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第5章 整数规划(割平面法)

第5章 整数规划(割平面法)
第5章 整数规划(割平面法)

割平面法

求解整数规划问题:

Max Z=3x1+2x2

2x1+3x2≤14

4x1+2x2≤18

x1,x2≥0,且为整数

解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。从而有:

Max Z=3x1+2x2

2x1+3x2+x3=14

2x1+x2+x4=9

x1,x2≥0,且为整数

利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1:

表1

最优解为:x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4

根据上表,写出非整数规划的约束方程,如:x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)

将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即:

(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2

把整数及带有整数系数的变量移到方程左

边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得:

x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)

由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x2和x4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4≥0,所以必有:

1/2-(1/2x3+1/2x4)<1

由于(2)式右端必为整数,于是有:

1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)

x3+x4≥1 (4)

这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有:

2x1+2x2≤11 (5)

从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域,使点E(3.5,2)成为可行域的一个极点。

图1

在(3)式中加入松弛变量x5,得:

-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)

将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题:

Max Z=3x1+2x2

2x1+3x2+x3=14

2x1+x2+x4=9

-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2

x i 0,且为整数,i=1,2,…,5

该问题的求解可以在表1中加入(6)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2:

表2

由此得最优解为:x1=7/2, x2=2, z=58/4

该最优解仍不满足整数约束条件,因而需进行第二次切割。为此,从表2中抄下非整数解x1的约束方程为:

x1+x4-1/2x5 = 7/2

按整数、分数归并原则写成:

x1+x4-x5-3 = 1/2-1/2x5≤0 (7)

这就是一个新的割平面方程,用基变量来表示,得:

x1+x2≤5 (8)

在(7)中加入松弛变量x6,得:

-1/2x5+x6=-1/2 (9)

将(9)式增添到前一个问题的约束条件中去,得到又一个新的整数规划问题,对它求解可以在表2中加入(7)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表3:

表3

由此得最优解为:x1=4, x2=1,z=14。该最优解符合整数条件,因此也是原整数规划问题的最优解。

从图1中可以看出,由(8)式表示的割平面约束,不仅割去线性规划可行域中剩下的不含整数解域,而且使最优整数解x1=4, x2=1(即图2中的G点),成为新的线性规划可行域的一个极点。

图2

整数规划割平面法

割平面法 求解整数规划问题: Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2?14 4x 1+2x 2?18 x 1,x 2?0,且为整数 解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。从而有: Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9 x 1,x 2?0,且为整数 利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1: 表1

最优解为:x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4 根据上表,写出非整数规划的约束方程,如: x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即: (1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得: x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x 2和x 4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。又因为x 3,x 4?0,所以必有:

由于(2)式右端必为整数,于是有: 1/2-(1/2x 3+1/2x 4)?0 (3) 或 x 3+x 4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有: 2x 1+2x 2?11 (5) 从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域,使点E(3.5,2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x 5,得: -1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题: Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9

割平面法

题目:割平面法及其数值实现 院系:数理科学与工程学院应用数学系 专业:数学与应用数学 姓名学号:*** 1****** *** 1****** *** 1****** *** 1****** 指导教师:张世涛 日期:2015 年 6 月11 日

整数规划与线性规划有着密不可分的关系,它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系,如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法,研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法,分支定界法,小规模0-1规划问题的解法,指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。 割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底,直到求解出最有整数解。 关键词:最优化;整数规划;割平面法;数值实现;最优解;Matlab软件。 Abstract The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming. Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved. Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.

第五章 整数规划练习题答案教程文件

第五章整数规划练习 题答案

精品资料 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。( ) 2. 用割平面法求解整数规划时,构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( ) 3. 用割平面法求解纯整数规划时,要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( ) 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似,故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人,每人的作业产值如下表所示,为了使总产值最大,问 应如何分配这五项工作,并求得最大产值。 答案: 设原矩阵为A ,因求极大问题,令B=[M-a ij ],其中M=Max {a ij }=10,则: 16425105 3140 42132 510425 1042 4003B 13752102641015406241515130450203057470574704646111 -???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5 l m 44213421324324315415452352346464646=<===???? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ? ?? ? ? ? ???????0 3102340031 15406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 31234311546233535??? ?? ? ?→ ?? ? ??? m=5=n ,得最优解。解矩阵*00 01000100X 00 0010100010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。

整数规划(割平面法)

割平面法 求解整数规划问题: Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2?14 4x1+2x2?18 x1,x2?0,且为整数 解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。从而有:Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2?0,且为整数 利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1: 表1

最优解为:x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表,写出非整数规划的约束方程,如:x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即:(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得:x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x2和x4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4?0,所以必有: 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数,于是有: 1/2-(1/2x3+1/2x4)?0 (3) 或 x3+x4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有: 2x1+2x2?11 (5)

从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部 分区域,使点E,2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5,得: -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题: Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i?0,且为整数,i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2: 表2

分支定界法和割平面法

分支定界法和割平面法 在上学期课程中学习的线性规划问题中,有些最优解可能是分数或消失,但现实中某些 具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究。 整数规划有以下几种分类:(1)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就 称为纯整数规划或全整数规划;(2)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划; (3)整数规划还有一种特殊情形是0-1规划,他的变量取值仅限于0或1。本文就适用于 纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍。 一、分支定界法 在求解整数规划是,如果可行域是有界的,首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合,然后比较它们的目标函数值以定出最优解。对于小型问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也是有效的。而对于大型的问题,可行的整数组合数很大时,这种方法就不可取了。所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最有的整数解。分支定界法就是其中一个。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在二十世纪六十年代初 由Land Doig和Dakin等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界,记作z ;而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小z和增大z,最终求到z*。现用下例来说明:例1求解下述整数规划 Max z = 40x「90x2 9X1 7X2 -56 7X1 20X2 - 70 x1,x2 -0 且为整数 解(1)先不考虑整数限制,即解相应的线性规划B,得最优解为: 洛=4.81,x2= 1.82, z 二356 可见它不符合整数条件。这时z是问题A的最优目标函数值z*的上界,记作z。而X1=0, X2=0显然是问题A的一个整数可行解,这时z = 0,是z*的一个下界,记作z,即0w z*< 356。 (2)因为X1X2当前均为非整数,故不满足整数要求,任选一个进行分枝。设选X1进行分枝,于是对原问题增加两个约束条件: x, -〔4.81 丨-4“ 一〔4.811 1 =5 于是可将原问题分解为两个子问题B1和B2 (即两支),给每支增加一个约束条件并不影响问题

§3.2 Gomory 割平面法

§3.2 G o m o r y 割平面法 1、G o m o r y 割平面法的基本思想 ??? ?? ??≥=为整数向量x x b Ax t s x c T 0..min (P ) ?????≥=0..min x b Ax t s x c T (P 0) 称(P 0)为(P )的松弛问题。记(P )和(P 0)的可行区域分别为D 和D 0 , 则 (1)0D D ?; (2)若(P 0)无可行解,则(P )无可行解; (3)(P 0)的最优值是(P )的最优值的一个下界; (4)若(P 0)的最优解 0x 是整数向量,则 0x 是(P )的最优解。 基本思想: (1)用单纯形法求解松弛问题(P 0),若(P 0)的最优解 0x 是整数向量, 则 0x 是(P )的最优解。计算结束。 (2) 若(P 0)的最优解 0x 不是整数向量,则对松弛问题(P 0)增加一个 线性约束条件(称它为割平面条件), 新增加的约束条件将(P 0)的行区域D 0割掉一块,且这个非整数向量 0x 恰在被割掉的区域内,而原问题(P )的任何一个可行解(格点)都没有被割去。记增加了割平面的问题为(P 1), 称(P 1)为(P 0)的改进的松弛问题。 (3)用对偶单纯形法求解(P 1),若(P 1)的最优解 1x 是整数向量,则 1x 是(P )的最优解。计算结束。否则转(2)

割平面的生成: 对给定的(P ), 用单纯形法求解它的松弛问题(P 0),得到(P 0)的最优基 本可行解 0x ,设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=, m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量,记基变量的下标集合为 S ,非基变量的下标集合为 S 。则松弛问题(P 0)的最优单纯形表为 ∑∈=+S j j j z x z 0ξ m i b x a x S j i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈ (3.2.1) 为了使符号简便,令 000,,0z b a z x j j B ===ξ。如果 m i b i ,,1,0,Λ= 全 是整数,则 0x 是(P )的最优解。计算结束。否则至少有一个 l b 不是整数 )0(m l ≤≤,设 l b 所对应的约束方程为 , ∑∈=+S j l j lj B b x a x l (3.2.2) 用 ][a 表示不超过实数 a 的最大整数,则 ,][, , ][l l l lj lj lj f b b S j f a a +=∈+= (3.2.3) 其中,lj f 是 lj a 的分数部分,有 S j f lj ∈<≤,10, l f 是 l b 的分数部分, 有 .10<≤l f 由于在(3.2.2)中的变量是非负的,因此有 ∑∑∈∈≤S j j lj S j j lj x a x a ][ (3.2.4) 所以由(3.2.2)得 , ][∑∈≤+S j l j lj B b x a x l (3.2.5) 因为在ILP 中 x 限制为整数向量,故(3.2.5)的左端为整数,所以右端用 l b 的整数部分去代替后,(3.2.5)式的不等式关系仍成立,即

分支定界法详解

1、概念: 分支定界算法(Branch and bound,简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的,我们将原问题看作搜索树的根节点,从这里出发,分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。大问题可以看成是搜索树的父节点,那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界,如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解,那么砍掉这一支。直到所有子问题都不能产生一个更优的解时,算法结束。 2、例子: 用BB算法求解下面的整数规划模型 因为求解的是最大化问题,我们不妨设当前的最优解BestV为-INF,表示负无穷。 1.

首先从主问题分出两支子问题: 通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75,Z_LP2 = 12.2。由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF,说明这两支有搞头,继续往下。 2. 3.

从节点1和节点2两个子问题再次分支,得到如下结果: 子问题3已经不可行,无需再理。子问题4通过线性松弛得到最优解为10,刚好也符合原问题0的所有约束,在该支找到一个可行解,更新BestV = 10。 子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10,因此子问题5还有戏,待下一次分支。而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10,那么从该支下去找到的解也不会变得更好,所以剪掉! 4.

对节点5进行分支,得到: 子问题7不可行,无需再理。子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解,但是目标值为4<当前的BestV=10,所以不更新BestV,同时该支下去也不能得到更好的解了。 6.

第五章 整数规划练习题答案

第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时,构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时,要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似,故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人,每人的作业产值如下表所示,为了使总产值最大,问 应如何分配这五项工作,并求得最大产值。 工作 工人 A & B C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 ; 5 3 6 3 答案: 设原矩阵为A ,因求极大问题,令B=[M-a ij ],其中M=Max {a ij }=10,则: 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 64 10 154062415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ?? ? 31234311546233 5 3 5? ?? ?? ? ?→ ?? ? ?? ? m=5=n ,得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101 00010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。

第章整数规划割平面法

第章整数规划割平面法 This manuscript was revised on November 28, 2020

割平面法 求解整数规划问题: Max Z=3x1+2x2 2x1+3x214 4x1+2x218 x1,x20,且为整数 解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。从而有:Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x20,且为整数 利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1: 表1

最优解为:x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表,写出非整数规划的约束方程,如:x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即:(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得: x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x2和x4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。又因为x3,x40,所以必有: 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数,于是有: 1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3) 或 x3+x41 (4)

这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有: 2x1+2x211 (5) 从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域,使点E,2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5,得: -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题: Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i 0,且为整数,i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2: 表2

割平面法求解整数规划问题实验报告

运筹学与最优化MATLAB 编程 实验报告 割平面法求解整数规划问题 一、 引言: 通过对MATLAB 实践设计的学习,学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上,对实际问题建立数学模型并设计程序,使用割平面法解决一个整数规划问题。经实验,该算法可成功运行并求解出最优整数解。 二、 算法说明: 割平面法有许多种类型,本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划,再选择一个不是整数的基变量,定义新的约束,增加到原来的约束中,新的约束缩小了可行域,但是保留了原问题的全部整数可行解。 算法具体设计步骤如下: 1、首先,求解原整数规划对应的线性规划 ,*)(min x c x f =???≥≤0 ..x b Ax t s ,设最优解为x*。 2、如果最优解的分量均为整数,则x*为原整数规划的最优解;否则任选一个x*中不为整数的分量,设其对应的基变量为x p ,定义包含

这个基变量的切割约束方程con j j ij p b x r x =+∑,其中x p 为非基变量。 3、令][ij ij ij r r r -=,][con con con b b b -=,其中[]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为 ∑∑-=-+j j ij con con j j ij p x r b b x r x ][][,由于0

第五章 整数规划练习题答案

第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时,构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时,要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似,故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人,每人的作业产值如下表所示,为了使总产值最大,问 应如何分配这五项工作,并求得最大产值。 工作 工人 A B C D E 甲 9 4 6 8 5 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 5 3 6 3 答案: 设原矩阵为A ,因求极大问题,令B=[M-a ij ],其中M=Max {a ij }=10,则: 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 6410 1540 62 415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ???

分支定界法和割平面法

分支定界法和割平面法 在上学期课程中学习的线性规划问题中,有些最优解可能是分数或消失,但现实中某些具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究。 整数规划有以下几种分类:(1)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就称为纯整数规划或全整数规划;(2)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划;(3)整数规划还有一种特殊情形是0-1规划,他的变量取值仅限于0或1。本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍。 一、分支定界法 在求解整数规划是,如果可行域是有界的,首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合,然后比较它们的目标函数值以定出最优解。对于小型问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也是有效的。而对于大型的问题,可行的整数组合数很大时,这种方法就不可取了。所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最有的整数解。分支定界法就是其中一个。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A ,与它相应的线性规划为问题B ,从解问题B 开始,若其最优解不符合A 的整数条件,那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z *的上界,记作z ;而A 的任意可行解的目标函数值将是z *的一个下界z 。分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小z 和增大z ,最终求到z *。现用下例来说明: 例1 求解下述整数规划 219040Max x x z += ??? ??≥≥+≤+且为整数0,7020756792 12121x x x x x x 解 (1)先不考虑整数限制,即解相应的线性规划B ,得最优解为: 124.81, 1.82,356 x x z === 可见它不符合整数条件。这时z 是问题A 的最优目标函数值z *的上界,记作z 。而X 1=0,X 2=0显然是问题A 的一个整数可行解,这时0=z ,是z * 的一个下界,记作z ,即0≤z *≤356 。 (2)因为X 1X 2当前均为非整数,故不满足整数要求,任选一个进行分枝。设选X 1进行分枝,于是对原问题增加两个约束条件: [][]114.814, 4.8115 x x ≤=≥+= 于是可将原问题分解为两个子问题B 1和B 2(即两支),给每支增加一个约束条件并不影响问题A 的可行域,不考虑整数条件解问题B 1和 B 2 ,称此为第一次迭代。得到最优解

分支定界法

整数线性规划之分支定界法 摘要 最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。1947年,Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法,即单纯形算法,随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展,以及信息革命的不断深化,到现在的几十年时间里,它有了很快的发展。目前,求解各种最优化问题的理论研究发展迅速,例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等,各种新的方法也不断涌现,并且在军事、经济、科学技术等方 面应用广泛,成为一门十分活跃的学科。 整数规划(integer programming)是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划,实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。 关键词:整数线性规划;分支定界法;matlb程序;

1.引言 1.1优化问题发展现状 最优化理论与算法是一个重要的数学分支,它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如,在工程设计中,选择怎样的设计参数,才能使设计方案既满足要求又能降低成本;在资源分配中,资源有限时怎样分配,才能使分配方案既可以满足各方面的要求,又可以获得最多的收益;在生产计划安排中,怎样设计生产方案才能提高产值和利润;在军事指挥中,确定怎样的最佳作战方案,才能使自己的损失最小,伤敌最多,取得战争的胜利;在我们的生活中,诸如此类问题,到处可见.最优化作为数学的一个分支,为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法. 最优化是个古老的课题.长期以来,人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末,Dantzig 提出了单纯形法,有效地解决了线性规划问题,从而最优化成为了一门独立的学科。目前,有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究,实际应用中还有待进一步的完善。传统的非线性全局最优化方法只能求出问题的局部最优解,但由于许多问题的局部最优解不一定是全局最优解,使得传统的非线性最优化方法不能直接成功地应用于求解非线性全局最优化问题。另外,没有一个固定的评判标准来判断得到的局部最优解是否为全局最优解。随着科学技术的发展和计算机计算能力的提高,最优化理论在最近这几年来得到了迅速的发展,涌现出了许多新的算法, 如打洞函数法,填充函数法,lagrangian 乘子函数方法,信赖域方法,虑子方法等。 本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。 1.2整数线性规划及其数学模型 整数规划主要有以下三大类: (1)全整数规划(all integer programming):所有的决策变量都取整数值,也称为纯整数规划(pure integer programming); (2)混合整数规划(mixed integer programming):仅要求一部分决策变量取整数值; (3)0-1规划(zero-one integer programming):该类问题的决策变量只能取0或1. 本文主要讨论的整数线性规划问题模型为:

简单介绍分支界定法与割平面法

缺点: 某些变量要求整数 不能运用到对数,指数函数中 分支界定法: 分枝定界法是一个用途十分广泛的算法,运用这种算法的技巧性很强,不同类型的问题解法也各不相同。分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解(数目有限)空间进行搜索。该算法在具体执行时,把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集(称为分支),并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界(称为定界)。在每次分支后,对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样,解的许多子集(即搜索树上的许多结点)就可以不予考虑了,从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止,该可行解的值不大于任何子集的界限。 分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题 割平面法: 它的基本思想和分枝界定法基本上一致,首先不考虑变量的整数约束,利用单纯形法求解出线性规划的最优解,如果得到的解是整数那么这个最优解就是原来问题的最优解,如果最优解不是整数解,则就用一张平面将原来的含有最优解的非整数点但不包含整数可行解的点的那一部分可行域切割掉,也就是在原来的整数线性规划的基础上增加适当的线性约束不等式,这个约束不等式就叫切割不等式当其取等号时就是割平面了。此后,继续解这个新得到的整数线性规划,如果得到的新最优解是整数,运算就停止,如果不是整数则继续增加适当的线性约束不等式,直到求出的解满足最优整数要求为止。 通过构造一系列平面来切割掉不含有任何整数可行解的部分,最终获得一个具有整数坐标的顶点的可行域,而该顶点恰好是原整数规划的最优解。割平面法的关键在于,如何构造切割不等式,使增加该约束后能达到真正的切割而且没有切割掉任何整数可行解。 单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解,直到检验数满足最优性条件为止。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解,直到检验数满足最优性条件为止。

割平面法Gommoy

割平面法Gommoy 算法步骤: ① 求解原整数规划对应的线性规划 min f(x)=cx, .?? ?≥≤为整数xi x b A t s x .0.,设最优解为x*. ② 如果最优解的分量均为整数,则x*为原整数规划的最优解:否则任选一个x*中不是整数的分量,设其对应的基变量为x p ,,定义包含这个基变量的切割约束方程∑=+j com j ij b x r p x ,其中x j 为非基变量. ③ 令][b b b ],[r com com com ij ij ij r r -=-=,其中[]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数. 将切割约束方程变换为∑∑-=-+j j ij j j ij p x r x r x com com b ][b ][,由于10,1r 0<≤<≤c o m ij b ,所以有∑-j ij com x r b <1,因为自变量为整数,则∑-j ij com x r b 也为整数,所以进一步有∑-j ij com x r b <=0. ④ 将切割方程加入约束方程中,用对偶单纯算法求解线性规划 ??? ????≥≤-≤=∑00b b Ax .,)(min com x x r t s cx x f j j ij ,转 . 算法MATLAB 实现 代码: function [intx,intf]=Gomory(A,c,b,base) %约束矩阵:A; %目标函数系数向量:c %约束右端向量:b %初始基向量base %目标函数取最小化时的自变量值:x %目标函数的最小值:minf sz=size(A); nVia=sz(2); n=sz(1); xx=1:nVia; if length(base)~=n disp('基变量的个数要与约束矩阵的行数相等!'); mx=NaN;

割平面算法简介

割平面法在纯整数规划中的应用 1、摘要: 割平面法是整数规划问题中常用的一种重要方法。割平面法解整数规划问题的基本思路是:首先根据单纯形法,画出单纯形表格,利用迭代法求出不考虑整数约束条件时的松弛问题的最优解,如果得到的解是整数则即为问题的整数解,运算停止。但是在大多数情况下得到的解不完全是整数,其中会出现非整数的形式,也就是这个松弛问题的最优解中存在某个或者某几个基变量为非整数的形式,这就需要进一步的运算:从最优表格中提取出关于非整数基变量的约束等式,再从这个约束等式出发构造出一个割平面方程添加到原来的约束条件中去,再进行单纯形表格的迭代运算,求出最优解,如果得到的最优解是整数则即为所要求的问题的最优解,运算停止。如果得到的解仍然不完全是整数,就需要继续进行运算,重复以上步骤,一直求解出满足条件的最优解则运算停止。这就是割平面法的整数求解的一般步骤。 Cutting plane method which is used in an integer programming problem is a kind of important method. Cutting plane method solution in integer programming problem is the basic train of thought: first according to the simplex method, draw the simplex form, using iterative algorithm to find the integer constraint conditions do not consider the relaxation of the optimal solution of the problem, given the solution is for the problem that is the integer solutions, stop operations. But in most cases the

