(高考数学复习讲练3)函数的单调性、求函数解析式
个性化教学辅导教案
学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 阳丰泽
年级 高三 性别
男
教学课题 函数的单调性、求函数解析式
教学 目标 函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。 重点 难点
函数单调性的概念 函数单调性的判断和证明
课前检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
第 讲 函数的单调性、求函数解析式
1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下： （1）函数有几个要素？各是什么？
（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？
（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？
前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）
函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3
y x =又怎样？
知识点一：函数的单调性 1．单调函数的定义
（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有
12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质； （2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性； （3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：
①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数；
②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <．
【思考1】下图是定义在]5,5[-上的函数)(x f y =的图像，根据图像说出单调区间，以及在每一个区间上函数()y f x =的单调性。
解：函数)(x f y =的单调区间有
)2,5[--，)1,2[-，)3,1[，]5,3[，其中)(x f y = 在)1,2[-，]5,3[上是增函数， 在)2,5[--，)3,1[上是减函数。
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察
是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定 义进行证明。
【思考2】证明函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=
-=
， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->，
∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， ∴1
()f x x
=在(0,)+∞上是减函数。
说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x y 1
=在)0,(-∞上是单调递减的，并且在
),0(+∞上也是单调递减的，只能说)0,(-∞和),0(+∞是函数x
y 1
=的两个单调递减区间，不能说
)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
（2）通过观察图像，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正
确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法； （3）判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤： ①取值：在给定区间上任取两个值1x ，2x ，且12x x <；
②作差变形：作差12()()f x f x -，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；
③定号：判断上述差12()()f x f x -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。 2.讨论复合函数单调性的根据：设y =f （u ），u =g （x ），x ∈［a ，b ］，u ∈［m ，n ］都是单调函数，则y =f ［g （x ）］在［a ，b ］上也是单调函数.
（1）若y =f （u ）是［m ，n ］上的增函数，则y =f ［g （x ）］与u =g （x ）的增减性相同； （2）若y =f （u ）是［m ，n ］上的减函数，则y =f ［g （x ）］的增减性与u =g （x ）的增减性相反.
【例1】如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x +5在区间（
2
1
，1）上是增函数，求f （2）的取值范围. 【剖析】由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a +11，求f （2）的取值范围就是求一次函数y =－2a +11的值域，当然就应先求其定义域.
【例2】求函数y =x +
x
1
的单调区间. 【剖析】求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y =x 与y =x
1
的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f （x 2）－f （x 1）的正负.
【评述】解答本题易出现以下错误结论：f （x ）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f （x ）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
知识点二：求函数解析式 求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
1.待定系数法
【例3】（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ； （2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （4）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，求()F x ．
说明：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；
②基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。 2.配凑法与换元法
【例4】（1）已知2
()43f x x x =-+，(1)f x +；
（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．
说明：①已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；②已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法。 3.解方程组法
【例5】已知()f x 满足1
2()()3f x f x x +=，求()f x .
归纳：已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (-x )、f (1x
)等，必须根据
已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).
1．( 2006年湖南卷）“a =1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．（2006年陕西卷）已知函数2
()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A.12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()()f x f x = D.1()f x 与2()f x 的大小不能确定
3．（2006年天津卷）已知函数)(x f y =的图象与函数x
a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，
记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,2
1
[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．)2,1()1,0( C ．)1,21[ D ．]2
1,0(
4．如果函数f （x ）=x 2+2（a －1）x +2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是____________.
