2013年高三第一轮复习理科数学 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质
1. 了解正弦、余弦、正切、余切函数图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦以及函数
)sin(?+ω=x A y 的图象，并能解决与正弦曲线有关的实际问题.
2. 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x x 轴
交点等）.理解正切函数在区间??
?
?
?-
2,2ππ内的单调性.
3. 了解函数)sin(?ω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(?ω+=x A y 的图像，了解参数
A 、ω、?对函数图像变化的影响.
4. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决简单实际问题.
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法
预测对本讲内容的考查为：
1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是)sin(?ω+=x A y 的图象及其变换
考点1 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
,2x x k k ππ??≠+∈Z ??
??
考点2 周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有()()
f x T f x +=，那
()f x 就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周
期，周期函数的周期不唯一，,,0kT k z k ∈≠都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。
考点3 三角函数图像的变换
1.平移变换：左加右减，上加下减
把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像
把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 2.伸缩变换：
①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
ω
1
倍得
()y f x ω=(01)
ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω
1
倍得
()y f x ω=(1)
ω> ③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ω倍得()y f x ω=(1)
ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ω倍得
()y f x ω=(01)
ω<< 考点4 辅助角公式（伸缩公式）
s i n c o s a b
αα+
)α?+，
（a
b =?t a n ）
)
6
2s i n (2)6s i n 2c o s 6c o s 2(s i n 2)
2c o s 212s i n 2
3(
22c o s 2s i n 3π
απαπααααα-=-=-
=-如：
考点5 对函数s i n ()y A x h
ω?=++的理解 1. 其图象的作法有两种：
(1)是描点法（五点法）作出来的,这五个点是满足: 0x ω?+=,
2
π, π,
32
π,2π的
五个x 的值，对应y 值分别是0,A ,0,A -,0。用"五点法"作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的形式。
(2)是图像变换法，由函数sin y x =的图像变换得到函数sin()y A x h ω?=++的图像，一般是先左右，再伸缩，后上下。如：sin(2)6
y x π
=+
和2sin 3y x =+
2. 这个函数的最小正周期是ω
π
2=
T
注意：（1）使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x ω?=+或cos()
y A x ω?=+的形式；正弦余弦函数的最小正周期是ω
π
2=T ，正切函数的最小正周期公式是ω
π=
T ；
注意一定要注意加绝对值。
（2）三角函数有的地方是2,k k z π∈，有的地方是,k k z π∈。
考点1 三角函数的定义域问题 典例 求函数)
1sin 2(sin 2
log
25-+-=
a x
x y 的定义域。
解题思路 找出使函数有意义的不等式组，并解答即可. 解题过程 要使函数有意义，必须满足：
将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x ∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：
∴函数的定义
域为：??
?
????? ????? ??--??????
-
-65,22,667,2323,5πππππππ 。
易错点拨
(1)x sin 中的自变量x 的单位是“弧度”，R x ∈，不是角度。求定义域时，若需先把式子
化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。 ②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线. 变式1
求函数的定义域：x y x tan log
22
1++=
点拨 要使得函数有意义，需满足
即：
答案 []4,2,
0ππ ??
?
?
?
变式2 已知)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域. 点拨 结合了复合函数的定义域问题，即x cos []1,0∈.
答案 ?
???
