郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版(1-6章)
1. 根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式
?(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar × (?× Br ) + (Ar ??)Br
Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2 ? (Ar
??)Ar 2
解
1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av ) + (Bv ??)Av + Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv
首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ?将作用于 Av 和Bv
又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质
因此 利用公式 cv × (av ×b v ) = av ?(cv ?bv ) ? (cv ?av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ?作用于
v v A 后两项是?作用于 B
v v
2 根据第一个公式 令 A B 可得证
2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
?f (u ) = d f ?u
du
?? Ar(u) = ?u ? dAr
du
r
?× Ar (u) = ?u × . dA
du
证明 1
?f (u ) = ?f (u ) er x + ?f (u) er y + ?f (u ) er z = df du ? e x + r ?u er y + d f ?ur ? ? e z = d f ?u ?u ?x ?y ?z ?y du ?z du
2
?Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z (u) = dAr x (u) ? ?u + ??u + dAr z (u) ? ?u r
?z = ?u ? du
?? Ar (u) = dA
?z du ?x ?y dz
3
r
r r e
z
? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?z
?Ar ?Ar x )er z = ?y r r
x
y ?× Ar (u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?x ?
?
A A r z z ?x
?y A y (u) A z (u)
?z ?y ?z ?x
r r r A
x(u)
= (dAr z ? dAr y ?u r dAr x ?u ? dA r r u ? dA u r dAr
)e y + (dA u ? du ?z )e x + ( ?u r ? ? r x
y z du ?x du ?y )e z = ?u × du du ?y du ?z du ?x
3. 设r = (x ? x ' ) 2 + (y ? y ' ) 2 + (z ? z ' ) 2 为源点 x '
到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点
r ? ' + er ? ' + er
? 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (?
'
= e ?z ' )与对场变数求 z
x ?x y ?y 微商(? = er x ? r ? r ?
+ e z ?z )的关系
?x + e y ?y r r r r r r 1 r ' 1 r r r r r
?r = ??'r = ,? = ?? = ? ,?× r 3 = 0,?? r = ??' 3 = 0.(r ≠ 0) r r 3 3 r
(最后一式在人 r 0点不成立 见第二章第五节) 2 求
??r r ,?×r r ,(ar ??)rr ,?(ar ?rr ),??[Er 0 s in (kr ?rr )]及?×[Er 0 s in (kr ?rr )],其中ar ,kr 及Er 0均为常矢
量
证明 ??rr =
?(x ? x ?x ') + ?(y ? y ?y
'
) + ?(z ? z '
) = 3
?z r r r e e e x y z ?×r r = ? ? ? = 0 ?x x ? x ?y y ? y ?z z ? z
'
' '
? v
(av ??)rr = [(a x ev x + a y ev y + a z ev z ) ? ( e x + ??y ev y + ??z ev z )][(x ? x ')ev x + (y ? y ')er y + (z ? z ')ev z ]
?x
= (a x ? + a y ? + a z )[(x ? x ')ev x + (y ? y ')er y + (z ? z ')ev z ]
? ?x ?y ?z = a x ev x + a y ev y + a z ev z = av
?(av ?rv ) = av × (?×r v ) + (av ??)rv + rr × (?×a v ) + (rv
??)?av
= (av ??)r v + rv ×(?×a v )+ (rv ?ar )?av
= av + rv × (?×a v ) + (rv
??)?av
??[Er 0 s in (kr ?rr )] = [?(s in (kr ?rr )]? Er 0 + s in (kr ?rr )(?? Er 0)
= [??x s in (kr ?rr )er x + ??y s in (kr ?rr )er y + ??z s i n(kr ?r r )er z ]E 0
= cos(kr ?rr )(k x er x + k y er y + k z er z )Er 0 = cos(kr ?r r )(kr ?
Er)
?×[Er 0 s in (kr ?rr )] = [?s in (kr ?rr )]×Er 0+s i n(kr ?r r )?× Er 0 4. 应用高斯定理证明
dV ?× f r = ∫S dSr × f r
∫
V
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫S
dSr ×?φ = ∫L
d l r θ
证明 1)由高斯定理
dV ?? gr = ∫S dSr ?
gr
∫ V ?g 即 (? g ?x ?g ∫ V x + y + z z )dV = ∫ g x dS x + g y dS y + g z dS z ?
?y S 而 ?× f rdV = [( f z ? ??z f y )i r + ( f x ? ??x f z )r j + (
f y ? ??y f x )kr ]dV ? ? ? ∫
V
∫ ?y
?z ?x
= ∫ [??x ( f y kr ? f z r j ) + ??y ( f z i r ? f x kr) + ??z ( f x r j ? f y ir )]dV
r r [( f z dS y ? f y dS z )i r + ( f x dS z ? f z dS x )r j + ( f y dS x ? f x dS y )kr ] ( f y kr ? f z r j )dS x + ( f z i r ? f x kr )dS y + ( f x r j ? f y ir )dS z
∫ S
dS × f = ∫ 又
S
= ∫
若令H x = f y kr ? f z r j ,H y = f z i r ? f x kr ,H Z = f x r j ? f
y
ir
则上式就是
?? HrdV = ∫S dSr ? Hr ,高斯定理 则证毕
∫
V
2)由斯托克斯公式有 f r ?d lr = ∫S ?× f r ?dSr
∫
l
f r ?d lr =
l
( f x d l x + f y d l y + f z d l z )
∫ ∫
l ∫S
?× f r ?dSr =
∫S
f z
? ? f y
)dS x
+ ( f x
? ? f z
)dS y
+ ( f y
? ? f x
)dS z
?z ?z ?x ?x ?y
? ? ? (?y
而∫
d l r θ =
∫
l
∫S
dSr ×?φ = ∫S
( dS z
)i r + ( dS x
)r j + ( ?y
dS y
)kr ?θ dS ? ?θ ?θ dS ? ?θ ?θ dS ? ?θ ?x
y
z
x
?z
?y ?x
?z
r ?θ r j )dS + (?θ r
i ? ??θx kr )dS y + (??θx r j ? ?θ?y
i r )dS z
?θ = ∫ ( k ? x ?y ?z ?z
若令 f x = θi , f y = θ j , f z = θk
则证毕
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
Pr(t ) =
ρ(x
,t )x dV , r '
r
' '
∫ V
利用电荷守恒定律?? Jr + ?ρ
r
?t = 0证明 P 的变化率为
dPr =
dt r
r '
J(x ,t )dV '
∫ V ?Pr = ?ρ r ' r '
?t x dV r ∫ V
' = ? ∫ V
? ' j ' x dV r ' '
证明 ?t r
?t ) x = ? ?P
r ' ?'r j 'x 'dV ' = ?∫[?' ?(x ' j ) ? (?'x ')?r j ']dV ' =
r ' ( ∫ V ∫
V ( j x ' ??' ?(x ' j )dV ' = ∫ j x dV ' ? ∫S xr j ?dSr 若S → ∞,则 ( )? x j dSr r ∫ = 0,(r j S = 0) r ?t ) y = r ?ρ ,(?ρ?t ) z = j dV ( ∫ j dV y
'
∫ '
同理 即
z dPr = r r '
∫ j
x ,t )dV '
( dt
V
mr × Rr 的旋度等于标量? = mr ? Rr
的梯 6. 若m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 Ar =
r
R 3
R
3
度的负值 即
?× Ar = ???
