高中数学总复习——知识梳理
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}
{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重
借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}
{}1|032|2===--=ax x B x x x A ，如：集合 的值构成的集合为，则实数若a A B ? ），，（答：????
??
-3101 3. 注意下列性质：
{}；的所有子集的个数是，……，，）集合（n n a a a 2121
；，）若（B B A A B A B A ==??Y I 2 （3）德摩根定律：()()()()()()B A B A B A B A U U U
U
U
U C C C
C C C Y I I Y ==
，
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
a M M M a
x ax x ，求实数且，若的解集为的不等式如：已知关于?∈<--5305
2的取值范
围。
())2593510555503533(22，，·∴，∵·∴，∵Y ??????∈????
??
??
≥--?<--∈a a a M a a M 和，“且”“或”做命题，逻辑连接词有可以判断真假的语句叫)()( 5.∧∨).(?“非”
均为真、为真，当且仅当若q p q p ∧
至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 为假为真，当且仅当若p p ?
6. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素
的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 7. 如何求复合函数的定义域？
[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>->义域
是 。[]），（答：a a -
8. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
(
)
).(1x f x e x f
x ，求如：+=+
解：01≥+=t x t ，则令
12-=t x ∴，1)(21
2
-+=-t e t f t ∴
()01)(21
2
≥-+=-x x e x f x
∴
9. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
()()的反函数
如：求函数???<-≥+=001)(2x x x x x f ()()）（答：??
???<-->-=-011)(1
x x x x x f 10. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
a b =?∈∈=-)(f b =f(a)C b A a C A f(x)y 1，则，，，值域为的定义域为③设 [][]b a f b f f a b f a f f
====∴---)()()()(111
，
11. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？[]（内层）
（外层），则，（)()()(x f y x u u f y ??=== )(log )(22
1a ax x x f --=
[][]为减函数。）为增函数，否则相同时当内、外层函数单调性)()(x f x f ?? ()
的单调区间如：求x x y 2log 22
1+-=
20022<<>+-=x u x x u 则，由（设 ()，如图：
，且11log 2
2
1+--=↓x u u
↓↓↑∈y u u x ∴，，又时，，当2
1log ]10(；↑↓↓∈y u u x ∴，，又时，，当2
1log )21[
12. 如何利用导数判断函数的单调性？
()
上导数等于为增函数。（在个别点则内，若总有，在区间)(0)( x f x f b a ≥0，不影响函数的单调性），呢？反之也对，若0)( ≤x f
[)的最大上是单调增函数，则，
在，函数如：已知a ax x x f a ∞+-=>1)(03值是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
03333)( 2≥???
? ??-???? ??
+
=-=a x a x a x x f （令33a x a x ≥-≤或则 313
)1[)(≤≤∞+a a
x f ，即上为增函数，则
，在由已知 ∴a 的最大值为3）
13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）
函数图象关于原点对称为奇函数总成立若??-=-)()()(x f x f x f 轴对称函数图象关于为偶函数总成立若y x f x f x f ??=-)()()( 注意结论：
。原点，则是奇函数且定义域中有若0f(0)f(x )=
，时，，上的奇函数，当，为定义在如：1
42)()10()11()(+=∈-x x
x f x x f 求)(x f 在)1,1(-上
的解析式。
()()1
42)(1001+=-∈--∈--x x
x f x x ，，，则，（令
x
x
x x x f x f 4
12142)()(+-=+-=--∴为奇函数，又 又?????
????∈+=-∈+-=∴=)1,0(,1
42)0(,0)0,1(,142)(,0)0(x x x x f f x x
x
x
14. 你熟悉周期函数的定义吗？
()为周期，则），在定义域内总有（（若存在实数)()(0x f x f T x f T T =+≠函数，T 是一个周期。）
()，则如：若)(x f a x f -=+的一个周期）为是周期函数，（答：)(2)(x f a T x f =
()
?==b x a x x f ，图象有两条对称轴又如：若)()()()()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+，即
为一个周期是周期函数，
则b a x f -2)( 如：
15. 你掌握常用的图象变换了吗？ 对称轴的图象关于与y x f x f )()(- 对称轴的图象关于与x x f x f )()(- 对称原点的图象关于与)()(x f x f -- 对称直线的图象关于与x y x f x f =-)()(1 对称直线的图象关于与a x x a f x f =-)2()(
对称，
点的图象关于与)0()2()(a x a f x f -- )()
()0()()0(a x f y a x f y a a x f y a a -=+=>?????????→?=>个单位右移图象将个单位左移
b a x f y b
a x f y
b b b b -+=++=>?????????→?>)()()0()0(个单位
下移个单位上移
注意如下“翻折”变换：
|)
(|)()()(x f x f x f x f ?→??→?
