量子力学教案7
第七章 自旋
在较强的磁场下（∽T 2
10
），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应
的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽1T ）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
当然，自旋是Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。 §7.1 电子自旋存在的实验事实
（1）Stern-Gerlach 实验（1922年）
当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当
原子具有磁矩μ，那在磁场中的附加能量为 αμμcos B B U -=?-=
如果经过的路径上，磁场在z 方向上有梯度，即不均匀，则受力
dz
dB cos U F α
μ=-?= 从经典观点看αcos 取值（从11--）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值
dz dB μ- — dz
dB
μ
所以原子分裂成一个带。
但Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（47z =）基态0l =，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子
本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩s μ，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。
（2）电子自旋存在的其他证据 A ．碱金属光谱的双线结构
钠原子光谱中有一谱线，波长为5893?，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。
93.5895D 1=? 95.5889D 2=?
这一事实，从电子仅具有三个自由度是无论如何不能解释的。 B ．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect ）
原子序数z 为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数
为偶（如钠1D 和2D 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。
C ．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为
B 2e μ
，而是B 2e g D
μ
。
对于不同能级，D g 可能不同，而不是简单为1 (D g 称e Land 'g 因子)。
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck ）（乌伦贝克）和S.Goudsmit （古德斯密特）提出假设
① 电子具有自旋S ，并且有内禀磁矩s μ，它们有关系 S m e e
s -=
μ ② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值2
±
，所以 e z m 2e
=μ e
z z m e S -=μ， 以
e
m 2e
为单位，则2g s -=（而1g e -=）
∴ 自旋的回磁比为 2g s -=
现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正
0023192.2)21(2g s -=++
-= π
α
§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量
既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取z ,y ,x ，还应有第四个
变量z S ，相应算符为z
S ?。 （1）电子的自旋算符和它的矩阵表示
由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩 S m e e
-
=μ 所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，2g s -=）。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来刻划它。于是我们假设：自旋算符S 有三个分量i S ，并满足角动量所具有的对易关系。
A. 对易关系
k ijk j i S i ]S ,S [ε =
B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值, 2
±
，所以 22z
2y 2x 4
1
S ?S ?S ? === 于是 222)2
1
1(2143S
? +== 是一常数 C. 矩阵形式
由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以z y x S ?,S ?,S ?可
用22?矩阵表示。
1．若选z S ?作为力学量完全集，即取z
S 表象，那z S ?在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值 ???
? ??-=
10012)S (z 相应的本征矢 2
1
,21S ,S z ±=
s
s s z m ,S m m ,S S ? = 其对应的表示为???? ??01，???
?
??10
2．y x S ?,S ?在z S 表象中的矩阵表示
我们知道，这只要将y x S ?,S ?作用于z S ?的基矢并以z S ?基矢展开，
从展开系数来获得
由 y x z S i ]S ?,S ?[ =
x y z S i ]S ?,S ?[ -= ++=S ?]S ?,S ?[z
因此 s z s z m ,S )S ?(S ?m ,S S ?S ? +=++
s
s m ,S S ?)1m (++= ∴ 1m ,S A m ,S S ?s
s +=+ 由 2s s A m ,S S ?S ?m ,S =+-
s
z 2z 2s m ,S S ?S ?S ?m ,S -=-
2s 22s 2m m 43 --=
2s s )1m 2
1
)(m 21( ++-=
∴ )1m S )(m S (A s s ++-=
即 1m ,S )1m S )(m S (m ,S S ?s
s s s +++-=+ 同理可得
1m ,S )1m S )(m S (m ,S S ?s
s s s -+-+=- 1m ,S )1m S )(m S (1m ,S )1m S )(m S ((2m ,S S ?s s s s
s s s x +++-+-+-+= 1
m ,S )1m S )(m S (1m ,S )1m S )(m S ((2i m ,S S ?s s s s
s s s y +++---+-+= 21
2122121S ?x
-= 2
12122121S ?x
=- 得系数矩阵为???? ??01102 转置得???
? ??=01102)S ?(x 而 21212i 2121S ?y
-= 2
1212i 2121S ?y
-=- 系数矩阵为
???? ??-01102i 转置得???
? ??-=0i i 02)S ?(y 对于n
S ?在?θ,方向有 z
y x n S ?cos S ?sin sin S ?cos sin S ?θ?θ?θ++=
则本征矢 ?
????
?
??θθ??-2222i i e sin e cos ????
?? ??θθ-??-2222i i e cos e sin ③ Pauli Operator ；为方便起见，引入泡利算符
σ2
S
=
于是，在z σ表象中有（或称Pauli 表象）
???? ??=0110)(x σ， ???? ??-=0i i 0)(y σ， ???
?