其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点
证明
mv × Rv )
1 r 1 r 1 v r
1 r ?× Av = ?× ( = ??×[mv × (? R1 )] = (??mv)? + (mv ??)? ?[??(? )]m ?[(? )??]mv
R 3
1 = (mv ??)? ,(r ≠ 0)
r ?? = ?(mv ? Rv
1 r 1 r 1 r 1 r ) = ??[mv ?(? )] = ?mv ×[?× (? )]? (? )× (?×mv ) ? (mv ??)?
R
3
?[(? )??]mv = ?(mv ??)? 1 r 1
r ∴?× Av = ???
7 有一内外半径分别为 r 1和 r 2的空心介质球 介质的电容率为ε 使介质内均匀带静止自 由电荷 ρ f 求
1 空间各点的电场
2 极化体电荷和极化面电荷分布 ∫
解 1
∫S Dr ?dSr
=
ρ f dV , (r 2>r>r 1)
即 D ? 4πr 2 = 43π (r 3 ? r 13)ρ f (r 3 ? r 13)ρ f 3εr 3
∴Er = rr ,(r 2 > r > r 1)
r r Q =
4π (r 23 ? r 13)ρ f ,(r > r 2) 3ε 0 f 由 E ?dS = ∫ S ε 0 ∴Er = (r 23 ? r 13) 3ε 0r 3 r
ρ f rr ,(r > r 2)
r < r 1时 E 0
r 2) P ε 0χe Er = ε 0 r E = (ε ?ε 0)Er ε ?ε 0 ε 0
∴ρ
P = ??? Pr = ?(ε
?ε 0)?? Er = ?(ε ?ε 0)??[ (r 3 ? r 13) 3εr 3 ρ f rr ] = ? ε ?ε 0 ρ f ??(rr ? r r 3
r )
1
3ε
r 3 = ? ε ?ε 0 ρ f (3? 0) = ?(ε ?ε 0 )ρ f
3ε ε ζ P = P 1n ? P 2n
考虑外球壳时 r r 2
n 从介质 1指向介质 2 介质指向真空
P 2n = 0
r 3 ? r 13 3εr 3 ) r 23 ? r 13 ζ P = P 1n = (ε ?ε 0) ρ f rr r=r 2
= (1? ε 0 ε ρ f 3 3r 2
考虑到内球壳时 r r 2
ζ P = ?(ε ?ε 0) r 3 ? r 1 ρ f r r=r 1 = 0 3
r
3εr 3
8 内外半径分别为 r 1和 r 2的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 J f 导体 的磁导率为μ 求磁感应强度和磁化电流 解
Hr ?d lr = I f + dd t ∫S Dr ?dSr
=I f
∫ 当r < r 1时,I f = 0,故Hr = Br = 0 l
H ?d l r = 2πrH = j f ?dSr = j f π (r 2 ? r 12) r
r ∫
l
∫
S
当 r 2>r>r 1时
μj f (r 2 ? r 12) 2r Bv = = μ( r 2 ? r 1
2r
2)r j f ×r r 2
当 r>r 2时
2πrH = πj f (r 22 ? r 12) Br = μ0(r 22 2)r j f ×r r ? r 1 2r 2
J M = ?× Mr = ?× (χ
M Hr ) = ?× (μ ? μ0) r μ ?1)?× (r j f ×r 2
r r ? r 12 )
μ0 )H = (μ0 2r 2
= (μμ ?1)?× Hr = ( μ ?1)r j f ,(r 1 < r < r 2)
0 μ0 α
r M = nr × (Mr 2 ? Mr 1),(n 从介质1指向介质2
在内表面上 M 1 = 0,M 2 = (μμ ?1) r 2 ? r 12 ) r=r = 0
2r 2
1
故α
M = nr × Mr 2 = 0,(r = r 1)
r
在上表面 r r 2时
r M = nr × (?Mr 1) = ?nr × Mr 1 r=r 2 = ? × r r 2 ?r 12 r j f ×r r r=r 2 = ? r 2 ? r 12 r j ( μ ?1) μ
r α f r 2 r 2 r 2 2r 0 r 22 ? r 12 r
2r 2 = ?(μμ ?1) j f 0
9 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 ρP 总是等于体自由电荷密度 ρ f 的? (1? εε0 )倍
ρP = ??? Pr = ???(ε ?ε 0)Er = ?(ε ?ε 0)?? Er = ?(ε ?ε 0) ρ f = ?(1? εε0 )ρ f
证明
ε
10 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等 方向相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明
1 线圈 1在线圈 2的磁场中的受力
I 2d lv 2 ×r v 12
Bv 2 = μ0
∫ 3 4π l r 12 2
dFv 12 = I 1d lv 1 × Bv 2 μ0 I 1d lv 1 × (I 2d lv 2 ×r v 12) = μ0I 1I 2 dlv 1
× (d l r 2 ×r v 12) ∴Fv 12 = ∫∫ 4π r 3
4π
∫∫
r 3
l l 12
l l 12
1 2
1 2
v r = μ0I 1I 2 4π ∫∫d l (d l ? ) ? 132 (dl v 1 ?d l v 2)
v v rv 12 r 3
12 1
2 1
r 12
l l 1 2
2 线圈 2在线圈 1的磁场中受的力
同 1 可得
v v r Fv 21 = μ0I 1I 2 4π ∫∫d l (d l ? 231 ) ? 231 (dlv 2 ?d lv 1) v v r 2
1 2
r 21
r 21
l l 2 1
分析表达式 1 和 2
1 式中第一项为
v v rv 12 r 12
dlv 2∫d l ? 12 v v r = v dr 12 dlv 2 ?(? 1 ) 一周 = 0 ∫∫d l (d l ? 3 ) = ∫ ∫ dl ∫ = r 2
∫ 2 1 1 3
2 r r l l l 12 l l 1 12 l 12 1 2 2 2 2 v v v r
2 式中第一项 ∫∫d l (d l ? 231 ) = 0
同理 对 1 2 r l l 21 2 1 r r
∴Fv 12 = Fv 21 = ? μ0I 1I 2 4π ∫∫ 132 (d lv 1 ?d l v 2
) r 12
l l 1 2 11. 平行板电容器内有两层介质 它们的厚度分别为 l 1和 l 2 电容率为ε1和ε 2 今再两板 接上电动势为Ε的电池 求
1 电容器两板上的自由电荷密度ω f
2 介质分界面上的自由电荷密度ω f
若介质是漏电的 电导率分别为 ζ1和ζ 2 当电流达到恒定时 上述两问题的结果如 何
解 在相同介质中电场是均匀的 并且都有相同指向
l 1E 1 + l 2E 2 = Ε D ? D 2n = ε1E 1 ?ε 2E 2 = 0 介质表面上ζ f = 0), 则
1n ε 2Ε ε1Ε
l 1
ε 2 + l 2ε1
故 E 1 = l 1ε 2 + l 2ε1 ,E 2 = 又根据D 1n ? D 2n = ζ f n 从介质 1指向介质 2
在上极板的交面上
D 1 ? D 2 = ζ f 1
D 2是金属板 故 D 2 0
ε1ε 2ε
l 1ε 2 + l 2ε1
即 ζ f 1 = D 1 =
而ζ f = 0 2
ζ f = D 1' ? D 2' = ?D ,(D 1'是下极板金属 故D 1' = 0) '
2
3
ε1ε 2ε l 1ε 2 + l 2ε1
∴ζ f = ? = ?ζ f
1 3 若是漏电 并有稳定电流时
Er 1 = r j ,Er 2 = r j
1
ζ1 2
ζ 2
r 1 又 1 ζ1 2 ζ 2
r
j 2 j = Εr l + l
j = j 2n = j 1 = j 2, 稳定流动 电荷不堆积 1n
E 1 = j 1 = ζ 2
Ε ζ1 l 1ζ 2 + l 2ζ1 ζ1Ε Ε
得 j 1 = j 2 =
,即: l 1 + l 2 j 2 E 2 =
= ζ1 ζ 2 ζ 2 l 1ζ 2 + l 2ζ1
ε1`ζ 2Ε
l 1ζ 2 + l 2ζ1
ε 2ζ1Ε
l 1ζ 2 + l 2ζ1 ζ = D 3 = ζ f 下
= ?D 2 = ?