()1log )(2+=x x f 如：
()的图象及作出1log 1log 22+=+=x y x y
16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ ()01≠+=k b kx y ）一次函数：（ ()02≠=
k x
k
y ）反比例函数：（ ())( 0b a O k a
x k
b y ，是中心推广为≠-+
= 的双曲线。
()图象为抛物线）二次函数（a b ac a b x a a c bx ax y 4420322
2
-+
??? ?
?
+=≠++= (k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
y
y=log 2x
O 1 x
a b x a b ac a b 24422-=???
? ??--，对称轴，顶点坐标为 a b ac y a 4402
min -=>，向上，函数开口方向：
a
b a
c y a 4402
max -=<，向下，
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 轴的图象与为二次函数、时，两根，x c bx ax y x x c bx ax ++=>?=++221200 解集的端点值。不等式的两个交点，也是二次)0(02<>++c bx ax
②求闭区间［m ，n ］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。如：
???
????>>-≥??=++
)(2002
k f k a b k c bx ax 的两根都大于二次方程 0)(
()104≠>=a a a y x ，）指数函数：（
()10log 5≠>=a a x y a ，）对数函数（
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
()06>+
=k x
k
x y ）“双勾函数”（ 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 17. 你在基本运算上常出现错误吗？
)01
)010≠=≠=-a a
a a a p p ((，指数运算：
a x(a>1)
)01
)0>=
≥=-
a a
a
a a a n
m
n
m n m n
m ((，
()00log log log >>+=N M N M N M a a a ，·对数运算：
M n
M N M N M a n a a a a
log 1log log log log =-=， x a x a =log 对数恒等式： b m
n
b a b b a n a
c c a m log log log log log =?=
对数换底公式： 18. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
为奇函数。
，证明满足，）如：（)()()()()(1x f y f x f y x f x f R x +=+∈ ）……，再令（先令x y f y x -==?==0)0(0
是偶函数。，证明满足，）（)()()()()(2x f y f x f xy f x f R x +=∈
[])())((t t f t t f t y x ·（先令=--?-==
)()()()(t f t f t f t f +=-+-∴ ）……∴)()(t f t f =- ()[]……）证明单调性：（=+-=2122)(3x x x f x f
19. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
x x y 413321-+-=）（；3
4
22+-=x x y ）（；32332
-=
>x x y x ，）（ []()πθθ，，设）（0cos 39442∈=-++=x x x y ；]10(945，，）（∈+=x x
x y 20. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，
半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？
）
··，·（扇22
1
21R R l S R l αα==
=
21.
AT OM MP ===αααtan cos sin ，，
x
的大小顺序是，，，则如：若θθθθπ
tan cos sin 08
<<-
.
的定义域和值域。又如：求函数??
?
??--=x y 2cos 21π
0sin 212cos 21≥-=??
?
??--x x ）
∵（π ，如图：
∴2
2
sin ≤
x ()2104
2452+≤≤∈+≤≤-
y Z k k x k ，∴π
πππ 22. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
1cos 1sin ≤≤x x ，
Z k k ∈??
?
??，，对称点为02π ()Z k k k x y ∈?????
?
+-=2222sin ππππ，的增区间为 y
x
O
-π2 π2
π y tgx =
()Z k k k ∈??
????
++23222ππππ，减区间为 ()()Z k k x k ∈+
=2
0π
ππ，对称轴为，图象的对称点为
[]()Z k k k x y ∈+=πππ22cos ，
的增区间为 []()Z k k k ∈++ππππ222，
减区间为 ()Z k k x k ∈=??? ?
