离散数学习题答案-ch10-ch13-2015
习题十
1、设G是一个（n,m）简单图；证明：m≤C(n,2)等号成立，当且仅当G是完全图
证明：此题有两个内容，第一方面证明简单图满足 m≤C(n,2)，第二证明，m=C(n,2)当且仅当G是完全图
(1): 因为在简单无向图中，每个结点的最大度数为n-1，所以图的总度数的上限为n(n-1),所以边的上限为n(n-1)/2，因此任意一个简单无像图G，其边数满足：m≤n(n-1)/2= C(n,2) (2)：m=C(n,2) ? G是完全图
因为，当m=C(n,2)时，全图的总度数为n(n-1),因此其平均点度为(n-1)，因为n阶简单无向图中点度的最大值为（n-1）,所以此时每个点的度数都相同并为（n-1）,根据完全图的定义，此图为完全图
G是完全图? m=C(n,2)
当G为完全图时，既每个结点都和其他结点相邻，所以全图的总边数 m = n(n-1)/2 = C(n,2)
4、证明：在（n,m）图中δ≤2m/n≤Δ
证明：因为2m/n 代表简单无向图的平均点度值，所以平均值大于等于最小值，小于等于最大值，结论成立
6、设G是（n,m）简单二部图，证明：m≤n2/4
证明：设G的两个顶点集合中顶点个数分别为n1,n2，并有 n = n1 + n2 (1式)；同时，在简单二部图中，当其为完全二部图是，其边数最大，及max(m) = n1 ×n2 (2式)；联立（1）（2）式，通过高等数学的知识，当n1=n2=1/2n时，max(m)取得最大值 n2/4 ，所以一般（n,m）简单二部图，其边数小于等于此最大值既 m≤n2/4
9、如果G ≌ G’，称G是自补图；确定一个图为自补图的最低条件：画出一个自补图
解：因为G和自己的补图同构，那么G和G’应该有相等条数的边，所以 m = m’，又因为m + m’= n(n-1)/2，所以G的边的条数必须满足m = n(n-1)/4.因此图G的阶数或阶数减一必需是4的倍数，这就是最低条件。图略（4阶或5阶这样的图都容易画出）
10、判断图10-29中的两个图是否同构，并说明理由
答：这两个图不同构，因为这两个图中，都有唯一的3度点，因此在同构映射中一定相互对应，但一个图中的3度点连接两个一度点，而在另一个图中其3度点只连接了一个一度点，不能相互映射。因此不同构
15、如果u和v是图G中仅有的两个奇数度结点，证明u和v必是连通的
证明：假设u,v分别在图G的两个分中G1,G2中，那么G1，G2各自的总结点度数就是奇数，与握手定理矛盾。因此，u,v必在一个连通分支中，所以是连通的
16、证明：G是二部图当且仅当G的回路都是偶长回路（非平凡图， n>1）
证明：（1）先证明在二部图中，所有奇长道路的两个端点必定分别在两个顶点集合中
使用归纳方法：
A）当道路长度L(P)=1时，就是图G的边和其两个端点，根据二部图的定义，两个端点分别在两个顶点集合中
B）假设道路长度L(P)=2n+1 (n>0)时结论成立，及P=V1V2….V2n+2,其中V1,V2n+2分别属于两个顶点集合
C) 当L(P)=2(n+1)+1 （n>0）时，P=V1V2….V2n+2V2n+3V2n+4；当我们删除此道路的最后两个结点，道路长度变为L(P’)=2n+1，根据(B)的假设，那么V1,V2n+2就分别在两个顶点集合。现在把V2n+3加入到道路中，因为V2n+3是V2n+2的邻结点，所以V2n+3在V2n+2的对集中，既和V1在一个顶点集合中；同理V2n+4就在V1的对集中，也就是V1,V2n+4在不同的顶点集合中
综上所述，（1）结论成立
（2）G是二部图? G的回路都是偶长的
设C是G中的任意回路，那么C = V1…..V1，假设L(C)为奇数，那么根据（1）的结论，V1,V1应该在不同的集合中，矛盾；所以L(C)必为偶数
G的回路都是偶长的? G是二部图
首先，按如下方式对G的连通分支进行着色，任选一个结点，着红色，然后将其所有邻结点着为黑色，（将红色结点标记），然后逐一对黑色结点的邻结点着为红色并标记黑结点，如此往复，值到全部结点着色标记完成，或遇到已着色的结点被重新着色为相反的颜色（此图有奇长度回路）。下面说明，如果是偶长的，那么就是二部图：
