第85课时----相互独立事件同时发生的概率

课题： 相互独立事件同时发生的概率

●知识梳理

1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.

2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这

个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －

k . 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：

第一，相互独立也是研究两个事件的关系；

第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；

第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.

4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.

5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生.

当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·

B ，B A ?的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于

A 与

B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·

B ≠B A ?，但A ·B =B A +. ●点击双基

1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是

A.p 1p 2

B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）

C.1－p 1p 2

D.1－（1－p 1）（1－p 2） 2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为3

1，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为

51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） A.94 B.901 C.54 D.9

5 4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3

1，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.

5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相

互独立的，并且概率都是3

1.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________. ●典例剖析

【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.

（1）两人都抽到足球票的概率是多少?

（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?

【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.

【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.

（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；

（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.

●闯关训练

夯实基础

1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有

A.A 与A

B.A 与B

C. A 与B

D. A 与B

2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是

A.0.12

B.0.88

C.0.28

D.0.42

3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为5

3，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.

4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.

培养能力

5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，

（1）至少有2天预报准确的概率是多少？

（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？

6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，

（1）恰有一套设备能正常工作的概率；

（2）能进行通讯的概率.

7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.

探究创新

8.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9

2. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

●思悟小结

1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.

2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.

3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率.

教学点睛

1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.

2.A 、B 中至少有一个发生：A +B .

（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立.

（2）若A 、B 相互独立（不互斥）.

法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）；

法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）；

法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.

3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.

4.n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －

k 正好是二项式［（1－p ）+p ］n 的展开式的第k +1项.

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 相互独立事件概率问题求解辨析 焦景会 055350 河北隆尧一中 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P A B P A B P A B =+++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 33 30.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =?+ ???+???3 30.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -=-。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件

2． 2．1条件概率 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“ Y ” ，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和 Y Y Y ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y ．由古典概型计算公式可 知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3 P B = . 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y ．而“最后一名同学抽到中奖 奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y .由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 2 ，不妨记为P （B|A ) ， 其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，使得 P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y , Y Y Y ,Y Y Y ｝ ．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={Y Y Y , Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发 生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因 此 (|)P B A = 12=() () n AB n A . 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式， ()() (),()()() n AB n A P AB P A n n = =ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以， (|)P B A =()()()() ()()()() n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) . 条件概率 1.定义 设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

n次独立重复试验 独立重复试验： (1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． (2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次 的概率为，此时称随机变量X 服从二项分布，记作，并称p为成功概率． (3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． (4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立 重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 求独立重复试验的概率： (1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即 2，…，n)是第i 次试验的结果． (2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。 相互独立事件同时发生的概率 相互独立事件的定义： 如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若A，B是两个相互独立事件，则A与与，与B都是相互独立事件。 相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。 若A 1，A 2 ，…A n 相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，即P（A 1·A 2 ·…·A n ）＝P（A 1 ）·P（A 2 ）·…·P（A n ）。 求相互独立事件同时发生的概率的方法： （1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； （2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。 条件概率 条件概率的定义： (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． (2)条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． (3)条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P(A∩B)，得P(B|A)=。 ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P(B|A)= 。 P(B|A)的性质： （1）非负性：对任意的A∈Ω，； （2）规范性：P（Ω|B）=1； （3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则。

典型例题 例1 掷三颗骰子，试求： （1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且． （1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为： ． （2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或 不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件 ，所求概率为：

说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件， 所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为 ． 例2 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率． 分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解． 解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．

4.2 独立事件积的概率 五、教学过程设计 (一)、复习回顾1.事件和 2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB. (二)、讲授新课 1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响. 概念---互相独立事件 如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ; 注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件; 注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立. 概率乘法公式 一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)·P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式. 更一般地,如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立.如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么 P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 2、例题精析 (1)产品检验事件的概率问题(p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件. 据题意,.1005)F (P ,1005)E (P == 依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:

独立重复事件的概率(文) 例、对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率8.00 P ，现有 10个患此病的病人同时服用 此药，求至少有6个病人治愈的概率。 例、某种大炮击中目标的概率是0.3,要用多少门这样的大炮同时射击一次,就可以使击中目标的概率超过95%？ 例、（1）将一枚骰子任意地抛掷500次，问1点出现多少次的概率最大？ （2）有10个均匀材料做成各面上分别标有数1、2、3、4、5、6的正方体玩具,每次同时抛出,共抛5次,则至少有一次全部都是同一数字的概率是 . 例、（1）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r 根（1≤r ≤n ）的概率。 （2）（05全国卷Ⅱ）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求： (Ⅰ)前三局比赛甲队领先的概率； (Ⅱ)本场比赛乙队以3:2取胜的概率． (精确到0.001) 练习: 1、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求： （1）两次都中靶的概率； （2）至少有一次中靶的概率； （3）至多有一次中靶的概率。 2、一批产品有30%的一级品，现进行重复抽样检查，共取出5个样品，试求： （1）取出的5个样品恰有2个一级品的概率； （2）取出的5个样品中至少有2个一级品的概率。 3,从1，2，…，10这10个数中有放回地抽取3次,每次抽取一个数,试求三次抽取中最小数为3的概率. 4、在抗菌素的生产中，需要培养优良的菌株，若一只菌株变成优良菌株的概率是0.05，那么从大批经过诱变处理的菌株中，选择多少进行培养，才能有95%的把握至少选到一只优良菌株？ 作业： 1、种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是 ( ) （A ）0.33 （B ）0.66 （C ）0.5 （D ）0.45 2、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 A 、[0.4，1] B 、（0，0.4] C 、（0，0.6] D 、[0.6，1） 3、一次考试出了10个选择题,每道题有4个可供选择的答案,其中1个是正确的,3个是错误的,某学生只知道5个题的正确答案,对其他5个题全靠猜回答,那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是_________. 4、某类电脑无故障运行一万小时的概率为0.2,则3台此类电脑在运行一万小时以上最多只有一台出故障的概率为___________. 5、要胜过一位力量相等的对手，4次中胜3次的概率大还是8次中胜5次的概率大？ 6,（05北京卷）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 2 1 ，乙每次击中目标的概率 3 2， (I)甲恰好击中目标的2次的概率;(Ⅱ)乙至少击中目标2次的概率;(Ⅲ)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 7．（05湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p 1=0.8,p 2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 8.（05江苏卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是3 2 和 4 3.假设两人射击是否击中目标，相互之 间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? 9.(05江西卷)A 、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片,否则B 赢得A 一张卡片,如果某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.

相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日

“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。

三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件

n 次独立重复实验与二项分布 一、选择题 1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －k C ．(1－p )k D ．C k n (1－p )k p n －k [答案] D [解析] 在n 次独立重复试验中，事件A 恰发生k 次，符合二项分布，而P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，故P (X ＝k )＝C k n (1－p )k p n －k ，故答案选D. 2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的 概率是( ) [答案] B [解析] P ＝C 24? ????452? ????152 ＝96625 . 3．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到 正品，则P (ξ＝3)＝( ) A ．C 23? ????142 ×34 B ． C 23? ????342 ×14 2 ×34 2 ×14 [答案] C 4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( ) A ．× B ． C ．C 3 4×× D ．1－ [答案] C

[解析] 由独立重复试验公式可知选C. 5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（C ） ()A 33710(1)C p p - ()B 333 10(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 6．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常 发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ A ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()() 33C 7. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( ) A. 9 10 B. 45 C. 8 9 D. 8990 答案：D 解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝89 90 . 8. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是、、，则系统正常工作的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：系统正常工作概率为C 1 2×××(1－＋××＝，所以选B. 9. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) A. 9 25 B. 625 C. 3 10 D. 12 答案：D 解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽

基础达标 1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是1 2，则在5次测量中恰好出现2次正 误差的概率是( ) A ．5 16 B ．2 5 C ．58 D ．132 解析：选 A ．P ＝C 25· ????123×????122 ＝516 . 2．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正 品，则P (X ＝3)＝( ) A ．C 23 ????142 ×34 B ． C 23 ????342 ×14 C ．????142 ×34 D ．????342 ×14 解析：选C ．X ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是??? ? 142 ×34 . 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结 束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2 3 ，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ) A ．827 B ．6481 C ．49 D ．89 解析：选A ．当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两 局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49 ×13×23＝8 27 ，故选A ． 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是1 2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次 通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：选C ．由1－C 0n ????12n >0.9，得??? ?12n <0.1，所以n ≥4.