?
+πππ，对称轴为，图象的对称点为02 Z k k k x y ∈??? ?
?
+-=22tan ππππ，的增区间为
()()[]?ω?ω+=x A y cos +x Asin =y 23.或的图象和性质要熟记。
正弦型函数 |
|2||1ωπ=
T A ，周期）振幅（ ()为对称轴。，则若00x x A x f =±= ()()为对称点，反之也对。
，，则若0000x x f = ，依点与，求出，，，，依次为）五点作图：令（y x x ππ
ππ
?ω22
32
02+（x ，y ）作图象。
值）
、、（求）根据图象求解析式。（?ωA 3 ??
?
??=+=+2)(0
)(21π?ω?ωx x 如图列出
值、解条件组求?ω
()|
|tan ωπ
?ω=
+=?T x A y ，正切型函数 24.在三角函数中求一个角时要注意两方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围. 值。
，求，，如：x x x ??
?
???ππ∈-=??? ??
π+
23226cos ）∴，∴，∴，∵（
π=π=π+π≤π+≤ππ≤≤π12
134563566723x x x x 25. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ .||sin sin 的值域是
如：函数x x y +=
[][]），∴，时，，，
时，（220022sin 20-∈=<-∈=≥y y x x y x 26. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换） 平移公式：
?
?
?+='+='''?????→?=→k y y h x x y x P k h a y x P )
(1），则，（平移至，），（）点（ 0)()(0)(2=--==→
k y h x f k h a y x f ，平移后的方程为，沿向量，）曲线（
的才能得到的图象经过怎样的变换如：函数x y x y sin 142sin 2=-??
? ??
-=π 图象？
14212sin 2142sin 22-??
????-??? ??=??????????→?-??? ??-=ππx y x y 倍横坐标伸长到原来的
（ x y x y x sin 21sin 214sin 214=??????→?-=???????→?-??? ?
?-=个单位上平移个单位
左平移π
π x y sin 21
=??
???????→?倍
纵坐标缩短到原来的 27. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
4
tan
sec cos cot tan tan sec cos sin 12222π
αααααααα===-=+=··如：
的代换。
称为……10cos 2
sin
===π
看象限”，—“奇变偶不变，符号—的三角函数”化为·“αα±π
2
k “奇”、“偶”指k 取奇、偶数。
().21sin 67tan 49cos =π+??
?
??π-+π如：
.cot cos tan sin 的值为
，则又如：函数y y α
+αα
+α=
A. 正值或负值
B. 负值
C. 非负值
D. 正值
()()）∵，（001sin cos 1cos sin sin cos cos cos sin sin 22≠>++=+
+
=αααααα
αααα
αy
28. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其公式的逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：
()αααβαβαβαβ
αcos sin 22sin sin cos cos sin sin =????→?±=±=令
()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ
ααα±==?→???=-μ令222
()tan tan tan tan tan αβαβαβ
±=
±1μ· =-=-?211222
cos sin αα
tan tan tan
2212αα
α
=
-
cos cos sin cos 22122
122
αα
αα
=
+=
-
()a
b b a b a =
++=+??αααtan sin cos sin 22， ??? ?
?
+=+4sin 2cos sin πααα
??? ?
?
+=+3sin 2cos 3sin πααα
应用以上公式对三角函数式化简.（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值的，尽可能求值） 具体方法：
()……，）角的变换：如（
??
?
??--??? ??-=+-+=βαβαβ
ααβαβ222
1
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算.
()()的值。
，求，如：已知
αββαααα2tan 3
2
tan 12cos 1cos sin --=-=- 21
tan 1sin 2cos sin 2cos sin 2===αααααα∴，（由已知得：.()又tan βα-=23
()()[]()()81
2
132121
32tan tan 1tan tan tan 2tan =+-
=αα-β+α-α-β=α-α-β=α-β··∴
29. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
bc
a c
b A A b
c c b a 2cos cos 22
222
2
2
-+=?-+=余弦定理：
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角.）
??
?
