涵咏兴味长

涵咏兴味长——《夹竹桃》教学所得

在我们的语文阅读课上，常常会出现这样的尴尬，老师挖空心思把一篇既不深也不美的课掰开了揉碎了，百样红紫地演绎解说，而学生呢，则索然无味，昏昏欲睡。在我看来，这种茶壶里面起波涛的所谓“教学艺术”，还不如旧时代的私塾来得实在。至少，学生在这些所谓的死记硬背中积累了丰厚的语言功底。所以我一直以来就固执地认为，语文的阅读课就一定要留出足够的时间让学生读书。整体感知主要靠读，有所感悟主要靠读，培养语感主要靠读，情感熏陶主要靠读，积累语言更是靠读。正如清人唐彪所言：“文章读之极熟，则与我为化，不知是人之文、我之文也。”学生只有在读书中才能学会读书，这是一个再朴素不过的真理。

“腹有诗书气自华，才到高处重也轻。”学语文不过读书而已，语文课堂上最动听的莫过于琅琅的读书声。从古至今，涵咏诵读一直是学好语文的一种行之有效的必不可少的重要手段。很难想象没有诵读的语文课会取得很好的教学效果，会很好地提高学生的语文素养。做到“三分文章七分读”，说话作文才能“涵咏成趣,如若己出”。

一、提纲挈领——“未成曲调先有情”

清代李渔曾说过：“开卷之初，当以奇句夺目，使之一见而惊，不敢弃去。”文章开头必须讲究落笔艺术。美好的乐章，也必有那扣人心弦的序曲引人入胜，正所谓“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”。

著名特级教师李吉林说：“我走进课堂，教学新课时，仿佛觉得自己来到一条清澈的小河边，是那样的明亮、清新，我的新课启始，要放飞一群“蜻蜓”，要送过一阵“微风”，于是孩子情感的小河荡漾起情感，对新课的学习，形成一种期盼的欲望，关注的心理。”为了能启动学生的情感，我愿意做这一群“蜻蜓”、这一阵“微风”。因而在学习课文伊始，我常常为学生创设着美好的情景：几句优美的导语、一段美妙的音乐、一个美好的场景、一幅迷人的图画，尽我所能激起学生心中的涟漪。

《夹竹桃》是我国著名教育学家季羡林先生的一篇文质兼美的散文，文章用美丽生动的语言描绘了在万紫千红、五彩缤纷的花季里，夹竹桃的可贵韧性和花影迷离的动人情景，表达了作者对夹竹桃的喜爱之情。夹竹桃的韧性以及夹竹桃能引起作者无限的遐想，这是作者爱上夹竹桃的两个原因，这也是本文教学的一个重点。但是，对于活泼好动的孩子们而言，课文却由于缺少了生动有趣的故事情节，因而对他们并不具有吸引力。怎样才能牢牢地抓住学生读书的热情，使他们全身心地投入到文本的学习中去呢？

我摒弃了以往一贯采用的千遍一律的通篇齐读方式。因为一直以来，我都觉得齐读使千人一面，使众口一声，使腔调一味，不抑不扬，不但听之不美，闻之生厌，而且与文章的文辞美、声律美、情感美相左，扼杀了学生的个性，也戕害了语文的美感，完全断绝了学生和语文由相识而相知而相惜而相悦的念想。因而上课伊始，我就创设优美的语言环境，引导学生在自读文本的基础上，把握季羡林先生写文的初衷，即对夹竹桃的爱和寄托于夹竹桃的可贵品性的赞颂。由此，理解文中所说的“夹竹桃不是名贵的花，也不是最美丽的花，但是对我来说，却是最值得留恋最值得回忆的花。”有了这样的情感为铺垫，学生在领略夹竹桃花色的奇妙有趣自然就多了一份兴味盎然；品味夹竹桃的可贵韧性自然就多了一份情真意切；感受夹竹桃引起的奇思妙想自然就多了一份浮想联翩……

金圣叹说：“人看花，人到花里去；花看人，花到人里去。”要实现文本和读者间的真正对话，要将高度浓缩凝练的语句在心头绽放，需要教师运用自身的文学涵养带领着孩子们走进文本，走进语言文字，去悉心揣摩，获得人文的助长、哲理的启迪，在生命得到滋养的同时获得灵魂的感动。

