第2课时分式方程的解法
◇教学目标◇
【知识与技能】
能熟练解分式方程.
【过程与方法】
经历解分式方程的过程,体会解分式方程的转化思想,以及转化时需满足的条件.
【情感、态度与价值观】
在解方程中培养学生乐于探究的习惯,培养学生体会数学思想的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
解分式方程.
【教学难点】
解分式方程的步骤.
◇教学过程◇
一、情境导入
面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务,原计划每月固沙造林的面积是多少公顷?
(1)这一问题有哪些等量关系?
(2)如果设原计划每月固沙造林X公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成公顷。
二、合作探究
探究点1解分式方程
典例1解方程:=3.
[解析]去分母,得(x-1)+3x(x+1)=3(x+1)·(x-1),
去括号,得x-1+3x2+3x=3x2-3,
合并同类项,得4x=-2,
解得x=-,
经检验x=-是原方程的解.
所以原方程的解是x=-.
探究点2分式方程的增根
典例2关于x的分式方程+5=有增根,则m的值为()
A.1
B.3
C.4
D.5
[解析]方程两边都乘(x-1),得7x+5(x-1)=2m-1,∵原方程有增根,∴最简公分母(x-1)=0,解得x=1,当x=1时,7=2m-1,解得m=4.
[答案] C
探究点3解分式方程的步骤
典例3如图所示,小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程,那么A和B分别代表的是()
A.分式的基本性质,最简公分母=0
B.分式的基本性质,最简公分母≠0
C.等式的基本性质2,最简公分母=0
D.等式的基本性质2,最简公分母≠0
[解析]去分母的依据是等式基本性质2,检验时最简公分母等于零,原分式方程无解.
[答案] C
探究点4分式方程的解
典例4阅读后解决问题:
在“15.3分式方程”一课的学习中,老师提出这样的一个问题:如果关于x的分式方程=1的解为正数,那么a的取值范围是什么?经过交流后,形成下面两种不同的解析:
小明说:解这个关于x的分式方程,得到方程的解为x=a-2.因为解是正数,可得a-2>0,所以a>2.
小强说:本题还要必须a≠3,所以a取值范围是a>2且a≠3.
(1)小明与小强谁说的对,为什么?
(2)关于x的方程=2有整数解,求整数m的值.
[解析](1)小强的说法对,理由如下:
解分式方程,得到方程的解为x=a-2,
因为解是正数,可得a-2>0,即a>2,
同时a-2≠1,即a≠3,
则a的范围是a>2且a≠3.
(2)去分母得mx-1-1=2x-4,
整理得(m-2)x=-2,
当m≠2时,解得:x=-,
由方程有整数解,得到m-2=±1,m-2=±2,
解得m=3,4,0.
三、板书设计
分式方程的解法
分式方程
◇教学反思◇
本节课是解分式方程的教学,难点是分式方程增根产生的原因,教学中鼓励学生进行反思和自主探索并与同学、老师共同合作交流.让学生主动地获得知识,而且在学习过程中产生积极
的学习兴趣,理解解分式方程的转化思想,让学生在以后的学习中能运用“转化”的数学思想,解决问题.在教学过程中,教师应精心创设求知情境.充分发挥学生主体作用,调动学生学习的积极性和主动性,积极参与教学活动,成为知识的发现者,使学生自觉地而不是被动地进行学习.
初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图
分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质? 4.从实际意义或者问题解决上,分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况,特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图
主题单元学习目标 知识与技能: 1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2.掌握分式的基本性质和分式的约分; 3.分式的乘除运算法则; 4.经历探索分式加减运算法则,理解其算理; 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分; 6.通过对实际问题的分析,感受分式方程是刻画现实世界的有效模型,归纳分式方程的概念; 7.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法: 1.体会分式的意义,进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力; 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题.
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时
第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?
