易水高级中学11月考试数学试题(理科)
易水高级中学11月考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
3,2a
M =，{},N a b =，若{}2M N =I ，则M N =U （ ）
A ．{}0,2,3
B ．{}1,2,3
C ．{}0,1,2
D ．{}0,1,3 2．若0
sin 2cos t xdx =-?
π
，其中()0,t ∈π，则t =（ ）
A ．
3π B ．2π C ．23
π D ．π 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()ln 1f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．幂函数的图象经过点12,
4?
?
???
，则它的单调递增区间是（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(),-∞+∞ D ．(),0-∞
5．若方程ln 40x x +-=在区间(),a b （a ，b Z ∈，且1b a -=）上有一根，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．已知函数()()2
21f x x a x b =+-+是偶函数，那么函数()g x =的定义域为（ ）
A ．1,2??-∞ ??
? B ．10,2
?? ??
?
C ．(]0,2
D ．[)2,+∞
7．若定义在闭区间[],a b 上的连续函数()y f x =有唯一的极值点0x x =，且()0f x 为极小值，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 有最小值()0f x
B ．函数()f x 有最小值，但不一定是()0f x
C ．函数()f x 有最大值也可能是()0f x
D ．函数()f x 不一定有最小值
8．奇函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()220f x f x ++-=，且()19f =，则
()()()201620172018f f f ++的值为（ ）
A ．9-
B ．9
C ．0
D ．1
9．已知函数()3
2
f x x ax bx =-++（a ，b ∈R ）的图象如图所示，
它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分） 的面积为
1
12
，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-
10．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程
()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知函数
()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则点M （ ）
A ．在直线3y x =-上
B ．在直线3y x =上
C ．在直线4y x =-上
D ．在直线4y x =上 11．已知函数()1
n f x x
+=（*
n ∈N ）的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x
轴交点的横坐标为n x ，则201312013220132012log log log x x x +++L 的值为（ ） A ．1- B ．20131log 2012- C ．2013log 2012- D ．1 12．已知函数()ln tan f x x =+α（0,
2??
∈ ??
?
πα）的导函数为()f x '，若使得()()00f x f x '=成立的01x <，则实数α的取值范围为（ ） A ．,42??
???ππ B ．0,3?? ???π C ．,64?? ???ππ D ．0,4?? ???
π 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数()()()()
2
200x x x f x g x x ?+≥?=?
之间满足关系R =a 为常数）
，广告效应为D A =.那么精明的商人为了取得最大广告效应.投入的广告费应为 ．（用常数a 表示）
15．已知定义域为R 的函数()f x 满足()43f =-，且对任意的x ∈R 总有()3f x '<，则不等式
()315f x x <-的解集为 ．
16．已知01a <<，0k ≠，函数(),0,
1,0,
x a x f x kx x ?≥=?+
实数k 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数()2
2ln f x a x x =-.
（Ⅰ）若2a =，求函数()f x 图象在点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）若0a >，判定函数()f x 在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数()f x 最大值或最小值.
18．记函数()f x =的定义域为A ，()()()lg 12g x x a a x =---????（1a <）的定义域为R . （1）求A ；
（2）若B A ?，求实数a 的取值范围.
19．已知()f x 为二次函数，且()12f -=，()00f '=，()1
2f x dx =-?.
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值.
20．已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x ax =-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值.
21．已知函数()32,1,
ln , 1.
x x x f x a x x ?-+<=?≥?
（1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值点； （2）求()f x 在[]1,e -（e 为自然对数的底数）上的最大值.
22．已知函数()e x
f x ax =-（a ∈R ，e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1a =，函数()()()2
e x g x x m
f x x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值
范围.
易水高级中学11月数学试题（理科）答案
一、选择题
1-5:BBCDB 6-10:BABCB 11、12：AA
二、填空题
13．3- 14．
2
14
a 15．()4,+∞ 16．()0,1 三、解答题
17．解：（1）当2a =时，()2
4ln f x x x =-.
()4
2f x x x
'=
-，()12f '=，()11f =- ∴函数()f x 图象在点()()
1,1f 处的切线方程为()121y x +=-，即230x y --=
（2）()()2
222x a a
f x x x x
--'=-=
，0x >
令()0f x '=，由0a >，解得1x 2x =（舍去）. 当x 在()0,+∞上变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表
18．解：（1）由3201x x +-
≥+，得1
01
x x -≥+，∴1x <-或1x ≥，即()[),11,A =-∞-+∞U . （2）由()()120x a a x --->，得()()120x a x a ---<. ∵1a <，∴12a a +>，∴()2,1B a a =+. ∵B A ?，∴21a ≥或11a +≤-， 即1
2
a ≥
或2a ≤-， 而1a <，∴
1
12
a ≤<或2a ≤-.
故当B A ?时，实数a 的取值范围是(]1,2,12??
-∞-????
U .
19．解：（1）设()2
f x ax bx c =++（0a ≠），
则()2f x ax b '=+. 由()12f -=，()00f '=， 得2,0a b c b -+=??
=?即2,
0,
c a b =-??=?
∴()2
2f x ax a =+-. 又
()1
2f x dx =-=?
()1
20
2ax a dx +-?
()1
30
1
23ax a x =+-=2223a -=-.
∴6a =，从而()2
64f x x =-.
（2）∵()2
64f x x =-，[]1,1x ∈-.
∴当0x =时，()min 4f x =-； 当1x =±时，()max 2f x =. 20．解：（1）因为()2
ln 1
ln x g x x
-'=
（0x >，1x ≠）， 所以函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()1,e ； 单调递增区间为()e,+∞；
（2）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数， 则()2ln 1
0ln x g x a x
-'=
-≤在区间()1,+∞上恒成立， 令()2
2
ln 111ln ln ln x h x x x x -??==-= ???2
1111
ln 244
x ??--+≤ ???， 所以14a ≥
，即a 的最小值为14
. 21．解：（1）当1x <时，()()2
3232f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '=，解得0x =或23
x =
. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
故当0x =时，函数()f x 取得极小值为()00f =，函数()f x 的极大值点为3
x =
. （2）①当11x -≤<时，由（1）知，函数()f x 在[]1,0-和2,13??????上单调递减，在20,3??
????
上单调
递增.
因为()12f -=，24
327f ??=
???
，()00f =， 所以()f x 在[)1,1-上的最大值为2. ②当1e x ≤≤时，()ln f x a x =， 当0a ≤时，()0f x ≤；
当0a >时，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()f x 在[]1,e 上的最大值为()e f a =. 综上所述，当2a ≥时，()f x 在[]1,e -上的最大值为a ； 当2a <时，()f x 在[]1,e -上的最大值为2.
22．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e x
f x a '=-.
当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，
则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数.
（2）当1a =时，()()()
e x g x x m x =---2
e x x x ++，
∵()g x 在()2,+∞上为增函数；
∴()e e 10x
x
g x x m m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，
即e 1e 1x x x m +≤-在()2,+∞上恒成立，
令()e 1
e 1x x x h x +=-，()2,x ∈+∞，
()()()
2
2
e e 2e e
1x x x
x
x h x --'=
=
-()
()
2
e e 2e
1x x x
x ---.
令()e 2x L x x =--，()e 10x
L x '=->在()2,+∞上恒成立，
即()e 2x
L x x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2
2e 40L x L >=->，∴()0h x '>，
即()e 1e 1x x x h x +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222e 1
2e 1h x h +>=-，
∴222e 1
e 1
m +≤-.
所以实数m 的取值范围是22
2e 1,e 1??
+-∞ ?-??
.