??-=1001)(z σ 称为泡利矩阵。i σ的本征值为±。
k ijk j i i 2],[σεσσ=， 12
z 2y 2x ===σσσ
由此得 x y y x σσσσ+)i 2i 2(i 21
x y y x σσσσ+=
)],[],[(i 21
x x z x z x σσσσσσ+=
],[i
21
2x z σσ=
0=
于是有 z x y y x y x i 22σσσσσσσ=-=
∴ i z y x =σσσ
为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进一步性认识，我们作一些例子。
例1．求y ?σ
的本征值，本征矢 因已知y ?σ在z σ表象中矩阵形式为???
? ??-0i i 0
∴ 矩阵形式的本征方程为
0a ]m )[(k nk s k
nk y =-∑δσ
要k a 不同时为0，系数行列式应为0
0m i
i m s
s
=--- 1m 2s = ∴1m 2
s ±= 对于
1m s = 0a a 1i i 121=???
?
??????
??--- ? i a 2=， 1a 1=
???
? ??i 121 1m s -= 0a a 1i i 121=???
?
??????
??- ? 12=a ， i a =1 ???
? ??121i 例2．表象变换
对于两表象变换 B A s
?→?
, a b S ba = 显然，ba S 列，实为A 表象基矢
a
在B 表象中的表示
∴ ???
? ??=
σ
σ1121i i )S (y
z 我们知)(y σ在自身表象为???
?
??-1001，
所以，它在z σ表象中表示为
???
? ??-=???? ?????? ??-???? ??=σ+
σ00112110011121i i i i i i )(z
y
当然由→z σy σ 的变换矩阵
???
?
??--=='+
σσ1121i i S S z
y ???
? ??-=???? ??--???? ??-???? ??--=σ+
σ100111001121i i i i i i )(y
y
（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述
A. 自旋波函数（电子的自旋态）
对于z
S ?的本征方程为 s
s s z m m m S ? =
由于z S ?的本征值仅取2 ±, 2
1m s
±= 在其自身表象
???
?
??-=10012)S (z 而相应本征态的表示为
αχ=???? ??==01)21
S (21z
βχ=???
? ??==-
-10)21
S (21z （即)S (z m s χ：1)21(21=χ，0)21(21=-χ，0)21(1=-χ，1)2
1(21=--χ）
αα2)S (z
=， ββ2
)S (z -=
αβαβσ-=)(z
α是z S ?的本征值为2
的本征态在z
S 表象中的表示 β是z
S ?的本征值为2
-的本征态在z S 表象中的表示 显然βα,正交， 010)0,1(=???
?
??=+βα
对于任何一旋量χ在z S 表象中，其表示为
???? ??-=2()2( χχχ???
?
??=-2121a a
βαχχ212121212121a a a a ---+=+=
若χ是归一化的，则2
21a ±为以χ描述的电子处于2
S z
±=的几率，即自旋向
下
上的几率。
而21a 和21a -可由βα,与χ标积获得 212121a a a )0,1(=??
?
?
??=-+χα
212121a a a )1,0(--+=??
?
?
??=χβ ( 即由表示计算振幅
χαχχ+==∑s m s m ,2
1
m ,21
21,2121,21s
χβχχ+=-=-∑s m s m ,2
1
m ,2121,2121,21s
） B. 考虑自旋后状态的描述：由于电子除了z ,y ,x 之外，还有第四个动学变量z S
?，它的特点仅取二个值，而0]S ?,r [z =，所以，可在)S ?,r (z
表象中表示体系波函数。 z
S ?仅有两个本征函数。因此，对于处于某状态ψ的体系可按自旋波函数展开。
)t ,r (m ,r s m s ψψ= 这即ψ在)S ,r (z 表象中表示。
如令 )t ,2,r (2S ,r z
ψψ==
)t ,2
,r (2S ,r z
-=-
=ψψ 则ψ在)S ,r (z 表象中的表示为
????
??=??????
?
?-=-)t ,r ()t ,r ()t ,2,r ()t ,2,r (m ,r (2121s ψψψψψ βψαψ)t ,r ()t ,r (2121-+= 若ψ是归一化的态矢量，则 ψψψs s m m ,r m ,r r d s
∑?=
r d )]t ,r ()t ,r ()t ,r ()t ,r ([21111-+
-++=?ψψψψ
2
21ψ代表体系处于r 而自旋向上的几率密度 2
1-ψ代表体系处于r 而自旋向下的几率密度
如同一般变量可分离型一样，当H ?对r 和z
S 是变量可分离型的，则其特解为
)S ()t ,r ()t ,S ,r (z z χ?ψ= C ．考虑自旋后，力学量的表述
?ψ=L
? 而在)S ,r (z 表象中
?ψ,的表示为βψαψψ211z )S ?,r (-+= β?α??2
121z )S ?,r (-+= 而L ?在)S ,r (z
表象中的表示为 )r r ()P ?,r (L ),P ?,r (L )P ?,r (L ),P ?,r (L )S ,r L ?S ,r (22211211z z '-?