??∈+
≤≤-
z k k x k x ,222
2π
ππ
π 考点2 三角函数的单调性问题 典例 已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －
π
3
)]． (1)求函数的定义域；
(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围；
(3)求函数f (x )的单调递减区间．
解题思路 结合复合函数的性质，考查了整体换元的数学思想。 解题过程 (1)令2sin(2x －π3)>0?sin(2x －π3)>0?2k π<2x －π
3
<2k π＋π，k ∈Z ?k π＋
π6 3 π)，k ∈Z . (2)∵f (x )＝0，∴sin(2x － π3)＝22 ∴2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋3 4 π，k ∈Z ∴x ＝k π＋724或x ＝k π＋13 24π，k ∈Z ， 故x 的取值范围是：{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋13 24 π，k ∈Z }． (3)令2k π＋π2≤2x －π3<2k π＋π，k ∈Z ，即2k π＋56π≤2x <2k π＋4 3 π，k ∈Z ∴k π＋ 512π≤x 3 ，k ∈Z ， 故函数f (x )的单调递减区间是：[k π＋512π，k π＋2 3 π)，k ∈Z . 易错点拨 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2 ＋2k π≤ωx ＋φ≤ 3π 2 ＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间。y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间的求法相同。 变式 求函数y ＝2sin( π 4 －x )的单调增区间． 点拨先将函数化简：y ＝2sin( π4－x )＝－2sin(x －π 4 )． 函数y ＝2sin(π4－x )的递增区间就是函数u ＝2sin(x －π 4 )的递减区间． 答案 [2k π＋ 3π4，2k π＋7π4 ](k ∈Z )． 考点3 三角函数的奇偶性与周期性问题 典例 1 (1)若三角函数y ＝1－(sin x ＋cos x )2 ，则该三角函数是最小正周期为________的________函数(第二个空填“奇”或“偶”)． (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π 2)满足f (1)＝0，则下列选项中正确的是 ( ) A ．f (x －1)一定是偶函数 B ．f (x －1)一定是奇函数 C ．f (x ＋1)一定是偶函数 D ．f (x ＋1)一定是奇函数 解题思路 1．三角函数奇偶性的判断：①首先看定义域是否关于原点对称；②在满足①的前提下看 f (－x )与f (x )的关系． 2．周期函数f (x )的最小正周期T 必须满足下列两个条件： ①当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )； ②T 是不为零的最小正数． 解题过程 (1) 因为y ＝1－(sin x ＋cos x )2 ＝1－(sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x ·cos x )＝－sin2x ， 所以T ＝ 2π 2 ＝π. 又f (－x )＝－sin2(－x )＝sin2x ＝－f (x )，故y 为奇函数． (2)由f (1)＝0，知ω＋φ＝k π(k ∈Z )． 当k 是偶数时，f (－x ＋1)＝A sin(－ωx ＋ω＋φ)＝－A sin ωx ＝－f (x ＋1)； 当k 是奇数时，f (－x ＋1)＝A sin(－ωx ＋ω＋φ)＝A sin ωx ＝－f (x ＋1)， 故f (x ＋1)是奇函数，故选D. 易错点拨 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的．b .不是所有的周期函数都有最小正周期．周期函数f (x )＝C (C 为常数)就没有最小正周期． 变式1 若函数f (x )＝1sin(2)2 2 x π - (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π 2B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 点拨 先将函数化简f (x )＝sin 2x －12＝－12(1－2sin 2x ) ＝－1 2 cos2x 答案 偶函数． 变式2 (2007·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ． 点拨 由于f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，又f (x )是以T 为周期的周期函数， 则f (T )＝f (0)＝f (－T )＝0.又f (T 2)＝f (T 2－T )＝f (－T 2＝－f (T 2)．∴f (T 2)＝f (－T 2 )＝0. 答案 D 考点4 三角函数的图象及其变化 典例由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ? ?=-- + ??? 的图象． 解题思路 平移变换：左加右减，上加下减及伸缩变换，理解其变化的本质。 解题过程 sin y x = 各点的纵坐标伸长到原来的2倍2sin y x = x 关于轴作对称变换y 2sin x =- 各点的横坐标缩短为原来的一半2sin 2y x =- π 12 向右平移 个单位π2sin 26y x ? ? =-- ??? 向上平移1个单位π2sin 216y x ?? =--+ ?? ? 易错点拨 由函数sin y x =的图象得到函数sin()y A x ω?=+的图象的变换主要有两条途径： ①sin y x =????→振幅变换 sin y A x =????→相对变换 sin()y A x ?=+????→周期变换 sin()y A x ω?=+； ②sin y x =???? →振幅变换 sin y A x =????→周期变换 sin()y A x ω=????→相对变换 sin()y A x ω?=+ “相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于x 的变化顺序：途径①中由x 到x ?+，变化了?，应平移?个单位；途径②中由x ω到x ω?+（即x ?ωω? ?+ ? ?? ），变化 了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律. 变式 已知函数()y f x =，将()f x 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移π 2个单位，这样得到的是1sin 2y x = 的图象， 求已知函数()y f x =的解析式． 点拨 对函数1sin 2 y x =的图象作相反的变换，寻求应有的结论． 答案 1 πsin 222y x ? ?= - ?? ? 突破1 三角函数的值域与最值问题 典例1 (1)求函数b x a y +=cos 的最大值和最小值； (2)求函数)6 6 )(3 2sin(2π π π < <- + =x x y 的值域； (3)求函数4sin 5cos 22 -+=x x y 的值域． 