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支持向量回归机

支持向量回归机
支持向量回归机

3.3 支持向量回归机

SVM 本身是针对经典的二分类问题提出的,支持向量回归机(Support Vector Regression ,SVR )是支持向量在函数回归领域的应用。SVR 与SVM 分类有以下不同:SVM 回归的样本点只有一类,所寻求的最优超平面不是使两类样本点分得“最开”,而是使所有样本点离超平面的“总偏差”最小。这时样本点都在两条边界线之间,求最优回归超平面同样等价于求最大间隔。 3.3.1 SVR 基本模型

对于线性情况,支持向量机函数拟合首先考虑用线性回归函数

b x x f +?=ω)(拟合n i y x i i ,...,2,1),,(=,n i R x ∈为输入量,R y i ∈为输出量,即

需要确定ω和b 。

图3-3a SVR 结构图 图3-3b ε不灵敏度函数

惩罚函数是学习模型在学习过程中对误差的一种度量,一般在模型学习前己经选定,不同的学习问题对应的损失函数一般也不同,同一学习问题选取不同的损失函数得到的模型也不一样。常用的惩罚函数形式及密度函数如表3-1。

表3-1 常用的损失函数和相应的密度函数

标准支持向量机采用ε-不灵敏度函数,即假设所有训练数据在精度ε下用线性函数拟合如图(3-3a )所示,

**

()()1,2,...,,0

i i i

i i i i i y f x f x y i n εξεξξξ-≤+??-≤+=??≥? (3.11)

式中,*,i i ξξ是松弛因子,当划分有误差时,ξ,*i ξ都大于0,误差不存在取0。这时,该问题转化为求优化目标函数最小化问题:

(3.12)

式(3.12)中第一项使拟合函数更为平坦,从而提高泛化能力;第二项为减小误差;常数0>C 表示对超出误差ε的样本的惩罚程度。求解式(3.11)和式(3.12)可看出,这是一个凸二次优化问题,所以引入Lagrange 函数:

*

11

****1

1

1()[()]

2[()]()

n n

i i i i i i i i n n

i i i i i i i i i i L C y f x y f x ωωξξαξεαξεξγξγ=====?++-+-+-+-+-+∑∑∑∑ (3.13)

式中,α,0*≥i α,i γ,0*≥i γ,为Lagrange 乘数,n i ,...,2,1=。求函数L 对ω,

b ,i ξ,*i ξ的最小化,对i α,*i α,i γ,*i γ的最大化,代入Lagrange 函数得到对

偶形式,最大化函数:

*

**1,1

**1

1

1(,)()()()

2()()n

i i j j i j i j n n

i i i i i i i W x x y ααααααααααε

=====--?+--+∑∑∑ (3.14)

其约束条件为:

*

1

*()0

0,n i i i i i C

αααα=?-=???≤≤?

∑ (3.15) 求解式(3.14)、(3.15)式其实也是一个求解二次规划问题,由Kuhn-Tucker 定理,在鞍点处有:

****[()]0[()]00

i i i i i i i i i i i i y f x y f x αεξαεξξγξγ+-+=+-+=?=?= (3.16)

得出0*=?i i αα,表明i α,*i α不能同时为零,还可以得出:

*

*

()0()0

i i i i C C αξαξ-=-= (3.17)

从式(3.17)可得出,当C i =α,或C i =*α时,i i y x f -)(可能大于ε,与其对应的i x 称为边界支持向量(Boundary Support Vector ,BSV ),对应图3-3a 中虚线带以外的点;当),0(*C i ∈α时,ε=-i i y x f )(,即0=i ξ,0*=i ξ,与其对应的i x 称为标准支持向量(Normal Support Vector ,NSV ),对应图3-3a 中落在ε管道上的数据点;当0=i α,0i α*=时,与其对应的i x 为非支持向量,对应图3-3a 中ε管道内的点,它们对w 没有贡献。因此ε越大,支持向量数越少。对于标准支持向量,如果0(0)i i C αα*<<=,此时0i ξ=,由式(3.16)可以求出参数

b :

1

()()j l

i j j j i j i j

j j i x SV

b y x x y x x ααε

α

αε

*=*

∈=--?-=-

-?-∑∑

同样,对于满足0(0)i i C αα*<<=的标准支持向量,有

()j i j

j j i x SV

b y x x α

αε

*∈=-

-?-∑

一般对所有标准支持向量分别计算b 的值,然后求平均值,即

**0*

01{

[()(,)]

[()(,)]}

i j j i i j j j i C

x SV

NSV i j

j

j i x SV

C

b y K x x N y K x x α

αα

αεα

αε<<∈∈<<=

-

--+

-

--∑∑∑

∑ (3.18)

因此根据样本点),(i i y x 求得的线性拟合函数为

b x x b x x f n

i i i i +?-=+?=∑=1*)()(ααω (3.19)

非线性SVR 的基本思想是通过事先确定的非线性映射将输入向量映射的一个高维特征空间(Hilbert 空间)中,然后在此高维空间中再进行线性回归,从而取得在原空间非线性回归的效果。

首先将输入量x 通过映射H R n

→Φ:映射到高维特征空间H 中用函数

b x x f +Φ?=)()(ω拟合数据),(i i y x ,n i ,...,2,1=。则二次规划目标函数(3.14)

式变为:

*

**1,1

**1

1

1(,)()()(()())

2()()n

i i j j i j i j n n

i i

i i i i i W x x y ααααααααααε

=====---?Φ?Φ+--+∑∑∑ (3.20)

式(3.20)中涉及到高维特征空间点积运算)()(j i x x Φ?Φ,而且函数Φ是未知的,高维的。支持向量机理论只考虑高维特征空间的点积运算

)()(),(j i j i x x x x K Φ?Φ=,而不直接使用函数Φ。称),(j i x x K 为核函数,核函数的选取应使其为高维特征空间的一个点积,核函数的类型有多种,常用的核函数有:

多项式核:''(,)(,),,0p k x x x x d p N d =+∈≥; 高斯核:2

''2(,)exp()2x x k x x σ

-=-;

RBF 核:''2

(,)exp()2x x k x x σ

-=-

;

B 样条核:''21(,)()N k x x B x x +=-;

Fourier 核:'''1

sin()()

2(,)1

sin ()2N x x k x x x x +-=-; 因此式(3.20)变成

*

**1,1

**1

1

1(,)()()()

2()()n

i i j j i i j n n

i i

i i i i i W K x x y ααααααααααε

=====---??+--+∑∑∑ (3.21)

可求的非线性拟合函数的表示式为:

*1()()()(,)n

i i i i f x x b

K x x b

ωαα==?Φ+=-+∑ (3.22)

3.3.2 结构改进的支持向量回归机

上节所述的SVR 基本模型其优化目标为:

2

*,,1

**1min ()

2..()()0

0,1,2,...,l

i i w b i i i i

i i i i i w C s t y w x b w x b y i l

ξξξφεξφεξξξ=?++??-?-≤+???+-≤+??≥??≥=??