??
? ??
=''δ ∴ 方程
?ψ=L ?在)S ,r (z
表象中可表为 ?ψz
z z S z S ,r S ,r r d S ,r L ?S ,r z
='''''?∑' ?
??? ??=???? ?
????? ??--)r ()r ()r ()r ()P ?,r (L ),P ?,r (L )P ?,r (L ),P ?,r (L 2121212122211211
??ψψ 2S )S ?,P ?,r (L ?2S L z i z 11
==
= 2S )S ?,P ?,r (L ?2S L z i z 12 -==
= 2S )S ?,P ?,r (L ?2S L z i z 21
=-
== 2
S )S ?,P ?,r (L ?2S L z i z 22 -=-
== 事实上，直接由)S ?,P ?,r (L ?i 在z
S ?表象中表示来获得
?
??
? ??)P ?,r (L ),P ?,r (L )P ?,r (L ),P ?,r (L 22211211 对任一算符的平均值为
τψψd L ?L
??+=
r d L ?L ?L ?L ?),(12122211211*21*21???
? ?????? ??=--?ψψψψ r d L ?2111*21ψψ?=r d L ?2112*21-?+ψψ r d L ?2121*21ψψ?-+r d L ?2122*21--?+ψψ
例：求 )i (2
1
y x σσσ+=
+在态矢量?中的平均值 解：+σ
?在)S ,r (z 表象中表示 ???
?
??=???? ??-+???? ??=+0010]0i i 0i 0110[21)?(σ 而 ??
?
?
??=-)r ()r ()(2121???
r d )r ()r (0010))r (,)r ((2111*
*21???
?
??????
??=--+?????σ r d )r (,)r (21*
21-?=??
（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程
A. 动能项
在非相对论极限下，电子的动能为
μ
=22p ?T
?
当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到
[][]0=σ=σ
??σ+?=?σ?σ
B ?,?A ?,?)B ?A ?(?i B ?A ?)B ??)(A ??(我们有
p ?p ?T ??σμ
σ
?=21 而置于电磁场中时，则
)]A ?e p ?([])A ?e p ?[(T
?+?σμσ?+=21 )A e p ?()A e p ?(?i )A e p ?(+?+?σμ++μ=2212 B ?e )A e P ?(?σ
μ
++μ=
2212
B ．自旋－轨道耦合项 由Dirac 方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在
非相对论极限下）中将出现自旋－轨道耦合项（Thomas 项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致）
L ?S
?)r (?ξ， dr )
r (dV r 1c
m 21
)r (22e =ξ C ．电子置于电磁场中的哈密顿量
)B ?(e L ?S ?)r ()r (V e )A e P ?(H
??σμ
+?ξ++?-+μ=2212 D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为
ψψψψψψ)B ?(e L ?S ?)r ()r (V e )A e P ?(t i ?σμ
+?ξ++?-+μ=??2212
应该注意，在)S ,r (z 表象中，这时ψ是两分量的，即???
?
??-211ψψ ???
?
?????? ??=???? ????--2121222112112121H H H H t i ψψψψ （1，2，3项是对角矩阵）
§7.3 碱金属的双线结构
引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象。 （1）总角动量
A. 总角动量引入：当考虑电子具有自旋后，电子在中心力场中的
Hamiltonian 为
S ?L ?)r ()r (V P ?21H
?2?++=ξμ
dr )
r (dV r 1c
m 21
)r (22=
ξ 由于自旋－轨道耦合项，L
?和S ?都不是运动常数 例：]L ?,L ?[S ]L ?,L ?[S ]S ?L ?,L ?[y z y x z x z +=?
x y y x L ?S ?i L ?S ?i -=
[]
y z y x z x z S ?,S ?L ?]S ?,S ?[L ?]S ?L ?,S ?[+=? x y y x S ?L ?i S ?L ?i -=
因此，(z z 2S ?,L ?,L ?,H ?)不能构成力学量完全集。
(z
z L ?,S ?与H ?不对易) 但 0]S ?L ?,L ?S ?[z z =?+ 即 0]S ?L ?,S ?L
?[=?+ 引入 S ?L ?J
?+= 0]S ?L ?,J
?[=? → 当然 0]S ?L ?,J ?[2=? 而 0]L ?,J ?[2= → 0]L ?,J ?[2
2= 0]J ?,J
?[2
= 由于有心势 ?
0]J ?,H
?[= ? 0]J ?,H ?[2= 可证：k ijk j i J ?i ]J ?,J ?[ε =
由上述可见，当计及自旋－轨道耦合后，z z S ?,L ? 不再是运动常数，代之
z
2J ?,J ?是运动常数（在中心场下） 所以，可选)J ,J ,L ?,H ?(z
22为力学的完全集（如无S ?L ??项，可选)S ?,L ?,L ?,H ?(z z 2）
B. )J ,J ?,L ?(z 22的共同本征矢的表示（在z
S ,,?θ表象中） ????
??=?????? ?
?
-=),(),()2,,()2,,()S ,,(21z ?θφ?θφ?θφ?θφ?θφ 1. 它是z J
? 的本征函数 ???
? ??=???? ??21j 21z m )J ?(φφφφ ∴ ???
?
?
?+-=???
? ??2j 1j 21z )21m ()21m ()L ?(φφφφ 这表明
2
2j 2z 11j 1z )1m ()21m (L ?m )21m (L ?φφφφφφ +=+==-= 取 21m m j +=
2．它们是2L
?的本征函数 ???
? ??+=???? ??21212)1l (l L ?φφφφ 因此
???
?
??=+1lm lm z bY aY ))S ,,((?θφ
3．由 ))S ,,(())S ,,((J ?z
2z 2
?θφλ?θφ = 而 x x y y z z 2222L ?S ?2L ?S ?2L ?S ?2S ?L ?)S ?L ?()J ?(++++=+=
在z S ,,?θ表象中矩阵表示
?
?????
?
?-++-++=??? ??z 22y
x y
x z 222L ?43L ?,)L
?i L
?()L ?i L ?(,L ?4
3L ?J ?
于是有
????
??=???
? ???????
?
?
?
--++++-+--+++++b a b a ]1m 43)1l (l [,)1m l )(m l ()11m l )(1m l (],
m 43)1l (l [λ 要求b ,a 不同时为0，则其系数行列式为0，
0]1m 4
3
)1l (l [,
)1m l )(m l ()m l )(1m l (,]m 4
3
)1l (l [=---++++--++-++
+λ
λ
得 0)41l )(43l 2l ()21l 2l 2(2222=-+++++-λλ
)23
l )(21l ()43l 2l (2++=++=λ
)2
1
l )(21l ()41l (2+-=-=λ
即得2J
?的本征值为 2)1j (j + 当l 给定)21S (= 21l j +=， 2
1l - 于是有
??
?
? ??-+++=+1lm lm z ljm Y m l Y 1m l 1l 21))S ,,((j ?θφ 1
l m l 21m m 2
1l j j --≥≥+=+=
??
?? ?
?++--+=+1lm lm Y 1m l Y m l 1l 21 l
m 1l 21m m 2
1l j j -≥≥-+=-=
由此可见，z
J ?取确定值 j m ，而z z L ?,S ?不具有确定值，它们取值为 m 21
)1m (21
+-
可见，由自旋为
21态和轨道角动量为l 的态可以耦合为总角动量为)2
1
l (+和)2
1
l (-的态
显然，态的数目是一样多的 2l 4)1l 2(2+=+
2l 4)1)2
1
l (2()1)21l (2(+=+-+++
事实上，上述就是z
222J ?,J ?,S ?,L ?基矢以z z 22S ?,L ?,S ?,L ?基矢展开，即 2
1
,S 1m ,l 1l 2m l 21,S m ,l 1l 21m l m ,j ,S ,l j -++-++++=
21l j +
= 2
1
m m j += 2
1,S 1m ,l 1l 21m l 21,S m ,l 1l 2m l m ,j ,S ,l j -++++++--
=
21l j -
= 2
1
m m j += 即从)J ?,J ?,S ?,L ?(z 222表象 →)S ,S ?,L ?,L ?(z
2z 2表象 B 表象 A 表象
a,b 就是平常称的幺正变换系数AB )S (+
AB A
)S (A B +∑=
s l j BA m ,2
1
,m ,l m ,j ,l 21S ?=
人们习惯称m ,j ,j ,j m ,j ,m ,j 212211为clebsch-Gordan coefficients （它们形
成)1j 2)(1j 2(21++维的幺正矩阵）。自旋和轨道角动量的耦合是两角动量耦合的特例。 于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解 j j ljm nlj nljm R φ=ψ
j j nljm 2nljm 2)1l (l L ?ψ+=ψ j j nljm 2nljm 2)1j (j J ?ψ+=ψ
j j nljm j nljm z m J ?ψ=ψ j j nljm nlj nljm E H ?ψ=ψ
例：电四极矩
电四极矩算符)r x x 3(q Q ?q Q ?ij
2j i ij ij δ-==在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为
j
m j
zz j j m ,j ,l ,n Q ?m ,j ,l ,n Q ==
（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状）
先看 m ,l ,n Q ?m ,l ,n Q zz
lm = )1m ,l cos m ,3(l ,n r
?l ,n q 22-=θ 由 m ,1l a m ,1l a m ,l cos m 1l lm -++=-θ
)
3l 2)(1l 2(m )1l (a 2
2lm ++-+=
]1)a a (3[r q Q 2m 1l 2
lm 2lm -+=-
)
3l 2)(1l 2(m 6)1l (l 2r q 22
+--+=
而 j ljm nlj j z R m ,j ,l ,n S ,r φ=
)bY aY (R 1lm lm nlj βα++=
注意到zz
Q ?与自旋无关，而βα,是正交的 ∴ j
m j
zz j j m ,j ,l ,n Q ?m ,j ,l ,n Q ==
]1m ,l Q ?1m ,l b m ,l Q ?m ,l a
[r q zz
2zz 2
2+++=
)
3l 2)(1l 2()1m (6)1l (l 2b )3l 2)(1l 2(m 6)1l (l 2a [r q 2
222
2
+-+-+++--+= )
1j (2j
21r q 2
+-=
???
