立体几何1

2013-2014学年度???学校3月月考卷

1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是变长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）

2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）

(2) (3) (4)

A ．外接球的半径为33

B ．表面积为731++

C ．体积为3

D ．外接球的表面积为4π

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

Ａ．1 B ．13 Ｃ．12 D ．32

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

5．在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图分别如图所示，则相应的侧(左)视图可以为 ( )．

6．在空间中，有下列命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。 其中正确的命题个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若//αβ，m α?，n β?，则//m n ；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；

③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．

命题的序号是（ ）A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③ 8．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的( )． 31

11正视侧视

俯视

(8) (9)

A ．BC ∥平面PDF

B ．DF ⊥平面PAE

C ．平面PDF ⊥平面ABC

D ．平面PA

E ⊥平面ABC

9．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为

2π，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )．A. 6

3 B. 12 C. 155 D. 32

10．已知集合A B C 、、，且A ={直线}，B ={平面}，

C A B =，若,,a A b B c C ∈∈∈，有四个命题①////;//a b a c c b ????②//;a b a c c b ⊥???⊥?③//;a b a c c b ??⊥?⊥?④;//a b a c c b ⊥??⊥??其中所有正确命

题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．②④ D ．④

11．已知直线l ，平面α.则“l α⊥”是“?直线m α?，l m ⊥”的（ ）条件

（A ）充分而不必要（B ）必要而不充分（C ）充要 D 既不充分也不必要

12．在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33

-，若,,,S A B C 都在同一球面上，则该球的表面积是 .

13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为92

π，则正方体的棱长 14．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径

的球的表面积为________．

15．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在直线BC 1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥AD 1PC 的体积不变；②直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③二面角P-AD 1-C 的大小不变．其中真命题的序号是________．

16．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是_____(把正确结论的序号都填上)． ①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥平面CB 1D 1；③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2.

17．如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.

17. 18.19.

(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；

(2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BF BE

的值． 18．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM ∥BC ，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．

（1）求证：PC ⊥AC ；

（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值；

（3）求点B 到平面MAC 的距离．

19．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14

AF AB =

．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC 1；

（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．

20．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．

20. 21.

（1）求证：DE ∥平面PBC ；

（2）求证：AB PE ⊥；

（3）求二面角A PB E --的大小．

21．如图，五面体中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥面ABEF ，且DA=1，AB//EF ，2,222

1====BE AF EF AB ，P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点．

（1）求证：PQ//平面BCE ；

（2）求证：AM ⊥平面ADF ；

（3）求二面角A-DF-E 的余弦值． E D

A

B C

P

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：由条件得直观图如图所示:正视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA 形成的投影为虚线.

考点：三视图.

2．B

【解析】

试题分析：观察三视图可知，该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为2，高为1，有一侧面是正三角形且垂直于底面，该几何体高为3，根据图中数据，另两侧面为腰长为2，底边长为2的等腰三角形，所以其表面积为2211212122(2)()237312222

??+???-+??=++，故选B. 考点：三视图，几何体的结构特征，几何体的体积与面积.

3．B

【解析】

试题分析：由三视图可得该几何体是一个四棱锥，底面是平行四边形，一条侧棱垂直于底面，所以根据三视图中的数据可得1111133

V =???=.选B. 考点：三视图，几何体的体积.

4．A

【解析】将三视图还原成直观图为：

上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V ＝2×2×4＋

12

×22×π×4＝16＋8π. 5．D

【解析】通过正(主)视图和俯视图可看出几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故选

D.

6．B

【解析】

试题分析：根据空间元素的位置可知①④正确，②③中两个面还有可能相交。故B 正确。 考点：空间线面、面面的位置关系。

7．A

【解析】

试题分析：若//αβ，m α?，n β?，则//m n 或,m n 互为异面直线，故①错误； 若m α⊥，//m β，则αβ⊥是真命题②正确；

若n α⊥，m α⊥，则//m n ，又n β⊥，所以m β⊥，③是真命题；

若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ相交或//αβ，所以如果m α⊥，那么m β⊥不一定成立，即④错误.

综上知选A.

考点：平行关系，垂直关系.

8．C

【解析】若平面PDF ⊥平面ABC ，则顶点P 在底面的射影在DF 上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故选C.