∑ (3.23)

SVR 结构改进算法一般在优化目标中增加函数项,变量或系数等方法使公式变形,产生出各种有某一方面优势或者一定应用范围的算法。

Suykens 提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM )[105],与标准SVM 相比其优化指标采用了平方项,从而将不等式约束转变成等式约束,将二次规划问题转化成了线性方程组的求解,其优化目标为:

2

,,1

1122..()1,2,,l i b i i i i Min s t y x b i l

ωξωγξωφξ=?

+???=?++??=???

∑ (3.24)

LS-SVM 与标准SVM 相比减少了一个调整参数,减少了l 个优化变量,从而简化了计算复杂性。然而LS-SVM 没有保留解的稀疏性。改进的最小二乘支持向量机有:递推最小二乘支持向量机[106]、加权最小二乘支持向量机[107]、多分辨率LS-SVM [108]及正则化最小二乘方法[109]等。

Sch?lkoph 等提出的ν-SVM 方法[110],引入反映超出ε管道之外样本数据点(即边界支持向量数量)和支持向量数的新参数ν,从而简化SVM 的参数调节。其优化目标为:

2*2,,1**11()2..()()00

1,2,,l T i i b i i i i

i i i i i min C l s t y x b x b y i l

ωξωωνεξξωφεξωφεξξξ=?

??

+++???????-?-≤+???+-≤+??≥??≥?=??

∑ (3.25)

l ν表示边界支持向量机的上限和支持向量机的下限。与标准支持向量机相比优

化求解过程不需要设定ε值。

标准SVM 方法中,引入惩罚系数C 实行对超出ε-带数据点的惩罚。在实际问题中,某些重要样本数据点要求小的训练误差,有些样本数据点对误差的要求不是很高。因此,在优化问题描述时,对每个样本点应采用不同的惩罚系数C ,或对于每个样本数据点应采用不同的ε-不敏感函数,使回归建模更加准确,这一类结构变化的支持向量机通常称为加权支持向量机(WSVM )[111],加权支持向量机可以通过对惩罚系数C 加权实现,也可以通过对ε加权实现。通过对参数C 加权实现时,其优化目标为:

(*)2

*,,1

*

()1()2..()()0,

1,2,,l

i i i b i i i i

i i i i min C s s t x b y y x b i l

ωξωξξωφεξωφεξξ=*?

++???+-≤+??--≤+??≥=?

∑ (3.26a )

通过对ε加权实现时,其优化目标为:

2*

,,,1

*1min ()2

..()()0,01,2,l

i i w b i i i i i i i i i i i w C s t y w x b w x b y i l ξξξξφεξφεξξξ*=*?++???-?-≤+???+-≤+??≥≥=?

∑ (3.26b ) Friess 等提出了一种针对分类问题的SVM 变形算法-BSVM 算法[112]。与标准SVM 相比,BSVM 的优化目标多一项,而约束条件少一项等式约束,变为边界约束条件下的二次规划问题,适合迭代求解。同时可以应用矩阵分解技术,每次只需更新Lagrange 乘子的一个分量,从而不需要将所有样本载入内存,提高了收敛速度。BSVM 算法应用于回归分析,其优化目标为:

2

*1

**11()22..()()00

1,2,,l

T i i i i i i

i i i i i Min b C s t y x b x b y i l

ωωωξξωφεξωφεξξξ=?+++??-?-≤+???+-≤+??≥??≥?=?

∑ (3.27)

标准SVM 回归算法都是把问题转化为求解凸二次规划。

Kecman 和Hadzic [113]提出用1L 范数替代2L 范数,从而通过改造用线性规划(LP )代替凸二次规划,以便于利用非常成熟的线性规划技术求解回归支持向量机。由最优化理论,

*1

()l

i i i i x ωαα==-∑,据此考虑把原始目标函数的2l 模2

ω

用1l 模

(*)

*

1

()l

i i i α

αα==+∑替换。则1l 模可以改写为:(*)

*1

()l

i i i α

αα==+∑,用(*)α代替

原目标函数中的2

ω;将ω代入原约束条件;增加约束*,0,1,2,i i i l αα≥= ,可得:

(*)

(*)*

*,,11

*1**

1

()()1()()..()()()(),0,1,2,,l l i i i i b i i l

i i i j i i i l

i i i i j i i i i C min l l s t x x b y y x x b i l

αξααξξααεξααεξαξ====**?

+++???-?+-≤+???--?-≤+???≥=?

∑∑∑∑ (3.28)

针对实际问题的特殊性,有时可以选择其他形式的更适宜的惩罚函数。惩罚带为任意形式的支持向量回归机[114],通过定义推广的ε-不敏感损失函数:

***()(),

()();

(,,())0,

()()();()(),()();

y f x x y f x x c x y f x x y f x x y f x x y f x x ε?ε?ε?ε?ε?ε??--->?

=≥-≥-??---<-?

其中*(),():x x R ??χ+→,采用推广的ε-不敏感损失函数构造ν-SVR 问题,将原始最优化问题转化为:

(*)

(*)****,,1111***

()()11()()..()(),0,1,2,,l l l

l i i i i i i b i i i i i i i i i

i i i i i i i min C l l s t x b y x y x b x i l

αξαανξνξξξωε?ξωε?ξεξ====**?

??++?+++?????

???+-≤+??-?-≤+??≥=?

∑∑∑∑ (3.29)

惩罚带为任意形式的支持向量回归机包含了针对惩罚函数改进SVR 结构的所有模型。

此外,还有模糊支持向量回归机(FSVR )[59]

、拉格朗日支持向量机(LSVR )[115]

等。

3.3.3 SVM 参数优化方法研究

支持向量机的性能取决于超参数C 、ε、核函数类型及核参数。核函数类型的选择与所应用的领域有关,核函数特性的不同决定建立的模型也具有不同的特性,对于静态软测量建模,一般采用rbf 核函数,因为其跟踪性能较好且没有记忆性,符合静态建模的特点。核参数反映了训练数据的范围或分布,它对模型的预测效果影响较大;调整因子C 是模型复杂度和推广能力的折中,它决定了对损失大于ε的样本的惩罚程度,当C →∞时,模型优化目标退化为经验风险最小

化,C 过小,使经验风险所占比重太少,模型结构复杂度下降,但训练误差可能超出接受范围;ε不灵敏函数是SVR 的重要特征,它决定了支持向量的数目,保证了解的稀疏性,是模型推广性能的象征,但是太平滑的估计又会降低模型的精度。目前没有一个理论的方法来设计SVR 的参数,现有的软件都是基于建模者的经验在建模之前设定。常用的设定SVR 参数的方法主要有以下几种:

