高考数学复习点拨 椭圆的第二定义

椭圆的第二定义

课本上我们学习了椭圆的定义，实际上，还有另一个反映椭圆性质的定义，我们称它为第二定义，这篇文章将会为你介绍它．

1．椭圆的第二定义的推导

点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2

:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a >>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????==??????

|，由此得22

2

()x c y c a a x c

-+=-．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-． 设222a c b -=，就可化成22

221(0)x y a b a b

+=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆． 由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a

=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．

对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2

a x c

=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2

a x c

=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

2．第二定义的应用

例 已知椭圆22

143

x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的

值最小，求M 的坐标．（如图）

分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算

最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距

离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．

解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．

由椭圆方程可知1212a b c e ===

，，． 根据椭圆的第二定义，有112MF

MM =，即112

ME MM =． 12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．

由方程组2234121x y y ?+=?=-?，，

解得1M ?-????．即M

的坐标为1?-????．