数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法
1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不
超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式3
1
1
*10
2
12
||-++=≤=
-≤
-εk k k a b x x ，得到
1000
2
1
≥+k .两端取自然对数得96
.812
ln 10ln 3≈-≥
k ，因此取9=k ，即至少需
2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021
-?。
【解】 由于210)(-+=x e x f x
，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且
012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1
>+=-?+=e e f ，即0)1()0(
又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.
由二分法的误差估计式2
1
1
*10
2
12
12
||-++?=
≤=
-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .
两端取自然对数得6438
.63219.322
ln 10ln 2=?≈≥
k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：
因为1
1102105.001828.0||-?=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1
2102105.000828.0||-?=
<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；
因为3
310
2
10005.000028.0||-?=
<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；
%85.17.205.0||111=<
-=
x x e r ε；
%85.171
.205.0||222=<-=
x x e r ε；
%0184.0718
.20005.0||3
33=<
-=
x x e r ε。
评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.
2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。
【解】 005.01=ε，3
1
1110
84.172
.2005.0-?≈<
=
x r εε；
000005.02=ε，6
22210
84.171828
.2000005.0-?≈<
=
x r εε；
00005.03=ε，4
3
3310
96.60718
.000005.0-?≈<
=
x r εε；
评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4310184-?=x 的绝对误差限均为
2
10
5.0-?，问它们各有几位有效数字？
【解】 由绝对误差限均为2105.0-?知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11=x ，有
三位；0184.02-=x 有一位；而0184.01018443=?=-x ，也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作x x f sin )(=在节点00=x 的5次泰勒插值多项式)(5x p ，并计算
)3367.0(5p 和估计插值误差，最后将)5.0(5p 有效数值与精确解进行比较。
【解】由x x f sin )(=，求得x x f
cos )()
1(=；x x f
sin )()
2(-=；x x f
cos )()
3(-=；
x x f
sin )()
4(=；x x f
cos )()
5(=；x x f
sin )()
6(-=，所以
)(5x p 5
00)
5(2
00)
2(00)
1(0)(!
5)
()(!2)
())(()(x x x f
x x x f
x x x f x f -++-+
-+=
5
)
5(2
)
2()
1(!
5)
0(!2)0()0()0(x f
x f
x f
f +
++
+=
5
3
!51!
31x x x +
-
=
插值误差：)(5x R 6
6
06
0)
6(!
61)(!6|
)sin(|)(!
6|
)(|x x x x x f ≤
-=-=
ξξ，若5.0=x ，则
)3367.0(5p 3303742887
.0!
53367
.0!
33367
.03367.05
3
≈+-
=，而
5
6
6
5105.01002.2!
63367
.0)3367.0(--?
R ，精度到小数点后5位，
故取33037.0)3367.0(5=p ，与精确值 330374191.0)3367.0sin()3367.0(==f 相比
较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）234)(3
+-=x x x f ； （2）3
4
2)(x x x f -=
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)
4(3)(!
4)
()(i i
x
x f
x R ξ
（1）0)()
4(=x f
→ 0)(3=x R ；
（2）因为!4)()
4(=x f
，所以
)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!
4)
()()
4(3---+=---+=
x x x x x x x x f x R ξ
3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)
4(3)(!
4)
()(i i
x
x f x R ξ
（1） 线性插值
因为3367.0=x 在节点0x 和1x 之间，先估计误差
2
)
)(max())((2
)sin()
)((!2)('')(1010101x x x x x x x x x x x x f x R --≤
--=
--=ξξ
4
2
102
12
01.0?=
≤；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。
1
0)(x-x 1)
x
)(1x P [])sin()()sin()(1)sin()sin(01100
110
1001
01x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=
--+
--=
)(1x P [])32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02
.01-+-=
[])32.0sin(0033.0)34.0sin(0167
.002
.01?+?=
3304.0≈
（2） 抛物线插值 插值误差：
)(2x R
))()((6
)
cos())()((!
3)('''210210x x x x x x x x x x x x f ----=
---=ξξ
6
3
21010
2
16
01
.036
)
)()(max(-?=
?≈
---≤
x x x x x x
01y=(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)x
y 2
抛物线插值公式为： )(2x P
)sin()
)(())(()sin()
)(())(()sin()
)(())((202120112101200201021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----+
----+
----=
??