1)交叉检验法

交叉检验法是用的最多的一种参数选择方法,其基本思想是将样本集分为训练集、检验集和测试集,选择若干组模型参数,用训练集推导模型系数,选择其中使检验集误差测度最好的参数用于测试集。根据样本集的长度,可以设定交叉检验的次数。

2)经验选择法

经验选择就是根据建模者的经验在建模之前选择参数。Vladimir 等提出了一种根据训练集数据特性选择模型参数的方法[116],其中

max(3,3)y y C y y σσ=+-

式中,y y σ分别表示训练数据集中y 的均值和标准偏差;

3ε= σ为噪声的标准偏差,n 为样本数。上述经验公式是基于噪声水平已知的假设,

并没有理论上的证明。

3)网格优化选择法

网格优化算法是一种大范围点集搜索方法。搜索范围的确定仍需建模者设定。该方法简单易行,但是训练时间较长,一般用来确定参数范围,再用其他方法进行渐近搜索。

4)统计学习理论的VC 维学习方法[117

、118]

采用统计学习理论的方法导出模型推广错误的界,并用VC 维来表示,用统计学习理论选择的核和调整因子C 可以使VC 维的上界最小,从而可以确定模型的参数。但这种方法需要在非线性空间计算超球半径。

5)Bayesian 学习方法

James Tin-Yau Kwok基于权值空间的观点给出了SVM的贝叶斯解释[119]。说明了SVM可以解释为MacKay证据体系的第一层推理,还说明了证据体系下的第二层、第三层推理也可以应用到SVM:第一个层次的推导考虑w的概率分布(在一个潜在的无限维空间),确定正则项和损失函数的可能性;第二层推理是调整因子C的推导;第三个层次的推理是获得核参数。

(完整word版)支持向量机(SVM)原理及应用概述分析

支持向量机(SVM )原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后,SVM 一直倍受关注。同年,Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ,通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0),同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数),SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程;1996年,Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ,SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注:一维空间为点;二维空间为线;三维空间为面;高维空间为超平面。),但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面,而是找到能准确预测数据分布的平面,两者最终都转换为最优化问题的求解;1998年,Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ,Multi-SVM),通过将多类分类转化成二类分类,将SVM 应用于多分类问题的判断:此外,在SVM 算法的基本框架下,研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如,Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ,LS —SVM)算法,Joachims 等人提出的SVM-1ight ,张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ,CSVM),Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后,台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结,并设计开发出较为完善的SVM 工具包,也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包,可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法,它以结构风险最小化原则为理论基础,通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数,使学习机器的实际风险达到最小,保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器,对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想:首先,在线性可分情况下,在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下,加入了松弛变量进行分析,通过使用非线性映射将低维输

支持向量机及支持向量回归简介

3.支持向量机(回归) 3.1.1 支持向量机 支持向量机(SVM )是美国Vapnik 教授于1990年代提出的,2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。它的结构酷似三层感知器,是构造分类规则的通用方法。SVM 方法的贡献在于,它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则,为分类算法提供了统一的理论框架。作为副产品,SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用,因此,将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。 所谓核技巧,就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=,代 替在特征空间中内积(),())x y φφ(的计算。因为对于非线性分类,一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间,使之分离性状况得到很大改观,此时在该特征空间中进行分类,然后再返会原空间,就得到了原输入空间的非线性分类。由于内积运算量相当大,核技巧就是为了降低计算量而生的。 特别, 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形,设(,)K x y 是定义在输入空间 n R 上的二元函数,设H 中的规范正交基为12(),(),...,(), ...n x x x φφφ。如果 2 2 1 (,)((),()), {}k k k k k K x y a x y a l φφ∞ == ∈∑ , 那么取1 ()() k k k x a x φφ∞ ==∑ 即为所求的非线性嵌入映射。由于核函数(,)K x y 的定义 域是原来的输入空间,而不是高维的特征空间。因此,巧妙地避开了计算高维内 积 (),())x y φφ(所需付出的计算代价。实际计算中,我们只要选定一个(,)K x y ,

支持向量机分类器

支持向量机分类器 1 支持向量机的提出与发展 支持向量机( SVM, support vector machine )是数据挖掘中的一项新技术,是借助于最优化方法来解决机器学习问题的新工具,最初由V.Vapnik 等人在1995年首先提出,近几年来在其理论研究和算法实现等方面都取得了很大的进展,开始成为克服“维数灾难”和过学习等困难的强有力的手段,它的理论基础和实现途径的基本框架都已形成。 根据Vapnik & Chervonenkis的统计学习理论 ,如果数据服从某个(固定但未知的)分布,要使机器的实际输出与理想输出之间的偏差尽可能小,则机器应当遵循结构风险最小化 ( SRM,structural risk minimization)原则,而不是经验风险最小化原则,通俗地说就是应当使错误概率的上界最小化。SVM正是这一理论的具体实现。与传统的人工神经网络相比, 它不仅结构简单,而且泛化( generalization)能力明显提高。 2 问题描述 2.1问题引入 假设有分布在Rd空间中的数据,我们希望能够在该空间上找出一个超平面(Hyper-pan),将这一数据分成两类。属于这一类的数据均在超平面的同侧,而属于另一类的数据均在超平面的另一侧。如下图。 比较上图,我们可以发现左图所找出的超平面(虚线),其两平行且与两类数据相切的超平面(实线)之间的距离较近,而右图则具有较大的间隔。而由于我们希望可以找出将两类数据分得较开的超平面,因此右图所找出的是比较好的超平面。 可以将问题简述如下: 设训练的样本输入为xi,i=1,…,l,对应的期望输出为yi∈{+1,-1},其中+1和-1分别代表两类的类别标识,假定分类面方程为ω﹒x+b=0。为使分类面对所有样本正确分类并且具备分类间隔,就要求它满足以下约束条件: 它追求的不仅仅是得到一个能将两类样本分开的分类面,而是要得到一个最优的分类面。 2.2 问题的数学抽象 将上述问题抽象为: 根据给定的训练集

支持向量回归简介

支持向量回归简介 人类通过学习,从已知的事实中分析、总结出规律,并且根据规律对未来 的现象或无法观测的现象做出正确的预测和判断,即获得认知的推广能力。在对智能机器的研究当中,人们也希望能够利用机器(计算机)来模拟人的良好学习能力,这就是机器学习问题。基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面,机器学习的目的是通过对已知数据的学习,找到数据内在的相互依赖关系,从而获得对未知数据的预测和判断能力,在过去的十几年里,人工神经网络以其强大的并行处理机制、任意函数的逼近能力,学习能力以及自组织和自适应能力等在模式识别、预测和决策等领域得到了广泛的应用。但是神经网络受到网络结构复杂性和样本复杂性的影响较大,容易出现“过学习”或低泛化能力。特别是神经网络学习算法缺乏定量的分析与完备的理论基础支持,没有在本质上推进学习过程本质的认识。 现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论,现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中,样本数往往是有限的,因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。 与传统统计学相比, 统计学习理论(Statistical Learning Theory 或SLT ) 是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论Vladimir N. Vapnik 等人从六、七十年代开始致力于此方面研究,到九十年代中期,随着其理论的不断发展和成熟[17] ,也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实 质性进展, 统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。 统计学习理论是建立在一套较坚实的理论基础之上的,为解决有限样本学习问题提供了一个统一的框架。它能将很多现有方法纳入其中,有望帮助解决许多原来难以解决的问题(比如神经网络结构选择问题、局部极小点问题)等;同时, 在这一理论基础上发展了一种新的通用学习方法—支持向量机(Support Vector Machine 或SVM ) ,它已初步表现出很多优于已有方法的性能。一些学者认为,SVM 正在成为继神经网络研究之后新的研究热点,并将有力地推动机 器学习理论和技术的发展。 支持向量机(SVM )是一种比较好的实现了结构风险最小化思想的方法。它的机器学习策略是结构风险最小化原则为了最小化期望风险,应同时最小化经验风险和置信范围) 支持向量机方法的基本思想: (1 )它是专门针对有限样本情况的学习机器,实现的是结构风险最小化:在对给定的数据逼近的精度与逼近函数的复杂性之间寻求折衷,以期获得最好的推广能力; (2 )它最终解决的是一个凸二次规划问题,从理论上说,得到的将是全局最优解,解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题; (3 )它将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间,在高维空间中构造线性决策函数来实现原空间中的非线性决策函数,巧妙地解决了维数问题,并保证了有较好的推广能力,而且算法复杂度与样本维数无关。 目前,SVM 算法在模式识别、回归估计、概率密度函数估计等方面都有应用,且算法在效率与精度上已经超过传统的学习算法或与之不相上下。

支持向量机数据分类预测

支持向量机数据分类预测 一、题目——意大利葡萄酒种类识别 Wine数据来源为UCI数据库,记录同一区域三种品种葡萄酒的化学成分,数据有178个样本,每个样本含有13个特征分量。50%做为训练集,50%做为测试集。 二、模型建立 模型的建立首先需要从原始数据里把训练集和测试集提取出来,然后进行一定的预处理,必要时进行特征提取,之后用训练集对SVM进行训练,再用得到的模型来预测试集的分类。 三、Matlab实现 3.1 选定训练集和测试集 在178个样本集中,将每个类分成两组,重新组合数据,一部分作为训练集,一部分作为测试集。 % 载入测试数据wine,其中包含的数据为classnumber = 3,wine:178*13的矩阵,wine_labes:178*1的列向量 load chapter12_wine.mat; % 选定训练集和测试集 % 将第一类的1-30,第二类的60-95,第三类的131-153做为训练集 train_wine = [wine(1:30,:);wine(60:95,:);wine(131:153,:)]; % 相应的训练集的标签也要分离出来 train_wine_labels = [wine_labels(1:30);wine_labels(60:95);wine_labels(131:153)]; % 将第一类的31-59,第二类的96-130,第三类的154-178做为测试集 test_wine = [wine(31:59,:);wine(96:130,:);wine(154:178,:)]; % 相应的测试集的标签也要分离出来 test_wine_labels = [wine_labels(31:59);wine_labels(96:130);wine_labels(154:178)]; 3.2数据预处理 对数据进行归一化: %% 数据预处理 % 数据预处理,将训练集和测试集归一化到[0,1]区间 [mtrain,ntrain] = size(train_wine); [mtest,ntest] = size(test_wine); dataset = [train_wine;test_wine]; % mapminmax为MATLAB自带的归一化函数 [dataset_scale,ps] = mapminmax(dataset',0,1); dataset_scale = dataset_scale';

(完整版)支持向量回归机

3.3 支持向量回归机 SVM 本身是针对经典的二分类问题提出的,支持向量回归机(Support Vector Regression ,SVR )是支持向量在函数回归领域的应用。SVR 与SVM 分类有以下不同:SVM 回归的样本点只有一类,所寻求的最优超平面不是使两类样本点分得“最开”,而是使所有样本点离超平面的“总偏差”最小。这时样本点都在两条边界线之间,求最优回归超平面同样等价于求最大间隔。 3.3.1 SVR 基本模型 对于线性情况,支持向量机函数拟合首先考虑用线性回归函数 b x x f +?=ω)(拟合n i y x i i ,...,2,1),,(=,n i R x ∈为输入量,R y i ∈为输出量,即 需要确定ω和b 。 图3-3a SVR 结构图 图3-3b ε不灵敏度函数 惩罚函数是学习模型在学习过程中对误差的一种度量,一般在模型学习前己经选定,不同的学习问题对应的损失函数一般也不同,同一学习问题选取不同的损失函数得到的模型也不一样。常用的惩罚函数形式及密度函数如表3-1。 表3-1 常用的损失函数和相应的密度函数 损失函数名称 损失函数表达式()i c ξ% 噪声密度 ()i p ξ ε -不敏感 i εξ 1 exp()2(1) i εξε-+ 拉普拉斯 i ξ 1 exp()2 i ξ- 高斯 212 i ξ 21 exp()22i ξπ -

标准支持向量机采用ε-不灵敏度函数,即假设所有训练数据在精度ε下用线性函数拟合如图(3-3a )所示, ** ()()1,2,...,,0 i i i i i i i i y f x f x y i n εξεξξξ-≤+??-≤+=??≥? (3.11) 式中,*,i i ξξ是松弛因子,当划分有误差时,ξ,*i ξ都大于0,误差不存在取0。这时,该问题转化为求优化目标函数最小化问题: ∑=++?=n i i i C R 1 ** )(21 ),,(ξξωωξξω (3.12) 式(3.12)中第一项使拟合函数更为平坦,从而提高泛化能力;第二项为减小误差;常数0>C 表示对超出误差ε的样本的惩罚程度。求解式(3.11)和式(3.12)可看出,这是一个凸二次优化问题,所以引入Lagrange 函数: * 11 ****1 1 1()[()] 2[()]() n n i i i i i i i i n n i i i i i i i i i i L C y f x y f x ωωξξαξεαξεξγξγ=====?++-+-+-+-+-+∑∑∑∑ (3.13) 式中,α,0*≥i α,i γ,0*≥i γ,为Lagrange 乘数,n i ,...,2,1=。求函数L 对ω, b ,i ξ,*i ξ的最小化,对i α,*i α,i γ,*i γ的最大化,代入Lagrange 函数得到对偶形式,最大化函数:

用于分类的支持向量机

文章编号:100228743(2004)0320075204 用于分类的支持向量机 黄发良,钟 智Ξ (1.广西师范大学计算机系,广西桂林541000;  2.广西师范学院数学与计算机科学系,广西南宁530001) 摘 要:支持向量机是20世纪90年代中期发展起来的机器学习技术,建立在结构风险最小化原理之上的支持向量机以其独有的优点吸引着广大研究者,该文着重于用于分类的支持向量机,对其基本原理与主要的训练算法进行介绍,并对其用途作了一定的探索. 关键词:支持向量机;机器学习;分类 中图分类号:TP181 文献标识码:A 支持向量机S VM (Support Vector Machine )是AT&T Bell 实验室的V.Vapnik 提出的针对分类和回归问题的统计学习理论.由于S VM 方法具有许多引人注目的优点和有前途的实验性能,越来越受重视,该技术已成为机器学习研究领域中的热点,并取得很理想的效果,如人脸识别、手写体数字识别和网页分类等. S VM 的主要思想可以概括为两点:(1)它是针对线性可分情况进行分析,对于线性不可分的情况,通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分,从而使得高维特征空间采用线性算法对样本的非线性特征进行线性分析成为可能;(2)它基于结构风险最小化理论之上在特征空间中建构最优分割超平面,使得学习器得到全局最优化,并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界. 1 基本原理 支持向量机理论最初来源于数据分类问题的处理,S VM 就是要寻找一个满足要求的分割平面,使训练集中的点距离该平面尽可能地远,即寻求一个分割平面使其两侧的margin 尽可能最大. 设输入模式集合{x i }∈R n 由两类点组成,如果x i 属于第1类,则y i =1,如果x i 属于第2类,则y i =-1,那么有训练样本集合{x i ,y i },i =1,2,3,…,n ,支持向量机的目标就是要根据结构风险最小化原理,构造一个目标函数将两类模式尽可能地区分开来,通常分为两类情况来讨论,(1)线性可分,(2)线性不可分. 1.1 线性可分情况 在线性可分的情况下,就会存在一个超平面使得训练样本完全分开,该超平面可描述为: w ?x +b =0(1) 其中,“?”是点积,w 是n 维向量,b 为偏移量. 最优超平面是使得每一类数据与超平面距离最近的向量与超平面之间的距离最大的这样的平面.最优超平面可以通过解下面的二次优化问题来获得: min <(w )= 12‖w ‖2(2) Ξ收稿日期:2004202206作者简介:黄发良(1975-),男,湖南永州人,硕士研究生;研究方向:数据挖掘、web 信息检索. 2004年9月 广西师范学院学报(自然科学版)Sep.2004 第21卷第3期 Journal of G u angxi T eachers Education U niversity(N atural Science Edition) V ol.21N o.3

随机森林与支持向量机分类性能比较

随机森林与支持向量机分类性能比较 黄衍,查伟雄 (华东交通大学交通运输与经济研究所,南昌 330013) 摘要:随机森林是一种性能优越的分类器。为了使国内学者更深入地了解其性能,通过将其与已在国内得到广泛应用的支持向量机进行数据实验比较,客观地展示其分类性能。实验选取了20个UCI数据集,从泛化能力、噪声鲁棒性和不平衡分类三个主要方面进行,得到的结论可为研究者选择和使用分类器提供有价值的参考。 关键词:随机森林;支持向量机;分类 中图分类号:O235 文献标识码: A Comparison on Classification Performance between Random Forests and Support Vector Machine HUANG Yan, ZHA Weixiong (Institute of Transportation and Economics, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)【Abstract】Random Forests is an excellent classifier. In order to make Chinese scholars fully understand its performance, this paper compared it with Support Vector Machine widely used in China by means of data experiments to objectively show its classification performance. The experiments, using 20 UCI data sets, were carried out from three main aspects: generalization, noise robustness and imbalanced data classification. Experimental results can provide references for classifiers’ choice and use. 【Key words】Random Forests; Support Vector Machine; classification 0 引言 分类是数据挖掘领域研究的主要问题之一,分类器作为解决问题的工具一直是研究的热点。常用的分类器有决策树、逻辑回归、贝叶斯、神经网络等,这些分类器都有各自的性能特点。本文研究的随机森林[1](Random Forests,RF)是由Breiman提出的一种基于CART 决策树的组合分类器。其优越的性能使其在国外的生物、医学、经济、管理等众多领域到了广泛的应用,而国内对其的研究和应用还比较少[2]。为了使国内学者对该方法有一个更深入的了解,本文将其与分类性能优越的支持向量机[3](Support Vector Machine,SVM)进行数据实验比较,客观地展示其分类性能。本文选取了UCI机器学习数据库[4]的20个数据集作为实验数据,通过大量的数据实验,从泛化能力、噪声鲁棒性和不平衡分类三个主要方面进行比较,为研究者选择和使用分类器提供有价值的参考。 1 分类器介绍 1.1 随机森林 随机森林作为一种组合分类器,其算法由以下三步实现: 1. 采用bootstrap抽样技术从原始数据集中抽取n tree个训练集,每个训练集的大小约为原始数据集的三分之二。 2. 为每一个bootstrap训练集分别建立分类回归树(Classification and Regression Tree,CART),共产生n tree棵决策树构成一片“森林”,这些决策树均不进行剪枝(unpruned)。在作者简介:黄衍(1986-),男,硕士研究生,主要研究方向:数据挖掘与统计分析。 通信联系人:查伟雄,男,博士,教授,主要研究方向:交通运输与经济统计分析。 E-mail: huangyan189@https://www.wendangku.net/doc/e616249510.html,.