分支定界

1、分支限界法 (1)描述:采用广度优先产生状态空间树的结点,并使用剪枝函数的方法称为分枝限界法。 所谓“分支”是采用广度优先的策略,依次生成扩展结点的所有分支(即:儿子结点)。 所谓“限界”是在结点扩展过程中,计算结点的上界(或下界),边搜索边减掉搜索树的某些分支,从而提高搜索效率。 (2)原理:按照广度优先的原则,一个活结点一旦成为扩展结点(E-结点)R后,算法将依次生成它的全部孩子结点,将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子舍弃,其余儿子加入活结点表中。然后,从活结点表中取出一个结点作为当前扩展结点。重复上述结点扩展过程,直至找到问题的解或判定无解为止。 (3)分支限界法与回溯法 1)求解目标:回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 2)搜索方式的不同:回溯法以深度优先的方式搜索解空间树,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。 (4)常见的分支限界法

1)FIFO分支限界法(队列式分支限界法) 基本思想:按照队列先进先出(FIFO)原则选取下一个活结点为扩展结点。 搜索策略:一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。再从活结点表中取出队首结点(队中最先进来的结点)为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。 2)LC(least cost)分支限界法(优先队列式分支限界法) 基本思想:为了加速搜索的进程,应采用有效地方式选择活结点进行扩展。按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。 搜索策略:对每一活结点计算一个优先级(某些信息的函数值),并根据这些优先级;从当前活结点表中优先选择一个优先级最高(最有利)的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。再从活结点表中下一个优先级别最高的结点为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。 (5)分支限界法搜索应用举例 1)0-1背包问题,当n=3时,w={16,15,15},p={45,25,25},c=30

整数规划

第五章整数规划 一、填空题 1.用分枝定界法求极大化的整数规划问题时,任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的()。 2.在分枝定界法中,若选Xr=4/3进行分支,则构造的约束条件应为()。 3.已知整数规划问题P0,其相应的松驰问题记为P0’,若问题P0’无可行解,则问题P。()。 4.在0 - 1整数规划中变量的取值可能是()或()。 5.对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题,其解中取值为1的变量数为()个。 6.分枝定界法和割平面法的基础都是用()求解整数规划。 7.若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时,得到最优单纯形表中,由X。所在行得X1+1/7x3+2/7x5=13/7,则以X1行为源行的割平面方程为()。 8.在用割平面法求解整数规划问题时,要求全部变量必须都为()。 9.用()求解整数规划问题时,若某个约束条件中有不为整数的系数,则需在该约束两端扩大适当倍数,将全部系数化为整数。 10.求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是()。 11.求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是()。 12.在应用匈牙利法求解分配问题时,最终求得的分配元应是()。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为()个. 二、单选题 1.整数规划问题中,变量的取值可能是()。 A.整数B.0或1C.大于零的非整数D.以上三种都可能 2.在下列整数规划问题中,分枝定界法和割平面法都可以采用的是A()。 A.纯整数规划B.混合整数规划C.0—1规划D.线性规划 3.下列方法中用于求解分配问题的是()。 A.单纯形表B.分枝定界法C.表上作业法D.匈牙利法 三、多项选择

分支定界法

以下内容基本为转载内容: 1. 模型 整数规划的模型与线性规划基本相同,只是额外的添加了部分变量为整数的约束。 2. 求解步骤 整数规划求解的基本框架是分支定界法(Branch and bound,BnB)。首先去除整数约束得到“松弛模型”,使用线性规划的方法求解。若有某个变量不是整数,在松弛模型上分别添加约束: x<=floor(A) 和 x>=ceil(A) 然后再分别求解,这个过程叫做分支。当节点求解结果中所有变量都是整数时,停止分支。这样不断迭代,形成了一棵树。 定界,指的是叶子节点产生后,相当于给问题定了一个下界。 之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界,那就直接pass,不用再进行分支了;每次新产生叶子节点,则更新下界。 3. python算法实现 import mathfrom scipy.optimize import linprogimport sys def integerPro(c,A,b,Aeq,beq,t=1.0E-12): res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq) if(type(res.x)is float):#produces error code bestX=[sys.maxsize]*len(c) else: bestX=res.x bestVal=sum([x*y for x,y in zip(c,bestX)]) if all(((x-math.floor(x))t and (math.ceil(x)-x)>t][0] newCon1=[0]*len(A[0])

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