?
?
?-=-=+==+=∴=1l m 21l j 21m m l m 21l j j m j j 而注意
由此可见，2
1j =
时，0Q =。这是由于zz
Q ?算符是角动量为2的算符。当它作用于j m ,j 后，态将从
j
m ,j →
j m ,2j -j m ,2j +
当21j =
，则zz Q ?将
j m ,2
1→
j m ,25，j m ,2
3
所以与
j m ,2
1
正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。
（2）碱金属的双线结构
碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场)r (V 的作用。
∴ 价电子的哈密顿量为
S ?L ?)r ()r (V 2P ?H ?2?++=ξμ
dr )
r (dV r 1c 21
)r (22μξ=
ψψE H
?= 如选力学量完全集)J ?,J ?,L ?,H ?(z
22（运动常数的完全集） 则 ),()r (R j j ljm nlj nljm ?θφψ=
由于 j j
ljm 222ljm )S ?L ?J ?(21)L ?S ?(φφ--=? j ljm 2]4
3
)1l (l )1j (j [21φ -+-+=
j ljm 2
2l φ =
2
1l j += j ljm 2
21l φ +- 21l j -=
j j nljm nlj nljm E H ?ψ=ψ 可表为
nlj nlj 22
nlj 222R )r (V R r
2)1l (l )rR (dr d r 12+++-μμ 2
1l j 21l j R E R )r (2
1l R )r (2l nlj
nlj nlj
2nlj
2
-
=+
==+-+ξξ 因)r (V 为吸引势 )r (V F -?= 所以0)r (V >'。
)r (V 随↑r 而↑（单调上升），于是0dr
)
r (dV >
0)r (>ξ
因此，)r (2
1l )r (V )r (2l )r (V 2
2ξξ +-≥+
根据Hellmann-Feynman 定理可证
21l nlj 2
1l nlj E E -=+=> ????
? ??
>====21j 3j E E 23,21j ,
1l 则如
原来能级 2
1l ,l ,n 21l ,l ,n nl E E E -+?
这即观测到纳光谱的双线结构。
§7.4 两自旋为2
1
的粒子的自旋波函数。
A. )S ,S (z 2z 1表象中两自旋为
2
1
的粒子的自旋波函数 设：两粒子的自旋分别为21S ?,S ?，显然，如选)S ,S (z 2z 1
表象则可能的态为 )2()1(),2()1(),2()1(),2()1(ββαββααα
B. )S ?,S ?(z
2表象中两自旋为2
1
的粒子的自旋波函数 如令 21S S S += 则
k ijk j i S i ]S ,S [ ε=满足角动量的对易关系
并有 0]S ?,S ?[z 2= 可选表象)S ?,S ?(z
2 由 2122
212212S S 2S ?S ?)S ?S ?(S ??++=+= 212
S S 22
3?+=
2
12212144S ?S ?6)S ?S ?)(S ?S ?(44
9S ??+??+= ???? ?
??-=??+=????+?=??)23)(i ))((B ,A )B A (i B A )B )(A (21221222121σσσσσσσσσσσσσσ则有对易）与（根据 （推论：无论多少)(21σσ?幂次，都能化为)(B A 2111σσ?+，4S 可化为
2S
?B A +） 21242121S ?