5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列 {a n }，a n ＝? ????－1，第n 次摸取红球 1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×(13)2×(23)5 B ． C 27×(23)2×(13)5 C ．C 57×(13)2×(13 )5 D ．C 27×(13)2×(23 )2 解析：选B ．由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13 )5 ，故选B ． 6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．(填序号) ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次，出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M

4.2 独立事件积的概率 事件Ａ和事件Ｂ的和 2. 事件Ａ和事件Ｂ的积 3.互不相容事件或互斥事件 4.概率加法公式 互相独立事件----如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 相独立随机事件的概率乘法公式. （1）一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么P(AB)=P(A)·P(B) （2）推广：如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立. 如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 产品检验事件的概率问题 例1、如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 扑克牌抽取事件的概率问题 例2、从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率: （Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K ； （Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K 。 帕斯卡和费马的友人的一个猜测 例3、试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗 骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性。

机床维护事件的概率 例4、一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概 率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率 (Ⅰ)没有一台机床需要维护； (Ⅱ)至少有一台机床不需要护。 频率问题 例5、在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环或8环的频率为0.40,射中3环至6环的频率为0.10,计算小强射击成绩在7环及以上频率和射击成绩3环以下的频率。 例6、已知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？ 1、甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，3人各射击一次，求3 人中只有一人命中的概率。 2、甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜两盘，若两个人下五盘棋，求甲至少胜三盘的概率。

课题：独立重复试验与二项分布 ●知识与技能： 理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服 从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相 应的实际问题。 ●过程与方法： 通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念， 使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象 的数学思想方法。 ●情感态度与价值观： 使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯 物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精 神。 二、教学重点、难点 重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 难点：二项分布模型的构建。 三、教学方法与手段 教学方法：诱思探究教学法 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学 四、教学过程

附：板书设计与时间安排1、板书设计

教案说明 我有这样的深刻体会：好的教学情景的创设，等于成功的一半。因而，我以一个轻松愉快的猜数游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中。从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程。学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层入深的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。在整个教学过程中，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则。教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用。学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求。 教与学有机结合而对立统一。良好的教学设想，必须通过教学实践来体现，教师必须善于驾驭教法，指导学法，完成教学目标，从而使学生愉快地、顺利地、认真地、科学地接受知识。

高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.8 相互独立事件的概率 一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 二．知识要点： 1．相互独立事件的概念： ． 2．,A B 是相互独立事件，则()P A B ?= ． 3．1次试验中某事件发生的概率是P ，则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ． 三．课前预习： 1．下列各对事件 （1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”， （2）甲、乙二运动员各射击一次， “甲射中10环”与“乙射中9环”， （3）甲、乙二运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， （4）甲、乙二运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 （1），（3） ．相互独立事件的有 （2） ． 2．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1?； ③他至少击中目标1次的概率是410.1-，其中正确结论的序号 ①③ ． 3．100件产品中有5件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 893990 、 361400 ． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ） ()A 29200 ()B 725 ()C 7125 ()D 718 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出两只手 套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 （ ） ()A 甲多 ()B 乙多 ()C 一样多 ()D 不确定 四．例题分析： 例1．某地区有5个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响． （1）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率． 解：设5个工厂均选择星期日停电的事件为A ． 则511()716807 P A ==． （2）设5个工厂选择停电的时间各不相同的事件为B ． 则575360()72401 A P B ==， 至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B ，3602041()1()124012401 P B P B =-=-=． 小结：5个工厂均选择星期日停电可看作5个相互独立事件． 例2．某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每

相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。

相互独立事件同时发生的概率 【教学目的】 1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想； 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断； 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学方法】 引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。 【教学过程】 [设置情境] （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问A 与B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B ．问A 与B 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A 与事件B 同时发生为B A ?，那么()B A P ?与()A P 及()B P 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ [探索研究] 1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 一. 教学内容： 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 二. 重点、难点 1.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积。 2.相互独立事件发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。P(A ·B)＝P(A)·P(B) 如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n ) 值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B) ②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。 3.独立重复试验. 独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 一般地，如果在一次试验中某件事发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率 P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k 可以看成二项式［(1-P)+P ］n 展开式中的第k+1项. 【典型例题】 例1. 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解：(1)可以认为机床的工作是相互独立的。 设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612. (2)“3台机床中至少有一台不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以 P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++)＝1-P(321A A A )＝1-P(1A )P(2A )P(3A ) ＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)＝0.997 即3台机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997. 例2.甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率. 解:(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A 、B 、C 彼此独立，三人都击中目标就是事件A ·B ·C 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A ·B ·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384 (2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中