反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 第十六章 分式 一、知识总览 本章主要学习分式的概念,分式的基本性质,分式的约分、通分,分式的运算(包括乘除、乘方、加减运算),分式方程等内容,分式是两个整式相除的结果,且除式中含有字母,它类似于小学学过的分数,分式的内容在初中数学中占有重要地位,特别是利用分式方程解决实际问题,是重要的应用数学模型,在中考中,有关分式的内容所占比例较大,应重视本章知识的学习. 知识点一:分式的定义:一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 知识点二: 与分式有关的条件:①分式有意义:分母不为0(0B ≠)②分式无意义:分母为0(0B =)③分式值为0:分子为0且分母不为0(?? ?≠=0 0B A ) 经典例题 1、在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24 x y -中,分式的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时,分式211a a +-( )A .等于0 B .等于1 C .等于-1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零,那么x 的值是( )A .-1 B .0 C .1 D . 1± 4、当x 时,分式1 1+x 有意义. 5、下列命题中,正确的有( ) ①A 、B 为两个整式,则式子 A B 叫分式; ②m 为任何实数时,分式13m m -+有意义 ③分式2116 x -有意义的条件是4x ≠; ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 知识点三:分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:C B C ??=A B A ,C B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。 拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即B B A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四:分式的约分 定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。 注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。 1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n 可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ? 分式练习题 一、选择题: 1、下列式子:,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有( )个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是( ) A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是( ) A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是( ) A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是( ) A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是( ) A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是( ) A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是( ) A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解,那么k 的值应为( ) A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程,如果两人合作,6天可以完成,如果单独工作,甲比乙少用5天,两人单独工作各需多少天完成?设乙单独工作x 天完成,则根据题意列出的方程是( ) A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题: 11、分式a a -2,当a______时,分式的值为0;当a______时,分式无意义,当a______时,分式有意义 《分式》的教案 班级:初二2班 科目:数学 任课教师:*** 教学时数:1节 上课日期:2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的: 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识; 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想,获得分式的基本性质,发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等; 3、引导学生学习劳动人民的优良品德;尊重客观、尊重事实的良好品德;刻苦顽强品德等; 4、激发学生热爱劳动人民的情感;热爱科学、热爱生活的情感; 5、通过学习,能获得学习代数知识的常用方面,能感受代数学习的价值。 教学重点: 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点: 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法:讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具:多媒体课件 ppt 教学过程: 一、复习旧课(时间5~10分钟) 同学们,我们一起来复习一下上一节课学习的内容: 提问 1:我们上节课学习的什么知识啊? 生(一起回答):学习了完全平方公式。 提问2:那什么叫做完全平方公式? 生(一起回答):两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方,这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3:那有没有同学愿意上来,在黑板上默写完全平方公式的公式? 好,第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生:()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课(时间20~25分钟)(重点) 初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校: 年级: 任课教师: 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订:XX文讯教育机构 分式的基本性质(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 (一)教学过程 【复习提问】 1.分式的定义? 2.分数的基本性质?有什么用途? 【新课】 1.类比分数的基本性质,由学生小结出: 分式的分子与分母乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即: , (其中是不等于零的整式.) 2.加深对分式基本性质的理解: 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1); 由学生口述分析,并反问:为什么? 解:∵ ∴. (2); 学生口答,教师设疑:为什么题目未给的条件?(引导学生学会分析题目中的隐含条件.)解:∵ ∴. (3) 学生口答. 解:∵, ∴. 例2 填空: (1); (2); (3); (4). 把学生分为四人一组开展竞赛,看哪个组做得又快又准确,并能小结出填空的依据.例3 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数. (1); 分析学生讨论:①怎样才能不改变公式的值?②怎样把分子分母中各项系数都化为整数? 解:. (2). 解:. 例4 判断取何值时,等式成立? 学生分组讨论后得出结果: ∴. (二)随堂练习 1.当为何值时,与的值相等() A.B.C.D. 2.若分式有意义,则,满足条件为() 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?初二上册数学分式(谷风教育)
八年级上册数学-分式的概念
新人教版数学八年级上册分式练习题
初二数学分式的教案
八年级数学:分式的基本性质(教案)
(完整版)人教版八年级数学上分式教案