?
???-----+--=
)sin(2))(()sin())(()sin(2))((02
.012011200212
x x x x x x x x x x x x x x x )3367.0(2P [])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.010
2
5?-?+?=
-
[])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445
.302
.010
2
5
?-?+?=
- 33037439.0=
经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2=P ，与 330374191.0)3367.0si n(=精确值相比
较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
1、（p.56，习题33）设分段多项式 ???≤≤-++≤≤+=2
11
210)(2
3
2
3x cx bx x x x x x S
是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
函数值连续： )1(1111211)1(2
323+-=-?+?+?=+=S c b S ，
即：)1(1
=+c b
一阶导数连续： )1(12161213)1('22'+-=+??+?=?+?=S c b S ，
即：)2(1
2-=+c b
解方程组（1）和（2），得3,2=-=c b ，即
???≤≤-+-≤≤+=2
11
32210)(2
3
2
3x x x x x x x x S
由于)1(221262123)1('
'''+-=?-??=+??=S S ，
所以S(x) 在x=1节点的二阶导数亦连续。
2、 已知函数2
11x
y +=
的一组数据，2,1,0210===x x x 和2.0,5.0,1210===y y y ，
（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算)5.1(f 的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】（1）依题意，将x 分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为)()(21x S x S 和，利用拉格朗日线性插值公式，求得
15.05.00
1011
01)(101001011+-=?--+
?--=
--+
--=
x x x y x x x x y x x x x x S ；
8.03.02.01
215.02
12)(21
2112
122+-=?--+
?--=
--+--=x x x y x x x x y x x x x x S
（2） 93076923076
.05
.111)5.1(2
≈+=f ，而 35.08.05.13.0)5.1(2=+?-=S ，
实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2≤=- S f 。
由4
2
2
)
3(3
2
2
)
2(2
2
)
1()
1()1(24)(,)
1()31(2)(,)
1(2)(x x x x f
x x x f
x x x f
+-=
+--=
+-=
,可
知5.0)1()
2(2
==f
M
，则余项表达式
5.00625.05.05.0!
2|)2)(1(|!
2|
)(|)(4
22
)
2(≤==?≤
--=
M
x x f x R ξ
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
???
??
?
?=+=+=-=+72623
531142y x y x y x y x 【解】 构造残差平方和函数如下： 2
222)72()62()353()1142(),(-++-++--+-+=y x y x y x y x y x Q ，
分别就Q 对x 和y 求偏导数，并令其为零：
0)
,(=??x
y x Q ： )1(17
6=-y x ，
0)
,(=??y
y x Q ： )2(48
463=+-y x ， 解方程组（1）和（2），得
24176.1273
173486,04029.3273481746≈?+?=≈+?=y x
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如2bx a y += 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令2x X =，则bX a y +=为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
???????==+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========)
2()
1(555
1
25
151451251251
5
1512
51i i
i
i i i i i i i i i i i i i
i i i i y x
y X x b x a X b X a y x b a X b a ；
依据上式中的求和项，列出下表
??
?
=+=+)
2(5
.36932172776995327)
1(4.2715327500b a b a
97258.080115661
.7791878532753277277699553275.36932172776994.271≈=
?-??-?=
a ；
05004.08011566
7.40085953275327727769954.27153275.3693215==?-??-?=b ；
即：2
05004.097258.0x y +=。
2.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ?
-++-≈h h h f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；
?++≈1
0210)43
()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；
?+≈1000)()0(4
1)()3(x f A f dx x f 。
【解】 （1）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
???
?
???
=+=+-=++)
3(32)2(0)1(220
20210h A A A A h A A A
解得：h A h A A 3
4,3
120=
=
=，即：?
-++-≈
h
h
h f f h f h dx x f )]()0(4)([3
)(，可以
验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组： ???
??=++=++=++)
3(16
27123)2(232)1(1
210
210210A A A A A A A A A 解得：3
1
,32120-===A A A ，即：])4
3
(2)21()41(2[31
)(10?+-≈f f f dx
x f ，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：??
??
?
=
=32
4300
x A 即： ?+≈
10)3
2(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2
)(x x f =公式亦成立，而对3
)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
2、（p.95，习题6）给定求积节点,4
3,4110=
=
x x 试构造计算积分?
=
1
)(dx x f I 的插值型
求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意，先求插值求积系数：
2
1)43
21
(24
34143
1
21
1
1
010=
-?-=?-
-=
?--=
?
?
x x dx x dx x x x x A ；
2
1)41
21
(24
14341
1
21
1
101=
-?=?-
-=
?--=
?
?
x x dx x dx x x x x A ；
插值求积公式：
?
∑
+=
=
=1
)4
3(21)41(21
)()(f f x f A dx x f n
k k k
①当1)(=x f ，左边=?=1
1)(dx x f ；右边=
112
1121=?+
?；左=右；
②当x x f =)(，左边=?=
=
1
01
022121)(x
dx x f ；右边=2
14321412
1=?+?；左=右；
③当2)(x x f =，左边=?==
1
1
33
13
1)(x
dx x f ；右边=
16
516
92
116
12
1=
?+?；左≠右；
故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2 梯形公式和Simpson 公式
1、（p.95，习题9）设已给出x e x f x 4sin 1)(-+=的数据表，
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I ?
?=1
)(的近似值。
【解】 （1）用复化梯形法：
28358
.1]72159.0)06666.155152.165534.1(200000.1[125.0)}00.1()]75.0()50.0()25.0([2)00.0({2
25.0)]
()(2)([2
)]()([2
25
.04
1
,5,1,05551
1
11
5=+++?+?=+++?+?=
++=
+===-====∑∑
-=+-=T T f f f f f T b f x f a f h x f x f h T n a b h n b a n k k k k n k
（2）用复化辛普生法： 30939
.1]72159.010304.3888.1000000.1[12
1)}
00.1()50.0(2)]75.0()25.0([4)00.0({65.0)]
()(2)(4)([6
)]()(4)([6
5
.02
1
,2,1,0221
1
10
2
112
11
2≈+++?=
+?++?+?=+++=
++===-====∑∑∑
-=-=+
++
-=S f f f f f S b f x f x
f a f h x f x
f x f h S n a b h n b a n k k n k k k k k n k
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分?
=
1
dx e I x
，为使截断误差不超过
5
10
2
1-?，
问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？
【解】（1）用复化梯形法， x e x f x f x f b a =====)('')(')(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：
e n
f n
a b T I R n T 3
3
2
3
12)01()(''max 12)(||||-=
-=
-=ξ；
依题意，要求5
102
1||-?≤
T R ，即
849.2126
1010
2
1125
2
5
2
≈?≥
??≤
-e n n
e ，可取213=n 。
（2）用复化辛普生法， x e x f x f x f b a =====)('''')(')(,1,0，截断误差表达式为：
4
4
54
528802880)01()(''''max )
2(180)
(||||n
e e n
f n a b S I R n S =
-=
-=
-=ξ；
依题意，要求5
102
1||-?≤
S R ，即
70666.31440
1010
2
128805
4
5
4
≈?≥
??≤
-e n n
e ，可取4=n ，划分8等分。
2.3 数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
)
53()]
(3)(4)([21)(')52()]
()([21)(')51()]()(4)(3[21)('21022012100x f x f x f h
x f x f x f h x f x f x f x f h x f +-≈
+-≈-+-≈
【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为
∏≠=+-?+=
-=n
k
j j j k k n k k k x x n f
x p x f x R 0
)
1()()!
1()
()(')(')(ξ
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2x x x x h n -=-==，则
2
0201002
1
00)
12(03
)('''))((!
3)(''')()!
12()
()(h f x x x x f x x f
x R j j ξξξ=
--=
-?+=
∏=+
20210112
1011)
12(16
)('''))((!
3)(''')()!12()
()(h f x x x x f x x f
x R j j j ξξξ-
=--=
-?+=
∏≠=+
22120222
2
022)
12(23
)('''))((!
3)(''')()!
12()
()(h f x x x x f x x f
x R j j j ξξξ-
=--=
-?+=
∏≠=+
2、（p.96，习题25）设已给出2
)
1(1)(x x f +=
的数据表，
试用三点公式计算)2.1('),1.1('),0.1('f f f 的值，并估计误差。
【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210=-=-====x x x x h x x x ，用三点公式计算微商： 1870
.0]2066.032268.042500.0[1
.021)]2.1(3)1.1(4)0.1([21)2.1('2170
.0]2066.02500.0[1
.021)]2.1()0.1([21)1.1('2470
.0]2066.02268.042500.03[1
.021)]2.1()1.1(4)0.1(3[21)0.1('-=?+?-?=
+-≈
-=+-?=
+-≈-=-?+?-?=-+-≈f f f h
f f f h f f f f h f 5
4
3
2
)
1(24)(''';)
1(6)('';)
1(2)(';)
1(1
)(x x f x x f x x f x x f +-=
?+=?+-=
?+=
，
用余项表达式计算误差
0025
.0)
0.11(31.0243
)(''')0.1(5
22
0-≈+?-≈
=
h
f R ξ00125
.0)
0.11(!31
.024!
3)(''')1.1(5
22
1≈+?≈
-
=h
f R ξ04967.0)
1.11(31.0243
)(''')2.1(5
22
2-≈+?-≈
=
h
f R ξ
3、（p.96，习题26）设x x f sin )(=，分别取步长001.0,01.0,1.0=h ，用中点公式（52）计算)8.0('f 的值，令中间数据保留小数点后第6位。 【解】中心差商公式：h
h a f h a f a f 2)
()()('--+≈
，截断误差：2
!
3)(''')(h a f h R =
。可
见步长h 越小，截断误差亦越小。
(1) 9.08.0,7.08.0,1.020=+==-==h x h x h ,则
695545.0]644218.0783327.0[1
.021)]7.0sin()9.0[sin(21)8.0('≈-?≈
-≈
h f ；
(2) 81.08.0,79.08.0,01.020=+==-==h x h x h ,则
6967.0]710353.0724287.0[01
.021)]79.0sin()81.0[sin(21)8.0('≈-?≈
-≈
h
f
(3) 801.08.0,799.08.0,001.020=+==-==h x h x h ,则
6965
.0]716659.0718052.0[01
.021)]799.0sin()801.0[sin(21)8.0('≈-?≈
-≈
h
f 而精确值 6967067.0)8.0cos()8.0('==f ，可见当01.0=h 时得到的误差最小。在
001.0=h 时反而误差增大的原因是)8.0(h f +与)8.0(h f -很接近，直接相减会造成有效
数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。
3.1 Euler 格式
1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式
)4.00(')1(2
2
≤≤-=x y
x y ，1)0(=y ，取2.0=h ；
)2.11(')2(2≤≤+
??
? ??=x x y x y y ，1)0(=y ，取2.0=h ；
【解】 （1）)(2.0)('2
2221n n n n n
n n n n y x y y x h y hy y y -?+=-+=+=+； （2）)(
2.0)(
22
2
2
1n
n n
n n n
n n
n n n x y x
y y x y x
y h y y +
?+=+
+=+。
2、（p.124，题2）取2.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)6.00('2≤≤--=x xy y y ，
1)0(=y 。
【解】欧拉格式：)(2.0)('2
21n n n n n n n n n n n y x y y y x y h y hy y y --?+=--+=+=+；化
简后，2
12.08.0n n n n y x y y -=+，计算结果见下表。
3、（p.124，题3）取1.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)40(211'2
2
≤≤-+=
x y x
y ，
0)0(=y 。并与精确解2
112x
x y +=
比较计算结果。
【解】欧拉格式：)211(
2.0)211(
'2
2
2
2
1n n
n n n
n n n n y x y y x h y hy y y -+?+=-++=+=+；
化简后，2
2
112.04.0n
n n n x
y y y ++
-=+，计算结果见下表。
1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。
【解】 因为)6.00(),('2≤≤--==x xy y y x f y ，2.0=h ，且1)0(=y ，则改进的欧拉公式：
???
????
+=
+?-=--+=+=-=--+=+=+2)()(2.0)(),(2.08.0)(),(12
22
2c p n p n p n p n p n p n n c n n n n n n n n n n p y y y y x y y y x y h y y x hf y y y x y y x y h y y x hf y y 。 计算结果见下表。
3.3 龙格-库塔方法
1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y y 38'-=，2)0(=y ，试取步长2.0=h 计算)4.0(y 的近似值，要求小数点后保留4位数字。
【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：
?????
??
?
??
???
+=+=+==++++=++++)
,()
2,()2,(),()
22
(6314
22
131212143211hK y x f K K h
y x f K K h y x f K y x f K K K K K h
y y n n n n n
n n n n n ； 列表求得)4.0(y 如下：
4.1 迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取10=x ，用迭代公式),2,1,0(10
2202
1 =++=
+k x x x k k
k ，求
方程02010223=-++x x x 的根，要求准确到310-。
【解】 迭代计算结果列于下表
因为3891000082.0||-<≈-x x ，所以36906.19=≈*x x 。
2、（p.153，题2）证明方程x x cos 2
1=有且仅有一实根。试确定这样的区间],[b a ，使迭
代过程k k x x cos 2
11=
+对],[0b a x ∈均收敛。
【证明】设：x x g c os 2
1)(=
，则当R x ∈时，]2
1
,21[c os 2
1)(-
∈=
x x g ，且一阶导数x x g sin 2
1)('-
=连续， 12
1|sin 21||)('|<≤
-
=x x g ，所以迭代过程k k x x cos 2
11=
+对
R x ∈0均收敛。（压缩映像定理），方程x x cos 2
1=
有且仅有一实根。<证毕>
3、（p.153，题4）证明迭代过程k
k k x x x 12
1+
=
+对任意初值10>x 均收敛于2。
【证明】设：x
x x g 12
)(+
=
，对于任意1>x ，因为
21
22
12
=?≥+
x
x x
x ，所以2)(≥x g 。
一阶导数12
112
1)('2
<≤
-
=
x
x g ， 根据压缩映像定理，迭代公式k
k k x x x 12
1+
=
+对任意
初值10>x 均收敛。假设*
∞
→=x x k k lim ，对迭代式k
k k x x x 12
1+
=
+两边取极限，则有
*
*
*
+
=
x
x
x 12
，则()
22
=*x
，解得2±=*x ，因2-=*
x 不在1>x 范围内，须舍去。
故2=
*
x 。<证毕>
4.2 牛顿迭代法
1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：
（1）0133=--x x ，20=x （2）0232=+--x e x x ，10=x
【解】 （1）设13)(3--=x x x f ，则33)('2-=x x f ，牛顿迭代公式：
),2,1,0()
1(3123
313)
(')(23
2
3
1 =-+=
----
=-
=+k x x x x x x x f x f x x k
k k k k k k k k k ，迭代计算过
因为4231000006.0||-<≈-x x ，所以879.13=≈*x x 。
（2）设23)(2+--=x e x x x f ，则x e x x f --=32)('，牛顿迭代公式：
)
,2,1,0(322
)1(322
3)
(')(2
2
1 =-----=--+---
=-
=+k e
x x e
x e
x e
x x x x f x f x x k
k
k
k x k k x k x k x k k k k k k k
因为4
231000000.0||-<≈-x x ，所以2575.04=≈*x x 。
2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程03=-a x ，导出求立方根)0(3>a a 的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。
【证明】（1）设：a x x f -=3)(，则23)('x x f =，对任意0>x ，牛顿迭代公式
2
3
2
3
1323)
(')(k
k k
k k k k k k x a x x a x x x f x f x x +=
--
=-
=+ ,2,1,0=k
（2）由以上迭代公式，有：3
lim a x x k k =
=*∞
→。设 )0(32)(2
3
>+=
x x a x x g
**=x x g )(；0)
1(3
2)('3
3
=-
=
=
*
a
x x
a x g ；3
4
2
2)(''3
a
x
a x g a
x =
=
=
*
。
2
1)(!
2)(''))((')()(**
**
*+-+
-=-=-x x g x x x g x g x g x x k k k k ξ
3
2
11
!
2)('')
(lim
a
x g x x x
x k k k =
=
--*
*
*+∞
→，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>
5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：???=+=+1
22
32121x x x x ，要求结
果有3位有效数字。
【解】 雅可比迭代公式：??
????-=+-=-=+-=++)1(111)2(3
13231)(1)(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。
200.0;600.0)
10(2
2)
10(1
1≈≈≈≈*
*
x x x x ；
由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为
3
10
2
1-?。
高斯-赛德尔迭代公式：??????+=+-=-=+-=+++)1(111)2(3
13231)(2)1(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。
200.0;
600.02
21
1≈≈≈≈x x x x ；
2、（p.171，题7）取25.1=ω，用松弛法求解下列方程组，要求精度为
4
10
2
1-?。
??
?
