高中数学第1轮全套高效复习导学案：双曲线及其性质

第二课时 双曲线及其性质

【学习目标】

① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

【考纲要求】

双曲线为A 级要求 【自主学习】 1．双曲线的定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．

注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．

②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12

2

=-b

y a

x ，焦点在 轴上；12

2=-b

x

a

y ，焦点在 轴上．其中：a 0，

b 0，=2a ．

(2) 双曲线的标准方程的统一形式：

)0(122<=+nm ny mx

3．双曲线的几何性质(对

0,0,12

22

2>>=-

b a b y a x 进行讨论)

(1) 范围：∈x ，∈y ．

(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长

为 ，渐近线方程为 ．

(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线

开口越 ，焦准距P ＝ ．

(5) 具有相同渐近线x a

b y ±=的双曲线系方程为

(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率

为 ． (7)

12

22

2=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．

【基础自测】

1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .

2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，

则△PF 2Q 的周长是 .

3.已知椭圆

2

22

2b y a x +

=1（a ＞b ＞0）与双曲线

2

22

2n y m x -

=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，

0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .

4.设F 1、F 2分别是双曲线

2

22

2b

y a

x -

=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，

使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .

5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线9

2

22y a

x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线

方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= . [典型例析]

例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程

(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．

(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。

（1）与双曲线116y 9x 2

2=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14

y 16x 2

2=-有公共焦点，且过点（23，2）.

例2. 双曲线C ：

2

22

2b y a x -

=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C

上存在一点P ，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.

例3已知动圆M 与圆C 1：（x +4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x -4）2+y 2=2内切，求动圆圆心

M 的轨迹方程.

例4已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为

2

,且过点P （4，-

10

）.

（1）求双曲线方程；

（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0； （3）求△F 1MF 2的面积.

[当堂检测]

1.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .

2.双曲线2

22

2b y a x -

=1和椭圆

2

22

2b y m x +

=1 (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ,b ,m

为边长的三角形是 三角形.

3.（2008·重庆理）已知双曲线2

22

2

b

y a

x -=1（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx （k ＞0）,

离心率e =5

k ，则双曲线方程为 .

4.已知双曲线4

122

2y x -=1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交

点，则此直线斜率的取值范围是 .

5.如图，F 1和F 2分别是双曲线

2

22

2b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，

以|OF

1|为半径的与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等

边三角形，则双曲线的离心率为 .

江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第9课时双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修1-1

第9课时双曲线的几何性质（1） 【学习目标】1?了解双曲线的简单几何性质，如范围?对称性?顶点?渐近线和离心率等. 2 ?能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 【问题情境】 1?椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2?双曲线的两种标准方程是什么？ 【合作探究】 双曲线的几何性质 【展示点拨】 2 2 X y 例1 ?求双曲线1的实轴长和虚轴长?焦点的坐标?离心率.渐近线方程.

例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程. 3 变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上” 2 J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程. 8 M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率. 【学以致用】 1 ?说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程: 2 2 2 2 /八 x y , y x . (1) 1 ; (2) 1 . 9 16 4 5 例3?求与椭圆 例4 ?过双曲线 X 2 a 2 2 ■y 2 1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于 b 2 x 轴的直线与双曲线相交于

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上. 5 ，且与椭圆 —1 - 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程. 3 40 15 5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点， 以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此 双曲线上，求此双曲线的离心率. 第9课时双曲线的几何性质(1) 【基础训练】 2 2 1?双曲线— y 1的焦点坐标为 49 25 2 2 2?双曲线— 1的两条渐近线的方程 16 9 3?等轴双曲线的中心在原点， 它的一个焦点为F(0，2(2)则双曲线的标准方程是 ______________ 4?双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 3?已知双曲线的两条渐近线的方程是 y 方程. 4 -x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3 4.双曲线的离心率为

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，

高二数学 双曲线的简单性质导学案

高二数学双曲线的简单性质导学案 1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解； 2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。学习重点双曲线的简单几何性质及其应用学习难点双曲线的简单几何性质及其应用学法指导类比归纳法学习过程学习笔记（教学设计） 【自主学习（预习案）】 阅读教材80-82页内容，完成下列问题： 一、自主学习： 1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程： 3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？ 【合作学习（探究案）】 小组合作完成下列问题探究 一、双曲线的几何性质类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。①范围：由双曲线的标准方程可得： 从而得x的范围：

