方程与不等式之二元二次方程组难题汇编及答案解析
方程与不等式之二元二次方程组难题汇编及答案解析
一、选择题
1．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？
【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
【解析】
试题分析：根据题意，设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.
试题解析：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
2．阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．
如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：
，
将代入得：，方程组的解为
请你用代入消元法解方程组：
【答案】解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
，
把，分别代入得：，
，
【解析】
这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元
二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可
3．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.
【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.
【解析】
试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：
322245x y xy +-=??=?
，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；
∵x <14，
∴不合题意，舍去；
当y =5时，x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.
4．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1?k 2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；
②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．
【答案】（1）y ＝﹣
12x 2+12x+1；（2）①-12
；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；
（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值
【详解】
解：（1）将A ，B 点坐标代入，得
10(1)11(2)
a b a b -+=??++=?， 解得1212a b ?=-????=??
， 抛物线的解析式为y ＝211x x 122
-++； （2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得
2m ＝﹣1，
即m ＝﹣12
； 故答案为﹣12
； ②AB 的解析式为1122y x =
+ 当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，
联立PA 与抛物线，得21112222
y x x y x ?=++???=--?，
解得
1
x
y
=-
?
?
=
?
（舍），
6
14
x
y
=
?
?
=-
?
，
即P（6，﹣14）；
当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，
联立PB与抛物线，得
2
11
1
22
23
y x x
y x
?
=++
?
?
?=-+
?
，
解得
1
1
x
y
=
?
?
=
?
（舍）
4
5
x
y
=
?
?
=-
?
，
即P（4，﹣5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：
，
∵M（t，﹣1
2
t2+
1
2
t+1），Q（t，
1
2
t+
1
2
），
∴MQ＝﹣1
2
t2+
1
2
S△MAB＝1
2
MQ|x B﹣x A|
＝1
2
（﹣
1
2
t2+
1
2
）×2
＝﹣1
2
t2+
1
2
，
当t＝0时，S取最大值1
2
，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB22
21
+5
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h
55
．
点M 到直线AB
． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
5．22x -y -3x 10y ?=?++=?
，①，② 【答案】x 1y -2=??
=?
【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得：()()x y x-y -3+?=，③
由方程②得：x y -1+=，④
联解③④得x-y=3，⑤ 联解④⑤得x 1y -2=??=?
所以原方程组的解为x 1y -2=??=?
【点睛】
本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.
6．解方程:22310
x y x y ?-=-?++=? 【答案】12x y =??=-?
【解析】
【分析】
本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．
【详解】
解：()()
2231102x y x y ?-=-??++=??
由（2）得：1x y =--（3）
把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-
∴2y =-
∴1x =
原方程组的解是12x y =??=-?
【点睛】
本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．
7．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =??=-?22
31x y =??=? 【解析】
【分析】
【详解】
x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =??=-?22
31x y =??=?
8．解方程组：
222(1)20(2)x y x xy y -=??--=?
【答案】1212
14,12x x y y ==????=-=?? 【解析】
【分析】
先由②得x ＋y ＝0或x?2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=??
+=?或220x y x y -=??-=?
，然后解这两个方程组即可．
【详解】
222(1)20
(2)x y x xy y -=??--=?， 由②得：（x ＋y ）（x?2y ）＝0，
x ＋y ＝0或x?2y ＝0， 原方程组可变形为：20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=?
， 解得：1212
1412x x y y ==????=-=??，. 【点睛】
此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．
9．解方程组：222232()x y x y x y ?-=?-=+?
. 【答案】111,1x y =??=-?；223232x y ?=-????=??；331252x y ?=-????=-??
. 【解析】
分析：
把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.
详解：
由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；
则原方程组转化为223,0.x y x y ?-=?+=?（Ⅰ）或 223,2.
x y x y ?-=?-=? （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ?=-?=????=-??=??
， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ?=-?=????=-??=-??
，
∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ?=-?=????=-??=?? 331,25.2x y ?=-????=-??
. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.
10．解方程组：248x y x xy +=??-=?
.
【答案】1113x y ?=+??=??
2213x y ?=??=+??【解析】
【分析】
把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.
【详解】
解：248x y x xy +=??-=?①②
由①得，4y x ＝﹣
③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝
整理，得2240x x ﹣﹣＝
解得：1211x x ＝＝，
把1x ＝③
，得1413y ＝﹣（
把1x ③
，得2413y ＝﹣（
所以原方程组的解为：1113x y ?=??=-??
2213x y ?=-??=??. 【点睛】
本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.
11．已知正比例函数()()249m n y m n x
m -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比
例函数的解析式.
【答案】19y x =-
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.
【详解】
解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=??-=?，解得32m n =??=?或34m n =-??=-?
， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-??=-?
， ∴函数解析式为：19y x =-.
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.
12．(1)解方程组：22120x y x xy y -=??--=? (2)解方程组：51121526x y x y x y x y
?+=?+-???-=?+-? 【答案】（1）21x y =??=?或1212x y ?=????=-??；（2）1213x y ?=????=??
【解析】
【分析】
（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分
别求出对应的x 的值即可；
（2）设1A x y =+，1B x y
=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．
【详解】
解：（1）由1x y -=得：1x y =+，
将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()2
21120y y y y +-+-=， 整理得：2
201y y --=，
解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12
x =，
故原方程组的解为：
2
1
x
y
=
?
?
=
?
或
1
2
1
2
x
y
?
=
??
?
?=-
??
；
（2）设
1
A
x y
=
+
，
1
B
x y
=
-
，
则原方程组变为：
512 1526 A B
A B
+=
?
?
-=
?
，
解得：
6
5
6
A
B
?
=
?
?
?=
?
，
∴
665
1
6
x y
x y
+=
?
?
?
-=
??
，
解得：
1
2
1
3
x
y
?
=
??
?
?=
??
，
经检验，
1
2
1
3
x
y
?
=
??
?
?=
??
是方程组的解．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．
13．解方程组：
22
60 21
x xy y
x y
?+-=?
+=
?
【答案】
2
5
1
5
x
y
?
=
??
?
?=
??
或
3
5
1
5
x
y
?
=
??
?
?=
??
.
【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=??+=?
， ∴3021x y x y +=??+=?或2021x y x y -=??+=?
∴原方程组的解为2515x y ?=????=??或3515x y ?=????=??
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
14．已知方程组222603
x y y mx ?+-=?=+?有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的
解.
【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-??
=?;当1m =-时 21x y =??=?
【解析】
【分析】
联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】 解：222603x y y mx ?+-=?=+?
①② 把②代入①后计算得()22
2112120m x mx +++=，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m ）2?4（2m 2+1）?12＝0，
解得：1m =±， 当1m =时，解得21x y =-??=?
当1m =-时，解得21x y =??=?
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
15．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②
．
【答案】110
{1x y ==-，2243{13x y =-=． 【解析】
试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．
原方程可化为：22
{1x y x y -=+=-，22{1
x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110
{1x y ==-，2243
{13x y =-=．
考点：高次方程．
16．解方程：
【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分）
解得，
························································ （2分） 代人得
17．解方程22220x y x xy y -=??--=?
①② 【答案】114,2x y =??=?，22
1,1x y =??=-?． 【解析】
【分析】
先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=??-=?（Ⅰ）与2,0x y x y -=??+=?
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =??=?，解（Ⅱ）得1,1x y =??=-?
答：原方程组的解为114,2x y =??
=?与22
1,1x y =??=-?． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
18．解方程组：22222303x xy y x xy y ?--=?-+=?
【答案】11
1,1.x y =??=-? 【解析】
【分析】
首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.
【详解】
解： 22222303x xy y x xy y ?--=?-+=?
①② 由①得30x y -=或0x y +=，
原方程组可化为22303x y x xy y -=??-+=?；2203x y x xy y +=??-+=?
解这两个方程组得原方程组的解为
11,7,7x y ?=????=?
?
2277x y ?=-????=-??331,1,x y =-??=?44
1,1.x y =??=-? 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.
19．解方程组22224024x y x xy y ?-=?-+=?
． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ?=????=-??224,32;3x y ?=-????=??
334,2;x y =??=?44
4,2.x y =-??=-? 【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】 22224024x y x xy y ?-=?-+=?①②
， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=??-=?，202x y x y +=??-=-?，202x y x y -=??-=?，202x y x y -=??-=-?
， 分别解这四个方程组得
114323x y ?=????=-??，224323x y ?=-????=??
，3342x y =??=?，4442x y =-??=-?， ∴原方程组的解是
114323x y ?=????=-??，224323x y ?=-????=??
，3342x y =??=?，4442x y =-??=-?． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．
20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②
【答案】11613
{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】
【分析】
先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.
【详解】
解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0
得x+6y=0或x ﹣y=0
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=??-=?或（Ⅱ）021
x y x y -=??-=? 解方程组（Ⅰ）613113x y ?=????=-??
，解方程组（Ⅱ）11x y =??=?， 所以原方程组的解是11613113x y ?=????=-??
,2211x y =??=?． 故答案为11613113x y ?=????=-??
,2211x y =??=?. 【点睛】
此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.
方程与不等式专题测试试卷.docx
2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2
二元二次方程组-解法-例题
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
不等式与不等式组专题复习
不等式与不等式组专题复习 (一)不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。 例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 例1.判断下列数中哪些是不等式 的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法 知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（ ） 5032 >x 0-1-2
方程与不等式专题复习
《方程与不等式》教学与复习指导意见一、2017年《方程与不等式》考纲的要求 二、《方程与不等式》在2015、2016年各地市中考卷所占的分值
三、2015、2016年各地市呈现的类型 (一) 解方程 1、解分式方程： （2） 2 32+=x x 2、解一元二次方程： 3、解方程组： （二）解不等式或不等式组 1、解不等式： （1）2x +1＞3 （2）2x ＜4 2、解不等式组： （4） （6）并把解集在数轴上表示出来 212 x =（）220x x +=（）2250 x x +-=（4）220 x x -=（3）4 121 x y x y -=?? +=-?（）1248x y x y +=?? +=-?（）7(3)123 x x --≤解不等式： ，并把解集表示在数轴上 2 6(4)30 3 x x x x --+=+3411x x = +（）32321 x x = +（）13 (5) 122 x x x -=---210223 x x x ，（）ì+>??í?<+??260 310. x x --??（5）10 12 x x ->??≤? （）
（7）求不等式组210 25 x x x +>?? >-?的正整数解. （三）一元二次方程根的判别式 .1、一元二次方程2x 2 +3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ． 无法确定 2、命题“关于x 的一元二次方程x 2 +bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ） 3、若 关于x 的一元二次方程2 310ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 。 4、下列一元二次方程中，没有．．实数根的是 A ．0322 =--x x B ．012 =+-x x C ．0122 =++x x D ．12 =x 5、关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax －1＝0的根的情况是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 （四）方程（组）与不等式（组）的应用 1、方程的应用 闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷．为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%．设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为 A ．)120%(2060x x +=- B ．120%2060?=+x C ．)60%(20180x x +=- D ．120%2060?=-x 2、2、方程组的应用 （1）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去
方程与不等式组知识点总结
方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
不等式与不等式组专题复习
不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7
考点2：不等式的解集
1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解
1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C．
中考数学专题练习方程与不等式
方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 .
16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.
方程不等式的解法
滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法 1．(2015·广州)解方程：5x ＝3(x －4)． 2．(2015·中山)解方程：x 2－3x ＋2＝0. 3．(2015·邵阳)解方程组：? ????2x ＋y ＝4，①x －y ＝－1.② 4．(2016·钦州)解方程：3x ＝5x －2 . 5．(2015·黔西南)解方程：2x x －1＋11－x ＝3. ． 6．(2015·荆州)解方程组：? ????3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.② 7．(2016·山西)解方程：2(x －3)2＝x 2－9. 类型2 不等式(组)的解法 8．(2016·舟山)解不等式：3x ＞2(x ＋1)－1. 9．(2016·淮安)解不等式组：? ????2x ＋1
12．(2016·广州)解不等式组：???2x ＜5，①3（x ＋2）≥x ＋4，② 并在数轴上表示解集． 13．(2016·南京)解不等式组???3x ＋1≤2（x ＋1），－x ＜5x ＋12， 并写出它的整数解． 类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 14．(2016·白银)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值； (2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 15．(2016·北京)关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)写出一个满足条件的m 值，并求此时方程的根． 16．(2016·梅州)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不等实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围； (2)若方程两实根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－x 1·x 2，求k 的值． 17．(2016·十堰)已知关于x 的方程(x －3)(x －2)－p 2＝0. (1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足x 21＋x 22＝3x 1x 2，求实数p 的值．
方程与不等式 专题
专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样 的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代 数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元 一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中 表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次 函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面 直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是 该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在 上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的 一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中
不等式与不等式组专项训练(含答案详解)
《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为．
14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．
《方程与不等式》专题.doc
《方程与不等式》专题 第二讲：不等式（组）及应用 北京四中 梁威 知识回顾 ? 一元一次不等式 ，一元一次不等式的解法 ? 一元一次不等式组及其解集 类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组 成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的______， 叫做这个不等式组的解集． ? 解一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用_______确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． ? 一元一次不等式(组)的应用 ? 一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程； 当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为_____________，利用函数 图象可以确定x 的取值范围. 自主学习 1. 解不等式2 1687x x x +≤+- ，并在数轴上表示它的解集． 2. 解不等式组?? ???>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解． 3. 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于 3 )43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．
4. 若关于x 的不等式组??? ??<++>+0,1234a x x x 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 5. 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供 调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超 载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提 下，至少还需调用B 型车多少辆? 6. 某工厂用如图(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图(b)所示的竖式 与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (a) (b) (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共 100个，设做竖式纸盒x 个． 竖式纸盒(个) 横式纸盒(个) x 所用正方形纸 板张数(张) 2(100－x ) 所用长方形纸 板张数(张) 4x ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?
解一元二次方程不等式的解法
解一元二次方程 解法一元二次方程：因式分解法；公式法 移项：使方程右边为0 因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组 由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程 2、公式法 将方程化为一般式 写出a、b、c 求出ac b4 2-，若＜0，则无实数解 若＞0，则代入公式求解 解下列方程： 1、)4 (5 )4 (2+ = +x x2、x x4 )1 (2= +3、2 2) 2 1( )3 (x x- = + 4、3 10 22= -x x5、（x+5）2=16 6、2（2x－1）－x（1－2x）=0 7、x2 =64 8、5x2 - 5 2 =0 9、8（3 -x）2–72=0 10、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y）2+2（3y－1）=0 12、x2+ 2x + 3=0 13、x2+ 6x－5=0 14、x2－4x+ 3=0 15、x2－2x－1 =0 16、2x2+3x+1=0 17、3x2+2x－1 =0 18、5x2－3x+2 =0 19、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =0
22、22 (32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x 25、3x 2＋8 x －3＝0 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+= 37、()()2 4330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --= 40、2223650x x -+= 41、()()2 116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=
人教版七年级数学下册不等式与不等式组专项练习
不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2
专题一 方程与不等式问题
第1课时 方程（组）与不等式（组）问题 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组）的 试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．
类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。 1.（2008?河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g． 2.（2008年?济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.（2008?济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；
最新二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法 一、内容综述： 1．解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 “二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法） 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 （2）逆用根与系数的关系 对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。 注意：不要丢掉一个解。 此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 “二·二”型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 二、例题分析： 例1．解方程组 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 解法一：由(1)得y=8-x (3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. 把x1=2代入(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 解法二：根据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，
方程(组)和不等式(组)的解法专题训练
方程（组）和不等式（组）的解法 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1．不等式12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ① 编号 编制 审核 审批 《基本方程与不等式的解法》导学案 使用说明 1.先仔细阅读教材必修五：P74-P80,再思考知识网络构建所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；规范完成探究部分，并总结规律方法。 2. 激情投入、高效学习，培养扎实严谨的科学态度. 一．学习目标： 1、熟练掌握一元二次方程及一元二次不等式的解法，提高运算求解能力； 2、自主学习、合作交流，探究一元二次方程及一元二次不等式解法的规律和方法； 二．考点自测： (1).20x bx c -+=的两根为()1212,x x x x <，则不等式2 x bx c -+≤的解集为 . x 的取值范围是 (3)、求函数的定义域：()lg 4x f x += 三．知识网络构建： 1．（1）一元二次方程及一元二次不等式是怎样定义的？ 请同学们叙述一元二次方程及一元二次不等式的一般形式： 2．请同学们分类叙述各种一元二次不等式的解法？ 3．一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系？ 班级 姓名 学号 时间 月 日 我的知识树： 四．典例探究 考点一： 解一元二次方程 例题1解下列方程： 2222(1)230(2)330 (3)610(4)(2)20x x x x x x x a x a --=--=--=-++= 变式：22(1)230(2)230x x x x --<--> 我的总结：用十字相乘法进行因式分解的基本要领是什么？ 编号 编制 审核 审批 例题2解下列不等式： (1)(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) 变式：22 (1)680(2)04x x x x --+≥≤- (4)3x 2-+--+-3132511 312 2x x x x x x ＞＞()()高一数学二元二次方程组解法
基本方程与不等式的解法
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