5．有几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y =
1
1
+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）.其中正确命题的序号是___________. 6.根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。
7.求下列函数解析式：
（1）已知2
(12)41f x x x +=--，求(34)f x -；
（2）已知()31f x x =-，()23g x x =+，求[()]f g x ，[()]g f x ； （3）已知()f x ax b =+(0)a ≠，且()98af x b x +=+，求()f x ； （4）已知二次函数()y f x =，满足当1
2
x =时有最大值25，且与x 轴交点横坐标的平方和为13，求()y f x =的解析式。
（5）已知()f x 是二次函数，且2(2)(31)1361f x f x x x ++=+-，求()f x ．
课后小结：1．单调函数的定义；2．根据函数单调性判断函数单调性的方法。3．待定系数法求函数解析式的一般方法；4．配凑法及换元法。
课堂检测听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________. 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；
教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________签字教学组长签字：学习管理师:
老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：
老师想知道的事情：
老师的建议：
《函数的单调性》参考答案
【例题讲解】
【例1】解二次函数f （x ）在区间（
2
1
，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x =21-a 或与直线x =21重合或位于直线x =21
的左侧，于是21-a ≤2
1，解之得a ≤2，故f （2）≥
－2×2+11=7，即f （2）≥7
【例2】解：首先确定定义域：{x |x ≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=x 2+
21x －x 1－11
x =（x 2－x 1）+2
121x x x x -=（x 2－x 1）（1－
211x x ），要确定此式的正负只要确定1－2
11
x x 的正负即可. 这样，又需要判断
2
11
x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.
（1）当x 1、x 2∈（0，1）时，1－
2
11
x x ＜0，∴f （x 2）－f （x 1）＜0，为减函数. （2）当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1－
2
11
x x ＞0，∴f （x 2）－f （x 1）＞0，为增函数. 同理可求（3）当x 1、x 2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x 1、x 2∈（－∞，－1）时，为增函数. 评述：解答本题易出现以下错误结论：f （x ）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f （x ）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
【例3】解：（1）由题意设 ()f x ax b =+，∵(0)5f = 且图象过点(2,1)-，
∴5
21
b a b =??
-+=? ?25a b =??=? ∴()25f x x =+．
（2）由题意设 2
()g x ax bx c =++，
∵(1)1g =，(1)5g -=，且图象过原点，
∴150a b c a b c c ++=??-+=-??=? ∴3
20a b c =??=-??=?
. ∴2
()32g x x x =-．
（3）由题意设 ()(2)(3)h x a x x =+-，
又∵(0)3h =-， ∴63a -=- 得1
2
a =
. ∴211()322h x x x =--．
（4）由题意设 2
()(1)2F x a x =++，又∵图象经过原点，
∴(0)0F =，∴20a += 得2a =-，
∴2()24F x x x =--．
【例4】解：（1）22(1)(1)4(1)32f x x x x x +=+-++=-．
（2）法一配凑法：2(1)(1)212f x x x x +=+--- 2
(1)41x x =+--.2
(1)4(1)3x x =+-++ ∴ 2
()43f x x x =-+．
法二换元法：令1x t +=，则1x t =-，22()(1)2(1)43f t t t t t =---=-+ ∴ 2()43f x x x =-+．
【例5】解：方程组法：1
2()()3f x f x
x += ①
把①中的x 换成1x ，得13
2()()f f x x x +=
②，
①2?-②得
33()6f x x x =-
, ∴1
()2f x x x =-
.
【课堂演练】
1．A 2．A 3．D 4．答案：a ≤－3 解析：对称轴x =1－a ，由1－a ≥4，得a ≤－3. 5．④ 解析：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =
1
1
+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ）， f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的. 6.略
【课后练习】 1．答案：B
2.解析：f （x ）是［0，1］上的增函数或减函数，故f （0）+f （1）=a ，即1+a +log a 2=a ?log a 2=－1，∴2=a
－1
?a =2
1
.选B.
3. 解析：首先作出函数y =|x |与g （x ）=x （2－x ）=－x 2+2x =－（x －1）2+1的图象（如图）利用图象分别确定其单调区间.y =|x |的增区间为［0，+∞),y =x （2－x ）单调增区间为（－∞,1].选
C.
（1） （2）
评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力.
