第七篇检测试题
(时间:120分钟满分:150分)
【选题明细表】
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则下列图形:
①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.
不可能是其俯视图的有( B)
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
解析:根据画三视图的规则“长对正,高平齐,宽相等”可知,该几何体的俯视图不可能是圆和正方形.故选B.
2.如图所示为正方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的正方体木块共有( B)
(A)3块(B)4块(C)5块(D)6块
解析:由三视图画出几何体直观图,如图所示,只有4个正方体木块,故选B.
3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C)
解析:由直观图知平面图形可能为C.故选C.
4.给出下面四个命题:
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”;
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”;
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”;
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.
其中正确命题的序号是( D)
(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④
解析:当a平行于b所在平面时,a、b可能异面,故①不正确;当a、b不相
交时,可能a ∥b ,故③不正确;由此可排除选项A 、B 、C ,故选D.
5. (2013乐山市高三第三次调研)如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1
中,F 为线段BC 1的中点,E 为直线A 1C 1上的动点,则下列结论中正确的为( C )
(A )存在点E 使EF ∥BD 1
(B )不存在点E 使EF ⊥平面AB 1C 1D (C )三棱锥B 1ACE 的体积为定值 (D )EF 与AD 1所成的角不可能等于90°
解析:由异面直线的判断定理知EF 和BD 1为异面直线,故选项A 错;当EF ∥A 1B 时,满足EF ⊥平面AB 1C 1D ,故选项B 错;S △ACE 为定值,而B 1到面ACE 的距离也为定值,故三棱锥B 1ACE 的体积为定值,故选项C 正确;当E 与A 1重合时,EF 与AD 1所成的角等于90°,故选项D 错.故选C. 6.(2012蚌埠质检)设m 、n 是平面α内的两条不同直线,l 1、l 2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( B ) (A )m ∥β且l 1∥α (B )m ∥l 1且n ∥l 2 (C )m ∥β且n ∥β (D )m ∥β且n ∥l 2
解析:对于选项A ,α、β也可能相交,此时,l 1、m 都平行于交线;对于选项B ,由于l 1与l 2是相交直线,而且由l 1∥m 可得l 1∥α,同理可得l 2∥α,故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l 1∥m ,它们也可以异面,故必要性不
成立,故选项B 符合题意;对于选项C ,由于m 、n 不一定相交,故是必要不充分条件;对于选项D ,由n ∥l 2可转化为n ∥β,同选项C ,故不符合题意,故选B.
7.(2012安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,过对角线BD 1的一个平面交AA 1于点E ,交CC 1于点F ,得四边形BFD 1E ,给出下列结论: ①四边形BFD 1E 有可能为梯形; ②四边形BFD 1E 有可能为菱形;
③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ; ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为. 其中正确的是( B ) (A )①②③④ (B )②③④⑤ (C )①③④⑤ (D )①②④⑤
解析:如图所示,由两平面平行性质定理知D 1E ∥BF ,D 1F ∥BE ,故过BD 1的平面与正方体各面相交所成四边形一定为平行四边形,①错;当E 、F 分别为AA 1、C 1C 中点时四边形为菱形,并且此时平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1D ,
故②、④正确;
又四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影与四边形ABCD 重合,则③正
确,
对于⑤,过E 作EH ⊥BD 1于H ,由于AA 1∥平面BB 1D 1D ,
则棱AA 1上任一点到平面BB 1D 1D 距离相等,当四边形BFD 1E 为菱形时,EH 恰好为E 到平面BB 1D 1D 的距离,其余的EH 都大于E 到平面BB 1D 1D 的距离, 而
=BD 1·EH ,
所以当EH=时,
最小,此时面积为,
故⑤正确,故选B.
8.(2012金华月考)已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 共面,则实数λ等于( D ) (A ) (B ) (C ) (D )
解析:由题意得c =t a +μb =(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
∴
∴
故选D.
9.(2013重庆高三月考)四棱锥P ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ,其三视图如图所示,则四棱锥P ABCD 的表面积为( D )
(A )(2+1)a 2 (B )2a 2 (C )(1+)a 2
(D )(2+)a 2
解析:由三视图可知该几何体的直观图如图所示,PA ⊥平面ABCD , 易得CD ⊥PD ,CB ⊥PB ,
∴四棱锥P ABCD 的表面积S 表= S ABCD +S
△
PAD
+S
△
PAB
+S
△
PCD
+S
△
PBC
=a 2+a 2+a 2+×a ×a+×a ×a=(2+)a 2.故选D.
