第1章§1.2.3知能优化训练
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )
A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B ．正方形的直观图为平行四边形
C ．梯形的直观图不是梯形
D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：选B.由直观图的画法规则可知B 正确．
2．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是
( )
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
解析：选 D.原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别在∠x ′O ′y ′成45°和135°的坐标系中的直观图．
3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( )
A ．球
B ．圆锥
C ．圆柱
D ．长方体
答案：D
4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．
解析：将直观图△A ′B ′C ′还原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜
边AB ＝5，所以AB 边上的中线长度为52
. 答案：52
一、选择题
1．下列几种说法中，正确的有( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B.①错， 如正方形的直观图，两相邻角不相等；②错，平行于y 轴的线段变为原来的12
.③④正确． 2.如图，直观图表示的平面图形是( )
A ．任意三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
解析：选C.A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，∴相应的∠ABC ＝90°.
3．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．任意三角形
解析：选C.如图，x ′O ′y ′还原为xOy 时，∠C ′A ′B ′还原为∠CAB ，大于90°.
4．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A
＝90°，则在直观图中，∠A ′＝( )
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
解析：选C.在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°，故选C.
5．建立坐标系，得到两个正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析：选C.在直观图中，平行于x 轴(或在x 轴上)的线段长不变；平行于y 轴(或在y
轴上)的线段长减半．在C 中，第一个图中，AB 不变，高减半，第二个图中，AB 减半，高不变，因此两三角形(直观图)不全等．
6．若一个三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的
( )
A.24
倍 B ．2倍 C.22
倍 D.2倍 解析：选A.
如图，OC ′＝12OC ，而△A ′B ′C ′的高h ′＝22OC ′＝24
OC . S ′＝24
S . 二、填空题
7．在用斜二测画法作直观图时， 原图中平行且相等的线段在直观图中________． 解析：由斜二测画法的原则可知：平行性不改变，因此相应的长度关系也不变． 答案：平行且相等
8.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．
解析：由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高线长为8，
∴面积S ＝12
×4×8＝16. 答案：16
9.如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形．由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为________．
解析：
如图，按斜二测画法，得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′.原图形中梯形的高CD ＝2，所
以在直观图中，C ′D ′＝1，且∠C ′D ′A ′＝45°.作C ′E ′垂直O ′x ′于E ′，则C ′E ′
即为直观图中梯形的高，那么C ′E ′＝C ′D ′sin45°＝22
. 答案：22
三、解答题
10．画棱长为4 cm 的正方体的直观图．
解：画法：第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使∠BAD ＝45°，AB ＝4 cm ，AD ＝BC ＝2 cm.
第二步：过A 作z ′轴，使∠BAz ′＝90°，分别过点B ，C ，D 作z ′轴的平行线，在z ′轴及这些平行线上分别截取AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝4 cm.
第三步：连结A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′，并加以处理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图．
11．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正六棱锥的直观图．
解：(1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；
(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，画出正六棱锥的顶点V ′，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示；
(3)连结V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
12．画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为1 cm 、2 cm ，高3 cm)．
解：(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上取线段AB ，使AB ＝2 cm ，在y 轴上取线段OC ，
使OC ＝32
cm ，连结BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面． (3)画上底面．在z 轴上取线段OO ′，使OO ′＝3 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，以O ′为中点，在x ′轴上取线段A ′B ′，
使A ′B ′＝1 cm.在y ′轴上取线段O ′C ′，使O ′C ′＝34
cm ，连结B ′C ′，C ′A ′，则△A ′B ′C ′为正三棱台的上底面．
(4)连线成图．连结AA ′，BB ′，CC ′，
则三棱台ABC －A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．
优化设计的数学基础
第二章 优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节 函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数()21,x x F 在点() 02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：
方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点() 002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向 图2-2 三维空间中的方向
称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2 1 ，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。 例2-1 求二元函数()2214x x F π =X 在[]T 1,10=X 点沿 ???===44211πθπθS 和???===6 3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214 2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得