；即双曲线在不等式和所表示的区域内。= 从而得y的范围为。 ②对称性：以代，方程不变，这说明所以双曲线关于对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于对称，以代，且以代，方程也不变，得双曲线关于对称。③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（）A2（）；我们把（）（）也画在y轴上（如图）。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为。④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？渐近线：双曲线的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线和无限逼近，但永不相交。探究 二、双曲线的图像 1、根据上述五个性质，画出椭圆与双曲线的图象。探究 三、整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a>0,b>0）(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系 【当堂检测】 例：求双曲线的实半轴长和虚半轴长焦坐标、顶点坐标、离心率。练习(1) XXXXX：的实轴长虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率；（2）的实轴长为虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方

创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习练习：9-6双曲线(含答案解析)

9-6 A 组 专项基础训练 (时间：45分钟) 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A.5 B ．2 C. 3 D. 2 【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率． 不妨取点M 在第一象限，如图所示， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2 b 2＝1，a ＝b ， ∴ c ＝2a ，e ＝c a ＝ 2.故选D. 【答案】 D 2．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221 ＝1

C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23 ＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解． 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)， 可得3＝b a ×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上， 可得a 2＋b 2＝7.② 由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23 ＝1. 【答案】 D 3．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得b a 的值，利用a ，b ，c 之间的关系a 2＋b 2＝c 2可消去b 得a ，c 之间的关系，求出离心率e . 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169 . 又b 2＝c 2－a 2 ，∴c 2－a 2a 2＝169， 即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53 . 【答案】 D 4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 2 9 ＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 2 4 ＝1

高中数学-双曲线例题

高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92， 16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0） ，（4，0）． （2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）25

∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2122 21==+F F PF PF

高中数学导学案双曲线及其标准方程

1. 1.3双曲线及其标准方程 课前预习学案 一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中a，b，c的关系。 ④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、预习内容 ①双曲线的定义。 ②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类 比。 ③掌握a，b，c之间的关系。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、教学过程 前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。 下面我们来考虑这样一个问题？ 平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？ 我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。 若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线 那么由这个实验我们得出一个结论： “平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。” 但大家思考一下这个结论对不对呢？ 我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？ 下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线； 随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线； 当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线； 若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。 那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义： 定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。

双曲线及其标准方程--导学案

双曲线及其标准方程 学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想； 学习重点：了解双曲线的定义； 学习难点：双曲线标准方程的推导过程； 学习过程： 一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义 椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 二、双曲线的定义： 双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？ ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹 （4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹

（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹 三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系： 设点： 若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得： （整理过程） 由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程， 双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，

它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？ 四、典例剖析 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程. 变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程. 例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5） 2、焦点在x 轴上， 3、经过两点 ），（），， （372B 267A --）， （经过点25A ,52-=a

湖南省株洲四中高二数学 双曲线的几何性质 导学案(选修1-1)

一、导学 标准方程 22 22 1x y a b -= 22 22 1y x a b -= 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 2．________________________________________________________的双曲线叫等轴双曲线。焦点在x 轴(y 轴)上得等轴双曲线的标准方程是___________________（ ） 3．双曲线的离心率e 的范围为______________,e 越大，双曲线的开口__________________ 二、导练 4．化双曲线方程为标准方程 （1）2 2 916144x y -= （2） 2 2 916144y x -=- （3）2 2 294x y -= 三、导疑 5．类比双曲线22221x y a b -=的几何性质探究。得出双曲线22 221y x a b -=的几何性质，并填好 导学案中表。

6．求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程 （1）2 2 916144x y -= （2） 2 2 916144y x -=- 四、评价 7．求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，54 e = （2）焦点在y 轴上，焦距是16，43 e = 8．求与椭圆 2214924x y +=有公共焦点，且离心率54 e =的双曲线的方程。 9．求等轴双曲线的离心率和渐近线方程

2.2.2双曲线的几何性质（2） 学习目标：进一步掌握双曲线的几何性质，会利用定义、渐近线、离心率解决有关问题 一、导学 1． 复习双曲线的几何性质 二、导练 2．下列各对双曲线中，有相同离心率又有相同渐近线的是( ) 2222 A 11393x y x y -=-=和 2222 B 1133x x y y -=-=和 222 2C 1133 x y y x -=-=和 2222 D 11393 x x y y -=-=和 3．双曲线 22 1412 x y -=的焦点到渐近线的距离为________________________ 4．双曲线2 2 44kx y k +=的离心率小于2，则k 的取值范围是( ) (),0A -∞ ()3,0B - ()12,0C - ()12,1D - 三、导疑 5．12,F F 为双曲线221164x y -=的两个焦点，点P 在这双曲线上，且123 F PF π∠=，求12F PF 的面积。

高中数学 选修1-1 18.直线与双曲线的位置关系

18.直线与双曲线的位置关系 教学目标 班级_____姓名________ 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.掌握双曲线中弦长问题的解法. 教学过程 一、直线与双曲线的位置关系. 1.直线与双曲线的位置关系. （1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上； ②有一个交点；（直线与渐近线平行时） （2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切） （3）相离：直线与双曲线无交点. 2.分析直线与双曲线的位置关系. （1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点） （2）通过?分析.（注意特殊情况） 3.弦长公式. 设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则 （1）2122124)(1||x x x x k AB -+?+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）； （2）2122124)(11||y y y y k AB -+?+ =（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系. 例1：已知双曲线C ：122 2 =-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.

2.双曲线中的弦长问题. 例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长. 作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程.

人教A版选修2-1第二章第7课时导学案§2.3.1 双曲线及其标准方程

§2.3.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 复习2：在椭圆的标准方程22 221x y a b +=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c = 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 新知1：双曲线的定义： 平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。 两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ． 反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？ 2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ． 试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ． 新知2：双曲线的标准方程： 22 22222 1,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ． 思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？

※ 典型例题 例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 变式：已知双曲线22 1169 x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 . 例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

高中数学双曲线经典例题

高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是

4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形

1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型

人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质(第1课时)》导学案

§2.2.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质． 学习过程 一、 课前准备： 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上； ②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二、新课导学： ※ 学习探究 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22 221x y a b -=的几何性质? 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）． 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b ±=． 问题2：双曲线22 221y x a b -=的几何性质? 图形： 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ） 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线：双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． ※ 典型例题 例1求双曲线2214925 x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程． 变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程： 1.实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； 2.离心率 e =(5,3)M -； 3.渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2 M -． ※ 动手试试 练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程． 练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程． 三、总结提升： ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展

高中数学双曲线导学案及答案

高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 第二讲 双曲线（2课时） 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2. 理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记） 1．双曲线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当_____________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e ＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). 4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2 n ＝1 (mn <0)．

【链接教材】（打好基础，奠基成长） 1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2 －y 2 2 ＝1 D.x 22 －y 2 ＝1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 3．(2014·广东)若实数k 满足00)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______. 6. 设双曲线x 2a 2－y 2 9 ＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7 (2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2 sin 2θtan 2θ ＝1的( ) A.实轴长相等 B .虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 8. 已知曲线方程x 2λ＋2－y 2 λ＋1 ＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________. 【课堂考点探究】 探究点一 双曲线定义的应用 例1 1.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 2. 设P 是双曲线2 2 11620 y x -=上的一点，F1F2 分别是双曲线的左右焦点，若为 1 29PF PF ==则( ) A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不对 [总结反思] 探究点二 双曲线的标准方程的求法 例2 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为5 4 ；(2)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 2 .(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 2 25＝1 [总结反思] 变式题 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1 2x ，则该双曲线的标准方程为

高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9-k ，09>-k ， 所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时， k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）25

∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．

人教A版选修2-1第二章第9课时导学案§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2) 学习目标 1．根据双曲线的方程研究曲线的几何性质； 2．双曲线与直线的关系． 学习过程 一、课前准备 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为 22 1 914 x y -=，其顶点坐标是( )，( )； 渐近线方程． 二、新课导学 ※学习探究 探究1：椭圆22 464 x y +=的焦点是？ 探究2：双曲线的一条渐近线方程是0 x=，则可设双曲线方程为？ 问题：若双曲线与22 464 x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0 x+=，则双曲线的方程是？ ※典型例题 例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165 x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹． 例3过双曲线22 136 x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标． 变式：求AB ？ 思考：1AF B ?的周长？

※ 动手试试 练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线22 12 x y a -=的焦点相同，则a =____. 练2 ．若双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为y =，求双曲线的焦点坐标． 三、总结提升 ※ 学习小结 1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系． ※ 知识拓展 双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22 145 x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ?的值为（ ）． A ． 212 B ．84 C ．3 D ．21 2．以椭圆22 12516 x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 22 1927 x y -= C. 2211648x y -=或22 1927x y -= D. 以上都不对

1-1双曲线导学案.doc

§221双曲线及其标准方程（1） 、【学习且标L （1）了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念. （3）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量. 【重点、难点】 重点：双曲线定义、焦点、焦距等基本概念难点：双曲线的标准方程 【学习方法】类比、合作探究、讨论、归纳 r【知识链接】 （1）.椭圆的定义：； （2）椭圆标准方程的推导过程：建系、设点、写动点的满足的儿何条件、儿何条件坐标化、化简整理 ⑶椭圆的标准方程：①焦点在工上 ;焦点坐标; ②焦点在了上；焦点坐标； （其中 / _b2 +。2） 一、【新知探究】 探究一、双曲线定义 教材导读（预习教材P45）尝试回答下列问题： （1）把椭圆定义中的“距离的和（大于伊1旦|）"改为“距离的差（小于旧已|）”，那么点的轨迹会怎样? 如 图定点匕E点心移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF.\是同一常数, 可以画出另一支. （2）双曲线定义中动点归到两定点F”气满足几何条件 （3）在椭圆的定义中，强调了2a<2c；若2a = 2c动点的轨迹是什么？若2a>2c呢？ 设动点归，两定点F l9F2满足||"]|一\MF^ = 2a（2。常数），时气| = 2。⑵为常数） |MFj-\MF2\ = 2a<2c时轨迹是；\MF2\-\MF1\ = 2a<2c轨迹是 \MF V\-\MF2\ = 2a = 2c时，轨迹是；|MF2|-|MFj = 2a = 2c 轨迹是 ||MF I|-|MF2|| = 2a> 2c时，轨迹是. 尝试：动点户到点中-2,0）及点灼（2,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（）. A.双曲线 B.双曲羸的一支 C.两条射线 D. 一条射线 探究二、双曲线标准方程 教材导读，预习课本P46的内容，并思考下列问题 （1）在双曲线中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？依据什么建立直角坐标系？ （2）设双曲线上任意一点M（x9y）满足儿何条件\MF^-\MF^2a（V时尤| = 2。） ,仲①尤、旦坐标为— ②几何条件坐标形式为

双曲线的几何性质(1) 导学案

双曲线的几何性质（1） 【学习目标】 1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 【自主学习】关于椭圆与双曲线性质的表格 渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e =a c ，叫双曲线的离心率； 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。

【活动探究】 例1双曲线22169144x y -=的实轴长是 ，虚轴的长是 ，离心率是 ，顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 例2求双曲线13 42 2=-y x 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 例3 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为 43 ，求双曲线的标准方程。 【目标检测】 1.比较下列双曲线的形状， ①22 936x y -=；②2211612x y -= ； ③2213664x y -=；④22 1106y x -= 其中开口最大的是 ，开口最小的是 。 2. 离心率是椭圆16x 2＋25y 2=400的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准方程是___________________。 3.．中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 3，焦距等于10的双曲线方程为______________________。 4．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一焦点，∠PF 1Q =π2 ，则这条双曲线的离心率等于_________。 5.渐近线方程是3x 02=±y ，一个焦点为F(-4,0)的双曲线方程为 。 6. 双曲线的离心率为 5 13，坐标轴为对称轴，且焦点在y 轴上，则此双曲线的渐近线方程是__________。

《双曲线及其标准方程》教学设计

《双曲线及其标准方程》教学设计

《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§ 3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的 几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有 着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双 曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分 考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主 要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准