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北师大版九年级下册周周测第二章二次函数周周测9(全章)

第二章二次函数

1．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()

A．对称轴是直线x＝1，最小值是2

B．对称轴是直线x＝1，最大值是2

C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2

D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－Y－1所示，则()

A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0

C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0

2－Y－12－Y－2 3．将如图2－Y－2所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是()

A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1

C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋1

4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－Y－3所示，以下四个结论：①a＞0；

②c＞0；③b2－4ac＞0；④－b

2a＜0，正确的是()

A．①②B．②④

C．①③D．③④

2－Y－32－Y－4

5．如图2－Y－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

6．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．

7．如图2－Y－5，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x ＝1对称，则点Q的坐标为________．

8．已知函数y＝－(x－1)2的图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“＜”“＞”或“＝”)．

2－Y－5

2－Y－6

9．如图2－Y－6，图中二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则下列命题中正确的有________(填序号)．

①abc＞0；②b2＜4ac；③4a－2b＋c＞0；④2a＋b＞c.

10．如图2－Y－7是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：

图2－Y－7

①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________．(只填序号)

11．已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．

(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．1或2

(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；

(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

12．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少？

13．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；

(2)求出水柱的最大高度是多少．

图2－Y－8

14．我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：

(1)当抛物线经过点(－2，0)和(－1，3)时，求抛物线的表达式；

(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；

(3)如图2－Y－9，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，A n在直线y＝－2x 上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．

图2－Y－9

详解详析

1．B

2．B [解析] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的开口向下，∴a ＜0. ∵二次函数图象与y 轴交于负半轴，∴c ＜0. ∵对称轴为直线x ＝－b

＞0，∴b ＞0.故选B.

3．C [解析] 由图象，得原抛物线的表达式为y ＝2x 2－2.

由平移规律，得平移后所得抛物线的表达式为y ＝2(x －1)2＋1，故选C. 4．C [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0，结论①正确； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0，结论②错误；

∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0，结论③正确； ∵抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴－b

＞0，结论④错误．

故选C.

5．C [解析] ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∴b 2－4ac ＞0，∴①错误； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.

∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴a ，b 同号，∴b ＞0.

∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＞0，

∴②正确；

∵x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0. ∵对称轴为直线x ＝－1，∴－b

2a ＝－1，

∴b ＝2a ，

∴a －2a ＋c ＜0，即a ＞c ，

∴③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，

∴x ＝－2和x ＝0时的函数值相等，即x ＝－2时，y ＞0， ∴4a －2b ＋c ＞0，∴④正确． ∴正确的有②③④，3个，

故选C.

6．m >9 [解析] 由Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×m <0，解得m >9.

7．(－2，0) [解析] 设Q (a ，0)，由对称性知，a ＋4

2＝1，∴a ＝－2.即Q (－2，0)．

8．＞ [解析] ∵函数y ＝－(x －1)2，图象的对称轴是直线x ＝1，开口向下，

∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．

∵函数图象上两点A (2，y 1)，B (a ，y 2)，a ＞2，

∴y 1＞y 2.故答案为：＞.

9．①③④ [解析] ∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴， ∴a ＞0，－b

＞0，c ＜0，

∴b ＜0，∴abc ＞0，①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，

∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，②错误；

当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＞0，③正确； ∵0＜－b

＜1，

∴－2a ＜b ＜0，

∴2a ＋b ＞0＞c ，④正确．

故答案为：①③④.

10．②⑤ [解析] 根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0，故①错误；观察图象可知，抛物线与直线y ＝3只有一个交点，故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故②正确；

根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)，故③错误；观察图象可知，当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，故④错误；因为当x ＝1时，y 1有最大值，所以ax 2＋bx ＋c ≤a ＋b ＋c ，即x (ax ＋b )≤a ＋b ，故⑤正确．

所以②⑤正确．故答案为②⑤.

11．[解析] (1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

(2)将二次函数表达式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可； (3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标的范围即可．解：(1)∵函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)， ∴Δ＝(m －1)2＋4m ＝(m ＋1)2≥0，

则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2.故选D.

(2)证明：y ＝－x 2

＋(m －1)x ＋m ＝－(x －m －12)2＋（m ＋1）24，其图象顶点坐标为(m －1

，

（m ＋1）2

)．把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2，得y ＝(m －12＋1)2

＝（m ＋1）24，故不论m 为何值，该函数的

图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上．

(3)设z ＝

()

m ＋12

，

当m ＝－1时，z 有最小值为0；

当m ＜－1时，z 随m 的增大而减小；当m ＞－1时，z 随m 的增大而增大．当m ＝－2时，z ＝1

；当m ＝3时，z ＝4.

则当－2≤m ≤3时，该函数图象的顶点纵坐标z 的取值范围是0≤z ≤4. 12．解：(1)w ＝(x －30)y ＝(x －30)(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800.

所以w 与x 之间的函数关系式为w ＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60)． (2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－(x －45)2＋225. ∵－1<0，∴当x ＝45时，w 有最大值为225.

答：销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元． (3)当w ＝200时，可得方程－(x －45)2＋225＝200. 解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞42，

∴x 2＝50不符合题意，应舍去．

答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个． 13．解：(1)所建直角坐标系不唯一，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．

由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋h (0≤x ≤3)．抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线表达式可得

????4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2.解得???

a ＝－23

，

h ＝83.

∴水柱抛物线的表达式为y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)．化为一般式为y ＝－23x 2＋4

3x ＋

2(0≤x ≤3)．

(2)由(1)知抛物线的表达式为y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)．当x ＝1时，y 最大＝8

∴水柱的最大高度为8

米．

14．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点(－2，0)和(－1，3)，

∴???4a －2b ＝0，a －b ＝3，解得???a ＝－3，b ＝－6，

∴抛物线的表达式为y ＝－3x 2－6x . (2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点坐标是 (－b 2a ，－b 2

)，且该点在直线y ＝－2x 上， ∴－b 24a ＝－2×(－b 2a )．

∵a ≠0，∴－b 2＝4b ，

解得b 1＝－4，b 2＝0.

(3)这组抛物线的顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝－2x 上，由(2)可知，b ＝－4或b ＝0.

①当b ＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去； ②当b ＝－4时，抛物线的表达式为y ＝ax 2－4x .

由题意可知，第n 条抛物线的顶点为A n (－n ，2n )，则D n (－3n ，2n )． ∵以A n 为顶点的抛物线不可能经过点D n ，设第(n ＋k )(k 为正整数)条抛物线经过点D n ，此时第(n ＋k )条抛物线的顶点坐标是A n ＋k (－n －k ，2n ＋2k )，

∴－b

2a ＝－n －k ，

∴a ＝b 2（n ＋k ）＝－2

n ＋k

，

∴第(n ＋k )条抛物线的表达式为y ＝－2n ＋k x 2

－4x .

∵D n (－3n ，2n )在第(n ＋k )条抛物线上， ∴2n ＝－2n ＋k ×(－3n )2－4×(－3n )，解得k ＝4

5n .

∵n ，k 为正整数，且n ≤12，

∴n 1＝5，n 2＝10.

当n ＝5时，k ＝4，n ＋k ＝9；

当n ＝10时，k ＝8，n ＋k ＝18＞12(舍去)， ∴D 5(－15，10)， ∴正方形的边长是10.

北师大版初中数学九年级章节知识点总结

北师大版初中数学九年级(上册)各章标题第一章证明（二）第二章一元二次方程第三章证明（三）第四章视图与投影第五章反比例函数第六章频率与概率北师大版初中数学九年级(下册)各章标题第一章直角三角形边的关系第二章二次函数第三章圆第四章统计与概率北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b