江苏省盐城中学2010—2011学年度第一学期期中考试
高三年级数学(理)试题(2010.11)
审核人:陈亮 校对:潘虹
试卷说明:本场考试120分钟。
A .必做题部分
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上. 1.若集合{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===,则()U C M N = ▲ . 2.命题“x R ?∈,都有sin 1x ≥-”的否定是 ▲ .
3.如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++= ▲ .
4.曲线32x x y -=在点(1,1)处的切线方程为 ▲ .
5.若等比数列{n a }的前三项和31S =且31a =,则2a 等于 ▲ .
6.已知函数2log (0)()3
(0)x x x f x x >?=?≤?,则??????)41(f f 的值为 ▲ .
7. 函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f (1)的范围是 ▲ . 8.若方程ln 2100x x +-=的唯一解为0x ,且0(,1),x k k k N ∈+∈,则k = ▲ . 9. 若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后,所得图象关于y 轴对
称,则实
数m 的最小值为 ▲ .
10.定义在R 上的偶函数)(x g , 当0≥x 时)(x g 单调递减, 若)( )1( m g m g <-, 则m 的取值范围 是 ▲ .
11.已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 12
x x
f x x x =+
-,则()8f π的值 ▲ . 12.在□ABCD 中,已知AB =2,AD =1,∠DAB =60°, 点M 为AB 的中点,点P 在CD 上运动(包括端点),
M
A
则AP DM ?
的取值范围是 ▲ .
13.设,m n Z ∈,函数()()
2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ,值域是[]0,2,若关于x 的方程012|
|=++m x 有唯一的实数解,则m n += ▲ . 14. 已知数列{}n a 满足: 13
21m a =
-(m ∈N ﹡),13,3,2, 3.n n n n n
a a a a a +->?=?≤?,则数列{}n a 的前4m+4项的和44m S += ▲ .
二、解答题(写出必要的解题步骤或说理过程)
15.(本小题共14分)已知向量(1,7)OA = ,(5,1)OB = ,(2,1)OP =
,点Q 为直线OP 上
一动点.
(Ⅰ)求||OA OB + ;
(Ⅱ)当QA QB ? 取最小值时,求OQ
的坐标.
16. (本小题共14分)已知函数2()sin 2cos 24
x x f x =+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)在ABC ?中,角A B C 、、的分别是a b c 、、,若
2c o s a c b C (-)cosB =,求()
f A 的取值范围.
17.(本小题共15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地
ABD ?”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在ABD ?的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积
2S 的比值
1
2
S S 称为“合理规化比y ”. (Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式; (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?
18. (本小题共15分)已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体:在定义域内存在0x ,
使得()()()1100f x f x f +=+成立.
(Ⅰ)函数()x
x f 1
=
是否属于集合M ?说明理由; (Ⅱ)设函数()M x a
x f ∈+=1
lg 2
,求a 的取值范围; (Ⅲ)设函数x y 2=图象与函数x y -=的图象有交点,证明:函数()M x x f x ∈+=2
2.
第17题
G
F
E
D
C B
A
19. (本小题共16分)已知数列 {}n a 和{}n b 满足 1124,,39
n n n n n a m a a n b a λ+==+=-
+, {}n b 的前n 项和为n T . (Ⅰ)当m =1时,求证:对于任意的实数{},n a λ一定不是等差数列;(Ⅱ) 当1
2
λ=-时,试判断{}n b 是否为等比数列;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若21≤≤n T 对任意的*
N n ∈恒成立,求实数m 的范围.
20. (本小题共16分)已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=,()ln g x x =. (Ⅰ)当1=a 时,求)(x f 在区间[2,2]-上的最小值;
(Ⅱ)若在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方,求a 的取值范围; (Ⅲ)设()|()|,[1,1]h x f x x =∈-,求()h x 的最大值)(a F 的解析式.
2010-2011届高三数学(理)参考答案....
一、填空
{}4 2.,sin 1x R x ?∈<- 3.28 4.20x y +-= 5.1- 6.1
9
7.),25[+∞
8.4k = 9.23
π 10.)21,(-∞ 11.2 12.11
[,]22- 13.1
14.112(21)21
m m
+-- 二、解答
15.(1)||10OA OB +=
……………………………………………………(7分) (错的给过程分)
(2)(4,2)OQ =
…………………………………………………………(14分) (过程酌情给分) 16.(1)4T =………………………………………………………………(7分) (错的给过程分) (2)(2,12]……………………………………………………………(14分) (过程酌情给分) 17.解(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ?的面积为21tan 2a θ((0,)2
π
θ∈)………………………(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t
a a θθ
-=, 解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θ
θ=+……………………………………………………………(6分)
所以2222122
11tan tan tan 22(1tan )
a S a S a θ
θθθ=-=-+,则 212(1tan )12tan S y S θθ
+==- ………………(9分)
(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以
1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ
=++-=+1≥……………(13分)
当且仅当t a n
1θ=时取等号,此时2a BE =.所以当BE 长为2
a
时,y 有最小值1…………………(15分) 18.解:(1)若()x x f 1
=M ∈,则在定义域内存在0x ,使得00
1111x x =++化简得20010x x ++=,
∵方程0102
0=++x x 无解,∴()x
x f 1
=
M ?.………………………………(5分) (2)()2
lg (1f x a x M =+∈ ),()22lg [11]lg (1)lg 2a x a x a ∴++=++有解且0a >……(7分)
法一:22
22
22x x a x ++=+利用值域得33[44
a ∈ (10)
法二:2(21)2220a x x a --+-=利用方程有解得3535
[
a -+∈ (3)()()()()000212
0000011212322(1)x x x f x f x f x x x ++--=++---=+-
()01
0221x x -??=+-??……………………………………………………………………(12分)
∵函数x y 2=图象与函数x y -=的图象交于点(,)k k -, 则20k
k +=,所以()0
1
0210x x -+-=其中01x k =+,……………………………………(14分)
∴()()()1100f x f x f +=+,即()M x x f x ∈+=22 .…………………………………(15分) 19.解:(1) ()21231 1.1,122m a a a λλλλλ===+=++=++当时,…………………………………2分
{}()21322321n a a a a λλλ+=++=+假设是等差数列,由,得
21030λλ-+=?=-<即,,方程无实根。{}n a λ故对于任意的实数,一定不是等差数列……
…………5分
(2)11124,2239n n n n n a a n b a λ+=-=-+=-+当时,
()()112121414
1239239239n n n n n n n b a a n a ++++??=-+=-+-+=-+-
???
1241
-2392
n n n a b ??=--+= ???
1242
399b m m =-+=-又
{}221
992n m b m ∴≠--当时,是以为首项,
为公比的等比数列…………………………………9分 {}2
9
n m b =当时,不是等比数列………………………………………………………………10分
(3)2
,09
n m T ==当,不成立…………………………………………………………………11分
当29m ≠时221()[1()]392
n
n T m =--- 当n 为奇数时13[1()](1,]22n --∈,当n 为偶数13
[1()][,1)24
n --∈ (14)
分
从而求得20
9
m = ……………………………………………………………………………16分 20.解:(1)2()330f x x '=-= 1x ∴=±……………………………………………………2分 列表得min ()2f x =-………………………………………………………………5分
(2) 在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方
3
3ln x ax x ∴-≥在[1,2]上恒成立得2
ln 3x
a x x
≤-
在[1,2]上恒成立…………7分
设()h x =2
ln x x x -则322
1ln 2ln 1
()2x x x h x x x x -+-'=-=
3
210,ln 0()0x x h x '-≥≥∴≥ min ()(1)1h x h ∴== ………………………9分
1
3
a ∴≤
……………………………………………………………………………10分 (3)因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时,)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -==
②当0>a 时,),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=(ⅰ)当1,1≥≥a a 即 13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在 (ⅱ)当10,10<<< 递增; 1°当13 1 ,031)1(<≤≤-=a a f 即 时, ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --== a a a f a F 2)()(=-=; 2°当3 1 0,031)1(< <>-=a a f 即 (ⅰ)当a f a F a a f a f 31)1()(,4 1 0,31)1()(-==≤ <-=≤-时即 (ⅱ)当a a a f a F a a f a f 2)()(,3 1 41,31)1()(=-=<<-=>-时即 综上 ??? ? ?? ?? ? ≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F …………………………………………………16分