支持向量机SVM分类算法

支持向量机SVM分类算法 SVM的简介 支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的,它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势,并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中[10]。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的,根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度,Accuracy)和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷,以期获得最好的推广能力[14](或称泛化能力)。 以上是经常被有关SVM 的学术文献引用的介绍,我来逐一分解并解释一下。 Vapnik是统计机器学习的大牛,这想必都不用说,他出版的《Statistical Learning Theory》是一本完整阐述统计机器学习思想的名著。在该书中详细的论证了统计机器学习之所以区别于传统机器学习的本质,就在于统计机器学习能够精确的给出学习效果,能够解答需要的样本数等等一系列问题。与统计机器学习的精密思维相比,传统的机器学习基本上属于摸着石头过河,用传统的机器学习方法构造分类系统完全成了一种技巧,一个人做的结果可能很好,另一个人差不多的方法做出来却很差,缺乏指导和原则。所谓VC维是对函数类的一种度量,可以简单的理解为问题的复杂程度,VC维越高,一个问题就越复杂。正是因为SVM关注的是VC维,后面我们可以看到,SVM解决问题的时候,和样本的维数是无关的(甚至样本是上万维的都可以,这使得SVM很适合用来解决文本分类的问题,当然,有这样的能力也因为引入了核函数)。 结构风险最小听上去文绉绉,其实说的也无非是下面这回事。 机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近(我们选择一个我们认为比较好的近似模型,这个近似模型就叫做一个假设),但毫无疑问,真实模型一定是不知道的(如果知道了,我们干吗还要机器学习?直接用真实模型解决问题不就可以了?对吧,哈哈)既然真实模型不知道,那么我们选择的假设与问题真实解之间究竟有多大差距,我们就没法得知。比如说我们认为宇宙诞生于150亿年前的一场大爆炸,这个假设能够描述很多我们观察到的现象,但它与真实的宇宙模型之间还相差多少?谁也说不清,因为我们压根就不知道真实的宇宙模型到底是什么。 这个与问题真实解之间的误差,就叫做风险(更严格的说,误差的累积叫做风险)。我们选择了一个假设之后(更直观点说,我们得到了一个分类器以后),真实误差无从得知,但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。最直观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实结果(因为样本是已经标注过的数据,是准确的数据)之间的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)。以前的机器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标,但后来发现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率,在真实分类时却一塌糊涂(即所谓的推广能力差,或泛化能力差)。此时的情况便是选择了一个足够复杂的分类函数(它的VC维很高),能够精确的记住每一个样本,但对样本之外的数据一律分类错误。回头看看经验风险最小化原则我们就会发现,此原则适用的大前提是经验风险要确实能够逼近真实风险才行(行话叫一致),但实际上能逼近么?答案是不能,因为样本数相对于现实世界要分类的文本数来说简直九牛

支持向量机非线性回归通用MATLAB源码

支持向量机非线性回归通用MA TLAB源码 支持向量机和BP神经网络都可以用来做非线性回归拟合,但它们的原理是不相同的,支持向量机基于结构风险最小化理论,普遍认为其泛化能力要比神经网络的强。大量仿真证实,支持向量机的泛化能力强于BP网络,而且能避免神经网络的固有缺陷——训练结果不稳定。本源码可以用于线性回归、非线性回归、非线性函数拟合、数据建模、预测、分类等多种应用场合,GreenSim团队推荐您使用。 function [Alpha1,Alpha2,Alpha,Flag,B]=SVMNR(X,Y,Epsilon,C,TKF,Para1,Para2) %% % SVMNR.m % Support Vector Machine for Nonlinear Regression % All rights reserved %% % 支持向量机非线性回归通用程序 % GreenSim团队原创作品,转载请注明 % GreenSim团队长期从事算法设计、代写程序等业务 % 欢迎访问GreenSim——算法仿真团队→ % 程序功能: % 使用支持向量机进行非线性回归,得到非线性函数y=f(x1,x2,…,xn)的支持向量解析式,% 求解二次规划时调用了优化工具箱的quadprog函数。本函数在程序入口处对数据进行了% [-1,1]的归一化处理,所以计算得到的回归解析式的系数是针对归一化数据的,仿真测 % 试需使用与本函数配套的Regression函数。 % 主要参考文献: % 朱国强,刘士荣等.支持向量机及其在函数逼近中的应用.华东理工大学学报 % 输入参数列表 % X 输入样本原始数据,n×l的矩阵,n为变量个数,l为样本个数 % Y 输出样本原始数据,1×l的矩阵,l为样本个数 % Epsilon ε不敏感损失函数的参数,Epsilon越大,支持向量越少 % C 惩罚系数,C过大或过小,泛化能力变差 % TKF Type of Kernel Function 核函数类型 % TKF=1 线性核函数,注意:使用线性核函数,将进行支持向量机的线性回归 % TKF=2 多项式核函数 % TKF=3 径向基核函数 % TKF=4 指数核函数 % TKF=5 Sigmoid核函数 % TKF=任意其它值,自定义核函数 % Para1 核函数中的第一个参数 % Para2 核函数中的第二个参数 % 注:关于核函数参数的定义请见Regression.m和SVMNR.m内部的定义 % 输出参数列表 % Alpha1 α系数 % Alpha2 α*系数 % Alpha 支持向量的加权系数(α-α*)向量

20.ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析

ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析 一、支持向量机算法介绍 1.支持向量机算法的理论背景 支持向量机分类(Support Vector Machine或SVM)是一种建立在统计学习理论(Statistical Learning Theory或SLT)基础上的机器学习方法。 与传统统计学相比,统计学习理论(SLT)是一种专门研究小样本情况下及其学习规律的理论。该理论是建立在一套较坚实的理论基础之上的,为解决有限样本学习问题提供了一个统一的框架。它能将许多现有方法纳入其中,有望帮助解决许多原来难以解决的问题,如神经网络结构选择问题、局部极小点问题等;同时,在这一理论基础上发展了一种新的通用学习方法——支持向量机(SVM),已初步表现出很多优于已有方法的性能。一些学者认为,SLT和SVM正在成为继神经网络研究之后新的研究热点,并将推动机器学习理论和技术的重大发展。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维(VC Dimension)理论和结构风险最小原理基础上的,根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度)和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷,以期获得最好的推广能力。 支持向量机的几个主要优点有: (1)它是专门针对有限样本情况的,其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大时的最优值; (2)算法最终将转化成为一个二次型寻优问题,从理论上说,得到的将是全局最优点,解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题; (3)算法将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间(Feature Space),在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函数,特殊性质能保证机器有较 好的推广能力,同时它巧妙地解决了维数问题,其算法复杂度与样本维数无关; 2.支持向量机算法简介 通过学习算法,SVM可以自动寻找那些对分类有较大区分能力的支持向量,由此构造出分类器,可以将类与类之间的间隔最大化,因而有较好的推广性和较高的分类准确率。 最优分类面(超平面)和支持向量

支持向量机SMO算法汇总

支持向量机SMO算法 1 简介 支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候,老师要求交《统计学习理论》的报告,那时去网上下了一份入门教程,里面讲的很通俗,当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料,让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出SVM什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发,引出了SVM,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。 2 重新审视logistic回归 Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此,使用logistic函数(或称作sigmoid 函数)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率。 形式化表示就是 假设函数 其中x是n维特征向量,函数g就是logistic函数。 的图像是 可以看到,将无穷映射到了(0,1)。

而假设函数就是特征属于y=1的概率。 当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时,只需求,若大于0.5就是y=1的类,反之属于y=0类。 再审视一下,发现只和有关,>0,那么,g(z)只不过是用来映 射,真实的类别决定权还在。还有当时,=1,反之=0。如果我们只从 出发,希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征,而是y=0的特征 。Logistic回归就是要学习得到,使得正例的特征远大于0,负例的特征远小于0, 强调在全部训练实例上达到这个目标。 图形化表示如下: 中间那条线是,logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就 中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的,然而C我们是不太确定的,B还算能够确定。这样我们可以得出结论,我们更应该关心靠近中间分割线的点,让他们尽可能地远离中间线,而不是在所有点上达到最优。因为那样的话,要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点,一个考虑局部(不关心已经确定远离的点),一个考虑全局(已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。

基于支持向量机回归模型的海量数据预测

2007,43(5)ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用 1问题的提出 航空公司在客舱服务部逐步实行“费用包干”政策,即:综合各方面的因素,总公司每年给客舱服务部一定额度的经费,由客舱服务部提供客舱服务,而客舱服务产生的所有费用,由客舱服务部在“费用包干额度”中自行支配。新的政策既给客舱服务部的管理带来了机遇,同时也带来了很大的挑战。通过“费用包干”政策的实施,公司希望能够充分调用客舱服务部的积极性和主动性,进一步改进管理手段,促进新的现代化管理机制的形成。 为了进行合理的分配,必须首先搞清楚部门的各项成本、成本构成、成本之间的相互关系。本文首先对成本组成进行分析,然后用回归模型和支持向量机预测模型对未来的成本进行预测[1-3],并对预测结果的评价和选取情况进行了分析。 2问题的分析 由于客舱服务部的特殊性,“费用包干”政策的一项重要内容就集中在小时费的重新分配问题上,因为作为客舱乘务员的主要组成部分—— —“老合同”员工的基本工资、年龄工资以及一些补贴都有相应的政策对应,属于相对固定的部分,至少目前还不是调整的最好时机。乘务员的小时费收入则是根据各自的飞行小时来确定的变动收入,是当前可以灵活调整的部分。实际上,对于绝大多数员工来说,小时费是其主要的收入部分,因此,用于反映乘务人员劳动强度的小时费就必然地成为改革的重要部分。 现在知道飞行小时和客万公里可能和未来的成本支出有关系,在当前的数据库中有以往的飞行小时(月)数据以及客万公里数据,并且同时知道各月的支出成本,现在希望预测在知道未来计划飞行小时和市场部门希望达到的客万公里的情况下的成本支出。 根据我们对问题的了解,可以先建立这个部门的成本层次模型,搞清楚部门的各项成本、成本构成、成本之间的相互关系。这样,可以对部门成本支出建立一个层次模型:人力资源成本、单独预算成本、管理成本,这三个部分又可以分别继续分层 次细分,如图1所示。 基于支持向量机回归模型的海量数据预测 郭水霞1,王一夫1,陈安2 GUOShui-xia1,WANGYi-fu1,CHENAn2 1.湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙410081 2.中国科学院科技政策与管理科学研究所,北京100080 1.CollegeofMath.andComputer,HunanNormalUniversity,Changsha410081,China 2.InstituteofPolicyandManagement,ChineseAcademyofSciences,Beijing100080,China E-mail:guoshuixia@sina.com GUOShui-xia,WANGYi-fu,CHENAn.Predictiononhugedatabaseontheregressionmodelofsupportvectormachine.ComputerEngineeringandApplications,2007,43(5):12-14. Abstract:Asanimportantmethodandtechnique,predictionhasbeenwidelyappliedinmanyareas.Withtheincreasingamountofdata,predictionfromhugedatabasebecomesmoreandmoreimportant.Basedonthebasicprincipleofvectormachineandim-plementarithmetic,apredictionsysteminfrastructureonanaircompanyisproposedinthispaper.Lastly,therulesofevaluationandselectionofthepredictionmodelsarediscussed. Keywords:prediction;datamining;supportvectormachine;regressionmodel 摘要:预测是很多行业都需要的一项方法和技术,随着数据积累的越来越多,基于海量数据的预测越来越重要,在介绍支持向量机基本原理和实现算法的基础上,给出了航空服务成本预测模型,最后对预测结果的评价和选取情况进行了分析。 关键词:预测;数据挖掘;支持向量机;回归模型 文章编号:1002-8331(2007)05-0012-03文献标识码:A中图分类号:TP18 基金项目:国家自然科学基金(theNationalNaturalScienceFoundationofChinaunderGrantNo.10571051);湖南省教育厅资助科研课题(theResearchProjectofDepartmentofEducationofHunanProvince,ChinaunderGrantNo.06C523)。 作者简介:郭水霞(1975-),女,博士生,讲师,主要研究领域为统计分析;王一夫(1971-),男,博士生,副教授,主要研究领域为计算机应用技术,软件工程技术;陈安(1970-),男,副研究员,主要研究领域为数据挖掘与决策分析。 12

支持向量回归机

支持向量回归机 SVM 本身是针对经典的二分类问题提出的,支持向量回归机(Support Vector Regression ,SVR )是支持向量在函数回归领域的应用。SVR 与SVM 分类有以下不同:SVM 回归的样本点只有一类,所寻求的最优超平面不是使两类样本点分得“最开”,而是使所有样本点离超平面的“总偏差”最小。这时样本点都在两条边界线之间,求最优回归超平面同样等价于求最大间隔。 3.3.1 SVR 基本模型 对于线性情况,支持向量机函数拟合首先考虑用线性回归函数 b x x f +?=ω)(拟合n i y x i i ,...,2,1),,(=,n i R x ∈为输入量,R y i ∈为输出量,即 需要确定ω和b 。 图3-3a SVR 结构图 图3-3b ε不灵敏度函数 惩罚函数是学习模型在学习过程中对误差的一种度量,一般在模型学习前己经选定,不同的学习问题对应的损失函数一般也不同,同一学习问题选取不同的损失函数得到的模型也不一样。常用的惩罚函数形式及密度函数如表3-1。 表3-1 常用的损失函数和相应的密度函数 损失函数名称 损失函数表达式()i c ξ 噪声密度 ()i p ξ ε -不敏感 i εξ 1 exp()2(1) i εξε-+ 拉普拉斯 i ξ 1 exp()2 i ξ- 高斯 212 i ξ 21 exp()22i ξπ -

标准支持向量机采用ε-不灵敏度函数,即假设所有训练数据在精度ε下用线性函数拟合如图(3-3a )所示, ** ()()1,2,...,,0 i i i i i i i i y f x f x y i n εξεξξξ-≤+??-≤+=??≥? () 式中,*,i i ξξ是松弛因子,当划分有误差时,ξ,*i ξ都大于0,误差不存在取0。这时,该问题转化为求优化目标函数最小化问题: ∑=++?=n i i i C R 1 ** )(21 ),,(ξξωωξξω () 式()中第一项使拟合函数更为平坦,从而提高泛化能力;第二项为减小误差;常数0>C 表示对超出误差ε的样本的惩罚程度。求解式()和式()可看出,这是一个凸二次优化问题,所以引入Lagrange 函数: * 11 ****1 1 1()[()] 2[()]() n n i i i i i i i i n n i i i i i i i i i i L C y f x y f x ωωξξαξεαξεξγξγ=====?++-+-+-+-+-+∑∑∑∑ () 式中,α,0*≥i α,i γ,0*≥i γ,为Lagrange 乘数,n i ,...,2,1=。求函数L 对ω, b ,i ξ,*i ξ的最小化,对i α,*i α,i γ,*i γ的最大化,代入Lagrange 函数得到对偶形式,最大化函数:

3.支持向量机(回归)

3.支持向量机(回归) 3.1.1 支持向量机 支持向量机(SVM是美国Vapnik教授于1990年代提出的,2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。它的结构酷似三层感知器,是构造分类规则的通用方法。SVh方法的贡献在于,它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则,为分类算法提供了统一的理论框架。作为副产品,SVM从理论上解释了多层感知器的 隐蔽层数目和隐节点数目的作用,因此,将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。 所谓核技巧,就是找一个核函数K(x, y)使其满足K(x,y) ( (x), (y)),代 替在特征空间中内积((x), (y))的计算。因为对于非线性分类,一般是先找一个非线性映射将输入数据映射到高维特征空间,使之分离性状况得到很大改观,此时在该特征空间中进行分类,然后再返会原空间,就得到了原输入空间的非线性分类。由于内积运算量相当大,核技巧就是为了降低计算量而生的。 特别,对特征空间H为Hilbert空间的情形,设K(x, y)是定义在输入空间 R n上的二元函数,设H中的规范正交基为1(x), 2(x),..., n(x), ...。如果 2 K(x, y) a k ( k(x), k(y)), k 1 那么取(x) 3k k(x)即为所求的非线性嵌入映射。由于核函数K(x,y)的定义k 1 域是原来的输入空间,而不是高维的特征空间。因此,巧妙地避开了计算高维内积((x), (y))所需付出的计算代价。实际计算中,我们只要选定一个K(x,y), 并不去重构嵌入映射(x) a k k(x)。所以寻找核函数K(x,y)(对称且非负) k 1

支持向量机在分类和回归中的应用研究_冼广铭

ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用2008,44(27) 1引言 模式分类和回归分析是知识发现中的重要内容,也是处理其它问题的核心。虽然分类和回归具有许多不同的研究内容,但它们之间却具有许多相同之处,简单地说,它们都是研究输入输出变量之间的关系问题,分类的输出是离散的类别值,而回归的输出是连续的数值。用于分类和回归的方法很多,如传统的统计学和神经网络方法和最近刚刚兴起的支持向量机等[1]。 现有机器学习方法的重要理论基础之一是统计学。当人们面对数据而又缺乏理论模型时,统计分析方法是最先采用的方法。然而传统的统计方法只有在样本数量趋于无穷大时才能有理论上的保证,现有学习方法也多是基于此假设。而在实际应用中样本数目通常都是有限的,甚至是小样本,对此基于大数定律的传统统计方法难以取得理想的效果[2]。 ANN(ArtificialNeuralNetwork,人工神经网络)[3]等经验非线性方法利用已知样本建立非线性模型,克服了传统参数估计方法的困难。同时设计者在设计过程中利用了自己的经验和先验知识,取得了许多成功的应用。但是在实际工程应用中,有很多数据建模问题属于数学中的小样本、不适定问题,而人工神经网络等方法忽略了这一特点,将其作为无穷样本、适定问题来求解。所以神经网络具有局部极小点、过学习以及结构和类型的选择过分依赖于经验等固有的缺陷,降低了其应用和发展的效果。 作为分类、回归等问题来说,很可能在低维样本空间无法线性处理的样本集,在高维特征空间却可以通过一个线性超平面实现线性划分(或回归),而与特征空间的线性划分(或回归)相对应的却是样本空间的非线性分类(或回归)。但是采用升维的方法,即向高维空间做映射,一般只会增加计算的复杂性,甚至会引起“维数灾难”。 SVM通过核函数实现到高维空间的非线性映射,所以适合于解决本质上非线性的分类、回归等问题。同时,SVM方法巧妙地解决了如何求得非线性映射和解决算法的复杂性这两个难题:由于应用了核函数的展开定理,所以根本不需要知道非线性映射的显式表达式;由于是在高维特征空间中应用线性学习机的方法,所以与线性模型相比几乎不增加计算的复杂性,这在某种程度上避免了“维数灾难”[2]。 近年来SVM在许多领域的分类和回归方面起了越来越重要的作用,显示了它的优势,成为继模式识别和神经网络研究之后机器学习领域的一个新颖而有发展前途的研究方向。随着研究的进一步深入,SVM的应用将更加广泛。 国际上对SVM算法及其应用的研究日益广泛和深入,而我国在此领域的研究才刚起步不久[4]。因此,加强这一方面的研究工作,使我国在这一领域的研究和应用能够尽快赶上国际先 ◎数据库、信号与信息处理◎ 支持向量机在分类和回归中的应用研究 冼广铭1,曾碧卿1,冼广淋2 XIANGuang-ming1,ZENGBi-qing1,XIANGuang-lin2 1.华南师范大学南海校区计算机工程系,广东佛山528225 2.广东轻工职业技术学院计算机系,广州510300 1.DepartmentofComputerEngineering,NanhaCampus,SouthChinaNormalUniversity,Foshan,Guangdong528225,China 2.DepartmentofComputerEngineering,GuangdongIndustryTechnicalCollege,Guangzhou510300,China E-mail:Xgm20011@163.com XIANGuang-ming,ZENGBi-qing,XIANGuang-lin.ApplicationresearchofSVMinclassificationandregression.ComputerEngineeringandApplications,2008,44(27):134-136. Abstract:SVMplayamoreandmoreimportantroleinclassificationandregression.Becauseofexcellentperformanceinappli-cation,alotofSVMmethodisproposedinrecentyears.InthispaperaseriesofissueaboutSVMinclassificationandregres-sionisproposed.Itismagnificantforustocatchupwithinternationaladvancelevel. Keywords:SupportVectorMachine(SVM);classification;regression 摘要:SVM在许多领域的分类和回归方面起了越来越重要的作用,显示了它的优势。由于SVM方法较好的理论基础和它在一些领域的应用中表现出来的与众不同的优秀的泛化性能,近年来,许多关于SVM方法的应用研究陆续提了出来。围绕支持向量机在分类和回归中的问题进行了阐述,使我国在这一领域的研究和应用能够尽快赶上国际先进水平具有十分重要的意义。 关键词:支持向量机;分类;回归 DOI:10.3778/j.issn.1002-8331.2008.27.043文章编号:1002-8331(2008)27-0134-03文献标识码:A中图分类号:TP311 作者简介:冼广铭,男,博士,讲师,研究方向为数据挖掘和软件工程等。 收稿日期:2008-01-08修回日期:2008-07-14 134

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