10.长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( B ) (A ) (B ) (C )
(D )
解析:建立空间直角坐标系如图所示,
则A (1,0,0),E (0,2,1),
B (1,2,0),
C 1(0,2,2).
=(-1,0,2),
=(-1,2,1), cos<
,>=
=.
所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为.故选B.
11.三棱锥P ABC 的高为PH ,若三个侧面两两垂直,则H 为△ABC 的
( C )
(A )内心 (B )外心 (C )垂心 (D )重心
解析:三个侧面两两垂直得AP ⊥平面PBC ,故BC ⊥PA.又PH ⊥平面ABC ,∴BC ⊥AH ,同理BH ⊥AC ,CH ⊥AB ,故H 为△ABC 的垂心. 故选C.
12.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 为A 1B 1的中点且正方体的棱长为2,则异面直线D 1E 和BC 1间的距离为( A ) (A ) (B ) (C )
(D )
解析:以D 1为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则
=(2,1,0),=(2,0,2).设D 1E 和BC 1公垂线的方向向量为n =(1,λ,μ),
则
即
∴n =(1,-2,-1). 又=(0,2,0), ∴
==,
所以异面直线D 1E 和BC 1间的距离为. 故选A.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.若向量a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1),满足条件(c-a )·(2b )=-2,则x= .
解析:由题可知c-a =(0,0,1-x ), 所以(c-a )·(2b )=(0,0,1-x )·2(1,2,1) =2(1-x )=-2, 解得x=2. 答案:2
14.若A
,B
,C
是平面α内的三点,设平面α的法向量
a =(x ,y ,z ),则x ∶y ∶z= .
解析:=,=,
a·=0,a·=0,
易得
∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).
答案:2∶3∶(-4)
15.(2012金华模拟)P是二面角αABβ棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角αABβ的大小为.
解析:不妨设PM=a,PN=b,
如图所示,作ME⊥AB于E,
NF⊥AB于F,
∵∠EPM=∠FPN=45°,
∴PE=a,PF=b,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b
=--+=0,
∴⊥,
∴二面角αABβ的大小为90°.
答案:90°
16.(2012海淀区高三第一学期期末)已知正三棱柱ABC A'B'C'的正视图和侧视图如图所示. 设△ABC、△A'B'C'的中心分别是O、O',现将此三棱柱绕直线OO'旋转,射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数),对应的俯视图的面积为S(x),则函数S(x)的最大值为.
解析:正三棱柱ABC A'B'C'的直观图如图所示.
由正视图知正三角形ABC的高为,边长为2.三棱柱三个侧面为全等的矩形,其面积为4×2=8.三棱柱绕直线OO'每旋转60°,三棱柱的某一侧面处于水平位置,俯视图为某一侧面,此时S(x)取到最大值为8.
答案:8
三、解答题(共74分)
17.(本小题满分12分)
(2012杭州模拟)如图所示,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其
中AB∥DC,AD=CD=AB,且O为AB的中点.
(1)求证:BC∥平面POD;
(2)求证:AC⊥PD.
证明:(1)因为O为AB的中点,
所以BO=AB,
又AB∥CD,CD=AB,
所以CD=BO,CD∥BO,
所以四边形ODCB为平行四边形,
所以BC∥OD,
又DO?平面POD,BC?平面POD,
所以BC∥平面POD.
(2)连接OC.
因为CD=BO=AO,CD∥AO,
所以四边形ADCO为平行四边形,
又AD=CD,
所以四边形ADCO为菱形,
所以AC⊥DO,
因为△PAB为正三角形,O为AB的中点,
所以PO⊥AB,
又因为平面ABCD⊥平面PAB,
平面ABCD∩平面PAB=AB,
所以PO⊥平面ABCD,
而AC?平面ABCD,
所以PO⊥AC,
又PO∩DO=O,
所以AC⊥平面POD.
又PD?平面POD,
所以AC⊥PD.
18.(本小题满分12分)
(2013绵阳南山中学高三月考)在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=BE=2,CD=1.
(1)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l,求证:l∥平面BCDE;
(2)设F是BC的中点,求证:平面AFD⊥平面AFE;
(3)求几何体ABCDE的体积.
(1)证明:∵DC⊥平面ACB,
BE⊥平面ABC,
∴DC∥BE.
∵BE?平面ABE,
DC?平面ABE,
∴DC∥平面ABE.
∵平面ACD∩平面ABE=l,
DC?平面ACD,
∴DC∥l.
∵DC?平面BCDE,l?平面BCDE,∴l∥平面BCDE.