,S ?2
1163)S S ()S S ( -=
?? 212212444
S ?S ?6S ?S ?24
349
S
??+?-+= 2214S ?S ?43 ?+= 22S
?2 = 令 χ是2
S
?的本征态 则 χλχ22S
? = χλχλχ44242)S
?( == 0)2(=-λχλ
0≠χ ∴)11(12+?==λ，)01(00+?==λ
于是有 s s s m 12m 12m 122)11(1S ?χχχ =+?=
0S ?00
2
=χ s s m 1s m 1z m S ?χχ = 1,0,1m s -= 0S ?00z =χ 0m s
= 这时有 11χ 10χ 11-χ 00χ 4个态 )2()1(αα )2()1(ββ
而 0)2()1(S ?z =βα 0)2()1(S ?z
=αβ 由 212
2
S ?,S ?223S ?+= （对于21S ,S 21=） ∴ 1S ?1)1(21P 2
22112-=?+=
σσ
因此 s s sm sm 12]1)1S (S [P χχ-+=
当 1S = s s m 1m 112P χχ= 12P 是交换算符 0S = 000012P χχ-= 因此 )]2()1()2()1([2110αββαχ+=
)]2()1()2()1([2
100αββαχ-=
我们称 s m 1χ为自旋三重态 （对称的）
00χ为自旋单态 （反对称的）
当两自旋为
2
1
的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为
)S ,S ()r ,r (u )S ,r ,S ,r (z 2z 121z 22z 11χψ=
但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不可任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。 C. Bell 基
若 z z A ?21σσ=， x
x B ?21σσ=。 因[]0=B ?,A
?，可选()B ?,A ?的共同本征态作为两自旋为
2
1
粒子的自旋波函数 )]()()()([j i B A 21212
1
ββ+αα=χ=χ++ )]()()()([j i B A 21212
1
ββ-αα=χ=χ-+ )]()()()([j i B A 21212
1
αβ+βα=χ=χ+- )]()()()([j i B A 21212
1
αβ-βα=
χ=χ--
§7.5 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性
各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的
属性的不同分别称为电子，质子，介子，++?，+?等等。实验证明，每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样） 经典物理中，我们习惯称这是电子1，那是电子2……，它们在外力作用下，按自己的轨道运动，我们在任何时刻都能跟踪它，我们不会误认电子1为电子2。即按轨道来区分同一类粒子。
但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数。根据波函数来描述出现在 r d r r 11+- 的体积之中几率大小；或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即1n 个粒子处于1?态；
2n 个粒子处于2?态……，或这些态的叠加态上。但它不可能告诉你，那一
个粒子处于1?态，那一个粒子处于2?态。
如 )r ()r (2121εε?? )r ()r (1221εε??
是可能的二种态，对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一个都不能用于对二个全同粒子的描述。全同粒子交换是不可观测的。 （1）交换不变性
设：氦原子的两个质子固定不动，那么描述氦原子中的两个电子组成的体系，其哈密顿量为
2
10222122221r r 4e r e 2r e 2m 2P ?m 2P ?H ?-+--+=πε 若 12P 为粒子交换算符，将 21→，12→
则 0]H ?,P ?[12
= )t ,r ,r ()t ,r ,r (H ?P 212112ψ)t ,r ,r ()t ,r ,r (H ?1212ψ= )t ,r ,r (P )t ,r ,r (H ?2
11212ψ= 由于)t ,r ,r (21ψ任意，所以
12
122112P )t ,r ,r (H ?)t ,r ,r (H ?P =
若 H ?是交换不变，即 )t ,r ,r (H ?)t ,r ,r (H ?2
112=
量子力学课程人学考试主要内容
843量子力学考试大纲 适用于物理学所有学科 Ⅰ考查目标 理论物理、粒子物理与原子核物理、凝聚态物理等专业研究生入学考试《量子力学》课程，重点考查考生掌握量子力学基本概念、基本原理以及运用量子力学基本理论解决具体相关物理问题的能力，为进一步学习其它专业课程或从事科研和教学工作奠定坚实的基础。 Ⅱ考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 波粒二象性、波函数和薛定谔方程 45分 量子力学的力学量及其表象 30分 微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 75分 四、试卷题型结构 简答题 2小题，每小题10分，共20分 证明题 2小题，每小题15分，共30分 计算题 4小题，每小题25分，共100分 Ⅲ考查范围 一、波粒二象性、波函数和薛定谔方程 考查主要内容： （1）光的波粒二象性的实验事实及其解释。 （2）原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件。 （3）德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 （4）德布罗意波的实验验证。 （5）波函数的统计假设和量子态的表示形式。 （6）态叠加原理的内容及其物理意义。 （7）薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式。
