直线方程与两条直线的位置关系(教师版)

同步训练——直线方程与两条直线的位置关系

一、基础知识 （一）、两条直线的位置关系

1、当直线方程为111:b x k y l +=、222:b x k y l +=时， 若1l ∥2l ，则2121b b k k ≠=且；

若1l 、2l 重合，则2121b b k k ==且； 若1l ⊥2l ，则121-=?k k .

2、当两直线方程为0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 、时， 若1l ∥2l ，则12211221≠=C A C A B A B A 且；1221≠C B C B 或, 若1l 、2l 重合，则122112211221C B C B C A C A B A B A ===且且； 若1l ⊥2l ，则02121=+B B A A . （二）、点到直线的距离、直线到直线的距离 1、点P ()00,y x 到直线0=++C By Ax 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

.

2、当1l ∥2l ，且直线方程分别为0:0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 、时，两直线间的距离为：2

2

21B

A C C d +-=

.

（三）、两直线的交点

两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数. （四）、对称问题 1、中心对称：

设平面上两点()()111,,y x P y x P 和关于点()b a A ,对称，则点的坐标满足：

b y y a x x =+=+2

,21

1；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于点A 对称. 2、轴对称：

（1）设平面上有直线0:=++C By Ax l 和两点()()111,,y x P y x P 、，若满足下列两个条件： ①PP 1⊥直线l ；

②PP 1的中点在直线l 上，则点1P P 、关于直线l 对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线l 对称. （2）对称轴是特殊直线的对称问题：

对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解： ①关于x 轴对称，以y -代y ； ②关于y 轴对称，以x -代x ； ③关于直线x y =对称，x 、y 互换；

④关于直线0=+y x 对称，以x -代y ，同时以y -代x ； ⑤关于直线a x =对称，以x a -2代x ； ⑥关于直线b y =对称，以y b -2代y ；

（3）对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点()()2211,,y x Q y x P 、关于直线()00:≠=++AB C By Ax l 对称

则???????=++?++?=--022********C y y B x x A A

B

x x y y

二、基本题型 （一）平行与垂直

【例1—1】直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 （ ）

A. 3x ＋2y －1＝0

B. 3x ＋2y ＋7＝0

C. 2x －3y ＋5＝0

D. 2x －3y ＋8＝0

【解析】由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32

，

由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－3

2

(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0。故选答案：A 。

【例1—2】已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ B ）

A. -1或2

B. -1或-2

C. 1或2

D. 1或-2 【例1—3】（2011广东）过点()21，-P 且方向向量为()21，-=的直线方程为（ A ） A. 02=+y x

B. 052=+-y x

C. 02=-y x

D. 052=-+y x

【例1—4】已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为（ B ）

A. 0

B. －8

C. 2

D. 10

【例1—5】（2008南京）与直线0543=++y x 的方向向量共线的一个单位向量是（ D ）

A. ()43，

B. ()34-，

C. ??? ??5453，

D. ??

?

??-5354，

【例1—6】直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π

2

所得的直线方程是（ D ）

A. x －2y ＋4＝0

B. x ＋2y －4＝0

C. x －2y －4＝0

D. x ＋2y ＋4＝0

【练习1—1】过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）

A ．012=-+y x

B ．052=-+y x

C ．052=-+y x

D ．072=+-y x 【练习1—2】已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 【练习1—3】两条直线2-=ax y 和1)2(++=x a y 互相垂直，则a 等于（ ）

A. 2

B. 1

C.0

D.－1

【练习1—4】已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 【练习1—5】直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行

B ．垂直

C ．斜交

D ．与,,a b θ的值

有关

【练习1—6】（1）经过点A （3，2）且与直线024=-+y x 平行的直线方程为 。 （2）经过点B （3，0）且与直线052=-+y x 垂直的直线方程为 。 （二）两直线的交点：

【例2—1】求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

【例2—2】求点P （2，-1）到直线0332=-+y x 的距离.

【例2—3】已知点A （a ，6）到直线243=-y x 的距离d=4，求a 的值

【例2—4】已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

0:22=++C By Ax l ，求证1l 与2l 的距离为2

221|

|B

A C C d +-=王新敞

【练习2—1】若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为2，则m 的倾斜角可以是

①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．

【练习2—2】已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )

A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1

【练习2—3】两直线x －y －2＝0与2x －2y ＋3＝0的距离为( )

A.

52

2

B.

72

4

C.

22

D.

74

【练习2—4】设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤1

8，求这两条直线之间的距离的最大值和最小值．

（三）两直线相交

【例3—1】 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是

A （-2，1）

B （2，1）

C （1，-2）

D （1，2）

【例3—2】若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，－1]

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

【例3—3】若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-

≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2

3

-≠m ，0≠m

【例3—4】直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)

【例3—5】已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．3

4

k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤

当2

1

0<

是 。

【练习3—2】 求经过两直线1l ：042=+-y x ，2l ：02=-+y x 的交点P ，且与直线3l ：

0543=+-y x 垂直的直线l 的方程。

【练习3—3】 求过点(5,4)A --的直线l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积 为5.

【练习3—4】 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1

b

的值等于．

（四）对称问题

【例4—1】直线ax+by+c=0关于直线y=x 对称的直线方程是( ) A 、bx-ay+c=0 B 、bx+ay+c=0C 、bx+ay-c=0 D 、bx-ay-c=0

【例4—2】(2010·秦皇岛模拟)点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )

A ．(－2,1)

B ．(－2,5)

C ．(2，－5)

D ．(4，－3) 答案：B

解析：验证法，线段PQ 的中点在直线x ＋y －2＝0上，只有B 答案满足． 【例4—3】点(a ，b)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )

A ．(－a －1，－b －1)

B ．(－b －1，－a －1)

C ．(－a ，－b)

D ．(－b ，－a) 答案：B

【例4—4】已知直线l ：x ＋2y －2＝0.

(1)求直线l1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l2的方程；

(2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．

【练习4—1】( 山东实验中学)如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．210 B．6 C．3 3 D．2 5

【练习4—2】直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为( ) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

答案：

【练习4—3】求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．

【练习4—4】已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )

A.7

9

B．－

1

3

C．－

7

9

和－

1

3

D.

7

9

和

1

3