证明：从染色的顺序看，红点到黑点之间的距离为单数，红点到红点的距离为双数，并且相同颜色的点不会相邻。所以可以将图的顶点集合分成两个集合，每个集合的点的颜色一致。根据二部图的定义，这是一个二部图。
如果着色过程中出现已着色点被重新着色成相反颜色，例如：v1是开始的红点，如果现在有点为u1点为黑色，并且开始对他的邻结点进行早色，我们发现w1是u1的邻结点，但已经被着色成黑色，那么，我们就找到得到v1到u1的距离为单数的道路p1，v1到w1距离为单数的道路p2，如果p1 + u1w1 + p1，就形成一个回路，此回路为奇数，与前提矛盾。所以不可能出现这种情况。
（注:对其他分支重复这种方法，如果遇到孤立结点，则交替着红色和黑色）
19、设G=(V,E)是点度均为偶数的连通图，证明：对任何 u V, ω(G-u) ≤d(u)/2
证明：因为G的点度都为偶数，因此G-u最多形成d(u)个奇数度点，而奇数度点必须成对出现在连通分支中，所以ω(G-u)的最大值为d(u)/2，所以ω(G-u) ≤d(u)/2
23、证明：在具有n(n≥2)个结点的简单无向图G中，至少有两个结点度数相同
证明：在n 个结点的简单无向图中，每个结点的可能度数为0、1、2…n-1，共n种，但是如果有结点度为0，那么就不存在有结点度数为n-1；同理，有结点度数为n-1，那就不存在孤立结点，所以可能的点度只能有n-1种，但有n 个结点，所以必有两个结点度数要相同
30、略
1、设一个树中度为k的结点数是n k(2≤k),求它的叶的数目
解：设T中叶结点数目为t，那么根据握手定理，及数的点边关系可以得到：n = t + n2 + n3+ … + n k (1)
Σd(v) = 2m = t + 2n2 + 3n3+ … + kn k = 2(n-1) (2)
所以：t + 2n2 + 3n3+ … + kn k = 2（t + n2 + n3+ … + n k）- 2
t = n3 + 2n4+…+(k-2)n k + 2
2、证明：树T中最长简单道路的起点和终点必都是T的叶
证明:
a)首先证明在T中的任意最长道路P中，其起点u和终点v的所有邻结点必然在
P中，否则此道路可以变长，与最长条件矛盾
b)假设在T中存在最长道路P,其起点u或终点v不是叶结点(假设是u)，那么
d(u)>1，及u至少有两个邻结点u1,u2，他们都将出现在道路中，既P =
uu1…u2…v，因为u2是u的邻结点，所以在T中就存在C=uu1..u2u的简单回
路，与树的基本性质矛盾，所以u,v必是叶结点
10、设e是连通图G的一条边，证明：e是G的割边当且仅当e含于G的每个生成树中
证明：
a)e是G的割边? e含于G的每个生成树中
假设e不包含在G的生成树T’中，那么删除e边后，T’依然包含在G-{e}中，因为T’连通，所以G-{e}连通，与e是割边矛盾，所以e必包含在G的任何生成树中
b)e含于G的每个生成树中? e是G的割边
假设e不是割边，那么G-{e}依然连通，所以存在生成数T’，当然T’也是G的生成树，但e不包含在T’中，与题设矛盾，因此e是G的割边
12、略
23、略（参考课堂ppt）讲解
1、证明：图12-7中的图都是平面图
略（只需要画处其平面图的形式即可）（a多一条边，c多了一条边）
3、设G是阶数不小于11的图，证明：G或G’(代表G的补图)中至少有一个是非平面图
证明：假设G和G’都是平面图，因为m(G) + m(G’) = n(n-1)/2,因此至少有一图的边至少为n(n-1)/4，根据平面图边与点的关系，n(n-1)/4 ≤3n –6，得到n2-13n + 24 ≤0,因此 n ≤ 10, 与题设矛盾；因此必有一图为非平面图
5、证明：少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4
证明：（反证）假设少于30条边的简单平面图所有的顶点的度都大于等于5，那么根据握手定理和平面图的性质有：
5n ≤ 2m （1）
m ≤ 3n – 6 （2）? 5n ≤ 6n – 12 ? n ≥ 12
根据（1）式，60 ≤ 2m，既 m ≥ 30
与题设矛盾，因此至少有一个顶点的度不大于4
7、证明：对K3,3的任意一条边e，K3,3-e是平面图；同样，对K5的任何边e，K5-e也是平面图
证明：因为K3,3的任意一条边ei,ej，K3,3-ei,K3,3-ej都是同构的，而根据题1（a）的结论，我们可以平面嵌入它，因此K3,3-e是平面图；同理，K5-e也是平面图
9、如果一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶图，推导自对偶图必须满足的结点数n与边数m的关系，并找出一些自对偶图
解：如果一个图是平面图，那么满足欧拉公式：
n – m + f = 2 （1）
其对偶图也是平面图，因此也应满足欧拉公式：
n* -m* + f* = 2 (2)
因为对偶关系，因此：
n = f*
f = n*
又因为此二图同构，因此
n = n*, m = m*
所以：n = f, 并且 2n – m = 2
据此可以找到一些自对偶图： K1, G(2,2) –有两种图像， K4
1、构造(n,m)欧拉图，使其满足条件：（1）m,n奇偶性相同；（2）m,n奇偶性相反
答：略
2、设G=（V，E）是一个具有2k(k>0)个奇数度结点的连通图。证明：G中必存在k条边不相重的简单道路P1,P2,…,Pk, 使得E=E(P1) ?E(P2) ?… ?E(Pk)
证明：把2k个奇数度结点分成两两一组的k组，然后每组结点新加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路C；然后去掉欧拉回路C中的k条新加入的边，得到k条互无重复边的道路P1,P2,…,Pk, 即为所求
5、在图13-10中求中国邮递员问题的解
解：
2
如上图标号：
图中有4个奇数度结点v1,v6,v9,v3, 求两两之间最短长度：
Pv1v6=3 (v1v6), Pv1v9=7 (v1v2v3v4v9),
Pv1v3=4 (v1v2v3), Pv6v9=7 (v6v7v8v9),
Pv3v6=6 (v3v8v7v6), Pv3v9=3 (v3v4v9),
Pv1v6和Pv3v9满足最小性要求，
复制v1v6和v3v4v9的边，图中欧拉回路即为所求解
6、设G是有两个奇数度点的连通图，设计一个构造G的欧拉道路的算法
解：此算法只要在书中欧拉回路的算法中，添加起点为奇数结点即可，详细描述略
9、证明：凡有割点的图都不是哈密顿图
证明：假设e为图G的割点，根据割点的定义，ω(G-e) > 1，因此不满足哈图的必要条件；所以不是哈图
13、假定在n(>2)个人的团体中，任何2人合起来认识其余的n-2个人，证明：
（1）这n个人可以排成一排，使得站在中间的每个人的两旁都是自己认识的人，站在两端的人旁边各有1个认识的人
（2）当n≥4时，这n个人可以围成一个圆圈，使得每个人两旁都是自己所认识的人
证明：如果团体中的个人看成是结点，而人于人的关系看成是边，那么就构成一个认识与否的图，对于问题（1），就转化为此图中存在哈道路问题；问题（2），就转化为图中存在哈圈的问题，现说明如下：
在此题中，任何2人合起来认识其余的n-2个人蕴含任何人最多只有一人不认识，因为如果a，不认识b和c,那么b和c就不能认识完剩下的全部人，因此此图既有d(u) ≥ n-2
那么，任意两个结点u,v，d(u) + d(v) ≥n-2 + n -2，因为n>2，所以d(u) + d(v) ≥n-1，根据书中定理，此图存在哈道路
如果n≥4，那么d(u) + d(v) ≥ n-2 + n -2 ≥ n，根据书中定理，此图存在哈圈
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧?
①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??
习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表：
一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}}
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）
离散数学习题三 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：p s r r q q ,,,p →∨?∨? 结论：s 证明：① p 前提引入 ②q ∨?p 前提引入 ③ q （①②析取三段论） ④r q ∨? 前提引入 ⑤ r （③④析取三段论） ⑥s r → 前提引入 ⑦ s （⑤⑥假言推理） 12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：s)(r q r),(q p →→→→ 结论：s q)(p →∧ 证明：①q)(p ∧ （附加前提） ② p （①化简规则） ③ q （①化简规则） ④r)(q p →→ 前提引入 ⑤r q → （②④假言推理） ⑥ r （③⑤假言推理） ⑦s)(r q →→ 前提引入 ⑧s)(r → （③⑦假言推理） ⑨ s （⑥⑧假言推理） 13、前提：s r ,q p q,q)p (→∨∧→? 结论1：r 结论2：s 结论3：s ∨r （1）证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。 证明：（1）①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→? 1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨??
②s ∨ → ∨ → ? ((→ ∨ ∧ s)) p( q) r( q) q) (p ∧ ? ? ∨ ∨ ∧ ? ? ? ∨ ∨ ? q) r( q) ∨ s 1 p s)) p ( q) ((? ③s) ∨ ∨ → ∨ ?r → → ∧ (p q) s)) ((∨ ( r( q) q) p( ? ∧ ∨ ∧ ? ? ? ?r ∨ ∨ ? ∨ ∨ r( q) ∨ s 1 p s)) ((? p q) ( q) 即结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）s) ∨ ∧ ∧ ∧ → (→ ? r( p( (p q) q) q) ∧ ? ∨ ? ∧ ? ∨ ∧ ∧ ∧ ? ? ? ∨ ? ∨ ∧ ∧ (∨ (p q) p( q) ( s) r s) q r p ( q) q) ( q) (p ∨ ? ∧ 0? ? ∨ ∧ s) (p r ( q) 即推任何结论的推理都是正确的。 14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：q → p， → (q r) p, r→ 结论：s 证明：①r) →前提引入 p→ (q ②p 前提引入 ③r) (q→①②假言推理 ④q 前提引入 ⑤r③④假言推理 r→⑤附加律 ⑥s 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理： 前提：q → ， →s p→ (q p, r) s→ 结论：r 证明： ①s 附加前提引入 ②p s前提引入 → ③p①②假言推理 ④r) →前提引入 p→ (q ⑤r q→③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 即根据附加前提证明法，推理正确。
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B 的。 17、集合上的三种特殊元是、 及。 18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别 是：，，，。 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q)）的真值表。 答案： 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： ４. 写出下列式子的主析取范式: 答案： )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧?
5． 构造下列推理的论证:p ∨q, ｐ→?r ， s →t, ?s →ｒ， ?t ? ｑ 答案: ①s →ｔ 前提 ②t 前提 ③ｓ ①②拒取式I12 ④s →ｒ 前提 ⑤ｒ ③④假言推理I １１ ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论Ｉ10 6. 用反证法证明:ｐ→(?(r ∧s ）→?q ）, p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨
７. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F （ x )：ｘ是鱼 Ｗ（ x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8． 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( ｘ ):x 是有理数 R （ x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令Ｍ(ｘ)：x 是人 Ｃ（x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 １０. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥ｘ。 答案: 令P(x):x 是正实数 Ｓ（ｘ,y): x+y ≥x １１． 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x ）:x 是人 Q （ｙ）: y 是课外活动 S(ｘ,ｙ）:ｘ参加y ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→??
离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以
离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
. 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8
《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
欢迎共阅 一、填空题 1设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3},B={1,2},则A-B ＝____________________; ?(A)-?(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|?(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a ,b },B={1,2},则从A 到B 的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________. 4.6设A 、7.设R 8.9.设集合 R 1?R 2 R 1210.11设A ∩13.14.设一阶逻辑公式G=?xP(x)??xQ(x)，则G 的前束范式是_______________________________. 16.设谓词的定义域为{a ,b },将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17.设集合A ＝{1,2,3,4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)},S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ?S ＝_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________. 二、选择题
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f
离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧? ∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567 m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：