f 上
= ε2ζ1?ε2ζ
ζf= D2 ? D3
中
1Ε
lζ +lζ
1
1 2 2
12.证明
1当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时电场线的曲折满足
t anθ2=ε2
t anθ1ε1
其中ε1和ε2分别为两种介质的介电常数θ1和θ2分别为界面两侧电场线与法线的夹角2当两种导电介质内流有恒定电流时分界面上电场线曲折满足
t anθ2=ζ2
t anθ1ζ1
其中ζ1和ζ2分别为两种介质的电导率
证明
(1)根据边界条件n×(Ev2 ? Ev1) = 0,即E2 s inθ2= E1 s inθ1
由于边界面上ζf= 0故nv ?(Dv 2 ? Dv1) = 0即ε2E2cosθ2= ε1E1cosθ1
∴有tgθ2= tgθ1,即tgθε2
2=
tgθ1ε1
ε2ε1
(2)根据Jv = ζEv可得电场方向与电流密度同方向
j1j2
cosθ2cosθ1
由于电流I是恒定的故有=
ζ1E1
cosθ2cosθ1
ζ E2 n×(Ev2? E)
v
1
v
2 = 0即E
2 s inθ2= E1s inθ1
即= 而
tgθ1=ζ1
tgθ2ζ2
故有
13试用边值关系证明在绝缘介质与导体的分界面上在静电情况下导体外的电场线
总是垂直于导体表面在恒定电流的情况下导体内电场线总是平行于导体表面
证明1导体在静电条件下达到静电平衡
∴导体内Ev1
而
nv×(Ev2? Ev1) = 0
v
∴nv×Ev2= 0故E0垂直于导体表面
3 导体中通过恒定电流时 导体表面ζ f = 0
v v ∴导体外E 2 = 0,即 D 2 = 0
而
nv ?(Dv 2 ? Dv 1) = ζ f = 0,即: nv ? Dv 1 = nv ?ε
0Ev 1 = 0 ∴nv ? Ev 1 = 0
导体内电场方向和法线垂直 即平行于导体表面
14 内外半径分别为 a 和 b 的无限长圆柱形电容器 单位长度电荷为λ f 板间填充电导率 为ζ 的非磁性物质
1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消 因此内部无磁场
2 求λ f 随时间的衰减规律
3 求与轴相距为 r 的地方的能量耗散功率密度
4 求长度为 l 的一段介质总的能量耗散功率 并证明它等于这段的静电能减少率
r ?ρ
f
?t 1 证明 由电流连续性方程 ?? J +
= 0 据高斯定理
ρ f = ?? Dr
??? Dr ?t ?Dr = 0
?t
∴?? Jr + ∴??(Jr + = 0 即 ?? Jr + ??
?Dr ?t
?D r ) = 0.∴Jr + ?t = 0 即传到电流与位移电流严格抵消 ∫ (2)解 由高斯定理得
Dr ? 2πr rd l = λ f d l
∫ ∴Dr = 2λπf r er r ,Er =
λ f 2πεr e r
r ?Dr
?t
又 Jr + = 0,Jr = ζEr ,Dr =
εE r
?Er ?t
∴ζEr +ε = 0,Er = Er 0e
ζ
= t
ε ∴ 2λπεf r er r = λr ?ζ
ε r t
e
r
2πεr e 0
ζ ε
? t ∴λ f = λ f e
0 3 解
?Dr ?t
Jr = ? = ? ? λ f ζ
ε ζ λ f ? ? t ?t (2πr e ) = ε 2πr 0
1 = ( λ f )2ζ
2πεr
能量耗散功率密度 J 2ρ = J 2 ζ 5 解
单位体积dV = l ? 2πrdr
Pr =
λ f )2ζl2πrdr = l2ζπλε f 2 ln ba 2
b ∫ (2πεr a
r r b 1 l λ2f ∫
l λ f 2
b 1 a
2 D ? EdV = a 2 2πεr dr = 12 ? 2πε ?l n ba
静电能 W =
∫
减少率 ? ?W = ? l λ f ?λ f
?t 2
= l λ 2 ln ba
f ζ
2πε
2πε l n ba ? ?t
r
2
1.一个半径为R的电介质球极化强度P=K r 电容率为
(1)计算束缚电荷的体密度和面密度
(2)计算自由电荷体密度
(3)计算球外和球内的电势
(4)求该带电介质球产生的静电场总能量
解(1)
r
ρP=??? Pr = ?K??2=?K(?r?r + 12??r r) =?K/r
r 1 r
2
2
r r
ζP=?nr?(Pr2? Pr1)
R
又球外无极化电荷
r
Pr2 = 0ζp= nr ? Pr1 R= nr ? K rr2 R= K / R
(2)由公式Dr = εEr
Dr = ε0Er +
Pr
εP r
ε?ε0
Dr =
ρf=?? Dr = ?? Pr =
2 `
εεK
(ε?ε0)r
ε?ε0
(3)对于球外电场由高斯定理可得
r
E外?dsr =
Q
ε0
∫
εK
∫∫∫(ε?ε0)r2?r
ε0
2 s inθd rdθd?
2=
∫ρf dV
∴Er外? 4πr
∴Er外
=
ε0
εKR
ε0(ε?ε0)r
r
r
3
r
r
r
内
K
ε?ε0
同理可得球内电场 E ?
r
2
∞Er
外?drrεKR
ε0(ε?ε0)r
∴球外电势?外∫
∞
∞
Er 外 ?dr r R Er 内 ?drr
εK ε 0(ε ?ε 0) ε ?ε 0
K ln Rr
球内电势?内
∫
R
∫
+
r
Krr ? K ε ε 0 r r εK
r D 内 ? Er 内
2
1 2 1 2 ε ε 0 ε 4 ω内
? ? ? 2 ε ε 0 r 2 ∴ r 2 r 2 ∫∫∫ 1 εK 2
K ∴W 内 ω dV ∫
? r 2 ? r 2s in θd rd θd ? 2πεR ε ?ε 0 )
2 2 内 2 (ε ?ε 0)
1 ε
2 K 2 R 2
1 ? r
2
? s in θd rd θd ?