4．解： 222()82(1)9f x x x x =+-=--+，222
()(2)(1)9.g x f x x ∴=-=---
令2
t x =，则函数()g x 可看作是由函数2
()(1)9f t t =--+与2
t x =复合而成的。
当(1,0)x ∈-时，函数2
t x =是减函数，且当(0,1)x ∈时，函数2()(1)9f t t =--+是增函数，从而()g x 是减函数，选C 。
5．C
6．解析：先求y =2x 的反函数，为y =log 2x ，∴f （x ）=log 2x ，f （4x －x 2）=log 2（4x －x 2）.令u =4x －x 2，则u ＞0，即4x －x 2＞0.∴x ∈（0，4）.又∵u =－x 2+4x 的对称轴为x =2，且对数的底为2＞1，∴y =f （4x －x 2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2） 7．解析：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u = 2－ax 在［0，
1］上应恒大于零.∴?
??>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.
8．解析：在共同定义域上任取x 1＜x 2，当f （x ）是单调递增，则f （x 1）－f （x 2）＜0，
g （x ）是单调递减，g （x 1）－g （x 2）＞0，∴F （x ）＝f （x ）－g （x ） F （x 1）－F （x 2）=f （x 1）－f （x 2）+g （x 2）－g （x 1）＜0
∴在共同定义域上是单调递增，同理可得当f （x ）是单调递减，g （x ）是单调递增时，F （x ）=f （x ）－g （x ）是单调递减．∴②③正确, 9．解：（1）设P （x ，y ）为函数h （x ）图象上一点，点P 关于A 的对称点为Q （x ′，y ′），
则有x ′=－x ，且y ′=2－y .
∵点Q （x ′，y ′）在f （x ）=m （x +x
1
）上，∴y ′=m （x ′+x '1）.
将x 、y 代入，得2－y =m （－x －x 1）,整理，得y =m （x +x
1
）+2.∴m =41.
（2）∵g （x ）=41（x +x
a
+1），设x 1、x 2∈（0，2］，且x 1＜x 2，
则g （x 1）－g （x 2）=
4
1
（x 1－x 2）·2121)1(x x a x x +-＞0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.
∴x 1x 2－（1+a ）＜0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立. ∴由1+a ＞x 1x 2≥4，得a ＞3.
课后练习 函数的单调性
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A.y =－x +1
B.y =x
C.y =x 2－4x +5
D.y =
x
2 2．（2004年湖北）函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为( )
A.
4
1
B.
2
1
C.2
D.4
3．（2003北京春，文8）函数f （x ）=|x |和g （x ）=x （2－x ）的递增区间依次是（ ）
A.（－∞，0]，（－∞，1]
B.（－∞，0]，［1，+∞)
C.［0，+∞)，（－∞，1]
D.［0，+∞），［1，+∞）
4．已知函数2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x （ ） A ．在区间（－2,0）上是增函数 B ．在区间（0,2）上是增函数 C ．在区间（－1,0）上是增函数 D ．在区间（0,1）上是增函数 5．（2006年北京卷）已知(31)4,1
()log ,1
a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.1(0,)3
C.11[,)73
D.1[,1)7
6．（2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y =f （x ）的图象与y =2x 的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f （4x －x 2）的递增区间是___________________.
7．函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是 。 8．设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有如下四个命题： ①若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递增； ②若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递增； ③若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递减；
④若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递减. 其中，正确的命题是
9．已知函数f （x ）=m （x +图象与函数h （x ）=+2的图象关于点A （0，1）对称.
