2014年广东省高考数学试卷(文科)

2014年广东省高考数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}

2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）

A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i

3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）

A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0） D．（4，3）

4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）

A．7 B．8 C．10 D．11

5．（5分）下列函数为奇函数的是（）

A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x

6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）

A．50 B．40 C．25 D．20

7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“s inA ≤sinB”的（）

A．充分必要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）

A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等

9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定

10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：

①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）

②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）

③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；

④z1*z2=z2*z1

则真命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）

11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．

12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．

13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．

（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．

【几何证明选讲选做题】

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．

四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．

（1）求A的值；

（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．

17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

（3）求这20名工人年龄的方差．

18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．

19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．

（1）求a1的值；

（2）求数列{a n}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．

2014年广东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}

【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，

∴M∩N={2，3}，

故选：B．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）

A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i

【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．

【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，

故选：D．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）

A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0） D．（4，3）

【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），

∴﹣=（2，﹣1）

故选：B．

【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．

4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）

A．7 B．8 C．10 D．11

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，

直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，

故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

5．（5分）下列函数为奇函数的是（）

A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x

【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2x﹣，由于f（﹣x）=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f（x），故此函数为奇函数．

对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．

对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．

对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），

故此函数为非奇非偶函数．

故选：A．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．

6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）

A．50 B．40 C．25 D．20

【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．

【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，

∴样本数据间隔为1000÷40=25．

故选：C．

【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．

7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的（）

A．充分必要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．

【解答】解：由正弦定理可知?=，

∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，

∴a，b，sinA，sinB都是正数，

∴“a≤b”?“sinA≤sinB”．

∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．

8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）

A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等

【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．

【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16，

即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16，b2=5﹣k，c2=21﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16﹣k，b2=5，c2=21﹣k，

即两个双曲线的焦距相等，

故选：D．

【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．

9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定

【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．

【解答】解：在正方体中，若AB所在的直线为l2，CD所在的直线为l3，AE所在的直线为l1，

若GD所在的直线为l4，此时l1∥l4，

若BD所在的直线为l4，此时l1⊥l4，

故l1与l4的位置关系不确定，

故选：D．

【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．

10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：

①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）

②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）

③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；

④z1*z2=z2*z1

则真命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．

+z2）*z3=（z1+z2）=（z1+z2=（z1*z3）+（z2*z3），正

【解答】解：①（z

确；

②z 1*（z2+z3）=z1（）=z1（+）=z1+z1=（z1*z2）+（z1*z3），正确；

*z2）*z3=z1，z1*（z2*z3）=z1*（z2）=z1（）=z1z3，等式不

③（z

成立，故错误；

④z 1*z2=z1，z2*z1=z2，等式不成立，故错误；

综上所述，真命题的个数是2个，

故选：B．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．

二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）

11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．

【解答】解：y′=﹣5e x，

∴y′|x=0=﹣5．

因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．

故答案为：5x+y+2=0．

【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．

12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率

为．

【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．

【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有=10种情况，取到字母a，共有=4种情况，

∴所求概率为=．

故答案为：．

【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．

【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．

【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．

又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．

故5log2a3=5log22=5．

故选为：5．

【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．

（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．

【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．

【解答】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，

即y=2x2．

由ρcosθ=1，得x=1．

联立，解得：．

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

【几何证明选讲选做题】

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．

【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，

∴AB∥CD，CD=3AE，

∴△CDF∽△AEF，

∴==3．

故答案为：3．

【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．

四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．

（1）求A的值；

（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．

【分析】（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；

（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，

∴f（）=Asin（+）=Asin=，

∴．

（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），

∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）

=3[（）﹣（）]

=3?2sinθcos=3sinθ=，

∴sinθ=，

∴cosθ=，

∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．

17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

（3）求这20名工人年龄的方差．

【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；

（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；

（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．

【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；

（2）茎叶图如下：

（3）年龄的平均数为：=30．

这20名工人年龄的方差为S2=[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．

【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．

18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．

【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；

（2）求出△CDE的面积S

△CDE ，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V M

﹣CDE

．

【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；

又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，

又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，

∴∠P=30°，∠PCD=60°，

∴∠CDF=30°，CF=CD=；

∵EF∥DC，∴=，即=，

∴DE=，∴PE=，

=CD?DE=；

∴S

△CDE

MD===，

=S△CDE?MD=××=．

∴V M

﹣CDE

【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．

19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．

（1）求a1的值；

（2）求数列{a n}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；

（2）利用a n与S n的关系，将条件转化为a n的方程，从而求出a n；

（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：，即．

∴（S1+3）（S1﹣2）=0．

∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．

（2）由得：

．

（n∈N*），

∵a n

＞0

∴S n＞0．

∴．

∴当n≥2时，，

又∵a1=2=2×1，

∴．

（3）由（2）可知=，

?n∈N*，=＜=（），

当n=1时，显然有=＜；

当n≥2时，

＜+=﹣?＜

所以，对一切正整数n，有．

【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．

20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．

（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．

【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，

∴椭圆的方程为+=1．

（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，

②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，

+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，

∴﹣1=k1?k2==﹣1，

∴x02+y02=13．

把点（±3，±2）代入亦成立，

∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．

21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；

对第（2）问，可将f（x0）=f（）转化为f（x0）﹣f（）=0，即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理．

【解答】解：（1）由f（x）得f′（x）=x2+2x+a，

令f′（x）=0，即x2+2x+a=0，判别式△=4﹣4a，

①当△≤0即a≥1时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．

②当△＞0即a＜1时，方程f′（x）=0的两根为，即，

当x∈（﹣∞，﹣1﹣）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数；

当时，f′（x）＜0，则f（x）为减函数；

当，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数．

综合①、②知，a≥1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），

a＜1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，和，+∞），

f（x）的单调递减区间为．

（2）∵=

=

=

=

=．

∴若存在∪，使得，即，

则关于x的方程4x2+14x+7+12a=0在∪内必有实数解．

∵a＜0，∴△=142﹣16（7+12a）=4（21﹣48a）＞0，

方程4x2+14x+7+12a=0的两根为，即，

∵x0＞0，∴，

依题意有，且，

即，且，∴49＜21﹣48a＜121，且21﹣48a≠81，得，且．

∴当∪时，存在唯一的∪，使得成立；

当∪∪{}时，不存在∪，使

得成立．

【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．