9．B

【解析】连接B 1C ，∴B 1C ∥A 1D ，

又∵A 1D 与BC 1所成的角为2

π. ∴B 1C ⊥BC 1，又AB ＝BC ＝2，∴长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，取B 1D 1的中点M ，连接C 1M ，BM ，

∴C 1M ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BM 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵AB ＝BC ＝2，

∴C 1M ＝2，BC 1＝22，

∴sin ∠C 1BM ＝

11C M C B ＝12. 10．D

【解析】

试题分析：因为且A ={直线}，B ={平面}，C A B =.c C ∈.所以c 表示直线或平面.当c 表示平面时////;//a b a c c b

????不成立，即直线a 可能在平面c 上，所以①不正确.若c 是直线

则//;a b a c c b ⊥???⊥?

不成立，直线a 与直线c 还有另两种都关系都可以.所以②不正确.同样若c 为直线//;a b a c c b

??⊥?⊥?不成立.显然D 是正确的.故选选D.

考点：1.集合的定义.2.线面的位置关系.3.分类的数学思想.4.集合与空间知识的交汇.

11．A

【解析】

试题分析：当l α⊥时，m α?，则l m ⊥；当?直线m α?，l m ⊥时，l α?或直线l 与平面α平行或直线l 与平面α相交但不一定垂直。所以“l α⊥”是“?直线m α?，l m ⊥”的充分不必要条件。故A 正确。

考点：1、线面垂直判定定理；2、线面位置关系。

12．π6

【解析】

试题分析：取AC 中点D ，连接SD BD ，，∵2AB BC ==，∴B D A C ⊥，∵2S A S C ==，

∴SD AC ⊥，AC ⊥平面SDB .∴SDB ∠为二面角S AC B --.在ABC ?中，AB BC ⊥，2AB BC ==，

∴=2AC .取等边SAC ?的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面ABC ，O 为外接球球心， ∴3=3ED ，二面角S AC B --的余弦值是33-，所以6cos 3EDO ∠=，22

OD =， ∴2263BO BD OD OA OS OC =

+====，∴O 点为四面体的外接球球心，其半径为62

，表面积为6π. 考点：三棱锥的外接球.

13．3

【解析】设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝92π，∴R 3＝278

，则

R ＝32

. 由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝

43R 2＝43×32?? ???

2＝3，∴a ＝3. 14．24π 【解析】设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322

.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝22326()22??+ ? ???＝6，S 球＝4π(6)2＝24π. 15．①③

【解析】①中，∵BC 1∥平面AD 1C ，∴BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离相等，所以体积不变，正确；②中，P 在直线BC 1上运动时，直线AB 与平面ACD 1所成角和直线AC 1与平面ACD 1所成角不相等，所以不正确；③中，P 在直线BC 1上运动时，点P 在平面AD 1C 1B 中，即二面角P-AD 1-C 的大小不受影响，所以正确

16．①②

【解析】①∵BD ∥B 1D 1，B 1D 1?平面CB 1D 1，∴BD ∥平面CB 1D 1；②∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1，又∵A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1；③∠C 1AC 为AC 1与平面ABCD 所成的角，tan ∠C 1AC ＝111

222CC CC AC CC ＝＝ 17．(1)见解析 (2) 12

【解析】

(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC.

因为平面ABCD ⊥平面BCE ，

平面ABC D∩平面BCE ＝BC ，AB ?平面ABCD ，

所以AB ⊥平面BCE.

因为CE ?平面BCE ，所以CE ⊥AB.

因为CE ⊥BE ，AB ?平面ABE ，BE ?平面ABE ，AB∩BE＝B ，

所以CE ⊥平面ABE.

因为CE ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE.

(2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF.

因为DE ∥平面ACF ，DE ?平面BDE ，平面ACF∩平面BDE ＝OF ，

所以DE ∥OF.

又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，

所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12

. 18．（1）详见解析；（2）；（3）2217

【解析】

试题分析：（1）先根据线面垂直的判定定理证PC ⊥平面ABC ，即可证得PC ⊥AC 。（2）用空间向量法求二面角。先过C 作BC 的垂线，建立空间直角坐标系，再求各点的坐标，和各向量的坐标，再根据向量垂直的数量积公式求面的法向量，但需注意两法向量所成的角和二面角相等或互补。（3）在（2）中已求出面MAC 的一个法向量n ，根据CB n d n

?=

可求其距离。 试题解析：解：（1）证明：∵PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，AB BC B =∴PC ⊥平面ABC ，∵AC ABC

?面∴PC ⊥AC ． 2分

（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P （0，0，z ），则．

． ∵，

且z ＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC 的一个法向量为=（x ，y ，1），则由

得得 ∴

．

平面ABC 的一个法向量为．

．

显然，二面角M ﹣AC ﹣B 为锐二面角，∴二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为． 8分

（3）点B 到平面MAC 的距离． 12分

考点：1线线垂直、线面垂直；2空间向量法解决立体几何问题。

19．（I ）详见解析；（II ）二面角E －BC 1－D 的余弦值为105

． 【解析】

试题分析：（I ）由于EF 与BD 在同一个平面内，显然考虑在ABB 1A 1这个平面内证明这两条直线平行，这完全就是平面几何的问题了.取AB 的中点M ，14

AF AB =，所以F 为AM 的中点，又因为E 为1AA 的中点，所以1EF A M .又,D M 分别为11,A B AB 的中点，1A D

BM ∴，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 为平行四边形，1AM BD ，EF BD ∴，由此可得EF 平面1BC D .

（II ）取AB 的中点M ，则MB 、MC 、MD 两两垂直，所以可以以M 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角E －BC 1－D 的余弦值.

试题解析：（I ）证明：取AB 的中点M ， 14AF AB =，所以F 为AM 的中点，又因为E 为1AA 的中点，所以1EF A M .

在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1A D BM ∴，且1A D BM =，

所以四边形1A DBM 为平行四边形，1

AM BD ， EF

BD ∴，又BD ?平面1BC D ，EF ú平面1BC D ， 所以EF 平面1BC D .

（II ）以AB 的中点M 为原点，分别以MB 、MC 、MD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示， z

y

x

E M D

A B A 1B 1C 1C F

则(1,0,0)B ，(1,0,1)E -，(0,0,2)D ，1(0,3,2)C ，

∴(1,0,2)BD =-，(2,0,1)BE =-，1(1,3,2)BC =-．

设面BC 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，面BC 1E 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 则由10,0,BD BC ??=???=??m m 得1111120,320,x z x y z -+=???-++=?

?取(2,0,1)=m ， 又由10,0,BE BC ??=???=??n n 得2222220,320,x z x y z -+=???-++=?

?取(1,3,2)=-n ， 则410cos ,||||558

?<>===?m n m n m n ， 故二面角E －BC 1－D 的余弦值为

105

． 12分 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量的应用；3、二面角.

20．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）60?

【解析】

试题分析：（1）先证DE//BC ，根据直线与平面平行的判定定理可证DE ∥平面PBC ；（2）连结PD ，则PD ⊥ AB ．再证DE ⊥ AB ．根据直线与平面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDE ，所以AB PE ⊥；（3）以D 为原点，直线AB,DE,DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角

坐标系，则PB =(1，0，3- )，PE =(0， 32

， 3-），求出平面PBE 的一个法向量1n ，由DE ⊥平面PAB ，可得平面PAB 的一个法向量为2(0,1,0)n =．最后根据向量的夹角公式求解即可.

试题解析：解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，

∴DE//BC ．

DE ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

∴DE //平面PBC ． 3分

（Ⅱ）连结PD ，

PA=PB ，

∴ PD ⊥ AB ． 4分

//DE BC ，BC ⊥ AB ，

DE ⊥ AB ． 5分

又 PD DE D = ，

∴AB ⊥平面PDE 6分

PE ?平面PDE ，

AB ⊥PE ． 7分

（Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，PD ⊥平面ABC ． 8分

如图，以D 为原点建立空间直角坐标系

∴B(1，0，0)，P(0，0，3)，E(0，

32，0) ， ∴PB =(1，0，3- )，PE =(0，

32

， 3-）． 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，

∴30,330,2

x z y z ?-=??-=??令3z = 得1(3,2,3)n =． 9分

DE ⊥平面PAB ，

∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =． 10分

设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知，121212||1cos cos ,2

n n n n n n θ?=<>==?，所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为60?． 12分

考点：1.直线与平面平行；2.直线与平面垂直的判定与性质；3.平面的二面角.

21．(1) 证明：见解析；（2）见解析；（3）66

. 【解析】

试题分析：(1) 证明：连接AC,根据四边形ABCD 是矩形，Q 是BD 的中点，从而Q 为AC 的中点，又在AEC ?中，P 是AE 的中点，得到PQ//EC ，即得证.

（2）通过确定22EM AB ==,及//EF AB ，得出四边形ABEM 是平行四边形.

进一步得出MAF ?S 是直角三角形且090MAF ∠=. AM AF ⊥.

又由MA DA ⊥，及=DA AF A ?，得到MA ADF ⊥面.

（3）通过以A 为坐标原点。以AM,AF,AD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 将问题转化成空间向量的坐标运算问题，解答过程较为常规，注意确定平面的法向量，研究其夹角的余弦得解.应注意结合图象，确定所求角余弦值的正负.

试题解析：(1) 证明：连接AC,因为四边形ABCD 是矩形，Q 是BD 的中点，所以，Q 为AC 的中点，又在AEC ?中，P 是AE 的中点，所以PQ//EC ， 因为,EC BCE PQ BCE ??∴面面，

PQ//面BCE . （2）因为M 是EF 的中点，所以，22EM AB ==, 又//EF AB ，所以，四边形ABEM 是平行四边形.

所以，//,2AM BE AM BE ==，

又2,22,AF MF ==所以，MAF ?S 是直角三角形且090MAF ∠=. AM AF ⊥.

又,DA ABEF AM ABEF ⊥?面面，所以，MA DA ⊥，由=DA AF A ?，

所以，MA ADF ⊥面.

（3）如图，以A 为坐标原点。以AM,AF,AD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.

则A （0,0,0），D （0,0,1），M （2,0,0），F （0,2,0）

可得(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)AM MF DF ==-=-.

设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0

0n MF n DF ??=???=??.

故220,20

x y y z -+=??-=?令1x =，则1y =，2z =，所以，(1,1,2)n =是平面DEF 的一个法向量. 因为，MA ADF ⊥面，所以，AM S 是平面ADF 的一个法向量. 所以，2101026cos ,6||||62

n AM n AM n AM ??+?+?<>===?. 由图可知，所求二面角是锐二面角，所以二面角A-DF-E 的余弦值是

66. 考点：平行关系，垂直关系，二面角的计算，空间向量的应用.

数学必修2立体几何第一章全部教(学)案

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一) 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学过程： 一、创设情景，揭示课题 1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？ 2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间围上研究过哪些？ 3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. 二、讲授新课：

1. 教学棱柱、棱锥的结构特征： ①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？ ②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？ ③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. →列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. ④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’ ⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？ ⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？ ⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征： ①讨论：圆柱、圆锥如何形成？ ②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. →列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法 ③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体. ④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体. 3.质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业20180

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 课时作业 A组——基础对点练 1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体 是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯 视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥B．①②③ C．④⑤⑥D．③④⑤ 解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B. 答案：B 2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A．8 B．4 3 C．4 2 D．4 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3. 答案：B 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A ．3 3 B ．2 6 C.21 D ．2 5 解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱 PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B. 答案：B 4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 2 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1 2 ×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 答案：D 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

立体几何知识点总结归纳

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的

平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B

重庆市永川中学高中数学第18周练习一(立体几何1)

立体几何（1） 1.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（B ） A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则 B ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则 C ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则 D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则 2.直三棱柱111ABC A B C -中，0 90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点， 1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（D ） A ．110 B ．25 C D 3.在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（D ） A ．23 B ．2 1 C ．33 D ． 63 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则 1AM MD + 5．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线 段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2. 其中正确的是_①② ______ 6.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__.8π __ 7,已知两异面直线a ，b 所成的角为π 3，直线l 分别与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取 值范围是________． [答案] [π6，π 2 ] 1． 若正四面体S —ABC 的面ABC 内有一动点P 分别到平面SAB 、平面SBC 、平面SAC 的距 离成等差数列，则点P 的轨迹是（A ）

最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)(1)

立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋23 3 二、填空题 6．在下列图的几何体中，有________个是柱体． 7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________． 三、解答题 9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积． 参考答案 1．C 2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.

苏教版数学高一【必修三】第一章《立体几何初步》单元测试

高中数学必修2《立体几何初步》单元测试一 一、填空题（每小题5分，共70分） 1. 如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ _ 块木块堆成。 2、给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为 3．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ?α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________。 4.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； （3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．． 的序号 （写出所有真命题的序号） 5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 . 6、已知二面角α—l —β为60°，若平面α内有一点A 到平面β的距离为3，那么A 在平面β内的射影B 到平面α的距离为 . 7、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为 8、以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于 .时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形。 9、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。 给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第1题图 主 视图 左视图 俯视图

2020高考数学大一轮复习第八章立体几何1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图练习(理)(含解析)

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图 [基础题组练] 1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的 中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB， AD，AC中( ) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD 解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB

解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚 线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C. 4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( ) 解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. 5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A. 5 B．2 2 C．3 D．2 3 解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.

空间向量与立体几何(1)s

立体几何与空间向量（1） 知识点1 空间向量的坐标运算 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k. 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求： (1)线段AB的中点坐标和长度； (2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．知识点2 证明线面的平行、垂直 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD 为平行四边形． 证明 知识点3 向量坐标的应用 棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是 平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心． (1)求证：B 1O 3⊥PA ； (2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长． 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1 ＝2，N 是AA 1的中点． (1)求BN 的长； (2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值． 解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则 知识点4 棱柱、棱锥和棱台 圆柱、圆锥、圆台和球 例1：如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何 体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称． A ' D ' B ' C '

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高中数学第一章立体几何初步1.1简单旋转体学案北师大版必修212250513

高中数学第一章立体几何初步1.1简单旋转体学案北师 大版必修212250513 [学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类. 【主干自填】 几种简单旋转体

【即时小测】 1．思考下列问题 (1)铅球和乒乓球都是球吗？ 提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义． (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？ 提示：它们的底面都不是圆，而是圆面． 2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥 C．球D．圆台 提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面． 3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误． 例1 有下列说法： ①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球． 其中正确的序号是________． [解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误． [答案]① 类题通法 透析球的概念 (1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆． (2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义． [变式训练1]下列命题： ①球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ②球面上任意三点可能在一条直线上； ③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面． 其中正确的命题序号为________． 答案③ 解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错； ②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确. 例2 下列命题： ①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱的任意两条母线平行； ④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥． 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行

1立体几何的基本概念.

高中数学总复习 立体几何的基本概念 【知识要点】 【基本概念】 一.空间几何体的结构特征 【棱柱、棱锥、棱台和多面体】 : 1.棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体: ①有两个面互相平行; ②其余各面都是四边形; ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行; 棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等; ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 .. 多边形 . ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 . 2.棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具有以下性质: ①底面是多边形;

②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形; ③平行于底面的截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方. 3.棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分. 由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥. 4.多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. 【圆柱、圆锥、圆台、球】 : 分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有: ①平行于底面的截面都是圆; ②过轴的截面(轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形; ③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 附表: 1. 几种常凸多面体间的关系

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

立体几何证明方法大全

（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行

两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。

公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论

立体几何1

空间几何体的结构及其三视图和直观图 一、选择题: 1.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是 2.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是 C .相等的线段在直观图中仍然相等 若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 5.—梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为 B.V2 A 3. F图所示的四个几何体，其中判断正确的是( (1)不是棱 柱 ⑵⑶⑷ B . (2)是棱 柱 (3)是圆 台 D . (4)是棱 锥 4.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是() ④正四棱锥 ①正方体②圆锥③三陵合 A .①② B .①③C.①④ D .②④ A ?角的水平放置的直观图不一定是角 B .相等的角在直观图中仍然相等 则原梯形的面积为( 1

二、填空题: 6.—正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 7 .已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为，则第三条侧棱长的取值范围是 三、解答题: + EC的最小值. 為】 9 .有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切, 各个顶点?求这三个球的半径之比. 家庭作业: 视图是 2 ?如果用□表示一个立方体，用逐表示两个立方体叠加，用 &已知正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为1 , P是AA i的中点, E是BB i上一点，如图所示，求PE （只填写序号）. 第三个球过这个正方体的 、选择题 i .如图，已知三棱锥的底面是直角三角形， 直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧 棱长为4,且垂直于底面，该三棱锥的正 表示三个立方体叠加，那么右图中有 4 A 3 C 4 D 2

第一章立体几何初步单元教学分析

必修2 第一章《立体几何初步》单元教学分析 （一）教材分析 2、本章节在整个教材体系中的地位和作用 本章教材是高中数学学习的重点之一，通过研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等，运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质，使学生建立空间概念，掌握思考空间几何体的分类方法，在认识空间点、直线、平面位置的过程中，进一步提高学生的空间想像能力，发展推理能力，通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察和实验，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用。本章内容在每年的高考中都必考，在选择题、填空题和解答题中均能出现，分值约20分左右，主要考查线、面之间的平行、垂直关系。 3、本章节的教学目标、数学思想、数学方法 通过对空间几何体的整体观察，使学生直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的判定与性质，能运用这些结论对有关空间图形位置关系的简单命题进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力。 4、本章节的教学重点、教学难点、教学特点： 本章的重点是空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定和性质。本章的难点是建立空间概念，培养学生的空间想象，空间识图能力。

立体几何1 单元测试

立体几何一 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8，12，则其对角线的长为 (A)3 (B)5 (C) 26 (D)29 2.在空间，下列命题中正确的个数为 ①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行； ③平行于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行； （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3.棱长为a 的正方体外接球的表面积为 22224.3.2..a D a C a B a A ππππ 4. 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．． 是 A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC 5.已知直线m 、n 、l 与平面βα,，给出下列六个命题： ①若;,,//m n n m ⊥⊥则αα②若.,//,βαβα⊥⊥则m m ③若m l m l //,//,//,//则βαβα ④若不共面与则点m l m A A l m ,,,?=??αα ⑤若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ⑥.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =?? 其中假命题有 A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6.设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ． l m l ⊥=?⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=?,,m C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ． αβα⊥⊥ ⊥m n n ,, 7.设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 A ．16 V B ．14 V C ．13 V D ．12 V 8.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有 ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等； ④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，

高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD 3 、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， （第2题图）

AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o A C B P

第一章空间几何体综合检测-附答案

第一章综合检测题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( ) A ．①是棱台 B ．②是圆台 C ．③是棱锥 D ．④不是棱柱 2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.12倍 B ．2倍 C.24倍 D.22倍 3．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( ) 4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

A ．长方体 B ．圆柱 C ．四棱锥 D ．四棱台 5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．无法确定 6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆 锥的体积( ) A ．缩小到原来的一半 B ．扩大到原来的2倍 C ．不变 D ．缩小到原来的16 7．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A ．1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍 8．(2011～2012·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )

A ．12πcm 2 B ．15πcm 2 C ．24πcm 2 D ．36πcm 2 9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．3 10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( ) A.32，1 B.23，1 C.32，32 D.23，32 11．(2011－2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的

立体几何1

高二数学单元练习一空间直线、平面 编者 bwx 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．三条直线交于一点，则它们可确定的平面个数是（）（A）1 （B）3 （C）6 （D）1或3 2．四个命题：（1）空间三直线两两平行，则三直线可确定3个平面。（2）空间三点可确定一个平面。（3）空间一直线和一点可确定一个平面。（4）A与B两点和直线l距离相等，则直线AB 和l确定一个平面。其中正确的命题个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）0 3．三个互不重合的平面将空间分成n部分，则n的值为（）（A）4，6，7（B）4，5，6，8（C）4，7，8（D）4，6，7，8 4．异面直线是指（）（A）分别在两个不同平面内的直线。（B）无公共交点的两直线。 （C）平面内的一直线与平面外的一直线。（D）不同在任何一个平面内的两直线。 5．正方体一面上的一对角线与正方体的棱可以组成的异面直线有（）（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对 6．分别与两条异面直线都相交的两条直线一定（）（A）不平行（B）不相交 （C）相交或平行（D）既不相交又不平行 7．正方体AC1中，直线BC1与AC所具有的关系是（）（A）相交且垂直（B）相交但不垂直 （C）异面且垂直（D）异面但不垂直 8．已知命题甲：点A、B、C、D不共面；命题乙：直线AB和CD不相交。则甲是乙的（） （A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 二、填空题（每小题4分，共32分） 9．△ABC三边所在直线分别交平面 于P、Q、R三点，则这三点位置关系是。10．和两条异面直线分别平行的两条直线的位置关系是。 11．正方体AC1中，M、N分别是B1C1及CC1的中点，则BM与DN所成的角是。12．正方体AC1中，AA1与CD所成的角是。 13．长方体AC1中，与AC1异面的棱共有条。A 14．不重合的两条直线与直线l都相交成等角， 则这两条直线的位置关系是。 15．过空间四点中的每两点连一条直线，M 则一共可有对异面直线。 16．一条直线上有两点与一平面距离相等，则该直线 与平面位置关系是。D 三、简答题（本大题共26分）E 17．如图，点E在CD上，点M在平面ABC上，C 画出DM与截面ABE的交点P。