§6.3.1实践与探究((等积、定周形变问题))

鸿桥中学“立人课堂”模式学案

班级：______姓名：___________

年 级：七年级 科 目： 数学

章节 §6.3.1 课时 2+1

主备人：数学组 修正人：

课题：实践与探究(等积、定周形变问题) 教研组长签字：

教学副校长签字：

学习目标：

1.运用一元一次方程解决物体 (等积、定周) 形状变化问题

2.探索物体形状变化过程中的变化规律 一、知识预备

1.基本公式

(1)长方形的周长=_____________； (2)长方形的面积= ______________； (3)长方体的体积= ____________； (4)圆的周长=___________________； (5)圆的面积=________________； (6)圆柱的体积=_________________。 (7)圆锥的体积=_________________。 2.代数式的表示

(1)长方形的长为a ，宽为b ，则长方形的周长C=__________ (2)长方形的面积为S ，长为a ，则长方形的宽为b=________ (3)圆柱的底面半径为r ，高为h ，则圆柱的体积V=________ 二、自主探究（20分钟，共20分） (一)定周变形问题（每小题4分）

【解题示例】用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。 (1)使长方形的宽是长的3

2

，求这个长方形的长和宽。

(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。

(3)将题(2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？

长与宽的差

宽比长少3

宽比长少2

宽比长少1

宽比长少0

长 宽 面积

由此可知：当若长方形的周长一定，长与宽_________时，面积最大。

【一标一练】将长为2π、宽为4π的用铁丝围成的长方形整理成一个圆形铁环，求铁环的面积。

(二)等积变形问题（每小题4分）

【解题示例】一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米，取3.14）

【一标一练】在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？（精确到0.1厘米，取3.14） 三、小结

本节学会了什么？还有什么疑惑？

四、达标检测（共10分）

1.把用栅栏围成的边长为8米的正方形花圃，充分利用已有栅栏，将原花圃改造成一个底比腰长2米的等腰三角形花圃，求改造后等腰三角形花圃的底和腰。

2.将一个棱长为2π的正方体蜡块模型，浇铸成一个等高的圆锥模型，求圆锥的半径(计算结果保留根号和π)。

学（教）后反思：

我的收获是： ________________________________________________ 我的问题是： ________________________________________________

< 探究形变和弹力的关系> 导学案 【学习目标】 1、探究弹力和弹簧伸长量的关系. 2、学会用图像处理物理量之间的关系。 3、总结胡克定律。 【过程与方法】 经历实验探究弹力的过程，了解科学研究的方法。 【情感态度与价值观】 在探究物理规律的过程中，感受学习物理的乐趣，通过生活中的弹力认识物理规律的价值。 【学习重点】探究弹力和弹簧伸长量的关系. 【学习难点】用图像处理物理量之间的关系 【教学模式】先学后教、合作探究、分层精炼 【学习方法】自主学习、合作探究 一、【自主预习】 1. 学生猜想：弹簧在与其他物体相互作用时，弹力大小随形变程度的不同而改变，那么弹力大小与形变量之间的具体定量关系是怎样的呢？ 2.解决问题：①. 如何测弹簧的形变量大小？ ②. 如何知道弹簧的弹力大小？ 3、给出如下实验器材：铁架台、弹簧、刻度尺、钩码若干 二、【合作探究】：（一）.小组讨论实验步骤： 1. 2. 3. 4. （二）、【交流展示】： （三）、【实验探究过程】学生小组做实验 数据记录 （四）、【实验总结】 问题：测出弹力F、弹簧的伸长量x后，如何确定它们的关系？