??===?===C
R c B R b A
R a R C c B b A a sin 2sin 2sin 22sin sin sin 正弦定理：
C b a S sin 2
1·=
? C B A C B A -=+=++ππ∴，∵
()2
cos 2sin sin sin C
B A
C B A =+=+，∴
12cos 2
sin 22=++?C B
A ABC 中，如
；
）求角（C 1 的值。，求）若（B A c b a 2cos 2cos 2
22
2
2
-+=
()11cos 2cos 11:2
=-++-C B A ）由已知式得：（
解 01cos cos 22=-+-=+C C C B A ∴，
又π （舍）或∴1cos 2
1
cos -==C C , 3
0π
π=
< 得：）由正弦定理及（2222 1 2c b a +=4 33 sin sin sin 2sin 22 222= ==-π C B A 43 2cos 12cos 1= +--B A , .4 32cos 2cos -=-B A ∴ 30. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 []1122arcsin ，，，反正弦： -∈?? ? ???-∈x x ππ [][]110arccos ，，，反余弦：-∈∈x x π ()R x x ∈?? ? ??-∈，，反正切： 22arctan ππ 31. 不等式的性质有哪些？ bc ac c bc ac c b a ?>>001，）（ d b c a d c b a +>+?>>，）（2 bd ac d c b a >?>>>>003，）（ b a b a b a b a 1 101104>?<< >>，）（ n n n n b a b a b a >>?>>， ）（05 ()a x a x a x a x a a a x >-<<-?><或，） （||0||6 ）是（，则下列结论不正确的如：若 01 1< a 22 2.; .b ab B b a A <<; 2.|; |||||.>++>+a b b a D b a b a C 答案：C 32. 利用均值不等式： ( ) 求最值时，你是否注；；，2 2 2 222?? ? ??+≤≥+∈≥++ b a ab ab b a R b a ab b a 意到 ∈b a ，“”+R 其中之一为定或和件，积且“等号成立”时的条)()(b a ab +值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： (1) ()+∈+≥≥+≥+R b a b a ab ab b a b a ，22222 .时等号成立当且仅当b a = (2)()R b a ca bc ab c b a ∈++≥++，222 . 时取等号。当且仅当c b a == (3) ，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1 .4 320的最大值为，则如：若x x x - -> 3421222432-=-≤??? ? ? +-=x x y （设 ） 时，∴，，又当且仅当3423 3 2043max -==>=y x x x x .4212的最小值为 ，则又如：y x y x +=+ ）最小值为∴，∵（22222222122=≥++y x y x 33. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）, 并注意简单放缩法的应用. 21 31211 222<++++n …如：证明 ()n n n 113212111131211222-++?+?+<++++…………（ ） (21) 211131212111<-=--++-+- +=n n n ()的一般步骤是什么？解分式不等式 0) () (.34≠>a a x g x f （移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果.） 35. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 ()()()02113 2 <--+x x x 如： 36. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 讨论或如：对数或指数的底分101<<>a a 37. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 11|3|<+--x x 例如：解不等式）（解集为?????? >21|x x 证明较简单的不等问题会用不等式||||||||||.38b a b a b a +≤±≤- 1||13)(2<-+-=a x a x x x f 满足，实数如：设 )1|(|2)()(+<-a a f x f 求证： 证明：|)13()13(||)()(|22+--+-=-a a x x a f x f 1 ||||| 1||1|||) 1||(|)1)((|++≤-+<-+-=<--+-=a x a x a x a x a x a x a x Θ 1||||1||||||+<<-≤-a x a x a x ∴，又 ()1||22||2)()(+=+<-a a a f x f ∴ （按不等号方向放缩） 39. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 的最小值恒成立如：)()(x f a x f a ?> 的最小值能成立)()(x f a x f a >?> 的取值范围是恒成立，则，若例如：对于一切实数a a x x x >++-23 距离之和和点，它表示数轴上到两定（设3223-++-=x x u ()55523min <>=--=a a u ，即∴， ()()）∴，或者：552323<=+--≥++-a x x x x 40. 等差数列的定义与性质 ()d n a a d d a a n n n 1)( 11-+==-+，为常数定义： y x A y A x +=?2成等差数列，，等差中项： ()()d n n na n a a S n n n 2 12 11-+ =+= 项和前 {}是等差数列性质： n a ；，则）若（q p n m a a a a q p n m +=++=+1 {}{}{}仍为等差数列；，，）数列（b ka a a n n n +-2122 仍为等差数列；……，，n n n n n S S S S S 232-- ；，，，可设为）若三个数成等差数列（d a a d a +-3 ；项和，则 为前，是等差数列，）若（1 21 2,4--=m m m m n n n n T S b a n T S b a {}的常数项为为常数，是关于，（为等差数列）（n b a bn an S a n n +=?250的二次函数） {} 中的正、负分界的最值；或者求出的最值可求二次函数n n n a bn an S S +=2项，即： 值。达到最大值时的可得，解不等式组，当n S a a d a n n n ???≤≥<>+00 0011 值。达到最小值时的可得，由，当n S a a d a n n n ???≥≤><+00 0011 {} ===++=--n S a a a S a n n n n n ，则，，，如：等差数列1318321 13331121==?=++----n n n n n a a a a a ∴，（由 ()3 1 133222 313= ==+= a a a a S ∴，·又 ()()182 13122121=?? ? ??+=+=+=-n n a a n a a S n n n ·∴ ） 27=∴n 41. 等比数列的定义与性质 1110-+=≠=n n n n q a a q q q a a ），为常数，（定义： xy G xy G y G x ±==?，或成等比数列、、等比中项：2 () ） （要注意项和：前!)1(11)1(n 11?? ? ??≠--==q q q a q na S n n {}是等比数列性质： n a q p n m a a a a q p n m ··，则）若（ =+=+1 仍为等比数列……，，）（n n n n n S S S S S 2322-- 42.426511611 -=-=-C C （1=n 时，2,11≥=n S a 时，1--=n n n S S a ） 43. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法 {}><+=+++152212121221n a a a a n n n ……满足如： 解：145122 1111=+?==a a n ∴，时， ><+-=+++≥--25)1(22 1 2121211221n a a a n n n ……时， 22 1 21=><-> 12+=n n a ∴ ???≥==+) 2(2 )1(141 n n a n n ∴ ［练习］ {}n n n n n a a a S S a ，求，满足数列43 5 111== +++ 4111=-=+++n n n n n S S S S a 代入得：（注意到 {}n n n S S S 441==是等比数列，∴， 又 1143 2--==-=≥n n n n S S a n ·……时， （2）叠乘法 {} n n n n a n n a a a a ，求，中，例如：数列1 311+==+ 解： n a a n n a a a a a a n n n 1 132********=-=-∴，……·……· n a a n 3 31= =∴，又 （3）等差型递推公式 ，用迭加法，求，由n n n a a a n f a a 011)(==-- 两边相加，得： …………时，?? ? ?? ?? =-=-=-≥-)()3()2(212312n f a a f a a f a a n n n )()3()2(1n f f f a a n +++=-…… )()3()2(0n f f f a a n ++++=……∴ ［练习］ {} ()n n n n n a n a a a a ，求，，数列231111≥+==-- () ） （132 1-= n n a （4）等比型递推公式 ()0101≠≠≠+=-d c c d c d ca a n n ，，为常数，、 可转化为等比数列，设()x a c x a n n +=+-1 ()x c ca a n n 11-+=?- 1 )1(-= =-c d x d x c ∴，令 为公比的等比数列，是首项为∴c c d a c d a n 111-+ ???? ?? -+ 1111-?? ? ??-+=-+ n n c c d a c d a ·∴ 1111-- ?? ? ?? -+=-c d c c d a a n n ∴ ［练习］ {}n n n n a a a a a ，求， 满足数列43911=+=+ ）（13481 +? ? ? ??-=-n n a （5）倒数法 n n n n a a a a a ，求，例如：2 2111+= =+ n n n n a a a a 121221 1+ =+=+由已知得： 2 1111 =- +n n a a ∴ 211111，公差为为等差数列，=? ?????∴a a n ()()12 121111 +=-+=∴ n n a n · 1 2 += n a n ∴ 44. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 {}的等差数列，求是公差为如： d a n 1 32211 11++ ++=n n n a a a a a a P Λ. 解：()()01111111≠???? ??-=+=++d a a d d a a a a k k k k k k ·由 )1 1(1)]11()11()11[(11 113221++-=-++-+-= n n n n a a d a a a a a a d P Λ ［练习］ n +++++ ++++++ …………求和：3211 32112111 ） ，…………（1 1 2+-===n S a n n （2）错位相减法： {}{}{}项（差比数列）前为等比数列，求数列为等差数列， 若n b a b a n n n n {}的公比。为，其中求和，可由n n n n b q S qS S - ><+++++=-14321132n n nx x x x S ……如：（0≠x ） ()><+-+++++=-214321432n n n nx x n x x x x S x ……· ()n n n nx x x x S x -++++=-><-><-121121……： ()()x nx x x S x n n n ----= ≠11112 时， ()2 13211+=++++==n n n S x n ……时， （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 相加…………? ?? ++++=++++=--121121a a a a S a a a a S n n n n n n ()()()…………n n n n a a a a a a S ++++++=-11212 ［练习］ =?? ? ??++??? ??++??? ??+++=41)4(31)3(21)2()1(1)(2 2f f f f f f f x x x f ，则已知 111111111)(2 2222 22=+++=??? ??+? ?? ??++=??? ??+x x x x x x x x f x f （由 ??? ?????? ??++????????? ??++????? ???? ??++=41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f 原式∴ ） 2 1311121=+++= 45. 你知道储蓄、贷款问题吗？ △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为： ()()()()等差问题…………?? ???? ++ =++++++=r n n n p nr p r p r p S n 211211 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归 还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足 () () ()x r x r x r x r p n n n +++++++=+--111)1(2 1 …… ()()()r r x r r x n n 1 11111-+=??? ?????+-+-= () () 1 11-++= n n r r pr x ∴ p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数 46. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 n m m m N +++=……）分类计数原理：（ 211 ）为各类办法中的方法数（i m n m m m N ……·分步计数原理：21= 为各步骤中的方法数）（i m （2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 ()()()()()n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---=! ! 121…… 1!0=规定： （3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不 .m m n C 有组合个数记为个元素的一个组合，所同元素中取出 ()()()!!!!11m n m n m m n n n A A C m m m n m n -=+--==…… 10 =n C 规定： ）组合数性质：（4 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， 47. 解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩 {}，且满足，，，，，，，，4321)4321(9392919089x x x x i x i <≤<=∈ 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类： ，）中间两个分数不相等（1 （种）有54 5=C （2）中间两个分数相等 4321x x x x <=< 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 48. 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---……222110)( )10(1n r b a C T r r n r n r ……，：二项展开式的通项公式==-+ 该项的系数）为二项式系数（区别于r n C 性质： ()n r C C r n n r n ，……，，，）对称性：（ 2101==- n n n n n C C C 2210=+++…）系数和：（ 14 205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C …… （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 项式为偶数，中间两项的二为奇数时， ；项，二项式系数为)1(122+?? ? ??+n n C n n n 21 2112 1 21+-=+++n n n n C C n n 项，其二项式系数为项及第系数最大即第 ()（用数字的项系数为的展开式中，系数最小如：在二项式11 1-x 表示） 11n ＝∵（ 项或第对值最大，且为第 项，中间两项系数的绝共有∴762 12 12= 项系数为负值为最小：即第取∴，由65)1(1111=--r x C r r r 426511611 -=-=-C C ()()，则……又如： R x x a x a x a a x ∈++++=-2004200422102004 21 ()()()()（用数字作答）……= ++++++++20040302010a a a a a a a a 100==a x ，得：（令 11200410=+++=a a a x ……，得：令 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ,则)(x f 为减函 数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： (1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;（2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- ４、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±． （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 ７、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时: (１) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 （ 1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. （２ )1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >)． 根式的性质 （1）当n 为奇数时 a =； 当n 为偶数时 ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?- 第一章课程知识 1.高中数学课程的地位和作用： ⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内 容，是培养公民素质的基础课程。 ⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决 问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 ⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 ⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2.高中数学课程的基本理念： ⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 ⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、 特长提供空间。 ⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 ⑷提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习 兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 ⑸强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、 数学建模。 ⑹重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质； 强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 ⑺强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的 重要作用。 ⑻全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和 过程性评价。 3.高中数学课程的目标： ⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的 数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 ⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 ⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 ⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能 力 4.高中数学课程的内容结构： ⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算 法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） ⑵选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）： ①选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、 推理与证明、复数、框图） ②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、 2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） ③选修系列3（6个专题） ④选修系列4（10个专题） 5.高中数学课程的主线： 函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6.教学建议： ⑴以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 数学知识点总结 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 高考数学重点知识点汇总 高考，意味着什么?那是一座窄窄的桥，千军万马将要从这里挤过，要发挥的优势和能力，来保证自己不被淘汰。下面就是给大家带来的高考数学知识点总结，希望能帮助到大家! 高考数学知识点总结1 (1)先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。 但为什么说q是p的必要条件呢? 事实上，与“p=q”等价的逆否命题是“非q=非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 (2)再看“充要条件” 若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p=q 回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A 成立，那么称A等价于B，记作A=B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 (3)定义与充要条件 数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 (4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。 高考数学知识点总结2 基本事件的定义： 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点； 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 第二章点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1、含义：平面是无限延展的 2、“3个公理” 公理内容图形符号 公理1如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线在此平面 内 A∈l，B∈l，且A∈ α，B∈α ?l?α 公理2过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C三点不共 线?存在唯一的α, 使A，B，C∈α 推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α，P∈β ?α∩β＝l，且P∈l 二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”） 1、空间两条直线的位置关系 位置关系特点 共面相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 异面直线的画法 1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】00<θ≤900 2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面 直线互相垂直，记作a⊥b； 2.直线与平面的位置关系 位置关系直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α＝A a∥α 图形表示 3.两个平面的位置关系 位置关系图示表示法公共点个数 两平面平行α∥β没有公共点 两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线 上) 三、平行（3种） 线线平行 线面平行 面面平行 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b ? ??? ? a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α β ααα ββ //////?????? ???? =???b a p b a b a ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b αββα////a a ?? ?? ? β αααββ //////??? ? ? ??? ? ? ? ??? =???=???m b n a Q n m n m p b a b a ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 垂直于同一平面的 两直线平行 βαβα//?? ?? ⊥⊥l l 垂直于同一条直线 的两平面平行 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大 全 高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全 高一数学知识要点与公式总结1)、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号，表示。 (3)常用数集的符号表示：自然数集 ;正整数集、 ;整数集 ;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2)、集合中元素的个数的计算： (1)若集合中有 n 个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。 3)、若 ; 则是的充分非必要条件 ; 若 ; 则是的必要非充分条件 ; 若 ; 则是的充要条件 ; 若 ; 则是的既非充分又非必要条件 ; 4)、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ; 5)、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的 1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定 1)、映射与函数： (1)映射的概念： (2)一一映射： (3)函数的概念： 2)、函数的三要素：，，。 (1)函数解析式的求法：①定义法(拼凑)：②换元法： ③待定系数法：④赋值法： (2)函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 高一数学必修一重点知识点总结 一、集合 一、集合相关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图： 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集：如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AB,BC,那么AC ④如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 高一数学重要知识点汇总 ————————————————————————————————————————————————————————————————作者：日期： 2 必修 数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 2. 集合的含义 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如：{a,b,c} 和{a,c,b} 是表示同一个集合 3. 集合的表示： { } 如： { 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 } (1) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1）列举法： {a,b,c } 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 } 4）Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 (2) 无限集 (3) 空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 2 例：{x|x =－5｝ 二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集 注意： A B 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 集合 A 不包含于集反之 : B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA 2．“相等”关系： A=B (5 ≥ 5，且 5≤5，则 5=5) 2 实例： 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} 等” “元素相同则两集合相 即：① 任何一个集合是它本身的子集。 A A ②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集， 记作 A B( 或 B ③如果 A B, B A) C , 那么 A C ④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B Φ 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 集。 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子 n n-1 有 n 个元素的集合，含有 2 个子集， 2 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2. 、函数奇偶性与单调性问题的解题策略高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc
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