分段函数的几种常见题型及解法
函数的概念和性质
考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-??
=-∈??∈+∞?
的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤??
=?>?+?求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??
=+<≤??-+>?
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10)
.()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤?
222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤?
2
26(12)
.()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤?
y
x
例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设()
f x 的反函数为()y
g x =, 求()g x 的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ?-≥?=?-+
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32
(0)
()(0)x x x f x x
x ?+≥?=?-
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
9．解分段函数的方程
例10．设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1221(0)
()(0)x x f x x x -?-≤?
=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞
例12
．设函数2(1)
(1)()4(1)
x x f x x ?+
（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-?
反馈练习
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝?
??
－x 2
＋2x ，x ≤0，
ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取
值范围是( )
A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]
D ．[－2,0] 2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝???
2x 3，x <0，
－tan x ，0≤x <π
2，
则f ? ??
??
f ? ????π4＝________.
3．（2013北京，5分）函数f (x )＝?????
log 12x ， x ≥1，
2x ， x <1的值域为________．
4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝?
??
x 2
＋1，x ≤1，
lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )
A ．lg 101
B ．2
C ．1
D ．0
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝?
???
?
c x
，x A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝ ??? ax ＋1，－1≤x ＜0， bx ＋2x ＋1 ，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3 2 )，则a ＋3b 的值为________． 7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝??? 2x ＋a ，x ＜1， －x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 函数的概念和性质 考点一 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 【解析】 因为311 222()|1|2f =--=-, 所以31222 32 14 [()]()1()13f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当 1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x = +, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平 移1个单位, 得解析式为1122 (2)111y x x =-+-= -, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以1 2 ()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可 得222(10) ()2(02) x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . y x 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 解析：在定义范围讨论，当0 1y x x =+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设() f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 【解析】 设0x <, 则0x ->, 所以()3 1x f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x f x -=-, 因此 31(0)()0(0)13(0) x x x f x x x -?->? ==??- , 从而可得33log (1)(0) ()0 (0)log (1)(0)x x g x x x x +>??==??-- 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数2 2(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+ 【解析】 当0x >时, 0x -<, 2 2 ()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因 此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 8．判断分段函数的单调性 例8．判断函数32 (0) ()(0)x x x f x x x ?+≥?=?- 【解析】 显然()f x 连续. 当0x ≥时, ' 2 ()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, ' ()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单 调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数. 例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间. 【解析】121231() ()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-?? =+-< , 画图易知单调 减区间为12(,]-∞-. 9．解分段函数的方程 例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,) x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1 ()4f x =的x 的 值为 【解析】 若142 x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =?-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则14 81x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. x 10．解分段函数的不等式 例 11 ． 设 函 数 1221(0)()(0)x x f x x x -?-≤?=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得 取值范围是（ ） .(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞ 【解析1】 首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞. 【解析2】 因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0 2 11x -->, 解得01x <-, 当00x >时, 1 2 01x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞. 故选D. 例12 ．设函数2 (1) (1)()4(1) x x f x x ?+ （ ） A ．(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-? 【解析】 当1x <时, 2 ()1(1)120f x x x x ≥?+≥?≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当 1x ≥时, ()141310f x x ≥?≥?≤?≤, 所以110x ≤≤, 综上所 述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, x y 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 反馈练习 1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝??? －x 2 ＋2x ，x ≤0， ln x ＋1，x ＞0. 若|f (x )|≥ax ，则a 的取 值范围是( ) A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0] 解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时， f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化 简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D. 答案：D 2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝? ?? 2x 3，x <0， －tan x ，0≤x <π 2， 则f ? ?? ?? f ? ????π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ? ?? ? ? π4＝－tan π4＝－1，∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013北京，5分）函数f (x )＝????? log 12x ， x ≥1， 2x ， x <1 的值域为________． 解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度． 分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并 集．当x ≥1时，log 12 x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝? ?? x 2 ＋1，x ≤1， lg x ，x >1，则f (f (10))＝( ) A ．lg 101 B ．2 C ．1 D ．0 解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 答案：B 5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f (x )＝? ??? ? c x