R 2 ε 0(ε ?ε 0)2 r 4
2 2
2πε RK
ε 0(ε ?ε 0)2 W 外
∫ ω外dV = ∫∫∫
? ∴W =W 内 W 外 2πεR (1+ εε )( K ) 2
ε ?ε 0 2 在均匀外电场中置入半径为 R 0的导体球 试用分离变数法球下列两种情况的电势 1 导体球上接有电池 使球与地保持电势差θ0; 2 导体球上带总电荷 Q. 解
1 当导体球上接有电池 与地保持电势差θ0时 以地为电势零点 本问题的定解条件如下
θ内 θ0
R= R 0
?
R →∞ = ?E 0Rcos θ ? 0 外 ? 2?外 0 R> R 0 且 ? 0是未置入导体球 ? 外
R=R 0
= θ0
前坐标原点的电势
∞
b
n R n
∑
a n
R n
0 根据有关的数理知识 可解得 ?外
P n cos θ )
1
n 由于?外
= ?E 0Rcos θ ? 0即
R →∞
?外 a 0 + a 1Rcos θ + a n R n P n (cos θ) + b 0 ∞ + b 1
R 2 cos θ + ∞
b n R n+1 P n (cos θ ) R →∞ = ?E 0Rcos θ +? 0 ∑ ∑ R n=2 n=2
故而有 a 0 = ? 0,a 1 = ?E 0,a n = 0(n > 1),b n = 0(n > 1)
b 0 R b
1 2
cos θ
∴?外 ? 0 E 0Rcos θ
+ R
b 0 R 0 b 1
又?外 R=R 0 = θ0,即 ?外 R=R 0 = ? 0 ? E 0Rcos θ
+ 2 cos θ = θ0 R 0
? + b 0 = θ0
0 R
0 故而又有
b 1
? E 0R 0 cos θ + 2 cos θ = 0 R 0
得到
b 0 = (θ0 ?? 0)R 0,b 1 = E 0R 0
2
最后 得定解问题的解为
?外 = ?E 0Rcos θ +? 0 + (θ0 ?? 0)R 0 + E 0R 3 0
cos θ(R > R 0)
R R
2 当导体球上带总电荷 Q 时 定解问题存在的方式是
? 2
2
θ内 0(R < R 0) θ外 0(R > R 0) ? θ 有限 内 R →0 θ E 0Rcos θ +? 0(? 0是未置入导体球前坐标原点的电势 外 R →∞ θ θ外
内 R R 0 ?θ外
? ∫ s
ε 0 ds Q(R = R 0) ?R 解得满足边界条件的解是
b n
R n ∑
n=0
a n R n P n cos θ ∑ n=0
?内
?外 ? 0 E 0Rcos θ
1 P n cos
θ 由于?外 R →∞ 的表达式中 只出现了 P 1(cos θ cos θ项 故 b n = 0(n > 1)
b 0 R b
1 2
cos θ
∴?外 ? 0 E 0Rcos θ
+ R
又有?外 R=R 0 是一个常数 导体球是静电平衡
b 0 R 0 b 1 2 cos θ = C
?外 R=R 0 = ? 0 ? E 0R 0cos θ
+ R
b 1 ∴?E 0R 0 cos θ + 2 cos θ = 0即 b 1 = E 0R 3
R 0
?外 ? 0 E 0Rcos θ + b 0
+ E 0R 3
cos θ
R R 2
?θ外 Q
4πε 0
又由边界条件? ∫
s
ε 0
ds Q
∴b 0 =
?r
Q
∴?内
?? 0,R < R 0
4πε 0R 0
Q
4πε 0R E R 0 2 3
?外
+ 0 R
cos θ E 0Rcos θ R > R 0
3 均匀介质球的中心置一点电荷 Q f 球的电容率为ε 球外为真空 试用分离变数法求
空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示 空间各点的电势是点电荷Q f 的电势Q f 4πεR 与球面上的极化电荷所产生的电势的
叠加 后者满足拉普拉斯方程 解 一. 高斯法
r
E ?dsr = Q 总 Q f + Q P = Q f R > R 0 ,由高斯定理有 ε 0 ∫ 对于整个导体球
在球外 而言 束缚电荷Q P = 0)
∴Er =
Q f 4πε 0R 2
Q f
积分后得 ?外
4πε 0R + C.(C 是积分常数
又由于?外 R →∞ = 0,∴C = 0
Q f
∴?外 = 4πε 0R (R > R 0)
在球内 R < R 0 ,由介质中的高斯定理
∫
Dr ?dsr = Q
f
又 Dr = εEr ,∴Er =
Q f 4πεR 2
Q f
4πεR
积分后得到 ?内
+ C 2.(C 2是积分常数
Q f 4πε 0R 0 4πεR 0
Q f
由于?内 ?外 R=R 0 ,故而有
= + C 2
Q f 4πε 0R 0
Q f
∴C 2 = ? 4πεR 0 (R < R 0).
Q f 4πεR 4πε 0R 0
Q f Q f
∴?内
? 4πεR 0 (R < R 0)
二. 分离变量法
本题所求的电势是由点电荷Q f 与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加 且有
Q f
4πεR 着球对称性 因此 其解可写作 ? =
+? '
由于θ'是球对称的 其通解为 ?'= a + b
R
Q f
4πεR
由于球心有Q f 的存在 所以有?内 R →0
∞ 即?内
a
Q f 4πεR b
R
在球外有?外 R →∞ 0 即?外
由边界条件得
Q f 4πεR 0 Q f + b ?内 ?外 R 0 ,即
R
+ a 4πεR 0 R 0
??内 ??外
ε Q f2 ? ε 0b = ? εQ f
ε ε 0
R 0
,即
0 4πεR 0 R 2
4πεR 02 ?R ?R
R 0
∴b = Q 1 ? ε1),a 1 ? ε1) Q f f
4πε (ε 0 4πR 0 (ε
Q f ? 4πε 0R ,R > R 0 Q f 外 ∴
Q f 4πεR 4πε 0R 0 4πεR 0 Q f
?内 ? ,R < R 0
r
4 均匀介质球 电容率为ε
1 的中心置一自由电偶极子
P 球外充满了另一种介质 电 f
容率为ε 2 求空间各点的电势和极化电荷分布
r r
P ? R 3 +θ',而θ'满足拉普拉斯方程 f 提示 同上题 θ =
4πε R
1 ?θ 解 ε1 内 = ε 2
?R ?θ外
?R
?θ内
2P f cos θ +∑lA l R 又ε
1
R 0
= ε1(?
l 0 1
P l
?R
4πε1R 03
?θ外
= ε 2(? 2P f cos θ 4πε1R 03 B l
l ε 2
?∑(l 1 R 2 P l R 0
?R
比较 P l (cos θ)系数
B 0 0 A 0 0
2ρ f 3 +ε1A 1 = ? 2ε 2ρ f 3 ? 2
2ε ,及A 1 = R 03 B 1 4πR 0 4πε1R 0 R 0
2(ε1 ?ε 2)ρ f
2(ε1 ?ε 2)ρ f
得 A 1 =
3 ,B 1 =
4πε1(ε1 + 2ε
2)R 0
4πε1(ε1 + 2ε 2) 比较 P 2(cos θ )的系数
3B 2 4 , A 2 = RB 2 2ε1A 2R 0
4 0
R
1
及 A 2(1+ ε1R 0 ) = 0
所以 A 2 = 0,B 2 = 0 同理 A l = B l = 0,(l = 2,3L) 最后有
ρr f ? Rr 2(ε1 ?ε 2)ρ f
ρ f ? Rr 3 + 2(ε1 ?ε 2)ρr f ? Rr r
θ内
3 + 3 Rcos θ = 3 ,(R < R 0) 4πε1R ρr f ? Rr 4πε1(ε1 + 2ε 2)R 0 4πε1R 4πε (ε + 2ε )R 1 1 2 0
ρ f ? Rr 3 + 2(ε1 ?ε 2)ρr f ? Rr 3 = 3ρr f ? Rr r 2(ε1 ?ε 2)ρ f
θ外
3 + 2 cos θ = 3 ,(R > R 0) 4π (ε1 + 2ε 2)R
4πε1R 4πε1(ε1 + 2ε 2)R 4πε1R 4πε (ε + 2ε )R 1 1 2
球面上的极化电荷密度
ζ P = P 1n ? P 2n ,nr 从 2指向 1 如果取外法线方向 则 ζ p = P 外n ? P 球n = [(ε 2 ?ε 0)?φ外)]n ?[(ε1 ?ε 0)?φ内)]n
?θ外
?θ内 = ?(ε 2 ?ε 0) ?R + (ε1 ?ε 0) ?R
R R 0
? 6ρ f cos θ 3 ? (ε1 ?ε 0)[6(ε 0 ?ε 2)ρ f cos θ ?2(ε1 ?ε 2) ? 2(ε1 + 2ε 2) ρ cos θ] 1 1 2 = (ε 2 ?ε 0) f 4π (ε1 + 2ε 2)R 03 4πε (ε + 2ε )R 3
0 4π (ε1 + 2ε 2)R 0 = 6ε1(ε 0 ?ε 2) + 6ε 2(ε1 ?ε 0) ρ cos θ = ? 3ε 0(ε1 ?ε 2) 3 ρ f cos θ
f
3
4πε (ε + 2ε )R 2πε1(ε1 + 2ε 2)R 0
1 1
2 求极化偶极子
P = q lr 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个 r
f
点电荷旁边有极化电荷
ε 0 ε 0 q P = ( ?1)q f ,?q P = ( ?1)(?q f ) 两者合起来就是极化偶极子
ε1 ε1 P P = ( ?1)Pr f r ε 0 ε1
r
5.空心导体球壳地内外半径为 R 1和 R 2 球中心置一偶极子P 球壳上带电 Q 求空间各点 电势和电荷分布
解
R 2
θ 3 ?2θ3 = 0,θ3 r →∞ = 0 θ
R 1
θ = C ,θ2 r →0 = ∞ θ
2 r P ?rr θ1 =
3 +θ1',θ1' r →0为有限值 4πε 0r
B l
l+1 ∑ r θ3 P l (cos θ ),θ3 r ?R = C 2 θ = C ,θ2 r=R 1 = C 2 r P f ?rr
?θ3 ∫ ?r dS r=R
?θ1 = Q
∑ 3 + A l r l P l (cos θ) ?
θ = + ∫ ?r dS r=R 1 4πε 0r 2 1
ε 0
B B B 2 3 2 0 + 12 cos θ + R P 2 +L = C
R R 2 2 P f cos θ2 + A 0 + A 1R 1 cos θ +L = C 4πε 0R 1
即 A 0 = R 0 = C,(A R 1
+ 2
P f 2 )cos θ = 0,B l = 0(l = 1.2.3L), A l = 0(l = 2.3.4L )
B 1 4πεR 1
2P f cos θ 3 4πε 0R 1 P f cos θ P L = ? 3 + A 1 cos θ +L
2πε 0R 1
又 ?θ1 = ? ?r +
∑lA l R l ?1 1 ?θ B l r B 02 ? 2 RB 13 cos θ +L
?r 3 =∑(?l ?1) l+2 P l = ? R 1 1
?θ3 ?r B 2 dS = RB 02 ∫d S = 4πR 1 2 = 4πB 0
2 B 0 R 1 ∫ dS = ∫ 0 则 ?
R 1
1
P f ? P f ?θ1
?r 2π π 2π π ∫ dS = ∫ ∫ ? 2πε 0R 1 3 cos θR 12 s in θd θd ? +∫ ∫ 3 cos θR 12 s in θd θd ? = 0 + 0 = 0 0
0 4πε 0R 1
?θ3 ?r ?θ1 0 = εQ
∫ dS + ∫ = 4πB ?r
故 ?
? P f Q Q
B 0 = 4πε 0 , A 0 = 4πε 0R 2 , A 1 =
3 4πε 0R 1
最后有
Pr f ?r r Pr ?rr 2 ? Q
θ1 = 3 + 4πε 0R 2 ,(r < R 1)
4πε 0R 1 4πε 0r
Q θ = 4πε 0r ,(r > R 2) 3 θ2 = 4πε 0R 2 ,(R 1 < r < R 2) Q
电荷分布
在 r R 1的面上
? P f cos θ ? P f cos θ = ? P f cos θ ?θ ζ P = ε 0 1 =
+ ?r 2πR 3 4πR 3 3
4πR
1
1 1 1
在 r R 2面上
?θ
ζ P = ?ε 0 3 = ?r
Q
2 4πR 2
2
r
6 在均匀外电场 E 0中置入一带均匀自由电荷 ρ f 的绝缘介质球ε 求空间各点的电势
B l )P l (cos θ )
(A l r l + r l+1 ∑ θ 外
1 ρ f r
2 +θ '
解 θ内
6ε = 0 ? 2 θ '
r
θ内是由高斯定理解得的 ρ f 的作用加上 E 0的共同作用 θ外 r →∞ = ?E 0r cos θ,θ ' r →0 有限 B l r l ∑ θ E 0r cos θ + +1 P l (cos θ ) 外 θ内 1
ρ f r 2 + ∑c e r l P l (cos θ )
6ε
θ内 θ外 r = R 0) : B 0 B 2 1 ρ f R 0 2 + c + c 1R 0 cos θ + c 2R 0 2P 2 +
6ε E 0R 0 cos θ + R 0 R 0 2 + R + 3 P 2 +
即 ρ f
6ε R 0 2 + c 0 = BR 0 B 1
E 0R 0 + 2 = c 1R 0
R 0 B 2 2
3
= c 2R 0
R 0
?θ ?θ外 ?r 内 = ε 0
?r ε ?θ
内 = ρ f ρ f
R 0 + l c l R 0l ?1P l (cos θ) ]= 3 R 0 +εc 1 cos θ + 2εc 2R 0P 2 +L 3ε ∑ ?r
?θ外 = ε 0(?E 0 cos θ +∑(?l ?1) B l P l )
?r
R 0l+2
郭硕鸿《电动力学》课后答案
郭硕鸿《电动力学》课后答案
第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=
电动力学试题库十及其答案
简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什 么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关 系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两 侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε
理论力学课后答案第五章周衍柏
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题,有何优点和缺点? 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力?又广义坐标与广义力的含义如 何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? ５.３广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ?为什么a p 比a q 更富有意义? 5.4既然a q T ??是广义动量,那么根据动量定理,??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ?为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项?你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系?如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定？为什么22s 个常数只有２s 个是独立的？ 5.７什么叫简正坐标?怎样去找?它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动? 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同?能否列出它们的微分方程? 5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗?为什么?能适用于非保守系吗？为什么? ５.１1哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量?试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.1２何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何? 5.１3哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外?又全变分符号?能否这样? ５.１4正则变换的目的及功用何在?又正则变换的关键何在？ 5．1５哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. ５.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故? 5.1８分析力学学完后,请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较,并加以评价.
电动力学试题库一及答案
福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（一） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。 （） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。
（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。 （） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角 频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （） 二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．
三． 证明题。（共15分） 从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。 四． 综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均 匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2． 有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀 的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和 面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3． 有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐 射场E 、B 和能流S 。（13分） 4． 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物 时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑
第七章电动力学习题
第七章 1、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l0，他们以相同的速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。 2、静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前臂的运动时间。 3、一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上两个铁塔，求列车上观察者看到的两个铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一条直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都为l0。 4、有一光源S与接受器R相对静止，距离为l0，S-R装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n）中，试对下列三种情况计算光源发出讯号到接受讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于S-R装置静止； （2）液体沿着S-R连线方向以速度v流动； （3）液体垂直于S-R连线方向以速度v流动；
5、在坐标系Σ中，有两个物体都以速度U 沿X 轴运动，在Σ系看来，它们已知保持距离l 不变，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 6、一把直尺相对于Σ坐标静止，直尺与x 轴交角θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴交角θ‘有何变化？ 7、两个惯性系Σ和Σ‘中各放置若干时钟，同一惯性系中的诸时钟同步，Σ‘相对于Σ以速度v 沿x 轴运动，设两系原点相遇时，t 0= t 0’=0.问处于Σ系中某点（x,y,z ）处的时钟Σ‘系中何处的时钟和那个相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？ 8、火箭由静止状态加速到c v 9999.0=，设瞬时惯性系上加速度为220??=s m v &，问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速度火箭各需多少时间？
工程力学--静力学第4版第五章习题答案.docx
第五章习题 5-1 重为W=100N，与水平面间的摩擦因数f=0.3 ，（a）问当水平力P=10N时，物体受多大的摩擦力，（ b）当 P=30N时，物体受多大的摩擦力？（ c）当 P=50N时，物体受多大的摩擦力？ 5-2 判断下列图中两物体能否平衡?并问这两个物体所受的摩擦力的大小和方向。已知： （a）物体重Ｗ =1000N，拉力 P=200N，f=0.3 ； （b）物体重Ｗ =200N，拉力 P=500N，f=0.3 。 5-3 重为Ｗ的物体放在倾角为α的斜面上，物体与斜面间的摩擦角为ρ，且α＞ρ。 如在物体上作用一力Ｑ，此力与斜面平行。试求能使物体保持平衡的力Qde 最大值和最小值。 5-4 在轴上作用一力偶，其力偶矩为 m=-1000N.m，有一半径为 r=25cm 的制动轮装在轴上，制动轮与制动块间的摩擦因数f=0.25 。试问制动时，制动块对制动轮的压力N至少应为多大？
5-5 两物块Ａ和Ｂ重叠放在粗糙的水平面上，在上面的物块Ａ的顶上作用一斜向的力Ｐ。已知：Ａ重 1000N，B 重 2000N，A 与 B 之间的摩擦因数 f1=0.5 ，B 与地面之间的摩擦因数 f2=0.2 。问当 P=600N时，是物块 A 相对物块 B 运动呢？还是Ａ、Ｂ物块一起相对地面Ｃ运动？ 5-6 一夹板锤重 500N，靠两滚轮与锤杆间的摩擦力提起。已知摩擦因数f=0.4 ，试问当锤匀速上升时，每边应加正应力（或法向反力）为若干？
精品文档5-7 尖劈顶重装置如图所示，重块与尖劈间的摩擦因数f（其他有滚珠处表示光滑）。求： （1）顶住重物所需Ｑ之值（Ｐ、α已知）； （２）使重物不向上滑动所需Ｑ。 注：在地质上按板块理论，太平洋板块向亚洲大陆斜插下去，在计算太平洋板块所需 的力时，可取图示模型。解：取整体∑ F y =0 F NA-P=0 ∴F NA=P 当 F＜ Q1时锲块 A 向右运动，图（ b）力三角形如图（ d） 当 F＞ Q2时锲块 A 向左运动，图（ c）力三角形如图（ e） 5-8 图示为轧机的两个压辊，其直径均为d=50cm，两棍间的间隙 a=0.5cm，两轧辊转 动方向相反，如图上箭头所示。已知烧红的钢板与轧辊之间的摩擦因数为f=0.1 ，轧制时靠摩擦力将钢板带入轧辊。试问能轧制钢板的最大厚度 b 是多少 ?
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电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
电动力学题库
1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为 A． B. C. D. 0 答案:B 2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A． B. C. D.（为非零常数） 答案:D 3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A． B. C. D. 答案:A 4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度式中的为非零常数 A．(柱坐标) B. C. D. 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D. 无旋场,电场线不闭和
6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足 A. B. C. D. 答案:D 7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是: A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A 8.介质中静电场满足的微分方程是 A. B.; C. D. 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A. B. C. D. 答案:C 10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ; B.; C. D.
11.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度 ；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于 和。答案: 0, A, -A 12.已知真空中的的电位移矢量=（5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为答案: 13.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案: 14.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案0, 15.一个半径为R的电介质球,极化强度为,则介质中的自由电荷体密度 为 ,介质中的电场强度等于. 答案: 22. 解: （1）由于电荷体系的电场具有球对称性，作半径为的同心球面为高斯面，利用高斯定理 当 0＜r＜时，
电动力学试题库十及其答案
简答题（每题5分，共15分）。 1． 请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2． 当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这 是为什么 3． 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质 量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 2 12εεθθ=tan tan ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：220221A A j c t μ??-=-?v v v 2222 1c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()00 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ???? ''-- ? ? ??? ?''= =? ? v v v v v v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为22 232 0sin 32P S n c R θπε= v &&v v ，正比于2sin θ，反比于2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 W = ；动量：),,iW P u ic P c μ?? == ???v v ；能量、动量 和静止质量的关系为：22 22 02W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε
电动力学复习题
电动力学复习题 填空题 1.电荷守恒定律的微分形式可写为0=??+??t J ρ 。 2.一般介质中的Maxwell 方程组的积分形式为???-=?S l S d B dt d l d E 、 ???+=?S f l S d D dt d I l d H 、f s Q S d D =?? 、?=?S S d B 0 。 3.在场分布是轴对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐标中的通解为 ()().cos ,01θθψn n n n n n P r b r a r ∑∞ =+??? ? ? +=。 4.一般坐标系下平面电磁波的表示式是()() t x k i e E t x E ω-?= 0,。 5.在真空中，平面电磁波的电场振幅与磁场振幅的比值为光速C 。 6.引入了矢势和标势后，电场和磁场用矢势和标势表示的表达式为 ,A B A t E ??=??--?=和?． 7. 核能的利用,完全证实了相对论质能关系。 8.洛仑兹规范条件的四维形式是 0=??μ μx A 。 9．真空中的Maxwell 方程组的微分形式为t ??- =??、 ε ρ = E ??、0=B ??、t J ??+=B ??εμμ000。 10．引入磁矢势A 和标量势Φ下，在洛伦兹规范下，Φ满足的波动方程是 02 222 1ερ- =?Φ?-Φ?t c 。
11．电磁场势的规范变换为t A A A ??- ='→?+='→ψ???ψ 。 12．细导线上恒定电流激发磁场的毕奥-萨伐尔定律可写为()??=3r r l Id x B . 13．介质中的Maxwell 方程组的微分形式为 t B E ??-=?? 、 f D ρ =?? 、0=??B 、t D J H f ??+=?? 。 14．时谐电磁波的表达式是()()t i e x E t x E ω-= ,和()()t i e x B t x B ω-= ,。 15．在两介质界面上，电场的边值关系为()f D D n σ=-?12 和 ()01 2 =-?E E n . 16．库仑规范和洛伦兹规范的表达式分别为 0=??A 和012 =??+??t c A ? 。 17．狭义相对论的二个基本原理分别是狭义相对性原理和光速不变原理。 18．狭义相对论的质速关系是 2 2 1c v m m -= 。 19．真空中位移电流的表达式可写为t E J D ??= 0ε。 20．在场分布球对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐标中的通解为().,?? ? ??+=r b a r θψ 21．满足变换关系νμνμV a V ='的物理量称为相对论四维矢量。 22．揭示静电场是保守力场的数学描述是?=?=??0,0l d E E 或者。 23．介质中的Maxwell 方程组的边值关系为()012=-?E E n 、()α =-?12H H n 、 ()σ=-?12D D n 、()012=-?B B n 。 24．介质的极化现象是当介质置于外电磁场中，分子中的电荷将发生相对位移，分
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电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ?=ρ，利用电荷守恒定律0 =??+??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?= 的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
电动力学期末试题B
第二学期期末考试试题 课程编号：4091202 课程名称：电动力学（I ） 年级：2003 学制： 4 专业：物理学 试题类别： B 一、判断(正确打“√”，错则“ ×”)。（24分） 1. 无论稳恒电流激发的磁场还是变化的磁场，磁感应强度B 都是无散场。 （ ） 2. 在绝缘介质中传播的电磁波，E 和B 的振幅相等，而位相有可能不同。 （ ） 3. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E 的散度则由自 由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ） 4. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W ρ??=2 1，由此可见ρ?2 1的物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ） 5. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ） 6. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ） 7. 介质的电磁性质方程E D ε=和H B μ=，反映介质的宏观电磁性质，对于任何介 质都适用。 （ ） 8. 因为电磁矢势的散度可以任意取值，所以电磁场的规范就有无限多种。 ( ) 二、简答题：（40分） 1. 写出上半空间的第一类边值问题的格林函数。
2. 试述平面单色电磁波的性质。 3. 写出库仑规范和洛伦兹规范的规范条件。 4. 写出时谐电磁波的电场所满足的亥姆霍兹方程及其附加条件。 5. 用矢势A 和标势 表示出变化电磁场的磁感强度和电场强度。 6. 写出推迟势的表达式，并说明它所反映的物理意义。 7. 相对论的基本原理是什么？ 8. 写出一个四维矢量。
三、（12分）设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'X 到场点X 的 距离，r 的方向规定为从源点指向场点。计算：（1）r ?? （2）)(r a ?? （3）)(0r k ???i e E ，其中a ，k ，0E 都是常矢量。 四、（12分）一个内外半径分别为R 1和R 2的接地空心导体球，在球内离球心为a (a 第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R 总复习试卷 一．填空题（30分,每空2分） 1. 麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设是（ ）和（ ）。 2. 电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H ）在真空中传播，空间某点处的能流密度 S （ ）。 3. 在矩形波导管（a, b ），且 b a ，能够传播TE 10型波的最长波长为（ ）；能 够传播TM 型波的最低波模为（ ）。 4. 静止μ子的平均寿命是6 102.2 s. 在实验室中，从高能加速器出来的μ子以0.6c （c 为真空中光速）运动。在实验室中观察，(1)这些μ子的平均寿命是（ ）(2)它们在衰变前飞行的平均距离是（ ）。 5. 设导体表面所带电荷面密度为 ，它外面的介质电容率为ε，导体表面的外法线方向为 n 。在导体静电条件下，电势φ在导体表面的边界条件是（ ）和 （ ）。 6. 如图所示，真空中有一半径为 a 的接地导体球，距球心为d （d>a ）处有一点电荷q ， 则其镜像电荷q 的大小为（ ），距球心的距离d 大小为（ ）。 7. 阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm ）效应的存在表明了（ ）。 8. 若一平面电磁波垂直入射到理想导体表面上，则该电磁波的穿透深度 δ为（ ）。 9. 利用格林函数法求解静电场时，通常根据已知边界条件选取适当的格林函数。若r 为源点x 到场点x 的距离，则真空中无界空间的格林函数可以表示为（ ）。 10. 高速运动粒子寿命的测定，可以证实相对论的（ ）效应。 二．判断题（20分，每小题2分）(说确的打“√”，不正确的打“ ”) 1. 无论稳恒电流磁场还是变化的磁场，磁感应强度B 都是无源场。 （ ） 2. 亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方程，它在任 何情况下都成立。 （ ） 3. 无限长矩形波导管中不能传播TEM 波。 （ ） 4. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E 的散度则由自由电 荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ） 5. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W 21，由此可见 21的 物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ） 6. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ） 7. 若物体在S 系中的速度为c u 6.0 ，S 相对S 的速度为c v 8.0 ，当二者方向相同时， 则物体相对于S 的速度为1.4c 。 （ ） 8. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ） 第一章电磁现象的普遍规律 1）麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1）在介质中微分形式为 ?U D = -■来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。 '■ *B =O来自毕一萨定律，说明磁场是无源场。 '、、E=来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场能产生电场。 Ct Ct ID ID ?. H ^J —来自位移电流假说，说明变化的电场能产生磁场。 Ct St 1-2）在介质中积分形式为 ?- ■^d ■-L E .dl B JdS , 二Hd=I f D .dS ,二SDgl=Q f, _-SBjdI = 0。 2）电位移矢量D和磁场强度H并不是明确的物理量，电场强E度和磁感应强度B，两者 在实验上都能被测定。D和H不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规 律。 N PP 3）电荷守恒定律的微分形式为V J 0。 Gt 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为 e n E^E I = 0，e n H 2 -H1-匚，e n ?D^D^=^，e^ B^B^-O 具体写出是标量关系 E2t =E1t，H 2t 一H 1t = ：，D2n 一Dm =二，B2n = B l n 矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。 例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为,求电场和束缚电荷分布。 解：在介质I和下极板■ G界面上，根据边值关系D1 -D . 和极板内电场为 0, D . = 0 得D^Cf。同理得D^Cf。由于是线性介质，有 D = ;E ,得 +σj, 解：以距对称轴为r 的半径作一圆周a < r < b ,应用安培定律得2二rH ?. = I ,有 在两个介质表面上，由于没有自由电荷，由 介质1和下表面分界处，有 介质2和上表面分界处，有 D 2 G E 2 二 --- 二 --- 。 ■- 2 2 >0 E 2n IEIn = ；“ p ■ ；- f 得 p = ；0 [ E 2 - E I p f Io E I >0 >0 >2 >1 1一 ；0 5）在电磁场中,能流密度S 为S =E H ,能量密度变化率 ；:D 汨 =E H jt O ;:t II I 在真空中，能流密度S 为S =— μ -E B 。能量密度W 为W 0 2 ；°E I 2 丄 B 2 % 6）在电路中，电磁场分布在导线和负载周围的空间。负载和导线上的消耗的功率完全是在 电磁场中传输的，而不是由导线传送的。 例（32页）同轴传输线内导线半径为 a ,外导线半径为 b ,两导线间为均匀绝缘介质 （如图 所示）?导线载有电流I ,两导线间的电压为 U 。忽略导线的电阻，计算介质中的能流 传输功率P 。 2 二 In 1 ~e z r 。传输功率为 b -J - P= S ?ds =Ul 。 a 电动力学复习题 一．填空 1．a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ???= , )]sin([0r k E ???= 。 2．真空中一点电荷电量)sin(0t q q ω=，它在空间激发的电磁标势?为 。 3. 电磁场能流密度的意义是 ，其表达式为 。 4．波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ，衰减常数是 。 5．电容率ε'=ε+i ω σ,其中实数部分ε代表 电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 6. 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率22,,?? ? ??+??? ??=b n a m n m c μεπω，当电磁波的频率ω满足 时，该波不能在其中传播。若b >a ，则最低截止频率为 。 7．频率为91030?Hz 的微波，在0.7cm ?0.4cm 的矩形波导管中，能以 波模传播。 8．爱因斯坦质能关系为 。如果两事件只能用大于光速的信号进行联系，则这两事件 （填：一定不存在/一定存在/可能存在）因果关系，原因是 是一切相互作用传播的极限速度。 9．电荷守恒定律的微分形式为 ，其物理意义为 ； 积分形式为 ，其物理意义为 。 10．a 为常矢量，则=??)(r a , r a )(??= 。 12. 磁偶极子的矢势)1(A 等于 ；标势)1(?等于 。 13．B =▽?A ,若B 确定，则A ____（填确定或不确定），A 的物理意义是 。 14. 变化电磁场的场量E 和B 与势),(?A 的关系是E = ，B = 。 15．库仑规范的条件是 ，在此规范下，真空中变化电磁场的标势?满足的微分方程是 。 16．静电场方程的微分形式为 、 _。电四极矩有 个独立分量。 17. 半径为0R 、电容率为ε的介质球置于均匀外电场中，则球内外电势1?和2?在介质球面上的边界条件可 以表示为 和 。 18．金属内电磁波的能量主要是 能量 19．良导体条件为 ；它是由 和 两方面决定的。 20．库仑规范辅助条件为__ _；洛伦兹规范辅助条件为_ _，在此条件下，达朗贝尔矢势方程为____。 21．爱因斯坦提出了两条相对论的基本假设：⑴ 相对性原理：________。⑵ 光速不变原理：________。 电动力学试题及参考答案 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0ωω -=，求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0ωω-= 电动力学期末考试 物理学 专业 级 班 《电动力学》 试卷A 一．填空（每空1分，共14分） 1. a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E = , )]sin([0r k E = 2. 能量守恒定律的积分式是－ d s = dV f +dV w dt d ，它的物理意义是____________________ 3. 反射波电场与入射波电场反相,这现象称为反射过程中的 4. 平面波e x t kx E E ?)cos(0 ,e y t kx C E B ?)cos(0 ，则动量密度B E g 0 的周期平均值为 ；若这平面波垂直投射于一平板上，并全部被吸收，则平板所受的压强为 5. 波矢量 i k ,其中相位常数是 ，衰减常数是 6．电容率 = +i ,其中实数部分 代表______电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 7．频率为91030 HZ 的微波，在0.7cm 0.4cm 的矩形波导管中，能以什么波模传播？答： 8. 洛伦兹规范辅助条件为____________ ；达朗贝尔方程的四维形式是 9. 洛伦兹变换矩阵为 二． 单项选择（每题2分，共26分） 1. 若m 为常矢量，矢量R R m A 3 标量R R m 3 ，则除R=0点外，A 与 应满足关系（ ） A. ▽ A =▽ B. ▽ A =-▽ C. A =▽ D. 以上都不对 2．设区域V 内给定自由电荷分布)(x ,在V 的边界S 上给定电势 /s 或电势的法向导数n /s,则V 内的电场（ ） A. 唯一确定 B.可以确定但不唯一 C.不能确定 D.以上都不对 3．对于均匀带电的立方体，有（ ） A.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零 4．电四极矩是无迹对称张量，它有几个独立分量？（ ） A. 9个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 5．一个处于x 点上的单位点电荷所激发的电势)(x 满足方程（ ） 8.cos ()B e ?θ球坐系 .z D a e 2.63x y C xye y e + 23.x y z A xe ye xe ++ .x y C axe aye - .() D are ?柱坐标系 .x y B aye axe -+ .()r A are 柱坐标系0 0 ./,A E E ρε??=??= 00.,B E E ??=??= 0 .,B C E E t ???=??=-?0 ./,B D E E t ρε???=??=-?p p B are ?=333()x y z J c x e y e z e =++21() n J J ?-=和。电动力学练习题 第一章电磁现象的基本规律 一.选择题 1.下面函数中能描述静电场强度的是( ) 2.下面矢量函数中不能表示磁场强度的是（ ） 变化的磁场激发的感应 3.电场满足（ ） 4.非稳恒电流的电流线起自于（ ） A.正点荷增加的地方； B.负电荷减少的地方； C.正电荷减少的地方； D.电荷不发生改变的地方。 5.在电路中负载消耗的能量是（ ） A.通过导线内的电场传递的； B.通过导线外周围的电磁场传递的； C.通过导线内的载流子传递； D. 通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。 二、填空题 1.极化强度为 的均匀极化介质球,半径为R,设与球面法线夹角为θ，则介质球的电偶极矩等于_____，球面上极化电荷面密度为_____。 2.位移电流的实质是_________. 3.真空中一稳恒磁场的磁感应强度（柱坐标系）产生该磁场的电流密度等于_______。 4.在两种导电介质分界面上，有电荷分布，一般情况下，电流密度满足的边值关系是____。 5.已知某一区域在给定瞬间的的电流密度：其中c 是大于零的常量。此瞬间电荷密度的时间变化率等于___ ，若以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总电荷的时间变化率等于_____。 6.在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用 ()21 ,n D D ?-= 21()n E E ?-=。 在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面 处)稳恒电流的情况下，电流的边值关系为 7.真空中电 磁场的能量密度w =_____________，能流密度 S =_________。 8.已知真空中电场为23r r E a b r r =+（a ，b 为常数）,则其电荷分布为______。 9.传导电流与自由电荷之间的关系为:f J ??= _____________《电动力学(第二版)》(郭硕鸿)第二章习题
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