(40)1(14)1(12

131=+-+-+-K s s s

027********

13

1=-+++K s s s

列写劳斯表

3

1

s 1

1140192K

-1527

40-K 27

40-K 11

2

1s 1

1s 0

1

s

令劳斯表中第一列各元均大于零

??

?

?

?>->-0274001140192K K

解得使系统的闭环极点全部位于s 平面的虚轴左移一个单位后的左侧的K 的取值范围为

8.4675.0<

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

线性规划经典例题及详细解析

一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95 ]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

线性规划典型例题

例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)

工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，

六种经典线性规划例题

线性规划常见题型及解法 求线性目标函数的取值范围 2 2 2 x y A D y 2 O x x=2 求可行域的面积 y y M 5 2 x y 2 y x y 2 x y 2 x y x (3,5] y =2 ( 13 例1 x+2y 时 6 的点 C 、 x ， 个 y 6 y 3 2 x + y —3 = 0 C 、 5 A 、 4 B 、 1 D 、无穷大 () 0,将 有 最小值 故选A .B A --- 作出可行域如右图 点个数为13个，选D x + y =2 则z=x+2y 的取值范围是 () 旦y =2 0 0表示的平面区域的面积为 三、求可行域中整点个数 解：|x| + |y| <2等价于 解：如图，作出可行域，作直线I : I 向右上方平移，过点A ( 2,0 ) 2,过点B ( 2,2 )时，有最大值 [2,6] B 、[2 ,5] C 、[3,6] 解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的 面积即可，选B 例 3、满足 |x| + |y| <2 A 、9 个 B 、10 个 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 (x 0,y 0) (x 0,y p 0) (xp 0,y 0) (xp 0,y p 0) 是正方形内部(包括边界)，容易得到整 y)中整点(横纵坐标都是整数)有() D 、 14 个 2x 例2、不等式组x x 若x 、y 满足约束条件 y O C V —? x 2x + y —6= 0

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题

11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=

八种 经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C

数列经典例题

类型一：迭加法求数列通项公式 1．在数列中，，，求. 解析：∵， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： ∴（）， 当时，符合上式 故. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式， 而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三： 【变式1】已知数列，，，求. 【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式. 【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且 ，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ∵，∴， ∴， ∴，又， ∴当时， ， 当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且 ，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而

的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三： 【变式1】在数列中，，，求. 【答案】 【变式2】已知数列中，， ，求通项公式. 【答案】由得，∴， ∴， ∴当时， 当时，符合上式 ∴ 类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，

,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析：∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而 恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在 等式两边同乘以，先求出，再求得. 举一反三： 【变式1】数列中，，，求. 【答案】

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，

高中数学线性规划经典题型

高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1

高中数列经典题型 大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

线性规划经典例题及详细解析

1 / 6 一、 已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤?? ≥??+≤? ,则 错误! 的取值范围是（ )。 A 。 ［错误!，6] B.（－∞，错误!］∪［6，＋∞） C.（－∞，3］∪［6，＋∞） D 。 ［3，6］ 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C 。 －1 D. 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D 。 无穷大

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2

解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）

高中数列经典例集

一、 经典例题剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= （n=1，2，3…）， （1）求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。 （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2 )12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74+1； ⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问 题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续 第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的 范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被 选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额 不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：

自动控制原理(邹伯敏)第三章答案

自动控制理论第三章作业答案 题3-4 解： 系统的闭环传递函数为 2()()1()1()1 C s G s R s G s s s ==+++ 由二阶系统的标准形式可以得到 11, 2 n ωζ== 因此，上升时间 2.418r d d t s ππβωω--=== 峰值时间 3.6276p d t s πω=== 调整时间：35% 642% 8s n s n t s t s ωζ ωζ?=≈ =?=≈ = 超调量： 100%16.3%p M e =?= 题3-5 解： 22 ()10()(51)10102510.60.5589 n n n C s R s s a s a a ωωζωζ=+++?=?=??????=+==???? ?=闭环传递函数

1.242 100%9.45% p d p t s M e π ω === =?= 3 5% 1.581 4 2% 2.108 s n s n t s t s ωζ ωζ ?=≈= ?=≈= 题3-7 解： 0.1 1.31 100%30% 1 p d p t M e π ω === - =?== 上升时间 超调量 =0.3579 33.64 n ζ ω ? ?? = ? 2 2 1131.9 () (2)24.08 n n G s s s s s ω ζω == ++ 开环传递函数 题3-8 （1） 2 100 () (824) G s s s s = ++ 解：闭环传递函数为 2 ()100 ()(824)100 C s R s s s s = +++ 特征方程为32 8241000 s s s +++= 列出劳斯表： 3 2 1240 81000 11.50 100 s s s s 第一列都是正数，所以系统稳定 （2） 10(1) () (1)(5) s G s s s s + = -+

数列经典例题集锦.

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=. （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++=， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，

自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版

《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解 第二章 2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。 (a)111 11111+=+? =Cs R R Cs R Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为： 2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。 (a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dt du C dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为 (b)由运放虚短、虚断特性有：02 2=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ， 联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du C c c c ，且2 1R u R u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通f f i K =φ 恒定 2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。电动机的角位移为θ。