二、含英咀华——“此时无声胜有声”

我们的语文课本，绝大部分都是文质兼美的文章，课文里既有鲜明生动的形象，又渗透着深刻的哲理，凝聚着强烈的情感。古人云“感人心者，莫先乎情。”教学中，若能使学生领悟文章中蕴涵着的丰富情感，那必定会使学生受到感染，引起其心灵上的共振，情感上的共鸣。入情入境地读将会最大限度地挖掘教材中的情感因素，使之与学生的情感交融在一起，调成一杯浓浓的鸡尾酒。

《夹竹桃》一文的第四自然段写的是夹竹桃一声不响，一年三季，无日不迎风吐艳，显现出其可贵的韧性。教学中，学生在理解了“韧性”的基础上，我引导学生围绕“韧性”，充分自读自悟、圈点批注。接着组织讨论交流，引导学生抓住“又开出一朵”“又长出一嘟噜”“看不出”“也看不出”“无日不迎风吐艳”“无不奉陪”等词句，从而感受到无论是气候的变化，还是季节的更替，唯有夹竹桃始终花开不败，体会其可贵的韧性。为了使学生更好地感悟“从春天一直到秋天”“从迎春花一直到玉簪花和菊花”，更好地体会作者运用对比映衬的笔法，将其韧性的花性根植于学生心中。我充分利用文本的写作特色，勾连前文，引导学生通过与第三自然段描写百花争奇斗艳的语言文字进行反复地对比朗读。

师：每年春天，迎春花首先开出黄色的小花，报告春的消息。以后接着来的是桃花、杏花、海棠、榆叶梅、丁香等等，院子里开得花团锦簇。

生：然而，在一墙之隔的大门内，夹竹桃却在那里悄悄地一声不响，一朵花败了，又开出一朵，一嘟噜花黄了，又长出一嘟噜。在和煦的春风里，在盛夏的暴雨里，在深秋的清冷里，看不出什么特别茂盛的时候，也看不出什么特别衰败的时候，无日不迎风吐艳。从春天一直到秋天，从迎春花一直到玉簪花和菊花，无不奉陪。

师：到了夏天，更是满院生辉。凤仙花、石竹花、鸡冠花、四色梅、江西腊等等，五彩缤纷，美不胜收。夜来香的香气熏透了整个的夏夜的庭院，是我什么时候也不会忘记的。

生：然而，在一墙之隔的大门内，夹竹桃却在那里悄悄地一声不响，一朵花败了，又开出一朵，一嘟噜花黄了，又长出一嘟噜。在和煦的春风里，在盛夏的暴雨里，在深秋的清冷里，看不出什么特别茂盛的时候，也看不出什么特别衰败的时候，无日不迎风吐艳。从春天一直到秋天，从迎春花一直到玉簪花和菊花，无不奉陪。

师：一到秋天，玉簪花带来凄清的寒意，菊花则在秋风中怒放。

生：然而，在一墙之隔的大门内，夹竹桃却在那里悄悄地一声不响，一朵花败了，又开出一朵，一嘟噜花黄了，又长出一嘟噜。在和煦的春风里，在盛夏的暴雨里，在深秋的清冷里，看不出什么特别茂盛的时候，也看不出什么特别衰败的时候，无日不迎风吐艳。从春天一直到秋天，从迎春花一直到玉簪花和菊花，无不奉陪。

师：一年三季，花开花落，万紫千红。

生：然而，在一墙之隔的大门内，夹竹桃却在那里悄悄地一声不响，一朵花败了，又开出一朵，一嘟噜花黄了，又长出一嘟噜。在和煦的春风里，在盛夏的暴雨里，在深秋的清冷里，看不出什么特别茂盛的时候，也看不出什么特别衰败的时候，无日不迎风吐艳。从春天一直到秋天，从迎春花一直到玉簪花和菊花，无不奉陪。

有了院子里那些季节性花的陪衬，夹竹桃更显得坚忍不拔。它可以承受春是和煦，也可以经受盛夏暴雨的洗礼，又可以耐受深秋清冷，不像那些争妍斗胜的许多花卉只是匆匆走过，相比之下，夹竹桃“无日不迎风吐艳”，“那一点韧性”，岂不是难能可贵！在声声对读中，在声声催情中，夹竹桃具有可贵韧性的形象更加饱满了。这样的课堂教学，无须教师对文本过多的分析、肢解，夹竹桃那可贵的韧性就这样静静地流淌于字里行间。“此时无声胜有声”，学生在用心的涵咏过程中，自然而然地读懂了、领悟了。