解题思路 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域； (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域； (3)换元法：把sin x 、cos x 看作一个整体，可化为二次函数． 换元后注意新元的范围 解题过程 (1)∵cos x ∈[－1,1]， ∴当a ＝0时，y ＝b ，无最值； 当a >0时，函数的最大值为a ＋b ，最小值为－a ＋b . 当Z k k x ∈=,2π时取得最大值． 当Z k k x ∈+=,2ππ时取得最小值． 当a <0时，函数最大值为－a ＋b ，最小值为a ＋b . 当x ＝2k π＋π，k ∈Z 时取得最大值． 当x ＝2k π，k ∈Z 时取得最小值． (2)∵－π6 3)≤1. ∴0<2sin(2x ＋π3)≤2.∴函数y ＝2sin(2x ＋π3)在(－π6，π 6)上的值域为(0,2]． (3)由已知得y ＝2(1－x 2 sin )＋5x sin －4＝－2x 2 sin ＋5x sin －2. 设x sin ＝t ，则t ∈[－1,1]， 则y ＝－22 t ＋5t －2，t ∈[－1,1]．∴当t ＝－1时，min y ＝－9. 当t ＝1时，max y ＝1.∴函数4sin 5cos 22 -+=x x y 的值域为[－9,1]． 易错点拨 要注意换元后新的字母的取值范围。 典例2（2012天津理）已知函数2 ()=sin (2+)+sin(2)+2cos 13 3 f x x x x ππ--，x R ∈. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44 ππ - 上的最大值和最小值. 解题思路 将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ω?的数学模型，再根据此三角 模型的图像与性质进行解题即可. 解题过程 （1） 2 ()=sin (2+ )+sin(2)+2cos 13 3 f x x x x π π - -2sin 2cos cos 2)3 4 x x x π π =+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ= = （2）32sin(2)11()4 44 4 4 2 4 x x x f x π π π π ππ - ≤≤ ?- ≤+ ≤ ?- ≤+ ≤?-≤≤ 当2()4 2 8 x x π π π + = = 时，() m a x f x =，当2()4 4 4 x x π π π + =- =- 时， m i n () 1 f x =- 易错点拨 先将原函数化简为为=sin (+)y A x ω?，注意辅助角公式的应用，容易出错。考 查整体换元的思想。 突破2 求三角函数（如：k x A y ++=)sin(?ω）的解析式 典例 1 如右图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数 b x A y ++=)s i n (?ω (1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数的解析式. 解题思路 寻找和参数有关的数字，注意对称轴和对称中心所在 位置的变化。 解题过程 (1)由图像，这段时间的最大温差是301020()C -= . (2)图中从6时到14时的图象是函数sin()yu A x b ω?=++的半个周期的图象. 12146,28 ππωω∴ ?=-=得. 由图示，11(3010)10,(3010)202 2 A b = -== +=. 这时10sin( )20.6,08 y x x y π ?=++==将代入上式，可取34 π?= . 综上，所示的解析式为310sin()20,[6,14]8 4 y x x π π=+ +∈. 易错点拨 由图象求解析式sin()y A x ω?=+时，一般先确定它的周期，求出ω，然后根据最高点或最低点或特殊点(已知点)求出A ，而确定?的值时，通常选择波峰或波谷的点进行计算较为方便.要注意的是图象平移的方向与?的符号方向相反，平移量是| |?ω ,而不是||?. 典例2已知正弦函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的图象如图所示： (1)求此函数的解析式1()f x ； (2)求与1()f x 图象关于直线8x =对称的曲线解析式2()f x ；(3)画出12()()y f x f x =+的图像 解题思路 由()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的一段图象求其解析式，A 比较容易求 出，再求待定系数ω和? 解题过程 (1) 由图象可知，22(62)16,8 A π π ωω ==?+== ， 即).2,,2)8 8 y x x y π π ??=+=== ?+将入， 即1sin( ) 1..())44 8 4 f x x π π π π ??+== ∴= + 解得. (2)设(,)x y ''是1()f x 图象上任意点，与它关于直线8x =对称的点为(,)x y ， 则有116,8()2 ,x x x x y f x y y y y ' +?'=-=?? =??'=??' =? 即代入中， 233(16)]),())8 4 8 4 8 4 y x x f x x π π π ππ π= -+ =+∴= + . (3) 123()()))2cos 8 4 8 4 8 y f x f x x x x π π π ππ =+= + + + =,简图如右. 易错点拨 (1)若明确给出了周期和零点坐标，那么由2T πω= 求出ω.确定?时，若能求出 离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标0x ，则令000()x x ω?ω?π+=+=或，即可求出?. (2)利用已知点坐标(最高点、最低点、零点)代入解析式，再结合图形求出ω、?.要注意利用零点代入解析式时，ω的解不惟一，要结合图形取舍，建议尽可能以最高点或最低点的坐标代入解析式，否则?的值不惟一，要取舍. 1、（2012天津理）设R ?∈，则“=0?”是“()=c o s(+) f x x ?()x R ∈为偶函数” 的（ ） A 充分而不必要条件 Ｂ 必要而不充分条件 Ｃ 充分必要条件 Ｄ 既不充分也不必要条件 2、(2012湖南理)函数)6 cos(sin )(π +-=x x x f 的值域为 （ ） A ． [ -2 ,2] ] C.[-1,1 ] D.[-2 , 2 ] 3、（2012新课标理）已知0ω>，函数()sin()4 f x x π ω=+ 在( ,)2 ππ上单调递减。则ω的 取值范围是（ ） A 15[,]24 B 13[,]24 C 1 (0, ]2 D (0,2] 4、（2012全国理）当函数sin (02)y x x x π=- ≤<取得最大值时，x = 5、函数x x y cos 2sin 212 +-=的最大值是 最小值是 6、如果函数y ＝sin2x ＋acos2x x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线x ＝－π 8 对称，则实数a 的值为 7、已知函数)cos (sin log )(2 1x x x f -=， （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。 8、（2012北京理）已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= 。 （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间。 1、已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=（ A ） A -1 B 2 - C 2 D 1 2、下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间?? ? ? ??656-ππ ，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( A ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 B ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 3、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π= x 处取得最 小值，则函数)4 3(x f y -=π是（ D ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3( π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 4、4 4 ()cos 2sin cos sin f x x x x x =--的单调减区间为 . 5、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0, ]2 x π∈时，()sin f x x =，则5( )3 f π的值为 6、函数x x x f 2 sin 22)4 2sin()(-- =π 的最小正周期是 7、① 存在)2 , 0(π α∈使3 1cos sin = +a a ② 存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③ x y tan =在其定义域内为增函数 ④ )2 sin(2cos x x y -+=π 既有最大、最小值，又是偶函数 ⑤ |6 2|sin π + =x y 最小正周期为π 以上命题错误的为 8、函数2 ()6cos 3(0)2x f x x ωωω=+ ->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且A B C ?为正三角形。 （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()5 f x =，且0102 (,)33 x ∈- ，求0(1)f x +的值。 1、(2012浙江理)把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( B ) 2、设函数x y π2 1cos =的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…. 则A 50的坐标是________ 3、方程lg sin x x =实根的个数是 4、已知二次函数)(x f 对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量= a （x sin ， 2），= b （x sin 2，21），= c （x 2cos ，1），= d （1，2），当x ∈ [0，π]时， 求不等式f （? a b ）＞f （? c d ）的解集． 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数图象性质一览表 正弦定理、余弦定理及应用 设ABC △的外接圆的半径是R ，内切圆的半径是r ，()c b a p ++=2 1 是半周长。 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，或 C B A c b a sin :sin :sin ::= 变式：A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= R a A 2sin = ；R b B 2sin =；R c C 2sin = 2、余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=； B ac c a b cos 2222-+=； C ab b a c cos 2222-+= 推论：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、面积公式：B ac A bc C ab S A B C sin 2 1 sin 21sin 21=== △ 变式：⑴C B A R abc R S A B C sin sin sin 241 2== △ ⑵()()()c p b p a p p S A B C ---=△（海伦秦九韶公式） 4、常用结论： ⑴B A B A b a sin sin >?>?> ⑵b a B A B A =?=?=sin sin ⑶若B A 2sin 2sin =，则B A B A =?=22或2 22π π=+?=+B A B A ⑷和诱导公式有关的变式： 2cos 2sin C B A =+；2cos 2sin B C A =+；2 cos 2sin A C B =+； 2sin 2cos C B A =+；2sin 2cos B C A =+；2sin 2cos A C B =+ ()C B A sin sin =+；()B C A sin sin =+；()A C B sin sin =+; ()C B A cos cos -=+；()B C A cos cos -=+；()A C B cos cos -=+ ⑸B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；A b B a c cos cos += 5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。 6、注意函数()?ω+=x A y sin 的知识在三角形中的应用： 比如求()??? ??+ =82 1sin 2πA x f ，?? ? ??∈4,0πA 的最大值。 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 高考复习正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π； 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6，④y ＝ tan ? ? ???2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ? ? ???2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ? ? ???2x －π3的单调递增区间是( ) A.?????? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.? ?? ???k π－π12，k π＋ 5π12(k ∈Z) D.? ? ???k π＋π6，k π＋ 2π3(k ∈Z) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋ 5π 12(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 答案 B 3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 4.3三角函数的图象及性质应用 考纲定位 理解三角函数的性质，并利用其性质解决一些简单问题； 【典型例题】 1、如图所示，它是sin(),(0,0),|| 三角函数图象与性质 类型一 学会踩点 [例1] (本题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ? ???? x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间x ∈???? ?? －π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知得f (x )＝cos x ·? ????12sin x ＋3 2cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x － 32cos 2 x ＋3 4(2分) ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －3 4cos 2x (4分) ＝12sin ? ? ? ??2x －π3.(6分) 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π 2＝π.(7分) (2)因为f (x )在区间??????－π4，－π12上是减函数，在区间?????? －π12，π4上是增函数．(10分) f ? ???? －π4＝－14，f ? ????－π12＝－12，f ? ?? ??π4＝14.(11分) 所以，函数f (x )在闭区间?????? －π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明 (1)第(1)问无化简过程，直接得到f (x )＝12sin ? ? ???2x －π3，扣5分．每一步用公式正确 就得分． (2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分． (3)第(2)问只求出f ? ???? －π4＝－14，f ? ????π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分． (4)若单调性出错，只得1分． (5)单调性正确，但计算错误，扣2分． 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 三角函数的图像与性质 知识点总结 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 函数y＝sin x y＝cos x 图 象 定义域R R 值域[－1,1][－1,1] 单调性 递增区间： 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ?? -+∈ ?? ?? 递减区间： 3 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ?? ++∈ ?? ?? 递增区间：[2kπ－π， 2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋ π] (k∈Z) 最值x＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)时，y max ＝1； x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min 二、正切函数的图象与性质 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin( ?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图 象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π ?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义 (1) A 称为振幅； (2)2T πω =称为周期； (3) 1f T = 称为 §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●案例探究 ［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－8 9，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴??? ????--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4 )22(42 22λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则?????????≥≥≤-≤≥?0 )4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴???? ?????≤≥≤≤≤≤--≥0220434 589λλλλλ或或 ∴－ 8 9≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－8 9，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技 巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ， 试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不 周练(三) 三角函数的图象与性质 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (时间：80分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．函数y ＝sin ? ? ???4x ＋32π的周期是( )． A ．2π B ．π C.π 2 D ．π 4 解析 T ＝2π4＝π 2. 答案 C 2．函数y ＝cos ? ???? x ＋π2(x ∈R )是( )． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法确定 解析 ∵y ＝cos ? ???? x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数． 答案 A 3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )． A ．2 B ．1 2 C ．4 D ．14 解析 由已知y ＝cos x 的图象经变换后得到y ＝cos 12x 的图象，所以ω＝1 2. 答案 B 4．函数y ＝－x sin x 的部分图象是( )． 解析 考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y ＝－x sin x 是偶函数，当x ∈? ? ???0，π2时，y <0. 答案 C 5．在下列区间上函数y ＝sin ? ???? x ＋π4为增函数的是( )． A.?????? －π2，π2 B ．?????? －3π4，π4 C ．[－π，0] D ．???? ??－π4，3π4 解析 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π 4(k ∈Z )，当k ＝0时，－3π4≤x ≤π 4，故选B. 答案 B 6．已知简谐运动f (x )＝2sin ? ????π3x ＋φ? ? ???|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6，φ＝π 6 B ．T ＝6，φ＝π 3 C ．T ＝6π，φ＝π 6 D ．T ＝6π，φ＝π 3 解析 将(0,1)点代入f (x )可得sin φ＝1 2. ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π π 3 ＝6. 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =