第五章 固体的能带理论

第五章固体的能带理论

1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？

解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。

2.周期场对能带形成是必要条件吗？

解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。

3.一个能带有N个准连续能级的物理原因是什么？

解：这是由于晶体中含有的总原胞数N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。

4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？

解：对于在倒格矢

K中垂面及其附近的波矢k，即布里渊区界面附近的波矢k，由于

h

采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使)

E函数在布里渊区界面处“断开”，

(k

即发生突变，从而产生了禁带。

5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？

解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？

解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。

7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。

解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。

准经典运动的基本公式有：

晶体电子的准动量为 k p =； 晶体电子的速度为 )(1k v k E ?=

；

晶体电子受到的外力为 d t

d k F =

晶体电子的倒有效质量张量为 β

ααβ

k k E m ???=

)(112

2

*

k

；

在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： )(B v Εk ?+-= e d t d

)(*

B v Εv ?+-

=m

e d t

d

8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？

解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。

当满带顶附近有空状态k 时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q 和具有正质量*m 、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。

9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。

解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。

在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。

10.说明德·哈斯－范·阿尔芬效应的基本原理及主要应用。

解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而呈现出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。

由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构密切相关，所以德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。

11.一维周期场中电子的波函数)(x k ψ应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a ，电子的波函数为

（1）x a x k π

ψsin

)(=； （2）x a i x k πψ3cos

)(=；

（3）∑

∞

-∞

=-=

i k ia x f x )()(ψ（其中f 为某个确定的函数）

。 试求电子在这些状态的波矢。

解：布洛赫函数可写成)()(x u e x k i k x

k =ψ，其中，)()(x u a x u k k =+或写成

)()(x e a x k i k a

k ψψ=+

（1）)(sin

sin

)(x a

x a

a x a x k k ψππψ-=-=+=+ 故 1-=i k a e a

k π

=

)(s i n )(x u e x a e

e

x k x a i x a

i x

a

i

k πππ

πψ=?????

?=- 显然有 )()(x u a x u k k =+ 故x a

x k π

ψsin

)(=的波矢是

a π

。 （2）)(3cos

)

(3cos )(x a

x i a

a x i a x k k ψππψ-=-=+=+

所以 1-=i k a

e

a

k π

=

)(3c o s )(x u e a x i e

e

x k x a i x a

i x

a

i

k πππ

πψ=?????

?=- 显然有 )()(x u a x u k k =+

故x a

i x k πψ3cos

)(=的波矢

a

π

。

（3）)()(])1([)()(x ma x f a i x f ia a x f a x k m i i k ψψ=-=

--=

-+=

+∑

∑

∑

∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞

=

故 1=i k a e 0=k )( )( )(00x u e ia x f e

x k x i i a

i k =??

????-=∑∞-∞=ψ 故∑

∞

-∞

=-=

i k ia x f x )()(ψ的波矢为0。

要说明的是，上述所确定的波矢k 并不是唯一的，这些k 值加上任一倒格矢都是所需的解。因为k 空间中相差任一倒格矢的两个k 值所描述的状态是一样的。

12.已知电子在周期场中的势能为

?

1222112U E =? 222U E =?

其中1U 和2U 表示周期场)(x U 的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。

于是有 3

2

22

22412341214)(2

141

)(41π

ωξξωξξξ

π

ξ

π

b

m d b m e

b d U e

b U b

b b

i b

b b

i =

-=

=

??

----

2

2

22

22422342222)(2

141

)(41π

ωξξωξξξ

π

ξ

π

b m d b m e b

d U e

b

U b

b

b

i b

b

b

i =

-=

=

??

----

故此晶体的第1及第2个禁带宽度为 3

2

2

1182π

ωb

m U E =

=? 2

2

2222π

ωb

m U E =

=?

13.已知一维晶体的电子能带可写成：

)2cos 8

1cos 8

7(

)(2

2ka ka ma

k E +

-=

。

式中a 是晶格常数。试求

（1）能带的宽度；

（2）电子在波矢k 的状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（1）在能带底0=k 处，电子能量为 0)0(=E 在能带顶a

k π

=

处，电子能量为

2

22)(

ma

a

E =

π

故能带宽度为2

22)0()(

ma

E a

E E =

-=?π

（2）电子在波矢k 的状态时的速度为 )2s i n 4

1(s i n 1)(ka ka ma

dk

dE k v -

=

=

（3）电子的有效质量为 ka

ka m dk

E d m 2cos 21cos /

2

2

2

*

-

=

=

于是有在能带底部电子的有效质量为m m 2*

1= 在能带顶部电子的有效质量为m m 3

2*

2-

=

14.平面正六角形晶格（见图5.30），六角形2个对边的间距是a ，其基矢为

j i a a a 2

32

1+

=

；

j i a a a 2

32

2+

-=

试求：

（1）倒格子基矢；

（2

（3解：（1）由题意可取k a =3，那么根据倒格子基矢的定义有 )31(2)(2321321j i a a a a a b +

=???=a ππ

12a a ? )(21*

321k b b ??=Ω===V V V

2

238])3

1(2[

)3

1(2a

a

a

π

ππ=

?+

-?+

=

k j i j i

15.证明正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？

解：设正方格子的晶胞参数为a ，则其相应的倒格子也为一正方格子，并且其倒格子基

矢大小为a

π

2，由此可知位于该正方格子第一布里渊区角隅处的自由电子的波矢大小为

a

k π21=

，而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为a

k π

=

2。

又由自由电子动能与其波矢的关系式m

k E k 22

2

=

可知，正方格子第一布里渊区角隅处

的自由电子的动能大小为2

22

1

ma

E k π =

，而位于该区侧面中点处的电子的动能大小为

2

2222ma

E k π =

，显然有2

1

2k k E E =。

由此证得正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。

对三维简单立方晶格，由相同的方法可以同样证得其相应的倍数为3。

16.设F k 表示自由电子的费米波矢，m k 表示空间中从原点到第一布里渊区边界的最小距离，求具有体心立方和面心立方结构的一价金属的比值m F k k /。

解：对于体心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为 3

/13

3

/1)

2(

)

83(

2a

k F ππ=

而a

k m π2=，故3

/1)

233(

/π

=m F k k

对于面心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为 3

/13

3

/1)

4(

)

83(

2a

k F ππ=

而a

k m π3=，故3

/1)

334(

/π

=m F k k 。

17.一矩形晶格，原胞边长m a 10

102-?=，m b 10

10

4-?=。

（1）画出倒格子图；

（2）画出第一布里渊区和第二布里渊区； （3）画出自由电子的费米面。

解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为i a a =1，j b a =2，由此可求得其倒格子基矢

为

b 5.3子区域的分界面，所以有下式成立

N k S F =??

2

2

)

2(2ππ 由此得 2

/12

/12)

(2n

S

N k F ππ==

N

18.式中：min E 为能带底部的能量；J 为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。

解：设s 态的原子能级为s ε，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s 态电子能量为

∑=?--

-=近邻

s s

k s

s e

J J k E R R R

)()(0ε

上式中0)]()([)(2

0>--=?ξξξξd V U J i ?，

0)()]()()[()(*>---=?ξξξξR ξR d V U J i s i s ??（其中)(ξU 表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。)(ξV 为某格点的原子势场）

由于s 态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。

在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为i a 和i a -，由此可知一维单原子链的s 态电子能量可化为：

ka J J e e

J J k E s ka

ka s cos 2)()(00--=+--=-εε

)2/(s i n 4220ka J J J s +--=ε

上式中0)()]()()[()()(*>---=-==?ξξξξi ξi i d V U a a J a J J i i ?? 由此可知，当0=k 时，即能带底的能量为J J E s 20min --=ε；当a

k π

±=，即能带

顶的能量为J J E s 20max +-=ε

于是可证得一维单原子链的s 态电子能量为 )2/(s i n 4)(2m i n ka J E k E += 并且还可得能带宽度为J E E E 4min max =-=?

由此还可求得有效质量ka

J a dk

E d k m cos 2/

)(2

2

2

2

2

*

=

=

于是可求得能带顶部的电子有效质量J

a a

m m 2

2*

*2)(

-

=±

=π

能带底部的电子有效质量J

a m m 2

2*

*2)0(

=

=。

19.设二维正三角形晶格中原子间距为a ，试根据紧束缚近似的结果，求出能带)(k E 的表达式，并求出相应的电子速度)(k v 和有效质量的各个分量αβm 。

解：当只计及最近邻格点的相互作用时，根据紧束缚近似可得该晶格由原子s 态的形成的能带表达式为

=?--

-=近邻

s s

k s s e

J J k E R R R )()(0ε (1)

上式中0)]()([)(2

0>--=?ξξξξd V U J i ?，

0)()]()()[()(*>---=?ξξξξR ξR d V U J i s i s ??（其中)(ξU 表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。)(ξV 为某格点的原子势场）

在此二维晶格中，取原点为参考点，则其六个近邻格点坐标值为 （a ，0） （a -，0） （

a 21，

a 2

3），

（a 2

1-

，

a 2

3） （

a 2

1，a 2

3-

） （ a 2

1-

，a 2

3-

）

把近邻格式s R 代入（1）式，并考虑到s 态波函数的球对称性可得：

)()(2

32

1

2

32

12

32

1

2

32

110y

x y

x y

x y

x x

x

ak

ak ak

ak ak

ak ak

ak ak ak s e

e

e

e

e

e

J J k E +

+

-

-

-

-

-+++++--=ε

)]2

32

1cos()2

32

1cos(

[cos 210y x y x x s ak ak ak ak ak J J -

+++--=ε (2)

上式中1J 表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值，并有01>J 。

由此可知相应的电子速度为 )(1)(k k v k E ?=

])2

3

s i n 21c o s 3()23c o s 21s i n [(s i n 21j i y x y x x ak ak ak ak ak a J ++=

选取x k ，y k 轴沿张量主轴方向，则有0*

*

==yx xy m m ，而 )2

3

c o s 21c o s 21

(c o s 2/

2

12

22

2

*

y x x

x

xx

ak ak ak

a J k

E m

+=

??=

y

x y

yy

ak

ak a J k E m

2

3cos

2

1cos

3/

2

12

2

2

2

*

=

??=

20.用紧束缚方法处理面心立方的s 态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为

)2cos

2cos

2cos

2cos

2cos

2(cos

4)(0a k a k a k a k a k a k J A E k E x z z y y x +++-=

并求能带底部电子的有效质量。

解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s 态电子，其能带)(k E 的表达式可写为

=?-+

-=近邻

s s

k Je

A E k E R R 0)(

上式中s E ε=0，0)]()([)(2

>--=?ξξξξd V U A i ?，

0)()]()()[(*<--=?ξξξξR ξd V U J i s i ??（其中)(ξU 表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；)(ξV 为最近邻格点的原子势场；s R 为最近邻格点的位矢）。

对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为

（2a ，

2

a ，0），（

2a ，2

a -

，0），（2a -

，

2

a ，0），（2a -

，2

a -

，0）

（

2

a ，0，

2a ），（2

a ，0，2a -

），（2

a -，0，

2a ），（2

a -，0，2a -

） （0，2

a ，2

a ），（0，2

a ，2

a -），（0，2

a -，2

a ），（0，2

a -，2

a -

）

将上述的12套坐标值代入上述的)(k E 的表达式，可得

]{[)()

(2

)

(2

)

(2

)

(2

0y x y x y x y x k k a i

k k a i

k k a i

k k a i e

e

e

e

J A E k E ---+-+++++-=

][)(2

)(2

)(2

)(2

z x z x z x z x k k a

i k k a

i k k a

i k k a

i e e e e ---+-+++++ ]}[)(2

)(2)(2)(2z y z y z y z y k k a

i k k a

i k k a

i k k a

i e

e

e

e

---+-+++++

)(2

c o s )(2

c o s )(2

[c o s 20z x y x y x k k a k k a k k a

J A E ++-+++-=

)](2

cos

)(2

cos

)(2

cos

z y z y z x k k a k k a k k a -+++-+

)2

c o s 2c o s 2c o s 2c o s 2c o s 2(c o s 40a k a

k a k a k a k a k J A E x z z y y x +++-=

由于0

选取x k ，y k ，z k 轴沿张量主轴方向，则有0*

*****======zy yz zx xz yx xy m m m m m m ，而在能带底部有

2

22

2

22

2

*

2)

2

c o s c o s 2c o s 2c o s 2(c o s /

Ja

a k a k a k a k Ja k

E m

x z y x x

xx

-

=+-=

??=

2

22

2

22

2

*

2)

2

c o s c o s 2c o s 2c o s 2(c o s /

Ja

a k a k a k a k Ja k

E m

z y y x y

yy

-

=+-=

??=

2

22

2

2

2

2

*

2)

2

c o s c o s 2c o s 2c o s 2(c o s /

Ja

a k a k a k a k Ja k E m

x z z y z

zz

-

=+-=

??=

第5章 能带理论 习题参考答案

第5章 能带理论 (习题参考答案) 1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m -=?，10b 410m -=? （1）画出倒格子图 （2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区 （3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子） 解：（1）因为 a =a i=20 A i b =b j=40 A j 倒格子基矢为 12a i A * = , 014b j A *= 以a * b *为基矢构成的倒格子如下图。

由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。 (2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点 A i,次近邻点 B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。 (3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。简约布里渊区的面积

02 1()8A a b A * * * -=?= 而状态密度 022()16()N g K N A A *== 当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 2 02()216F k F N g k kdk N k ππ=?=? 所以 01/21111 1()0.2()210()8F k A m π---=≈=? 这就是费米圆的半径。费米圆如下图所示 2. 已知一维晶体的电子能带可写成 ()2271cos cos 2,88E k ka ka ma ?? =-+ ??? 式中a 是晶格常数。试求能带的宽度；

()()()()() () ()()2222 2min 2 max 2 2 max min 22 2 22 min 71 cos cos 2, 8811cos 24400, 2;221sin 24sin 404k i E k ka ka ma ka ma k E k E a ma E E E ma ma ii v E k v ka ka ma iii E k k k E E m π ??=-+ ?????=--????====?=-= ∴=?∴=--==+ 解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得： ()() ()22 min 22 max 2 2 max 220 34220 3 k E m m m E k k E E k m k E m m m π π δδδ* *** =+ ∴===-=+ ∴=- 在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k= +k 可得： a a

固体能带理论概述

固体能带理论概述 朱士猛学号220130901421 专业凝聚态物理 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似等基本理论。还介绍了采用了近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论布洛赫定理近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2，8，9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16，17]的材料进行了计算和分析，

并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 2 布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

固体能带理论II

晶体的能带结构 1 导体、半导体和绝缘体的能带解释 能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。 满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即 ()()k k -=n n E E 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 ??k 态具有相反的速度： ??????????????????????????????????????????????????????????????? ()()k k --=υυ 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 ??k 态电子贡献的电 流正好相互抵销，所以总电流为零。 即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。 根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。 本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。 在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm ??。是普通金属的10??。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。 近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 ()k υq - 而且 ()()[]0=-+k k I υq 或 ()()k k I υq = 表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。 存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。在任何时

第五章_激励

第五章激励 第一部分：本章概要 1.1 重点概念 1.激励（motivation）：在个人需要和组织目标整合的基础上，形成强烈实现目标的意愿，并促使其付出努力行为的整个过程。 2.需求层次理论(needs hierarchy theory)：马斯洛认为，人类需要可以大致分为生理需要、安全需要、交往需要、尊重需要和自我实现的需要等，它们是由低级到高级逐级形成和发展的。 3.ERG理论：人有三种基本的需要，分别是生存的需要（Existence）、相互关系的需要（Relatedness）和成长的需要（Growth）。即使一个人的生存和相互关系需要尚未得到完全满足，他仍然可以为成长发展的需要工作，而且这3种需要可以同时起作用。 4.双因素理论（two— factor theory）：从外在需要、内在需要的区分及两者在调动人的积极性方面起着不同作用的角度，探讨如何更有效的激发员工的工作积极性，分为保健因素和激励因素两方面。 5.期望理论(expectancy theory)：个体行为倾向的强度取决于个体对这种行为可能带来结果的一种期望度，以及这种结果对行为的个体来说所具有的吸引力。期望理论用公式表示为：激励力量（M）＝目标价值（V）×期望值（E） 6.公平理论(justice theory)：又称社会比较理论，当一个人做出了成绩并取得了报酬以后，他不仅关心自己所得报酬的绝对量，而且关心自己所得报酬的相对量。 7.自我决定理论：认为人们喜欢感到自己对事物具有控制力，若人们感到以前有兴趣的工作变成一种义务而不是自主选择的活动，这样激励程度就降低了。 8.目标设置理论：是从行为的目的性出发来对行为动机进行研究的一种激励理论。该理论认为，目标是人们行为的最终目的，是人们预先规定的、合乎自己需要的“诱因”，是激励人们的有形的、可以测量的成功标准。 9.强化理论(reinforcement theory)：也叫“操作条件反射理论”。该理论认为人类(或动物)为了达到某种目标，本身就会采取行为作用于环境。当行为的结果有利时，这种行为重复出现；不利时，这种行为就减弱或消失。 1.2 关键知识点 1.需求层次理论的基本观点 马斯洛认为人有生理需要、安全需要、交往需要、尊重需要和自我实现五种需要。 这五种需要像阶梯一样从低到高，按层次逐级递升，但这种次序不是完全固定的，可以变化，也有种种例外情况。 一般来说，某一层次的需要相对满足了，就会向高一层次发展，追求更高一层次的需要就成为驱使行为的动力。相应地，获得基本满足的需要就不再是一股激励力量。 同一时期，一个人可能有几种需要，但每一时期总有一种需要占支配地位，对行为起决

固体物理总结能带理论完全版

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目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本内容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受)(r u k ?调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符μT ，)()()()(3 32211321a T a T a T R T m m m m ? ??? = b ． 证明μT 与?H 的对易性。ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出μT 在μT 与?H 共同本征态下的本征值

固体物理学能带理论小结

能带理论 一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）万尼尔函数概念； 3）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似 在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的

运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 维格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值 λ。即?? ???+=+=+=)()( ()() ()(332211a N r r a N r r a N r r ψψψψψψ3 2 1 321,,a k i a k i a k i e e e ???===λλλ d. 将λ代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。

《组织行为学》课后习题答案完整版-第五章激励理论及其应用

第五章激励理论及其应用 一、简答题 1.什么是双因素激励理论？如何将保健因素转化为激励因素？ 答：双因素激励理论的基本观点： （1）传统理论认为，“满意”的对立面是“不满意”，但双因素理论认为“满意”的对立面是“没有满意”，“不满意”的对立面是“没有不满意”。 （2）那些使员工对工作感到不满意的因素主要是与工作环境相联系的保健因素。保健因素主要起预防作用。保健因素包括工作本身、认可、成就和责任、进步、晋升等。在工作激励中，保健因素的满足主要是避免员工的不满意。 （3）那些使员工感到满意的因素主要是与工作内容相联系的激励因素。激励因素包括公司政策和管理、监督、薪水、工作条件、安全以及人际关系等。只有对激励因素的满足才能真正达到激励员工的目的。 将保健因素转化为激励因素的措施有：（1）精神激励是最长久，通过有效的领导、积极向上的企业文化、个人参与、多元化价值观等事业留人、也可通过绩效管理、行业发展、职业的优越感、绩效激励等情感留人；（2）个人目标和公司目标结合；（3）帮助员工做好职业规划；（4）制定较为灵活的薪酬策略，与工作发展前途对应等 2.内容型激励理论主要包括马斯洛的需要层次理论、奥尔德弗的ERG理论、赫兹伯格的双因素理论和麦克利兰

的成就需要理论，试对它们进行比较。 答：ERG理论是在需要层次论基础上的发展主要表现在： (1)马斯洛的需要层次论是建立在满足——上升的基础上的。也就是说一旦较低层次需要已经得到满足，人们将进到更高一级的需要上去；而ERG 论不仅体现满足——上升的方面，而且也提出了遇挫折——倒退这一方面。挫折——倒退说明较高的需要未满足或受到挫折的情况下，更着重或把更强烈的欲望放在一个较低层次的需要上。 (2)需要层次论认为，每一个时期只有一种突出的需要；而ERG 论指出在任何一个时间内可以有一个或一个以上的需要发生作用。 (3)需要层次论认为，人的需要是严格地按由低到高逐级上升的, 不存在越级，也不存在由高到低的下降；而ERG论则指出，人的需要并不一定严格按由低到高发展的顺序，而是可以越级的。 (4)需要层次论认为，人类有五种需要，它们是生来就有的，是内在的；而ERG论则认为，只有三种需要，其中有生来就有的，也有经过后天学习得到的。 (5) ERG论在一定程度上修正了马斯洛的需要层次理论弥补了需要层次理论的不足，更符合现实社会中人们的行为特点。 成就激励论是在需要层次论基础上的升华主要表现在： (1)着重点不同。需要层次论研究从低到高顺序的五种需要；而成就激励论不研究人的基本生理需要，主要研究在人的生理需要基本得到满足的前提条件下，人还有哪些需要。 (2)认识度不同。需要层次论认为五种需要都是生来就有的，是内在的；

(完整版)大学物理章节习题9原子结构固体能带理论

?物理系_2015_09 《大学物理AII 》作业 No.9 原子结构 固体能带理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．根据量子力学理论，氢原子中的电子是作确定的轨道运动，轨道是量子化的。 解：教材227.电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定 出现 在核外某个确定的位置，而只能给出电子在核外各处出现的概率。 [ F ] 2．本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，N 型半导体只有电子导 电，P 型半导体只有空穴导电。 解：N 型半导体中依然是两种载流子参与导电，不过其中电子是主要载流子；P 型半导体也是两种载流子参与导电，其中的主要载流子是空穴。 [ T ] 3．固体中能带的形成是由于固体中的电子仍然满足泡利不相容原理。 解：只要是费米子都要遵从泡利不相容原理，电子是费米子。 [ T ] 4．由于P 型和N 型半导体材料接触时载流子扩散形成的PN 结具有单向导电性。 解：教材244. [ F ] 5．施特恩-盖拉赫实验证实了原子定态能级的存在。 解：施特恩-盖拉赫实验验证了电子自旋的存在，弗兰克—赫兹实验证实了原子定态能级的存在. 二、选择题： 1．下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ [ D ] (A) n = 2，l = 2，m l = 0，21= s m (B) n = 3，l = 1，m l =-2，21-=s m (C) n = 1，l = 2，m l = 1，21=s m (D) n = 3，l = 2，m l = 0，2 1 -=s m 解：根据原子中电子四个量子数取值规则和泡利不相容原理知D 对。 故选 D 2．与绝缘体相比较，半导体能带结构的特点是 [ D ] (A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电 子 (D) 禁带宽度较窄 解：教材241-242. 3. 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (2，0，1， 2 1) (2) (2，1，0，2 1- )

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目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(3322113 2 1 a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值

第五章《管理学原理》习题参考答案

第五编 一、单项选择题 1、注重于对已发生的错误进行检查改进属于（ C ）。 A、前馈控制 B．现场控制 C．反馈控制 D．直接控制 2、在控制的基本过程中，衡量实际工作主要解决的问题是（ D ）。 A．衡量什么 B．制定标准 C．如何衡量 D．A和C 3、实施控制的关键性步骤是（ D ）。 A 选择关键点 B拟定标准 C．选择控制技术 D．建立控制系统 4、控制工作得以展开的前提是（ A ）。 A建立控制标准 B分析偏差原因 C采取矫正措施 D明确问题性质 5、"治病不如防病，防病不如讲究卫生"根据这一说法，以下几种控制方式中，哪一种方式最重要：A A前馈控制 B现场控制 C反馈控制 D直接控制 6、控制过程的第一步是（ D ） Ａ进行预测Ｂ科学决策Ｃ分析判断Ｄ确定标准 7、控制工作的基本目的是（ C ） A 维持现状 B 打破现状 C 激励现状 D 突破现状 8、统计分析表明，"关键的事总是少数，一般的事常是多数"，这意味着控制工作最应重视（ A ）Ａ突出重点，强调例外Ｂ灵活、及时和适度Ｃ客观、精确和具体Ｄ协调计划和组织工作。 9、控制工作使管理过程形成了一个（ A）的系统： A 相对封闭 B 绝对封闭 C 相对开放 D 绝对开放 10、进行控制时，首先要建立标准。关于建立标准，下列四种说法中哪一种是正确的? A、标准应该越高越好 B、标准应考虑实施成本 C、标准应考虑实际可能 D、标准应考虑顾客需求11．能够有效地监督组织各项计划的落实与执行情况，发现计划与实际之间的差距，这一管理环节是（ C ）。 A．领导 B．组织 C．控制 D．协调 12．以下列举了现场控制必备的条件，除了（ D ）项。 A．较高素质的管理人员 B．下属人员的积极参与C．适当的授权 D．部门的明确划分 13．即时控制通常又被称作（ D）。 A．前馈控制 B．反馈控制C．作业控 制 D．现场控制 14．在集中控制中，信息处理、偏差检测、纠偏措施的拟定等都是由（ A）统一完成的。 A．控制中心B．最高决策层 C．中级管理 层 D．监督机构 15．将组织管理系统分为若干相对独立的子系统，每一个子系统独立地实施内部直接控制，这就是（ B）。 A．分散控制B．分层控制C．集中控 制 D．内部控制 16．控制活动过程中，管理人员所在的部门、所处的管理层次不同，实施控制的主要任务也不尽相同。一般来说，（ A）主要从事例行的、程序性的控制活动。 A．高层管理人员B．中层和基层管理人员C．重点部门管理人员D．科研部门管理人员 17．一个组织的全部行为活动构成控制的（ B）。 A．目的 B．客体 C．媒体 D．主体 18．控制系统是指由（D ）组成的具有自身目标和功能的管理系统。 A．控制主体、控制客体和控制载体B．控制实体、控制客体和控制媒体 C．控制主体、控制客体和控制目的 D．控制主体、控制客体和控制媒体 19．控制应当从实际目标出发，采用各种控制方式达到控制目的，不能过分依赖正规的控制方式，也要采用一些能随机应变的控制方式和方法。这就是控制的（B ）。 A．随机性原则B．灵活性原则C．多变性原 则D．弹性原则

固体物理--能带理论

固体物理中关于能带理论的认识 摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的 概念更细致的把握。 关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定 引言 能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。 1 能带理论的假定 能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。 1.1 绝热近似 考虑到电子与核的质量相差悬殊。可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。 1.2 平均场近似 因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。 1.3 周期场假定 薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。代表一种平均势能，应是恒量。因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。 2 电子的共有化运动 我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定

固体能带理论综述

半导体物理学 ——固体能带理论综述 班级：材料物理081401 姓名：薛健 学号：200814020122

固体能带理论综述 摘要:本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论,包络函数,近自由电子近似 一、引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 二、布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

第五章固体能带理论II5.3

5.3 晶体的能带结构 1 导体、半导体和绝缘体的能带解释 能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。 满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即 ()()k k -=n n E E (5.3.1) 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 - k 态具有相反的速度： ()()k k --=υυ (5.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。 即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。 根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。 本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。 在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm -3。是普通金属的10-5。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。 近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 ()k υq - (5.3.3) 而且 ()()[]0=-+k k I υq (5.3.4) 或 ()()k k I υq = (5.3.5)

固体的能带理论 习题

第五章 固体的能带理论 1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？ 解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。 2.周期场对能带形成是必要条件吗？ 解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。 3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？ 解：这是由于晶体中含有的总原胞数N 通常都是很大的，所以k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？ 解：对于在倒格矢h K 中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使)(k E 函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。

5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？ 解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。 7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。 解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。 准经典运动的基本公式有： 晶体电子的准动量为 k p η=； 晶体电子的速度为 )(1 k v k E ?= η； 晶体电子受到的外力为 dt d k F η= 晶体电子的倒有效质量张量为 β ααβk k E m ???=) (1122*k η； 在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： )(B v Εk ?+-=ηe dt d )(*B v Εv ?+-=m e dt d 8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？ 解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。 当满带顶附近有空状态k 时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q 和具有正质量*m 、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。 在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

固体能带理论综述

固体能带理论综述 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论包络函数近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的耦合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。