??-=+-=-+=+12
4204316
343232121x x x x x x x
【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：
)1(251616493~41~241169541~43~44
3~)(3)(2)(2)
1()(3)(2)(3
)(1)
1()(2)
1(3
21
???
?
??
???-+=-=++=++-=+-=+++k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x
引入松弛因子，得
)2(~4541~)1(~4541~)1(~4
541~)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)
1()(2)1(2
)1()(1)1()(1)1(1
3
3
221
1???
?
??
???+-=+-=+-=+-=+-=+-=+++++++++k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω
将方程组（1）代入（2），并化简
)3(825641125645251656429516
1541)(3)(2)
1(3
)(3)(2
)
1(2)(2)(1)
1(1
???
?
??
???--=++=+--=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x
计算结果见下表。
迭代解：.1667.2,
3333.3,5001.1)
17(3
3)
17(2
2)17(11≈=≈=≈=***x x x x x x
精确解：.1667.26
13,
3333.33
10,
5.123321≈-
=≈=
==
x x x
5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。
?????
?
?=++-=+-+=-+-=-+17
7222382311
387
5104321
4321
321431x x x x x x x x x x x x x x 【解】（1）雅可比迭代公式：
??
???
???
??
?+-
+
-
=-
+
+
=++-=-
+-=++++7
177
272718238141838
11
8
3811072
1101)
(3
)
(2)
(1)1(4)
(4)
(2)
(1)
1(3)
(3
)
(1
)1(2)
(4
)
(3
)
1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (1)
=J
G ??????
???
???????????----
07
27
27
181********
0812110100，18
7<=
∞
J G ，迭代收敛。
（2）高斯-赛德尔迭代公式：
??
???
???
??
?+-+
-
=-
+
+
=++-=-+-=++++++++++7
177
27
2718238141838118
38110721101)
1(3
)
1(2
)
1(1
)1(4)
(4)
1(2)
1(1)
1(3)
(3
)
1(1
)1(2)
(4
)
(3
)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2)
将方程组（1）带入（2），经化简后，得：
??
???
???
??
?+-
=
-
+
=+
-
=-+-=++++1120
3991224
391120
12132078764
1932019
80117161
80311072
110
1)
(4
)
(3
)1(4)
(4
)
(3
)
1(3)
(4
)
(3
)1(2)
(4)
(3
)1(1k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x (3)
=-S
G G ??????
???
??????????
?-
-
-
224
391120
890
064193201900161
8031
021101
00，15
3<=
∞
-S G G ，迭代收敛。
2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：
（1）???=+-=+231
221
21x x x x
（2）???
??-=-+=+-=-+11
52425235321
321321x x x x x x x x x
【解】（1）雅可比迭代：
?????+-=--=++2312)
(1)
1(2
)
(2)1(1
k k k k x x x x ，13>=∞
G ,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
?????+-=--=+++2312)1(1)
1(2)(2)1(1k k k k x x x x 或 ?????+=--=++5612)
(1)1(2
)(2)1(1
k k k k x x x x ，16>=∞
G ,不收敛。
（2）雅可比迭代：
???
?
??
???
++=-+=++-=+++511515222125235)(2)(1)
1(3
)(3)(1)
(2
)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，18>=∞
G ,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
?????????++=-+=++-=++++++511515222125235)1(2)1(1)1(3)(3
)1(1)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 或 ????
??
???++-=++-=++-=+++5185142138225235)(3)(2)
1(3)
(3)(2)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 18>=∞
G
,不收敛。
3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。
【解】加工后结果如下：
（1）???-=+=+12232121x x x x
（2）???
??-=-+=-+=+-11
52235425321
321321x x x x x x x x x
方程组（1）的雅可比迭代：
???
???
?--=+-=++21213
2313)(1)1(2)(2)
1(1k k k k x x x x ，12
1<=
∞
J G ，迭代收敛。
方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：
???
???
?-=+-=++32613
2313)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x ，13
1<=
∞
-S G G ，迭代收敛。
方程组（2）的雅可比迭代：
???
?
??
???++=++-=+-=+++51151525253515
45152)(2)(1)
1(3
)(3)(1)
1(2
)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，15
4<=
∞
J G ，迭代收敛。
方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值计算课后答案2
习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？
数值分析课后习题答案
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
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1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数
字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
最新数值计算课后答案1
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：