2017高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量第3讲二项式定理理习题

2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第3讲

二项式定理(理)习题

A 组 基础巩固

一、选择题

1．(2015·湖南)已知(x －a x )5

的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝

导学号 25402408( )

A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6

[答案] D

[解析] 由二项展开式的通项可得

T r ＋1＝C r

5(x )5－r

(－a x

)r ＝(－a )r C r 5x 5-r 2－r 2＝(－a )r C r

5x 52－r ，令52－r ＝32，得r ＝1，所以(－

a )r C r 5＝(－a )×C 1

5＝30，则a ＝－6，选D.

2．二项式(x －1

x

)6

的展开式中常数项为导学号 25402409( )

A ．－15

B ．15

C ．－20

D ．20

[答案] B

[解析] 依题意，二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－r －

r

2，令6－r －r

2

＝0，得r ＝4，所以常数项为(－1)4C 4

6＝15. 3．二项式(ax ＋

36)6的展开式的第二项的系数为－3，则?

?a －2x 2

d x 的值为导学号 25402410( )

A.7

3 B ．3 C ．3或7

3

D ．3或－10

3

[答案] A

[解析] 二项展开式的第二项为T 2＝C 1

6(ax )5

×

36，则由题意有36

×C 16a 5

＝－3，解得a

＝－1，所以?

?－2

－1x 2

d x ＝13x 3|－1－2＝－13－(－83)＝73.

4．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3

项的系数为导学号 25402411( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30

[答案] A

[解析] (x 2

－x ＋1)10

＝[x 2

－(x －1)]10

＝C 0

10(x 2)10

－C 1

10(x 2)9

(x －1)＋…－C 9

10x 2

(x －1)9

＋C 10

10

(x －1)10

，所以含x 3

项的系数为－C 9

10C 8

9＋C 10

10(－C 7

10)＝－210，故选A.

5．设复数x ＝

2i 1－i

(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013

＝导学号 25402412( )

A ．i

B ．－i

C ．－1＋i

D ．1＋i

[答案] C

[解析] x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝(1＋x )2 013－1＝i

2 013

－1＝i －1，选C.

6．若(1－2x )

2 016

＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x

2 016

(x ∈R )，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 016

2

2 016的值为

导学号 25402413( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

[答案] C

[解析] 方法一：由二项式定理得通项为T r ＋1＝C r 2 016(－2x )r ＝(－1)r 2r C r 2 016x r

， 则a n ＝(－1)n 2n C n

2 016，∴a n

2n ＝(－1)n C n

2 016.

则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 016

22 016＝(1－1)2 016

－C 0

2 016＝－1.

故选C.

方法二：原式令x ＝0，则a 0＝1.

令x ＝12，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝(1－2×12)2 016

－1＝－1.故选C.

二、填空题

7．(2015·广东)在(x －1)4

的展开式中，x 的系数为________.导学号 25402414

[答案] 6

[解析] 由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r

(－1)r ＝(－1)r C r

4·x 4－r 2，令4－r 2

＝1，得r ＝2，所以

所求系数为(－1)2C 2

4＝6.

[点拨] 在应用二项展开式的通项时，要注意(－1)r

，稍有不慎就会出错． 8．设(5x －

1

x

)n

的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则

n ＝________.导学号 25402415

[答案] 4

[解析] 令x ＝1可得各项系数之和M ＝(5×1－

1

1

)n ＝4n ，二项式系数之和N ＝2n

，由M －N ＝240，得4n

－2n

＝240，即(2n )2

－2n

＝240，解得2n

＝16或2n

＝－15(舍去)，所以n ＝4.

9．(2015·烟台一模)若(x 2－1x

)n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n

＝a 0＋a 1x ＋

a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.导学号 25403027

[答案] 255

[解析] 展开式(x 2－1x )n 的通项为T k ＋1＝C k n (x 2)n －k (－1x

)k ＝C k n (－1)k x 2n －3k

，因为含x 的项为

第6项，所以k ＝5,2n －3k ＝1，解得n ＝8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28

，又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28

－1＝255.

10．若a 1(x －1)4

＋a 2(x －1)3

＋a 3(x －1)2

＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4

，则a 2＋a 3＋a 4＝________.导学号 25402416

[答案] 14

[解析] x 4

＝[(x －1)＋1]4

＝C 0

4(x －1)4

＋C 1

4(x －1)3

＋C 2

4(x －1)2

＋C 3

4(x －1)＋C 4

4，对照a 1(x －1)4

＋a 2(x －1)3

＋a 3(x －1)2

＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4

得a 2＝C 1

4，a 3＝C 2

4，a 4＝C 3

4，所以a 2＋a 3＋a 4＝

C 14＋C 24＋C 3

4＝14.

三、解答题

11．已知(x －2x

2)n (n ∈N *

)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶

1.导学号 25402417

(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 3

2的项．

[答案] (1)1 (2)－16x 3

2

[解析] 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4

，

第三项的系数为C 2

n ·(－2)2

，则有C 4n

－4C n

－

＝101

， 化简得n 2

－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8

＝1. (2)通项公式T r ＋1＝C r

8(x )

8－r

(－2

x

2)r

＝C r

8(－2)r

x 8-r 2－2r

. 令8－r 2－2r ＝3

2，得r ＝1，故展开式中含x 32的项为

T 2＝－16x 32.

12．已知(12

＋2x )n

，导学号 25402418

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． [答案] (1)3432 (2)16896x 10

[解析] (1)∵C 4

n ＋C 6

n ＝2C 5

n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，

当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5， ∴T 4的系数为C 37(13)423

＝352

，

T 5的系数为C 47(1

2

)324

＝70.

当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，

∴T 8的系数为C 714(12

)727

＝3 432.

(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2

＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12

)12(1＋4x )12

， ∴????

?

C k

124k

≥C k －1124k －1

，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1

.

∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11，

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高考数学-计数原理-1-二项式定理

专项-二项式定理 知识点 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理(通项公式)

六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

高考数学 计数原理 知识汇总

计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去

高三数学 二项式定理

二项式定理 1． 知识精讲： （1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ） 其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ） 其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． （2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

计数原理与二项式定理

小题精练：计数原理与二项式定理(限时：50分钟) 1．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选 法共有( ) A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．12种 2．(2013·高考四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ， b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 3．(2013·高考全国卷)(x ＋2)8 的展开式中x 6 的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．224 4．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分 配方案种数为( ) A ．12 B ．36 C ．72 D ．108 5．(2014·济南市模拟)二项式? ?????x 2－13x 8 的展开式中常数项是( ) A ．28 B ．－7 C ．7 D ．－28 6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一 个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种 D ．84种 7．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放 回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种 8．(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m)9 ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2 ＋…＋a 9(x ＋ 1)9 ，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2 －(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝39 ，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3 9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合 数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个 10．设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013 ＝( ) A ．i B ．－I C ．－1＋i D ．1＋i 11．(2014·郑州市质检)在二项式? ?? ???x ＋1 2·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

二项式定理(通项公式).

二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f

高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点 一、选择题 1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144 【答案】D 【解析】 【分析】 按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生 的情况去掉，录取方案数为22 63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 24C 、2 2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况， ③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1 2 2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】 本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。 2．已知函数，在区间 内任取一点，使 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由 得，故 或 ，由 ，故 或 ，故使 的概率为 . 【点睛】 本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．下列等式不正确的是（ ） A ．111 m m n n m C C n ++=+ B ．121 11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1 1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k n n n nC k C kC +=++ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据排列和组合公式求解即可. 【详解】 根据组合公式得1 1!1(1)!1!()!1(1)!()!1 m m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误； 根据排列公式得 1221 11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()! m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--= -=+-=?=----，则B 正 确； 根据排列公式得1 1!(1)!()!()! m m n n n n A n nA n m n m ---= =?=--，则C 正确；

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座， 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、 戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

(推荐)高中数学二项式定理

二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第

3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】

(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246

答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .

答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）

2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)

专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234 89x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ， A 正确； ②原始平均数1234891 ()9x x x x x x x = <<<<<，后来平均数234 81 ()7 x x x x x '=<<<，平均数 受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2 222111 [()()()]9q S x x x x x x = -+-++-，22222381 [()()()]7 s x x x x x x '=-'+-'+ +-'，由② 易知，C 不正确； ④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

高考数学 《二项式定理》

二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.

高中数学之计数原理

计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

二项式定理

二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.

三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？

高考数学-计数原理-3-排列组合

专项-排列组合 知识点 一、排列 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解： 定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-???--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!??????-?-?=n n n n ，并规定1!0=。 全排列数公式可写成!n A n n =. 由此，排列数公式可以写成阶乘式： )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-???--=（主要用于化简、证明等） 二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示 对组合定义的理解： 取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点. 只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式： ),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+-???--==*，且 变式：),,()! ()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+???--=-= *-且

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

高考数学分类解析专题计数原理和二项式定理理

2019高考数学最新分类解析专题10计数原理 和二项式定理（理） 一．基础题 1.【2013年山东省日照市高三模拟考试】设 321x x ??+ ??? 旳展开式中旳常数项为 a ，则直线 y ax =与曲线2y x =围成图形旳面积为 A.272 B.9 C.92 D.274 【答案】C 【解析】.∵x x 23 1 ( ) 旳展开式中旳常数项为 23C ,即3a =. 2.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若 3 1() 2n x x - 旳展开式中第四 项为常数项，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代 表参 加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生旳选法共有 （ ） A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种 【答案】B 【解析】 2231 5454100C C C C +=. 4.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字旳三位数,其中偶数旳个数为 A.36 B.30 C.24 D.12 【答案】C 【解析】若选1，则有 21232212C C A =种·若选0，则有232 332()12C A A -=种，所以共有 121224+=，选C.

5.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在高三（1）班进行旳演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序旳排法种数为 A. 24 B. 36 C. 48 D.60 6.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参 加社会公益活动，若选出旳4人中既有男生又有女生，则不同旳选法共有 A ． 140种 B ． 120种 C ． 35种 D ． 34种 7.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】 51(2) 2x -旳展开式中2x 旳系数是（ ） A ．5 B ．10 C ．-15 D ．-5 【答案】D 【解析】由二项式旳通项公式得2x 旳系数为 22 3 5 12()5 2 C -=- 8.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】从装有2个红球和2个黑球旳口袋内任取2个球，则恰有一个红球旳概率是 (A) 13 (B) 12 (C) 23 (D) 56 【答案】C 【解析】P ＝ 1122 24 C C C ＝2 3 故选C ·