1. 让学生根据数据实验数据猜想弹力F与伸长量x的关系： 2. 利用实验数据验证猜想：（1）计算法（计算F/x的比值） （2）图像法（作出F与x的图像） 3. 得出结论： 4.问题：如果压缩弹簧，结果会怎样？ （五）、总结得出胡克定律 1、胡克定律： 2．数学表达式： 3．实验观察：不同的弹簧k不同，K为弹簧的劲度系数。它由弹簧本身的结构决定(如材料,粗细,匝数等) 三、【学习效果评价】基础练习（A层） 1．关于弹簧的劲度系数，下列说法中正确的是( ) A．与弹簧所受拉力大小有关，拉力越大，k值也就越大 B．与弹簧发生形变的大小有关，形变越大，k值越小 C．由弹簧本身决定，与弹簧所受拉力大小及形变程度无关 D．与弹簧本身特性，所受拉力的大小，形变大小都有关 2．将一根原长为50cm，劲度系数是200N/m的弹簧拉长到70cm，则弹簧的弹力大小是( ) A．100N B．40N C．140N D．240N 能力提升（B层） 1.如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的 右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同： ①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用 ③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动， ④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。 若认为弹簧的质量都为零，以L1、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）A．L2>L1; B．L4>L3; C．L1>L3; D．L2=L4. 2.用如图所示的装置测定弹簧的劲度系数，被测弹簧一端固定于A点另一端用细线绕过定滑轮挂钩码，旁边附有一竖直放置的刻度尺。当挂两个钩码时，线上一定点P对应的刻度线如图中的ab虚线所示，当挂三个钩码时，线上一定点P对应的刻度线如图中的cd虚线所示。已知每个钩码的质量为50g，重力加速度g＝9.8m／S2。则被测弹簧的劲度系数为N/m。 四、【讨论与交流】 思考:通过本节课的探究,有何收获? F F F F F ○1 2 3 ○4

小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析

三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高

小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．

第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.

例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米. 例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是

三角形 (1 )三角形有()条边、() 个角和()个顶点 1 .垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 2.画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。 线段，标直角符号，四步画完。 3.你能在右图中找出几条高？标在图中。 4.标出下面各三角形的底和高。 6.画出每个三角形底边上的高。 cn两个面规柑舞的二的膨一定可以拼成一个平轩四边饮c > (2)二角石面枳等丁严厅四边应面积的一也〔) (3)一伞二角形的底S 10 ffi米，高是2厘米，面积是2Q平方匣米”(作垂直 5.我会判断对与错。下面每个三角形的高画得对吗?

1.填空题. （】）用两个（）的??角形可以拼成一个平行四边形?这个平行四边形的底等于三用形的（），￥行四边形的岛等于◎角形的（）。毎个三角形的面积是平行四边形的< ），所以三角形的面积=（' ），用字母表示为（）. （2）—个*行四边形与一个三角形竽底停高，如果平行四边形的面积是12平方厘米，那么三 角形的面枳是（）y?方健米；如果三角形的面积是12平方厘米?那么￥行【囚边形的 而枳是（）平方厘米. （3）—个三角形的底是5剤米?高是4用米?这个三角形的面积是（）平方厘米。2?计算下面图形的面枳. ⑴一个[角形的面枳羽4平方分米滴是4分米,那么底 ）分米。 （2）右图阴影部分面积是15平方庵米?则平行四边形而积是 （）平方煙米. （3）一个三角形的底乘3.高 乘6?面积（）. （1）一个平行四边形的面积是m平方用米?与它等底等高的三角形 的面积是（）平方厘米。 （5）一个平行四边形的面枳是17.1平方厘米?底是4. 5厘米.高是 （ 等底的三角形的高建（”里*。 选择臥 （1）求右图三角形面积 的算式中不正确的是（）o A. cX. C. 0X3X3) A.①②③II D.①③ ）厘米?与它等面枳

奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么

（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等

小学数学《三角形的等积变形》练习题 基础班 1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：3个。△AEC、△BED、△DEC 。 2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：△AEC、△AFC、△ABF。 3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。 4．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。解答：4×4÷2=8 5．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF． 解答： 提高班

习题二 1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：3个。△AEC、△BED、△DEC 。 2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：△AEC、△AFC、△ABF。 3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。 4.如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O， 求证：△AOB与△COD面积相等． 证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC—S△BOC ∴S△AOB=S△COD． 5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。解答：4×4÷2=8 6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．

一、学奥数到底有什么用 对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上 重点中学试验班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。其实我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本 不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。 二、怎样学好奥数 学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门， 或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不 多了. 下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没 有。但如果非要我说一个的话，那就是“做题”。 那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？ 我们先说一下做哪些题，现在市面上的奥数书种类繁多。我觉推荐《华罗庚学校数 学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。《华罗庚思维训练导引》是一本分类习 题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都非常有代表性，值 得一做（做三星题目为主）。 除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。 通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为 止。有的同学可能一天做好几套题目，做完了对对答案，每套错的都不多，自我感 觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。这样的学习是没有效果的，因为你 原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！ 因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理解了，再遇到类似的题目还会不会做。如果我真正能做到做一 套题就把里面所有的题目吃透，那么我学习的效果要比刚才提到的一天做好几套但 不注意总结的同学好的多。 其实你好好把题目总结一下花不了太多时间，而且对自己的帮助真的很大。希望同学们也能做到这点，至少，对于做错的题目一定要引起重视。每天学习完或者做 完题，自己都问问自己，我今天学到了什么新的方法，我哪个题目思路上有问题以

三角形 （1）三角形有( )条边、( )个角和( )个顶点 1．垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 2．画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。作垂直线段，标直角符号，四步画完。 3．你能在右图中找出几条高?标在图中。 4．标出下面各三角形的底和高。 5.我会判断对与错。下面每个三角形的高画得对吗？ 6．画出每个三角形底边上的高。

1、如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF和△AFC的面积有什么关系？. A 1-a 2、如图，三角形ABC和BCD的面积是否相等？ 3、如图，在梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？ 4.

5、如图，AD 垂直于BC ，AD=12cm ，DE=3cm ，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？ 6、如图，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多多少倍？ 7、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？ 8、把图中三角形ABC 的底边平均分成4份，D 是BC 的中点。已知三角形EFD 的面积是1平方分米。求三角形ABC 的面积。

9、如下各图，长方形ABCD的长均为20，宽均为12，分别求阴影部分的面积。 10、如图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，求阴影部分的面积。 三角形的等积变形 前言 我们都已经知道三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现三角形的面积大小取决于三年级的底和高的乘积．所以一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数个不同的形状． 成功秘诀 1．如果三角形的底（高）不变，高（底）越大则面积越大，高（底）越小则面积越小； 2．等底等高的三角形面积一定相等，形状不一定相等； 3．如果两个三角形的底（高）相等，高（底）成倍数关系，面积也成相同的倍数关系． 王牌例题

一、三角形的等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等。 ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个 三角形面积相等。 ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三 角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 【例1】 如右图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD。若△ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。 二、鸟头模型 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC∶S△ADE＝(AB×AC)∶(AD×AE) 【例2】 如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。其中AD∶CD＝5∶3，BF∶CF＝4∶7，AE∶BE＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少 必备几何模型

【例3】 如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少 三、相似三角形性质(沙漏模型)： ①AD AE DE AF AB AC BC AG === ②S△ADE∶S△ABC＝AF2∶AG2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 【例4】 如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。

四、蝴蝶模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) ①S1×S3＝S2×S4 ②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3) ①S1∶S3＝a2∶b2 ②S1∶S2∶S3∶S4＝a2∶ab∶b2∶ab ③梯形面积S的对于份数是(a＋b)2 【例5】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。 【例6】 在直角梯形ABCD中，AB＝15厘米，AD＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面

(★★★) 已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为

如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD ＝AB ；延长 BC 至 E ，使 CE ＝2BC ； 延长 CA 至 F ，使 AF ＝3AC ，求三角形 DEF 的面积。 (★★★★) 如图将四边形 ABCD 四条边 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为 5cm 2 ，则四边形 EFGH 的面积是多少 (★★★) 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍。那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米 (★★★★) 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。求阴影部分的面积。 (★★★)

(2009 年“学而思杯”六年级) 如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝ 。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1. ★★★★设 AD 1 AB , BE 1 BC , FC 1 AC , 如果三角形 DEF 的面积为 19 平方厘米， 3 4 5 那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ． B ． C ． D ． (★★★★★)

F E S G 2. ★★★如下图，将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ，CB 的边延长 2 倍到 E ，AC 边延长 1 倍到 F 。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少 A ．10 B ．8 C ．9 D ．11 3. ★★★★★如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 3 倍，得到一个新四边形 EFGH ，如果 ABCD 的面积是 6，则 EFGH 的面积是( ) A ．130 B ．145 C ．160 D ．150 4. ★★★★如图， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍． 三角形 AEF 的面积是 18 平方厘米，三角形 ABC 的面积是( )平方厘米 A ．144 B ．168 C ．72 D ．100 5. ★★图中的 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ， 那么阴影部分的面积是( ) A ．50 B ．48 C ．56 D ．45 6. ★★★如图， S 1 ， BC 5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG 。三角形 FGS 的面积是( )。 A. 4 13 B. 2 5 C. 2 3 D. 1 10 A B C

第 5 节实验：探究弹簧形变与弹力的关系 一、实验目的 1．探究弹簧形变与弹力的关系。 2．学会利用图像法处理实验数据，探究物理规律。 二、实验原理 1. 如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与 所挂钩码的重力大小相等。 2．用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐 标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系 中描出实验所测得的各组（x，F）对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据 实验所得的图线，就可探知弹簧形变与弹力的关系。 三、实验器材 铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码（若干）、铅笔、重垂线、坐标纸等。[ 部分器材用途]重垂线检查刻度尺是否竖直 坐标纸绘制F-x 图像，便于实验数据处理 四、实验步骤 1．根据实验原理图，将铁架台放在桌面上（固定好），将弹簧的一端固定于铁架台的横 梁上，在靠近弹簧处将刻度尺（分度值为 1 mm）固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是否竖直。 2．记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度l 0，即弹簧的原长。 3．在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度l ，求出弹簧的伸长量x 和所受的外力F（等于所挂钩码的重力）。 4．改变所挂钩码的数量，重复上述实验，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表格中。 记录表：弹簧原长l 0＝_______ c m。 次数 123456 内容 拉力F/N 弹簧总长/cm 弹簧伸长/cm

五、数据处理 1．以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x 为横坐标，用描点法作图，连接各点得出弹力F随弹簧伸长量x 变化的图线。 2．以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常数的物理意义。 六、误差分析 1．系统误差 钩码标值不准确和弹簧自身重力的影响造成系统误差。 2．偶然误差 (1) 弹簧长度的测量造成偶然误差，为了减小这种误差，要尽量多测几组数据。 (2) 作图时的不规范造成偶然误差，为了减小这种误差，画图时要用细铅笔作图，所描各点尽量均匀分布在直线的两侧。 七、注意事项 1．所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可而止。 2．每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图线准确度更高一些。 3．测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。 4．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。 5．记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l 0、总长l 及弹簧伸长量的对应关系及单位。 6．坐标轴的标度要适中。 [ 基础考法] 考法(一) 实验原理与操作 1．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码探究在弹性限度内弹簧形变与弹力的关系。

小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案） 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等． ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ??=；反之，如果 BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD 。 例题精讲 【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【例2】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ， AD=12厘米，DE=3厘米。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ A C D B

《弹簧形变和弹力》说课稿 一、说教材 （一）教材的特点分析 形变与弹力的知识跟人们的日常生活紧密相连，因此学习它有广泛的现实意义。本节的特点之一是：演示实验和探究实验直接使学生参与到探究物理规律的过程，体验学物理的乐趣。特点之二是：先研究比较常见的各种形变，后研究与形变有关的弹力，符合学生由感性到理性的认知过程。特点之三是：基础概念多，演示实验多，再加上学生的探究实验，故容量较大，需仔细安排，做到时间分配合理，条理清晰。 （二）教学目标 按教学大纲要求，结合新课程理念，我设计如下的三维目标。 1．知识与技能 ⑴知道形变、弹性形变的概念，理解弹性限度。 ⑵知道什么是弹力，掌握弹力产生的条件。 ⑶知道压力、支持力、绳子的拉力都是弹力，会确定它们的方向。 ⑷知道形变与弹力的关系，掌握胡克定律。 2．过程与方法 观察演示实验，把看到的现象与已有的经验结合起来；经历探究弹簧形变与弹力的关系，了解科学探究的方法。 3．情感态度与价值观 在探究物理规律的过程中，学生感受学习物理的乐趣，把亲自探究出的规律与平时对弹力的认识相结合，体会物理规律的价值。 （三）教学重点、难点 ●由于大量的力学现象中都要对弹力的产生条件及其方向进行判断，并且要明确相互接触的物体是否产生弹力及方向如何？而且弹簧所产生的弹力贯穿知识的前后，因此我把重点内容确定为： ⑴弹力产生的条件及其方向的判断。 ⑵探究弹簧弹力的规律。

●由于学生对微小形变难于确定而且对其是否产生弹力及其方向不好判断，因此我把探究微小形变的方法作为难点。 二、说教法与学法 教法：物理教学是以实验探究为基础的，重在启发思维，教会方法。本节课利用多媒体辅助教学、创设情景──观察──分析──猜想──实验探究──交流讨论──归纳总结相结合的教学方法。 学法：学生是课堂教学的主体，新课程理念更重视在教学过程中对学生的学法指导。本节课的教学过程中通过观察生活中的常见形变，巧用引导性提问，激发学生的积极性，让学生在轻松、自主、讨论的学习氛围中总结出本节的主要内容从而完成学习任务。 三、说学情分析 学生目前对形变和弹力有一定的感性认识但是不够深入；知道支持力、压力都是弹力，但是不能够概括产生的原因。因此我采取引导、启发的教学方式。 四、教学用具 ⑴演示用具：弹簧、钢丝、激光笔、细竹竿、微小形变放大器一套、已拉坏了的弹簧、钢尺。 ⑵学生探究实验用具：铁架台（带支架），两个原长一样但劲度系数不一样的弹簧、刻度尺、钩码10个、长20cm的细铁丝。 五、教学设计流程图 六、说教学设计

第三讲等积变形 1.等积模型 2.鸟头定理 3.蝶形定理 4.相似模型 5.共边定理（燕尾模型和风筝模型） 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

例1：如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ． 例2：长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 例3：如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ． 例4：已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC ) 例5：如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ． E B

例6：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例7：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例8：如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比． 例9：如图所示的四边形的面积等于多少？ G F E D C B A A B C D E F G E D C B A E D C B A E D C B A E D C B A H G A B C D E F H G A B C D E F

正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平 方厘米？两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。 如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC＝2×BE，那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。 例3 例2 例1 三角形等积变形(下)

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF 的面积。例5 例4

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF＝CE，BG＝DE，如果四边形ABCD面积是1，求△EFG的面积？ 例6

测试题 1．如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN 。那么，阴影部分的面积是多少？ 2．如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分。三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。求梯形ABCD的面积。 A D B C 3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。 4．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

H G F E B A 5．如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使2AF AC =，求三角形DEF 的面积。 答案 1． A M 连接BM ，因为M 是中点所以ABM ?的面积为14又因为2AN BN =，所以ANM ?的面积为 1114312?=，又因为BDC ?面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212--= 2． b D C B A

探究形变与弹力的关系教学设计 教材分析：这节课主要是在唤起学生关于弹力知识的原有认知的基础上，对弹力的概念进行系统的讨论，为进一步理解后面章节的力的概念打下坚实的基础。 学生分析：弹力的知识学生在初中的科学课中学习过，但基本上都是感性认识，没有形成系统的知识结构，经过高中前面两章内容的学习，学生的思维能力已经有了相应的提高，可以在此基础上深入的分析物体的形变以及探究弹力的产生过程，而且学生对微小形变的演示也是非常有兴趣的。他们渴望了解探究微小形变的科学方法，也希望自己动手实验探究弹力的大小。 教学目标 知识技能： 1．初步认识形变的种类，知道任何物体都可以发生形变。 2．了解弹性与弹性限度的概念，并在实际操作的过程中会识别。 3、知道弹力的产生，弹力的方向，理解胡克定律。 过程与方法： 1、培养学生观察、分析和操作的能力。 2、使学生经历科学探究的过程，学习科学探究的方法，养成科学探究习惯。 情感态度与价值观： 1、通过学生比较熟悉的蹦极、跳床等游戏过程的再现，激发学生的学习兴趣。 2、通过物体微小形变的演示，刺激学生的好奇心理，使学生初步了解物理学处理问题的巧妙方法，体会物理学之美。 教学重点： 1、探究弹簧的弹力与形变之间的关系。 2、科学探究方法的养成。 教学难点： 科学探究方法的养成。 教具：玻璃瓶橡皮条细棉线弹簧铁架台钩码直尺 教学设计: 本课从学生比较熟悉的蹦床游戏的动画开始，引入形变和弹力的概念，进一步提出问题，弹力和形变之间到底存在怎样的关系呢？（引入新课） 为了探究弹力和形变的关系，所以首先要了解常见的形变、弹性和弹性限度的概念，从学生比较容易接受的弹簧入手，先分析弹力的方向，由弹簧过渡到到细绳，再推广到任意

探究形变与弹力的关系 教学目标 知识与技能 知道常见形变的种类,会用身边的器材放大微小形变. 学会在实际问题中判断弹力的有无及弹力的方向. 能合作探究弹力与形变的关系,知道胡克定律及其简单运用. 了解弹力在生活,生产中的广泛应用. 过程与方法 从生活中常见的物体形变现象出发,培养学生的观察能力. 在探究形变的过程中,引导学生进一步探索形变与弹性之间的关系之后,使学生了解探究弹力的实际意义,学会探究物理规律的一般方法. 情感,态度与价值观 体验弹力的探究过程 观察和了解形变的有趣现象,感受自然界的奥秘,发展对科学的好奇心和求知欲. 积极参与观察和实验,认真讨论,体验探索自然规律的艰辛与喜悦. 通过质疑,讨论交流,逐步养成将自己的见解与他人分享的团队精神. 设计思路 学生目前状态分析:1,对形变有一定的感性认识但是不深入;2,学生知道支持力,压力,但是不能够概括产生的原因3,几乎从未考虑过弹力方向的问题;4,对弹簧形变和拉力的关系有一定感性的认识. 鉴于以上分析,本节分成三个部分来阐述,从生活中常见的形变现象出发→认识到弹力存在→实验探究在力与形变→回到弹力的应用→给学生认识势能与缓冲对生活的影响. 教学重点,难点 1,在接触的物体间是否有弹力 2,弹力方向的确定 教学资源 各种弹簧,橡皮筋(泥),钢尺,细刚丝,微小形变演示装置,实物,相关实验用图表,影像,flash课件,笔记本电脑. 教学设计 教师活动 学生活动 点评 一,形变 1,创设情境,亲身体验: 实验演示:给学生提供物体,教师引导学生不损坏物体的情况下,压缩弹簧,海绵,拉橡皮筋,按橡皮泥等,并叙述观察到的现象. 板书:物体的形状或体积的改变叫形变 2, 情景设问:在桌子上放一本书,桌子会发生形变吗 3,教师演示微小实验 实验操作:显示微小形变的装置向学生作一简单介绍. (1)入射光的位置不变,将光线经M,N两平面镜两次反射,射到一个刻度尺上,形成一光亮点.用力压桌面,同学会看到什么现象

第二十一讲等积变形 三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图： 除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形） 底 底底 底

例题 1 A D 如图，已知平行四边形ABCD 的面积是100 平方 厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 E 是多少平方厘米？ 「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 B C 系呢？ 练习 1 A D 如图， E 是平行四边形ABCD 中的任意一点，已 E 知△AED 与△EBC 的面积和是40 平方厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少？ B C 下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB 和三角 形NAB，它们的底相同，都是AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的． P M N O 高 A B 底 我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等． 如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等． 利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．

例题 2 A F H D 如图，平行四边形ABCD 的底边AD 长20 厘米， 高CH 为9 厘米；E 是底边BC 上任意的一点，那 么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变 B C 成一个三角形呢？ E 练习 2 如图，平行四边形ABCD 的面积是100 平方 A D 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ C B 例题 3 如图所示，ABFE 和CDEF 都是长方形，AB 的长是 4 厘 A B 米，BC 的长是 3 厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方 E F 厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形 分别变成一个三角形呢？ D C 练习 3 A D 如图，ABCD 和CDEF 都是平行四边 E 形，四边形ABFE 面积为60 平方厘米．请 问：阴影部分面积是多少平方厘米？ B C F 在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进

探究实验探究弹力与形变的关系 物理现象观察 小明的爸爸是个警察，有一次他去找爸爸，刚好看到他爸爸与很多警察叔叔正在进行爬墙和跳围墙训练。只见一个警察叔叔在一高高的“围墙”前，站在特制的弹簧跳板上，用力连续的向下蹬了5、6下，“嗖”的一声就跳上了围墙。 提出问题 1 ?如果警察叔叔站在跳板上只蹬一下他能跳上围墙吗? 2 ?弹簧跳板对警察叔叔产生的弹力与弹簧形变量（压缩量）是________________________ 关系 吗？ 猜想与假设 1 ?只蹬一下不一定能跳上围墙。 经验依据： ____________________________________________________________ 2 ?弹簧产生的弹力与其发生的形变量成正比。 经验依据： ____________________________________________________________ 设计实验 1 ?实验目的：探究弹力与形变的关系；计算弹簧的劲度系数。

2 ?实验器材：铁架台（带铁夹、横梁）、弹簧或弹簧秤（带挂钩）、已知质量为m的钩码一盒 （相等）、直尺、托盘、长木板、天平。 3?实验原理：弹簧产生的弹力与弹簧的伸长量或压缩量有关，弹簧产生的弹力就是对重物的拉力或支持力，重物_________________________ 时，重物所受拉力或支持力F等于其重力 G,即F= G-mg，当弹簧上所挂重物的质量不同时，弹簧伸长量不同，测出其相应伸长量，如果各次弹力之比F i：F2：F3：F4: F5等于各次伸长量之比X i：茨： X3 : X4 : % ，贝U 可得出：________________________________________________________________________ 。 的一端挂在铁架台的横梁上。 2 ?用直尺测出弹簧没有挂重物时的长度L o 3?在弹簧下端挂上一个钩码，并用直尺测出此时弹簧的长度L i,填入表（一） 4?用同样的方法在弹簧的下端挂上2个、3个、4个、5个钩码，并用直尺测出弹簧相应的长度L2、L3、L4、L5,并填入表（一）。 5.计算出X i- L i —L o、％= L2- L o、％= L3-L o、兀=L4- L o、％= L5-L o,并填入表（一）。6?求各次弹力之比F仁F2：F3: F4：F5和各次伸长量之比X i：茨：X3：冷％，并进行比较 7.用天平称出托盘的质量，记为m 0,按图（二）所示，将弹簧下端接在水平长木 板上，上端放托盘