（8）粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容。 （9）一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法。 （10）几个典型的一维定态问题： a.一维无限深势阱； b.一维谐振子； c.一维方势垒； d.一维有限方势阱； e. 势。 二、量子力学的力学量及其表象 考查主要内容： （1）动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系，动量算符本征函数的归一化。 （2）角动量算符的表示形式及其有关的对易关系，角动量算符2?L和z L?的共同本征函数及所对应的本征值。 （3）电子在固定的正点电荷库仑场中运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表示形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律、电子在核外的概率分布和电离能等。 （4）量子力学中的力学量与厄米算符相对应；厄米算符的本征函数组成正交完备集。 （5）力学量可能值、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件。 （6）不确定关系及其应用，守恒量的判断方法。 （7）矩阵的运算。 （8）态的矩阵表示。 （9）算符的矩阵表示。 （10）量子力学公式的矩阵表示。 （11）不同表象间的变换。 三、微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 考查主要内容： （1）非简并定态微扰理论。 （2）简并情况下的定态微扰理论。 （3）电子自旋的实验事实。 （4）电子自旋算符和自旋波函数。 （5）全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念。 （6）全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理。 （7）两自旋体系的波函数。 （8）电磁场中荷电粒子的运动，两类动量。 （9）正常塞曼效应。 （10）定域电子（考虑自旋）在均匀磁场中的运动。
第22章量子力学基础教案
第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，
会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意
义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上， 是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的
量子力学知识点总结(精.选)
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
《大学物理aii》作业 no08 量子力学基出 参考解答
《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λh p =）。德布罗意的假设，最先由（戴维 孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥???x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥???t E ）。 4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。
《无机化学》电子教案
第 1 章原子结构与元素周期系 [ 教学要求] 1 ．掌握近代理论在解决核外电子运动状态问题上的重要结论：电子云概念，四个量子数的意义，s 、p 、d 原子轨道和电子云分布的图象。 2 ．了解屏蔽效应和钻穿效应对多电子原子能级的影响，熟练掌握核外电子的排布。 3 ．从原子结构与元素周期系的关系，了解元素某些性质的周期性。 [ 教学重点] 1 ．量子力学对核外电子运动状态的描述。 2 ．基态原子电子组态的构造原理。 3 ．元素的位置、结构、性质之间的关系。 [ 教学难点] 1 ．核外电子的运动状态。 2 ．元素原子的价电子构型。 [ 教学时数] 8 学时 [ 教学内容] 1 ．核外电子运动的特殊性：核外电子运动的量子化特征（氢原子光谱和玻尔理论）。核外电子运动的波粒二象性（德布罗衣的预言，电子的衍射试验，测不准关系）。 2 ．核外电子运动状态的描述：波函数、电子云及其图象表示（径向与角度分布图）。波函数、原子轨道和电子云的区别与联系。四个量子数（主量子数n ，角量子数l ，磁量子数m ，自旋量子数ms ）。 3 ．核外电子排布和元素周期表；多电子原子的能级（屏蔽效应，钻穿效应，近似能级图，原子能级与原子序数关系图）。核外电子排布原理和电子排布（能量最低原理，保里原理，洪特规则）。原子结构与元素周期性的关系（元素性质呈周期性的原因，电子层结构和周期的划分，电子层结构和族的划分，电子层结构和元素的分区）。 4 ．元素某些性质的周期性，原子半径，电离势，电子亲和势，电负性。 1-1 道尔顿原子论 古代自然哲学家对物质之源的臆测：本原论（元素论）和微粒论（原子论） 古希腊哲学家德谟克利特（Democritus, 约460—370 B C ）：宇宙由虚空和原子构成，每一种物质由一种原子构成。 波意耳：第一次给出了化学元素的操作性定义---- 化学元素是用物理方法不能再分解的最基本的物质组分，化学相互作用是通过最小微粒进行的，一切元素都是由这样的最小微粒组成的。 1732 年，尤拉（Leonhard Euler, 1707—1783 ）：自然界存在多少种原子，就存在多少种元素。 1785 年，法国化学家拉瓦锡（Antoine L. Lavoisier 1743—1794 ）：提出了质量守衡定律：化学反应发生了物质组成的变化，但反应前后物质的总质量不变。 1797 年，里希特（J. B. Richter 1762—1807 ）：发现了当量定律。 1799 年，法国化学家普鲁斯特（Joseph L. Proust 1754—1826 ）：发现定比定律：来源不同的同一种物质中元素的组成是不变的。 1805 年，英国科学家道尔顿（John Dalton 1766—1844 ）：把元素和原子两个概念真正联系在一起，创立了化学原子论：每一种化学元素有一种原子；同种原子质量相同，不同种原子质量不同；原子不可再分；一种不会转变为另一种原子；化学反应只是改变了原子的结合方式，使反应前的物质变成反应后的物质。
量子力学知识总结
量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
电子教案(6)
第六章 原子结构与周期系 6.1 引言 6.1.1 物质结构的研究对象 物质结构主要是研究物质（原子、分子、晶体等）的组成、结构和性能。 这里所说的结构，既包括物质的“几何结构”（如分子中原子，晶体中粒子的结合排布方式等），也包括物质的电子结构（如原子的电子层结构，分子、固体中的化学键，以及分子间作用力等）。 物质结构知识的理论基础是量子力学（研究微观粒子运动规律的科学）。实验基础是合成化学和结构化学等，它们提供了大量实验事实，需要理论解释，从而推动了理论化学的发 展。物质结构知识是化学三大重要理论之一。 6.1.2学习目的 1．了解化学反应的本质 例1．汽车尾气的治理。 例2．反应H 2 + I 2 = 2HI 的速率方程为v=kc （H 2）c （I 2），是二级反应。 在1967年前，人们一致认为这是一个二级基元反应。但是1967年人们通过实验发现这是一个复杂反应，如果用分子轨道理论中的前线轨道理论，很容易得到解决。 例3．“相似互溶原理” 从热力学观点来看，溶解过程的ΔS>0，而一般情况下ΔH>0（即吸热），而根据ΔG=ΔH-T ΔS ，要使ΔG<0，则 H ?应尽量小。为什么结构相似H ?就小呢？ 2．发现、制取符合人类一定需要的物质 例4．“硬质合金” 硬质合金广泛应用于火箭材料、高速切削材料、以及高级磨料等。一般是由IV 、V 、VI 副族金属元素，加少量C 、N 、B 等元素制成。为什么？ 例5．金属表面扩渗稀土元素 按过去金相学的观点，稀土原子的半径较大，不能扩散进入金属表面层。但实验结果确实进入了，这又为什么？ 例6．C 60的发现 例7．活性炭 泽林斯基认为：棉花和泥土有吸收气体的能力，是因为暴露在固体表面的固体分子只受到内层及左右两旁分子的吸引，吸引力没有完全抵消掉。如右示意图所示←·→ ，表面分子受到一个指向固体内部的作用力，即还有剩余吸引力可以吸引来到它近旁的气体分子。 ↓ 于是，泽林斯基得出结论：完全用不着为每一种毒气去找它们的防御品。只要能选择一种比棉花或泥土有更大的比表面的固体，就能够对付所有的毒气了。 泽林斯基为了加强木炭吸附化学物质的能力，经过不断的研究，终于在1917年得到了一种特殊物质——“活性炭”。 制成的活性炭，具有质轻、疏松、多孔等特点。每一克就有几百平方米的比表面积。因为吸附气体的能力特别强，当然防毒效果也就更好了。 3．对化学发展起重要作用 第一次革命性飞跃发生在1804年，道尔顿提出了原子论（即一切物质都是由原子组成的）。它合理地解释了当时许多化学现象和规律。标志着近代化学的开始。因此，道尔顿被
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)
量子力学讲义
一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。 研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性： 光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征： 几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用 四、课程教学的基本要求 教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社 参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社
第一章 绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米 焦耳3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?）
量子力学期末考试知识点+计算题证明题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学教学大纲
《量子力学》课程教学大纲 课程代码：090631011 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：光电信息科学与工程专业 大纲编写（修订）时间：2017.10 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 量子力学是近代物理的两大科学之一，是描述微观运动世界的基本理论，是近代光学技术的重要基础，是光信息科学与工程专业一门重要的专业必修基础课。本课程主要讲授量子力学的基本概念，基本原理和数学方法。为后续的专业课程学习打下夯实的量子力学基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握量子理论的物理图像，基本概念； 2.获得描述微观物理规律的理论工具--量子力学的基本原理和框架结构，能用这些原理解决常见的，简单的微观物理现象； 3.加深对现代科学理论的形式、特点的认识，提高科学方法论水平； 4.了解量子力学有关的科学发展。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握量子力学的基本原理和总的理论框架 2.基本理论和方法：掌握用波函数描述微观粒子的状态，用算符描述相应的力学量，以及波函数的演化规律——薛定谔方程。会解简单的一维定态薛定谔方程。掌握用矩阵描述态和算符的方法。掌握简并和非简并的微扰理论，以及含时微扰理论，能用含时微扰理论解释原子的跃迁和发光。掌握电子自旋的基本理论，全同粒子的特性及其描述方法。 3.基本技能: 利用数学手段解决具体物理问题的能力。 （三）实施说明 1.大纲中的重点内容是学习量子力学基本理论所必需掌握的内容，教学中如果学生接受的较好，可适当增加一些在实际中有很广泛应用的问题作为重点内容。 2.教学方法，课堂讲授中要重点对基本概念、基本原理和基本方法进行讲解；要站在学生的角度进行讲解，以使学生能较自然的接受以前没有接触到的新的概念，新的理论框架和思想方法。并在讲解中使学生深入理解现代科学理论的建立过程，反过来促进学生对所学内容的理解和掌握。 3.教学手段，本课程属于理论课，在教学中对基本原理，基本方法的讲解主要采用板书形式；对于具体应用并且数学推导较繁琐的问题可采用课件形式，既能使学生看清解题的思路、过程、特点，又能节省时间。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程的先修课程是《线性代数》，《数学物理方法》，《原子物理》 （五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：一维问题的计算，力学量平均值和幺正变换的计算，微扰问题的计
量子力学知识点小结(良心出品必属精品)
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出
现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2
量子力学简明教程
量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.wendangku.net/doc/ea16228867.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(22=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其 中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 2 (,,)x y z ψ(,,) c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？量子力学主要知识点复习资料全
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