（1）求m 的值；
（2）若g （x ）=f （x ）+间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；
人教版数学必修一函数的单调性与最大值
一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f()
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
人教版_数学Ⅰ_131函数的单调性
1 ” 课题：§ 1.3.1函数的单调性 教学目的：(i )通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意 义； (2 )学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3 )能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点：函数的单调性及其几何意义. 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程： 一、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 . f(x) = x ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 2. f(x) = -2x+1 ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 3. f(x) = x 2 ②在区间 _______________ 上，f(x)的值随 -* ----- 1 ----- ? -1 1 x y 」 lb 1 ■ -1 1 x -1 ■ y 」 1 1 --- ■ -1 1 x -1 y 小
-厂 着x 的增大而_________ ． ③在区间________________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而_________ ． 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1 , X2,当X1VX2时，都有f(x 1) 证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思 基础梳理 1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数． 例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____. 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]． 例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____. 3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________, 基础梳理 1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞) 思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？ 1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数． 2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？ 2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评 1．下列结论正确的是() 证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：设－1 所以， 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.3.1 函数的单 调性教案新人教版必修1 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 艾宾浩斯记忆遗忘曲线、连一连 (2)下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数x y x y x y x y 1,,2,22= =+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数2+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． (2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大，在)0,(-∞上y 随x 的增大而 函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研 函数的单调性证明 一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数． 8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数． 10．已知函数f（x）=x+． （Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围． 11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性． 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 15．求函数f（x）=的单调增区间． 16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 18．求函数的定义域． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x． 20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 21．求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x） 《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性． 3．教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证． 二、学生学情分析 1．教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 三、课堂教学目标 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法． 2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度． 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念． 3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越． 4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践． 五、教学过程 （一）创设情境，引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请 《函数单调性》教案 教学目标 (1)知识与技能目标： ①理解函数单调性的概念； ②能指出一些简单基本初等函数的单调区间。 (2)过程与方法： 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，理解单调性概念的形成过程，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想。(3)情感态度与价值观： 通过对单调性的研究和应用培养学生对数学知识形成实事求是的科学态度和勇于探索敢于创新的钻研精神；领会局部与整体的辨证关系，崇尚数学的理性精神。 教学重点：函数单调性概念的理解及应用 教学难点：函数单调性的判定与证明 授课类型：新授课 课时安排：2课时;第一课时：单调性的概念与判定；第二课时：单调性的应用 教学方法：讨论、讲授 教学过程 一、创设情景，引入课题 1、课件演示：展示已绘制的NBA球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表 赛季赛季 注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。 问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？ 2、分析一组成语： 蒸蒸日上一落千丈跌宕起伏 3、能否用图象表示以上成语？ (二)、归纳探索、形成概念问题1：画出下列函数的图象，并且观察当自变量X 变化时，函数值有什么变化规律？ (1) y=x+1 (2) y=-x+1 （1）当自变量x 增大时，因变量y 也增大，图象呈上升趋势 （2）当自变量x 增大时，因变量y 反而减小，图象呈下降趋势 问题2：下图是函数)0(2 >+=x x x y 的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结 说课教案 课题：函数的单调性 一、教材分析 本课题选自，人民教育出版社，全日制普通高级中学教科书（必修1）第一章第三节，共一课时。 从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础。 《必修一》函数的单调性是函数的重要性质．作为学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用． 二、教学目标 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标： （一）知识与技能 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义。 2、会根据函数的图像判断函数的单调性。 3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数。 （二）过程与方法 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 （三）情感与态度 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论证的良好习惯 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。 三、教学重、难点 根据以上的教学目标，本节课的重点是函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。 四、学法 在学法上我重视：让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 2020年精品试题 芳草香出品 课时作业 A 组——基础对点练 1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴 的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( ) A ．f (0) 解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝sin (－π2)2e －π2＝－12e π2＜0，排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝sin (－π4)2e －π4 ＝－24e π4＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4 )时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2 )时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A. 答案：A 5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，322 ] B ．(0，322) C ．(－∞，322) D ．(－∞，322 ] 解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成 立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤ (3x ＋6x )min ，又3x ＋6x ≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x ，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322 . 答案：C 6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( ) A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2) B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3) C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3) D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2) 解析：设F (x )＝f (x )ln x 2，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2 ＝f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2) 2＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故f (e )ln e 2＜f (e 2)ln e 4＜f (e 3)ln e 6，即f (e )2＜f (e 2)4＜f (e 3)6 ，所以6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)．选B. 答案：B 7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1证明函数单调性的方法总结
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2020版文数(北师大版)练习：第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性