这就是“以情带读，读中悟情”。这“情”，是融合了思想、智慧、体验、想象、灵性的情，是充满了生命活力的情，是求真、向善、爱美的情。以情带读，带出的是饱含深情的读、是全神贯注的读、是多元感悟的读、是个性飞扬的读、是融会贯通的读、是出神入化的读。许

多时候，语言文字所表述的，不过是一份对于生命之美的感慨。真正的好诗，往往如禅，是“不可说，不可说，一说便是错”的，就像梁启超在诗歌赏析课上，介绍到《箜篌引》，只能言“好，真是好”，再说不出其他的。那是千言万语尽在心头丰厚华瞻，你只能自己慢慢涵咏来消化。

三、读写结合——“涵咏工夫兴味长”

王崧舟老师曾说“文本细读虽然强调沉入言语、逐字逐句解读，但这种解读并非漫无目的、毫无重点的散步式细读。有时，处处精细就是扼杀精细。”这句话给了我两个启示：细读读什么？细读读重点词句。怎么读？沉入重点词句。朱熹《论读书诗》：“读书切忌在慌忙，涵咏工夫兴味长。”所谓“涵咏工夫兴味长”，即咀嚼回味，慢慢地品尝语言文字的悠长韵味。

《夹竹桃》一文中描写月光下的夹竹桃“叶影参差，花影迷离”带给人无穷的幻想，笔触细致入微，尤其是“我幻想……我幻想……我幻想……”的排比句式，把夹竹桃引发“我”的幻想写得生动有致，引人遐想不已。在教学中，我紧扣一个“袭”字，引导学生用心品味，感受作者在月光下，在一团树影、花影下那“花香袭人浑欲醉”的欣喜，抓住“居然”“真的”来体会幻想的奇妙、有趣……

古人有言：少年读书，如隙中窥月；中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。正所谓“一轮皓月当空照，千江有水千江月”。初读这三个幻想，学生从文本中读到的是作者的奇思妙想；再读这三个幻想，学生透过文本感受到的是作者的童真童趣；而三读这些幻想，需要的是学生沉浸于文本之中，于诵读之外再谈涵咏，于文字之间再三品鉴，方能真正领略作者的谴字之美，造语之奇，塑境之佳，抒情之妙，想象之妙趣横生，细节之曲尽天工。于是，我让学生模仿月光下的夹竹桃给人们带来的幻想这种由眼前景产生联想的写作方法，欣赏夹竹桃图片，展开幻想，由读向写迁移，仿照句式说话。

在学生完成了仿句作业之后, 我让他们继续读书。我说:“读书如同喝茶, 一杯龙井, 对于不会喝茶的人来说,无异于白开水,而对于会喝茶的人来说, 则是其妙无穷。你们能用自己的语言把课文的韵味传达出来, 相信你们再读课文, 一定会有新的感受。”教室里又响起了读书声, 声音似乎比以前深沉了许多, 甚至有同学摇头晃脑起来。根据课文内容, 按照给定的语言形式, 进行仿句训练, 这看起来是语言训练, 实际上是一个重新组合课文意象的过程, 这是为理解意境而开辟的又一条道路。意境理解是无形的, 是看不见摸不着的, 它是一个意会的过程, 难以操作, 不便检测；变意境理解为意象的重新组合, 化单纯的思维活动为动手动脑的学习活动, 变无形为有形, 化意念为行动, 思维有方向, 思考有方法, 思想有痕迹, 易于操作, 也便于检查。这是语言训练的过程, 是意境再揣摩的过程, 也是对意境理解的检测过程。

在这样一个读写结合的过程中，学生真正做到了“涵咏成趣”“兴味悠长”。他们在对文本的反复涵咏中，身心沉浸其中，体味文中的意境，从而参透作品，获得审美享受。这样读写结合，变“无味”的读书为“有趣”的练笔, 化心不在焉的“口诵”为心手并用的“笔诵”, 将口诵、心诵、笔诵融为一体, 就巧妙地将学生带进了课文, 带进了作者精心设置的意境之中。

袁枚《随园诗话》言：“诗宜朴不宜巧，然必须大巧之朴；诗宜淡不宜浓，然必须浓后之淡。”诗宜此，课又何尝不宜此。语文教学，总要经历一个先巧后朴、由浓至淡的过程，所谓“绚烂之极归于平淡”是也。阅读教学当“以读为本”，这才能使阅读的过程充满生命的活力，充满成长的气息。只要我们关注学生的生命发展，努力挖掘语文阅读教学中的“亮点”，定能在语文阅读的天地里编织出一幅“喜看稻菽千重浪，倾听幼竹拔节声”的丰收图。

弧长的计算公式公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

1°的圆心角所对的弧长的n 倍，即 180 R n l π= ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，弧长计算公式 180 R n l π= ，揭示了R n l ,,这3个量之间的一种相等关系。在R n l ,,这3个量中，如果知道其中的两个量，就可以由弧长计算公式，求出另一个量。 强调：公式中的n 不带单位，n 表示1°的圆心角所对的弧长的倍数 师 生 互 动 过 程 教学内容和学生活动 教师活动 三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长度（精确到1mm ） 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm ，它所对 ? 学生小组交流讨论，然后找一名学生到黑板上板演

的圆心角为70o，求这条圆弧的长度（精确到） 2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆 心角所对的弧的长度（精确到） 3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径. 学生讨论，找学生到黑板板演 教学内容和学生活动教师活动

师生互动过程练习2:如图,圆心角为60°的扇形的 半径为10cm, 求这个扇形的周长. 补充： 如图，某传送带的一个转动 轮的半径为10cm. 1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米 2)转动轮转1°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 3)转动轮转n°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 五、小结 布置作业 ? 学生思考 板书设计

涵洞设计与放样 第一节 涵长计算 一、正交涵洞长度计算 （一）无超高加宽时： B 上=B 下=0.5B H —路基填土高度，涵底中心至路基边缘高度。 h 上、h 下——涵洞上下游洞口建筑高度。 m —路基边坡率 i0——涵底坡度 L 上、L 下——涵洞上下游水平长度（m ）。 L 上= i0 m 1h -H m ?++上） （上B L 下= i0 m 1h -H m ?-+下） （下B 涵洞总长L= L 上+L 下 若缘石外低端不在路基边坡延长线时，h 上、h 下用h 上+t 、h 下+t 代替，t ——厚，a ——宽 （二）有超高加宽时（设在平曲线内） 1、i0与i1方向一致 L 上= i0 m 1i1B h -H m ?+?++） 上（上B L 下=i0 m 1W i1W h -H m ?-+?-+）下（下B B 上、B 下——半个标准路基宽 W ——路基加宽 涵洞总长L= L 上+L 下 注意：路基的设计高为未超高加宽前路基内侧边缘点的高程。 图6-2有超高加宽时涵长计算1

2、i0与i1方向相反 L 上= i0m 1i1h -H m ?+?-++） 上（上W W B L 下= i0 m 1i1B h -H m ?-?++） 下（下B 涵洞总长L= L 上+L 下 （三）斜交斜做涵洞 因：L 上?cos α=B 上+ m （H- h 上- L 上?i0）+a 所以： L 上= i0 m c a h -H m ?+++αos B 上）（上 同理：L 下=i0 m c a h -H m ?-++αos B 下）（下 第二节 涵址测量 一、 涵位中桩钉设 直线上的涵位用花杆穿线的办法（经违仪）确定中桩，或用全站仪坐标法定设中桩。曲线上的涵位用切线支距法定设中桩。 切线支距法步骤： 1、预估ZY 到涵中心桩的曲线长。 2、查切线支距X 、Y ，或根据曲线长和偏角计算X 、Y 。 3、沿切线方向量X 、垂直距离Y 得中心桩。 4、若该点不是河沟中心，则再估。 二、 测斜交角度、高程 （一）直线上的斜交角度 涵洞的斜交角度指的是涵洞的中心线与道路中线垂直方向的夹角。在直线上测量涵洞的斜交角度相对比较容易，其测量步骤如下： 1、立经纬仪于涵洞中桩，对中、整平。 图6-3有超高加宽时涵长计算2 图6-4斜交斜做涵长计算

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长

（3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:

涵洞八字墙工程量计算公式 推导 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

涵洞八字墙工程量计算公式推导 *注：因为常用平均面积法、切分法、棱台算法等计算法计算翼墙体积（砼用量），在长大翼墙计算过程中会随着长度增长误差也随着增长，若求精确故不可采用。以下计算公式，均能精确到左右。 一、墙身体积计算公式 如下图所示的涵洞翼墙 、低令翼墙的顶宽为K、墙背坡为B、填土坡为T、墙高为X、（注：高的一端为X 高 的一端为X ）、翼墙低端基础宽J、基础的厚度为 H， X变量从翼墙的低端变化到翼低 墙的高端（如图中从1米变化到米），墙长与填土坡T相关，它随墙高增高而增长。 即：墙长=T(X高－X低)。墙身体积计算公式推导如下：

将(2)式脱出积分公式整理得 二、墙身体积计算例 上图中K=、B=、T=、X 低=1、X 高= 339.875.36182.35.12182.346.05.113322=?-?+-??=）（）（、体积 339.875 .36182.35.1246.023.4182.3233=?-?+??+=）（）（、体积 三、基础体积计算公式 ）（）（基础体积低高40dx X x x B TH TJH ?+=- 将 (4)式脱出积分公式整理得 其实八字墙基础是底面为梯形的一个棱柱体 基础体积=梯形面积乘以高 四、基础体积计算例 上图中 T=、J=、H= 、X== 949.382.275 .326.05.182.26.018.15.112=???+???=、基础体积 947.36.02 23.418.193.12=??+=）（、基础体积

知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

涵洞八字墙计算公式 帽缘缘石砼=(Q6+R6+涵长计算!E6+0.1)*0.2*0.35*2 隔水墙=(Y6*TAN(RADIANS(K6))+Y6*TAN(RADIANS(ABS(L6)))+涵长计算!E6+0.4)*F6*0.4*2 洞身铺砌=涵长计算!Y6*涵长计算!E6*J6 洞口铺砌=(Y6*TAN(RADIANS(K6))+2*涵长计算!E6/COS(RADIANS(涵长计算!C6))+Y6*TAN(RADIANS(ABS(L6))))*Y6*J6 V =Z6+AA6 V基= =(D6*(Q6+U6+W6)*(N6-M6)*G6+D6/(2*O6)*(N6^2-M6^2)*G6)*2+(D6*(R6+V6+X6)*(N6-M6)*G6+D6/(2*P6)*(N6^2-M6^2)*G6)*2 V身= =(1/2*Q6*D6*(N6^2-M6^2)+D6/(6*O6)*(N6^3-M6^3))*2+(1/2*R6*D6*(N6^2-M6^2)+D6/(6*P6)*(N6^3-M6^3))*2 G= =D6*(N6-M6) e2正翼墙= =I6/COS((A TAN(TAN(RADIANS(K6))-1/(D6*O6)))) e2反翼墙= =IF(L6<0,I6/COS((A TAN(TAN(RADIANS(ABS(L6)))+1/(D6*P6)))),I6/COS((ATAN(TAN(RADIANS(ABS(L6)))-1/(D6*P6))))) e1正翼墙= =I6/COS(RADIANS(K6)) e1反翼墙= =I6/COS(RADIANS(L6)) c1正= =Q6+N6/O6 c1反= =R6+N6/P6 c正= =H6/(COS(RADIANS(K6))) c反= =H6/(COS(RADIANS(L6))) n0正= =(E6+SIN(RADIANS(K6))/D6)*COS(RADIANS(K6)) n0反= =IF(L6<0,(E6-SIN(RADIANS(ABS(L6)))/D6)*COS(RADIANS(L6)),(E6+SIN(RADIANS(ABS(L6)))/D6)*COS(RADIANS(L6))) H= =涵长计算!F6+涵长计算!G6+F6-G6 h= =F6-G6+0.2 β1= =IF(C6<10,30,IF(C6>=30,55,35)) β2 =IF(C6<10,30,IF(C6>=30,-20,0)) 涵长计算 净跨径L0= =IF(D6<3,D6-0.4,D6-0.6) 路肩标高左侧= =IF(N6=0,K6+(B6-S6*TAN(RADIANS(C6))-J6)*L6-P6*(S6-R6/2),K6+(B6-S6*TAN(RADIANS(C6))-J6)*L6+(M6-ABS(B6-S6*TAN(RADIANS(C6))-J6))^2/(2*N6))-P6*(S6-R6/2) 路肩标高右侧= =IF(N6=0,K6+(B6+T6*TAN(RADIANS(C6))-J6)*L6-Q6*(T6-R6/2),K6+(B6+T6*TAN(RADIANS(C6))-J6)*L6+(M6-ABS(B6+T6*TAN(RADIANS(C6))-J6))^2/(2*N6))-Q6*(T6-R6/

课题： 课型：新授课 教学目标： 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力； 3．使学生了解计算公式的同时，体验公式的变式，使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质． 教学重点： 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形的面积计算公式；会利用公式解决问题． 教学难点： 探索弧长及扇形的面积计算公式；用公式解决问题． 教学准备： 多媒体课件、几何画板软件． 教法学法： 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程： 一、创设情境，引入新课． 师：今天大家是怎么来上学的？ 生：自行车/电动车/步行/坐十路车． 师：看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的． 生发出会心的笑声． 师：大家看这辆自行车，它的车轮的半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？

生：60πcm ． 师：这实际上就是利用圆的周长公式计算的，那圆的面积公式是什么？圆的圆心角是多少度？ 生：若圆的半径是r ，则面积是2S r π=，圆的圆心角是360°． 师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形的面积”（板书课题）． 设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理答案． 二、师生互动，探究新知 活动1 探索弧长公式 师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？ 生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？ 生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算． 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法． 生：因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长的 1 360 ；车轮转动n °，车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍，也就是圆周长的360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么？ 学生思考． 生： 180 n l r π= ． 师：是的，这里同学们要特别注意，公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数，所以不写单位；如图所示?AB 的弧长记作： ?180 l n AB r π=．请同学们记住这个公式． 学生识记公式． 设计意图：关于弧长的计算，我从一个生活中的实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组的同学讨论分

第六章 涵洞设计与放样 第一节 涵长计算 一、正交涵洞长度计算 （一）无超高加宽时： B 上=B 下=0.5B H —路基填土高度，涵底中心至路基边缘高度。 h 上、h 下——涵洞上下游洞口建筑高度。 m —路基边坡率 i0——涵底坡度 L 上、L 下——涵洞上下游水平长度（m ）。 L 上= i0 m 1h -H m ?++上） （上B L 下= i0 m 1h -H m ?-+下） （下B 涵洞总长L= L 上+L 下 若缘石外低端不在路基边坡延长线时，h 上、h 下用h 上+t 、h 下+t 代替，t ——厚，a ——宽 （二）有超高加宽时（设在平曲线内） 1、i0与i1方向一致 L 上= i0 m 1i1B h -H m ?+?++） 上（上B L 下=i0 m 1W i1W h -H m ?-+?-+）下（下B B 上、B 下——半个标准路基宽 W ——路基加宽 涵洞总长L= L 上+L 下 注意：路基的设计高为未超高加宽前路基内侧边缘点的高程。 图6-2有超高加宽时涵长计算1

2、i0与i1方向相反 L 上=i0m 1i1h -H m ?+?-++）上（上W W B L 下=i0 m 1i1B h -H m ?-?++）下（下B 涵洞总长L= L 上+L 下 （三）斜交斜做涵洞 因：L 上?cos α=B 上+ m （H- h 上- L 上?i0）+a 所以： L 上= i0 m c a h -H m ?+++αos B 上）（上 同理：L 下=i0 m c a h -H m ?-++αos B 下）（下 实训项目：根据已知条件计算涵洞长度。 实训时间：2课时。 图6-3有超高加宽时涵长计算2 图6-4斜交斜做涵长计算

高庙王中学双案教学设计 学科数学年级九时间 11.27 总序 号 51 课题 弧长的计算公式 主备人甄守鲁 授课人甄守鲁 教学目标 和 学习目标1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式 2、会运用弧长计算公式计算有关问题 教学重点 教学难点 目标2 师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动一、创设情境引入新课 某圆拱桥的半径是30m，桥拱AB 所对的圆心 角∠AOB=90°，你会求桥拱AB的长度吗？（精确到 0.1m） 出示课本中小亮的做法，让学生判断正误 二、探索活动 1、探索弧长计算公式 ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？ 分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 360 1 ，即 180 360 2R Rπ π = ⑵n°的圆心角所对的弧长是多少？ 分析：n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心 角所对的弧长的n倍，即 180 R n l π = ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算 公式，弧长计算公式 180 R n l π =，揭示了R n l, ,这3 个量之间的一种相等关系。在R n l, ,这3个量中， 如果知道其中的两个量，就可以由弧长计算公式， 求出另一个量。 出示问题，让学 生自主探索 强调：公式中的 n不带单位，n 表示1°的圆心 角所对的弧长的 倍数

师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框 架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长 度（精确到1mm） 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm，它所对的圆心角 为70o，求这条圆弧的长度（精确到0.1cm） 2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆心角所对 的弧的长度（精确到0.1cm） 3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求 这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20π cm,求扇形的半径. 学生小组交流讨 论，然后找一名 学生到黑板上板 演 学生讨论，找学 生到黑板板演

涵洞八字墙工程量计算公式推导 *注：因为常用平均面积法、切分法、棱台算法等计算法计算翼墙体积（砼用量），在长大翼墙计算过程中会随着长度增长误差也随着增长，若求精确故不可采用。以下计算公式，均能精确到0.01m3左右。 一、墙身体积计算公式 如下图所示的涵洞翼墙 令翼墙的顶宽为K墙背坡为B填土坡为T、墙高为X、（注：高的一端为X高、低的一端为X 低）、翼墙低端基础宽J、基础的厚度为H, X变量从翼墙的低端变化到翼墙的高端（如图中从1米变化到3.82米），墙长与填土坡T相关，它随墙高增高而增长。 1:100I i _i 1:100 1''1:100 t:100

即：墙长二T(X高—X低)。墙身体积计算公式推导如下: 面积=~I'2 x = KX +7? (1)注1：面积=(上底｛底"高 体积:: (TKX+^X2) (2) 将(2)式脱出积分公式整理得 二、墙身体积计算例上图中K=0.46、B=3.75、T=1.5、X低=1、X高 =3.82 卞体积=15 0.46（3.822 -12）1.5（3.823-13）= 8.339 2 6汉3.75 2、体积=（ 3.82 1）扌23 0.46 1.5633 75 1）8.339 三、基础体积计算公式 基础体积二0x高以氐(TJH TH X)dx(4) 将(4)式脱出积分公式整理得 TH 体积= TJHX +詣X? (5) Z D ?t 其实八字墙基础是底面为梯形的一个棱柱体 基础体积二梯形面积乘以高 四、基础体积计算例上图中T=1.5、J=1.18、H=0.6、X=3.82-仁2.82 。2 1基础体积=1.51J8 °6 282+ 黑06 2^ =泅9 2、基础体积（倔1：8）4.23 0.6 = 3.947 T(驾- 曝〕 体积=

弧长计算公式 弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。弧长的计算公式 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于0.785(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360 例子 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈3.14 R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

弧长计算公式编辑 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，l是圆心角弧长。 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 1计算公式编辑 弧长公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 l =α(圆心角弧度数)× r（半径） 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR ÷180°（l=n°x2πR/360°) 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπr/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于0.785(cm) 扇形的弧长第二公式为：[1] 扇形的弧长,事实上就是圆的其中一段边长，扇形的角度是360度的几分之一，那么扇形的弧长就是这个圆的周长的几分之一，所以我们可以得出： 扇形的弧长=2πr×角度/360 其中，2πr是圆的周长，角度为该扇形的角度值。

拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=nπR^2/360 n为圆心角的度数,R为底面圆的半径 2例子编辑 如果已知它的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。3补充公式编辑 S扇=nπr^2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=nπr2/360 (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 4各种公式编辑 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈3.14 R为圆锥体底面圆的半径

内容简介 一、面阵相机和镜头选型 (2) 二、针对速度和曝光时间的影响，产品是否有拖影 (2) 三、线阵相机和镜头选型 (2) 四、图像采集卡、相机接口、PCI、PCI-E插槽的选型 (3) 五、线阵相机、镜头、光源的选型详解 (4) 六、图像采集卡的选型详解 (9) 七、线阵摄像机与面阵摄像机的区别 (14) 八、图像采集卡选型详解 (18)

一、面阵相机和镜头选型 已知：被检测物体大小为A*B，要求能够分辨小于C，工作距离为D 解答： 1.计算短边对应的像素数E=B/C，相机长边和短边的像素数都要大于E。 2.像元尺寸=产品短边尺寸B/所选相机的短边像素数 3.放大倍率=所选相机芯片短边尺寸/相机短边的视野范围 4.可分辨的产品精度=像元尺寸/放大倍率（判断是否小于C） 5.物镜的焦距=工作距离/（1+1/放大倍率）单位：mm 6.像面的分辨率要大于1/（2*0.1*放大倍率）单位：lp/mm 以上只针对镜头的主要参数进行计算选择，其他如畸变、景深、环境等，可根据实际要求进行选择。 二、针对速度和曝光时间的影响，产品是否有拖影 已知：确定每一次检测的范围为80mm*60mm，200万像素CCD相机（1600*1200），相机或产品运动速度为12m/min = 200mm/s。 曝光时间计算： 曝光时间<长边视野范围/（长边像素值*产品运动速度） 曝光时间< 80mm/（1600*250mm/s） 曝光时间< 0.00025s = 1/4000 s 总结：故曝光时间要小于1/4000 s ，图像才不会产生拖影。 三、线阵相机和镜头选型 相机选型： 已知：幅宽为1600mm、检测精度1mm/pixel、运动速度22000mm/s、物距1300mm 相机像素数=幅宽/检测精度=1600mm /1mm/pixel = 1600pixel 最少2000个像素，选定为2k相机 实际检测精度=幅宽/实际像素=1600mm/2048pixel＝0.8mm/pixel 扫描行频=运动速度/实际检测精度=22000mm/0.8mm＝27.5KHz 应选定相机为2048像素28kHz相机，像元尺寸10um 选用一个VT-FAGL2015线阵相机或两个103k-1k线阵相机拼接 镜头选型： sensor长度=像素宽度×像素数=0.01mm×2048=20.48mm 镜头焦距=sensor长度×物距/幅宽=20.48×1300/1600＝16mm

】本讲教育信息【 一. 教案内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教案要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的 半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面°的扇形面积等于圆面积，所以圆360积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是，由此得圆心角为n°的扇形面积的积形的1角心为°扇面是计算公式是。 ，所以又得到扇形面，扇形面积又因为扇形的弧长 。积的另一个计算公式： 3、弓形的面积知识点）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形

叫做弓（1 形。2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积（如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要AmB的面积。的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形把扇形OAmB 1所示，当弓形所含的弧是劣弧时，如图所示，当弓形所含的弧 是优弧时，如图2当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，）45°，则图中阴影部分的面积是（的半径为2，∠ABC＝例：如图所示，⊙O 表示）（结果用 ∠AOC由圆周角定理可知∠ABC，所以＝分析：由图可知是直角三角形，所以°，所以△＝2 ∠ABC＝90OAC∠AOC， 所以注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算 公式。圆面积弧长圆周长扇形面积 公式 （2）扇形与弓形的联系与区别 ）扇形与弓形的联系与区别2（．

弧长的公式扇形面积公 式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

【本讲教育信息】 一.教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二.教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三.重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例 如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的 另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

弧长计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

弧长计算公式 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360

如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l

在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式

S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长 侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。

扇形的弧长公式和面积公式教案 价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通教学目标知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式 解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识, 提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为: 比较: 与 得到扇形面积 另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确应用理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公式进行计算 【活动四】应用、练习 例1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上 有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 例2、如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。老师展示例题,学生阅读并寻找解题方法使学生能够运用所学的知识解决数学问题 【活动五】探究与拓展 探究2、如图,A是半径为1的圆O外一点,且OA=2,AB是⊙O的切线,BC//OA,连结AC,

弧长公式及扇形面积公式 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ［学习目标］ 1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。b5E2RGbCAP 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： <1）半径<或边心距）的比等于相似比。 <2）面积的比等于边心距<或半径）的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 <1）画正n边形的步骤： 将一个圆n等分，顺次连接各分点。 <2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是 圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。p1EanqFDPw 5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长： n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。 二. 重点、难点： 1. 学习重点： 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点： 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 【典型例题】 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是 < ） A. B. C. D. DXDiTa9E3d 解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1 又∵∠FAG＝60°