(2)证明:过D点作DG⊥BE,
∵AC=AB=2,CF=FB,∠CAB=90°,
∴AF⊥BC,CF=FB=AF=BC=.
∵DC⊥平面ACB,DC?平面BCDE,∴平面BCDE⊥平面ABC,
∴AF⊥平面BCDE,
∴DF⊥AF,EF⊥AF,
∴∠EFD是二面角D AF E的平面角.
∵DC=1,CF=,
∴DF=.
∵BF=,BE=2,
∴EF=.
∵DG=BC=2,EG=BE-DC=1,
∴DE=3,
∴DF2+EF2=DE2,
∴∠DFE=90°,
∴平面AFD⊥平面AFE.
(3)解:V ABCDE=××(1+2)×2×=2.
19.(本小题满分12分)
如图所示,在体积为1的三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC
⊥AB,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.
(1)求证:CA1⊥C1P;
(2)线段AB上是否存在一点P,使四面体PAB1C1的体积为?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由于易知四边形ACC1A1为正方形,
所以CA1⊥AC1.
由AC ⊥AB ,AA 1⊥底面ABC 知 AB ⊥平面AA 1C 1C , 所以CA 1⊥AB. 又AB ∩AC 1=A , 所以CA 1⊥平面C 1AP , 故CA 1⊥C 1P. (2)解:由于=
--
=1--=,
所以当PAB 1C 1的体积为时,P 为AB 的中点. 20.(本小题满分12分)
(2013绵阳普明中学高三模拟)如图所示,四棱锥S ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P 为侧棱SD 上的点.
(1)求证:AC ⊥SD ;
(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P AC D 的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC ?若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由. (1)证明:连接BD ,设AC 交BD 于O , 由题意知SO ⊥平面ABCD ,以O 为坐标原点,
、、分别为x 轴、y
轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设底面边长为a,
则高SO= a.
于是S,D,C,
=,=,
·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.
(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为
=,
平面DAC的一个法向量为=,
则cos<,>==,
故所求二面角的大小为30°.
(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量,
且=,=,
设=t(0≤t≤1),
=+=+t=,
而·=0?t=,
即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.
21.(本小题满分12分)
(2013成都外国语学校高三月考)如图所示,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.
(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论;
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
解:(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下:
取AB的中点F,连接DP、PF、EF,则
FP∥AC,FP=AC,
取AC的中点M,连接EM、EC,
∵AE=AC且∠EAC=60°,
∴△EAC是正三角形,∴EM⊥AC.
∴四边形EMCD为矩形,∴ED=MC=AC.
又∵ED∥AC,
∴ED∥FP且ED=FP,∴四边形EFPD是平行四边形.
∴DP∥EF,而EF?平面EAB,DP?平面EAB,
∴DP∥平面EAB.
(2)法一过B作AC的平行线l,过C作l的垂线交l于G,连接DG,
∵ED∥AC,
∴ED∥l,l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.
∵平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,
∴DC⊥平面ABC,
又∵l?平面ABC,
∴DC⊥l,
而CG⊥DC=C,
∴l⊥平面DGC,
∴l⊥DG,
∴∠DGC是所求二面角的平面角.
设AB=AC=AE=2a,
则CD=a,GC=2a,
∴GD==a,
∴cos θ=cos∠DGC==.
法二∵∠BAC=90°,平面EACD⊥平面ABC,
∴以点A为原点,直线AB为x轴,直线AC为y轴,建立空间直角坐标系,则z轴在平面EACD内(如图所示).
设AB=AC=AE=2a,
由已知得B(2a,0,0),E(0,a,a),D(0,2a,a).
∴=(2a,-a,-a),
=(0,a,0),
设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),
则n⊥且n⊥,
∴∴
解之得
取z=2,得n=(,0,2).
又∵平面ABC的一个法向量为n'=(0,0,1).
∴cos θ=|cos
=
=.
即所求二面角的余弦值为.
22.(本小题满分14分)
已知在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面
ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A PD F的平面角的余弦值.
(1)证明:连接AF,
则AF=,DF=,
又AD=2,
∴DF2+AF2=AD2,
∴DF⊥AF,
又PA⊥平面ABCD,
∴DF⊥PA,
又PA∩AF=A,
∴DF⊥平面PAF,
又∵PF?平面PAF,
∴DF⊥PF.
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
立体几何知识点汇总(全) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面,a平行于平面α,b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一.点.向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段,若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=,则b b ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (直线与直线所成角]90,0[??∈θ)(向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) [注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑥直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.
(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议: