20[1].5_等腰梯形的判定(含答案)
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一、选择题
1．下列结论中，正确的是（）
A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形
2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
则图中全等三角形有（）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．课外活动课上，?老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）
A．．30cm C．60cm D．
二、填空题
4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，?10，?5，?则梯形的高为_____，?对角线为______． 5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．
三、解答题
7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．
求证：?四边形ADCE是等腰梯形．
四、思考题
8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD 一、1．D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D． 2．B 点拨：因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC， 所以共有3对全等的三角形． 3．C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，? 所以梯形面积为1 2 L2=450，解得L=30， 所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）． 二、4．4 点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4． 在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52， 所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以 5．7；31 点拨：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E． 因为AD∥BC，AB ∥DE，所以四边形ABED是平行四边形． 所以BE=AD=5（cm），AB=DE． 又因为AB=CD，所以DE=?DC， 又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形， 所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）． 6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°） 三、7．证明：因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE． 又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE， 所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，?所以∠OCE=∠OEC， 又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE， 而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形． 又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=?AE， 所以四边形ADCE是等腰梯形． 点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等． 四、8．解：四边形ABCD是等腰梯形． 理由：延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC． 又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD= ∠EDA． 因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B． 故AD∥BC．?又AD 又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形． 点拨：由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD 一、七彩题 1．（一题多解题）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=?12cm，?上底AD=15cm，∠BAD=120°，求下底BC的长． 二、知识交叉题 2．（科内交叉题）如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，?F?分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由． 三、实际应用题 3．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD?交叉摆放，?并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA 四、经典中考题 4．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB ∥DC， ∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF是正方形； （2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形． 五、探究学习篇 1．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE 的长． 2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F?分别是BM，CM的中点． （1）试说明△ABM≌△DCM； （2）四边形MENF是什么图形？请说明理由． （3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？请说明理由． 3．阅读：下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：?在四边形ABCD 中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形． 解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1 ①．?因为AB=DC，AC=DB，BC=CB ②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB ③，所以∠1=∠DCB ④，所以AB=DC=DE ⑤，所以四边形ABCD是平行四边形⑥，所以AD∥BC ⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形⑨．?阅读填空： （1）说明过程是否有错误？错在第几步？答：_______． （2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？为什么？ 答：___________． （3）若题目中没有AD ≠BC，?那么四边形ABCD?一定是等腰梯形吗？?为什么？? 答：___________． 参考答案 一、1．解法一：如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，?F， 在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°， 因为∠BAD=120°，所以∠B= 60°． 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，所以BE=1 2 AB=6cm． 因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°，所以CF=1 2 CD=6cm． 因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm． 图1 图2 图3 解法二：如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点， 因为AD ∥BC，?所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE． 又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，?因为∠BAD=120°，所以∠B=60°， 因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，? 所以BE=AB=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）． 解法三：如图3所示，延长BA和CD交于点P， 在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C， 因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°． 因为∠BAD=120 °， 所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°，所以△PAD和△PBC都是等边三角形． 所以PA=AD=?15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm． 点拨：以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，?通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想． 二、2．解：四边形EBCF是等腰梯形．理由如下： 因为四边形ABCD是矩形，所以AC=?BD，AD=BC． 又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB． 又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE． 因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB． 又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC， 所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．? 因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形． 因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，?所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF， 所以四边形EBCF是等腰梯形． 点拨：本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形． 三、3．解：小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下： 如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC． 所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=?BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC， 所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4， 因为∠3+∠4+∠E=180°，∠ADC+∠BCD+∠E=180°， 所以∠3=180 2 E ?-∠ ，∠ADC= 180 2 E ?-∠ ，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD， 又因为OA 所以四边形ABCD是等腰梯形． 点拨：要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出． 四、4．证明：如图所示，（1）因为∠A=90°，AB∥DC，所以∠ADE=90°． 由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°． 所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等． 所以四边形ADEF是正方形． （2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，?所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG． 在△AGD 与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE， 所以∠DGA=∠EGB．因为BG=?CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形． 所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB= ∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形． 五、探究学习 1．解：因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．? 又因为∠DBC=45°，所以∠EBD=∠EDB=45°，所以∠BED=90°． 过A作AH⊥BC于H，?如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°． 又因为∠AHE=90°，?所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE． 在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt △ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC． 所以EC=1 2 ×（BC-AD）= 1 2 ×（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5． 点拨：要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°，?故联系梯形常作辅助线，易求EC的长． 2．解：（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D． 因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM． （2）四边形MENF是菱形．理由：由△ABM≌△DCM，得MB=MC． 连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC， 而E，F分别是MB，MC的中点， 所以ME=1 2 MB，MF= 1 2 MC，NE= 1 2 MB，NF= 1 2 MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边 的一半），所以ME=MF=?NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；理由：?因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°． 由（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=1 2 BC． 点拨：在（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点． 3．解：（1）没有错误；（2）第⑧步不是多余的，?因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形． 点拨：?做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题． 全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A 1.4 等腰梯形的性质和判定(1) [ 教案] 班级 姓名 学号 九年级数学备课组 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质和判定。 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 1.什么叫梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 2.两种特殊的梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等; 二、等腰梯形的判定： 1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可 以从不同角度着手证明。 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 三、等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 E D C B A D C B A 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 四、典型示例： 1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB 求证：四边形ABFE 是等腰梯形； 2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长 和∠D 的度数. 3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2 1（BC-AD ） 4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形． 五、巩固练习 1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ） A.等腰梯形 B.直角梯形 C.平行四边形 D.不能确定 2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135° 3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对. 4.梯形的上底长为 5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______. 5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______. 6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______. 7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证： PA=PD B C A M D A D C B P 偃师市实验中学数学教学资源库（华师大版） 八年级数学下册第二十章《等腰梯形的判定》 第一部分教学目标分解 教学目标双向细目表 说明：1、学习内容的排列与教材的编排顺序相一致。 2、学习水平分为A、B、C、D四个等级： A：识记---了解、认识、感知、初步体会、初步学会； B：理解----说明、表达解释、懂得、领会； C：再现性情景应用---掌握、会用、归纳等； D：生成性的情景应用---会推导、证明、研究讨论、解决问题、总结评价等。 3、对于每一知识要点和技能要点所需达到的学习水平，可在空格内“√”。 第二部分课堂教学设计 一、关于教材分析与处理 （一）教材内容分析 本节课是在学习了等腰梯形的性质以及平行四边形、矩形、菱形的判定的基础上学习的，其中等腰梯形的判定定理1是由定义得到的，判定定理2、3是由等腰梯形的性质1、2变成逆命题证明后所得到的，前面我们在学习平行四边形、矩形、菱形的判定时，就是通过复习它们的性质，再证明性质的逆命题是真命题，从而得到平行四边形、矩形、菱形的判定方法。等腰梯形的判定也是在学习了三角形和平行四边形后学习的，因此关于等腰梯形常用的辅助线的作法也是本节课的一个主要内容。 （二）教学重点难点 根据课程标准的要求，结合学生的实际特点，确定教学的重点与难点： 重点：等腰梯形的判定。 难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． （三）教材前后联系 《等腰梯形的判定》是华东师大版义务教育实验教材数学八年级（下册）第20章第5节的内容，本节课注重新旧知识的联系与类比，注重图形的分析、判别；在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定之后，接触的性质的基础上，引入了等腰梯形的判定，这一节课既是前面所学知识的延续，又是对四边形的判定进行综 等腰梯形的判定 学习重点：等腰梯形的判定定理及应用 学习难点：等腰梯形判定定理应用 学习目标：1、掌握等腰梯形的判定定理，并能应用它进行有关证明； 2 、通过添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化思想。 学习过程 一、预习导学 1、思考P98操作中的作图过程探索证明等腰梯形判定定理的方法？ 2、预习检测：（1）下列命题中，错误的是（） A 等腰梯形同一底上的两个底角相等 B等腰梯形的对角线相等 C同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形 D对角线相等的四边形是等腰梯形 （2）在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥AB 求证：梯形ABCD为等腰梯形 A N B 3、心理准备：通过预习你还有哪些疑问？ D M C 二、学习研讨 同学之间分组交流研讨等腰梯形判定定理的证明方法，并探讨解决在预习过程中存在的问题。（教师点拨） 三、新课梳理 1、等腰梯形判定定理1：在同一条底边上的两个 A D 内角相等的梯形是等腰梯形。 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C B C 求证：AB=CD （学生分别展示自己的证法，教师总结） 2、等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD A D 求证：AB=CD （学生展示） B C 四、例题解析 例1、已知：四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC A D 求证：四边形ABCD是等腰梯形 B C 五、归纳提升 师生共同总结梯形的判定思路： （1）一般梯形的判定思路是： （2）等腰梯形的判定思路是： 六、课堂演练 （A类）1、下面关于等腰梯形的判断错误的是（） A 同一底上的两个角都是67°的梯形 B不平行的两个边相等的梯形 C一对对角分别为75°、105°的梯形 D一对对边平行，一对对角相等的四边形 （B类）2、AD是△ABC边BC上的高线，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形 A F G B E D C 3、已知，如图，在四边形ABCD中，AB>CD，∠CAB=∠DBA，AC=BD，AD=CD，AC⊥BC，求四边形ABCD各角度数。 D C 七、课堂归整 A B 1、通过本节课的学习你有哪些收获？ 2、本节课你还存在哪些疑问？ 八、作业布置： 1、P101 习题20.5 7、8 等腰梯形性质练习题 姓名： 1．填空 （1）在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a ，BC=b ，,则DC= ． （2）直角梯形的高为6cm ，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ． （3）等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，A C 平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm ，则AD= ． 2．已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边的长． 3.下列命题中，真命题是（ ） A 、有一组对边平行但不相等的四边形是梯形 B 、直角梯形中只有一个直角 C 、等腰梯形的对角线相等且互相垂直 D 、等腰梯形是轴对称图形，有两条对称轴 4.在梯形ABCD 中，∠D =90°，AD =DC =4，AB =1，E 为AD 的中点，则点E 到BC 的距离为__________. 5．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长和面积． 6．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ．（延长DE 交CB 延长线于点F ，由全等可得结论） 7．已知：如图，梯形ABCD 中，CD//AB ，∠=A 40 ，∠=B 70 ． 求证：AD=AB —DC ． 8、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为______． 《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案 教学目标： 知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用； 能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力； 情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情； 教学重点与难点： 1、等腰梯形性质的探究及证明； 2、等腰梯形性质定理的简单应用。 教学过程： 1、复习旧知，引入新课 填空（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形； （4）的四边形是平行四边形； （5）的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； 用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。 2、自主探索、提出猜想 把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？ 同学们可能会得出下面一些结论： （1）两腰相等； （2）两个底角相等； （3）等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； （4）两条对角线相等； ………… 3、交流反馈、共同论证 结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；结论（2）的证明探索： 的两种思路：） 一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角 二是把两个角转化到两个全等三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明； 完善结论后得到： 等腰梯形的性质定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。 结论（3 ）： 观察翻折、旋转的动画演示后，由轴对称图形和中心对称图形的定义可以直接得到： 等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴。 等腰梯形不是中心对称图形！ 结论（4）的证明可以让学生独立完成，请一个同学上黑板板书，其他同学自己在课堂练习本上完 C E C C C F 等腰梯形的性质与判定 海南侨中数学组苏晓君 一、教学目标 1. 掌握等腰梯形的判定方法. 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力． 3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想 二、教法设计 小组讨论，引导发现、练习巩固 三、重点、难点 1．教学重点：等腰梯形判定． 2．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 四、教学步骤 【复习提问】 1．什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 前面我们用等腰三角形的定理证明了等腰梯形的性质定理，现在我们也可以用等腰三角形的判定定理来证明等腰梯形的判定定理． 例1已知：如图，在梯形中，，，求证：． 分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，定理就容易证明了． （引导学生口述证明方法，然后利用投影仪出示三种证明方法） （1）如图，过点作、，交于，得，所 以得． 又由得，因此可得． （2）作高、，通过证推出． （3）分别延长、交于点，则与都是等腰三角形， 所以可得． （证明过程略）． 例2 求证：对角线相等的梯形是等腰梯形． 已知：如图，在梯形中，，． 求证：． 分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在和中，已有两边对应相等，别人要能证，就可通过证得到． （引导学生说出证明思路，教师板书证明过程） 证明：过点作，交延长线于，得， ∴． ∵， 定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 典型示例： 例3、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD 相交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。 梯形的性质及判定 、知识提要 1. 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形; 等腰梯形：两腰相 等的梯形叫做等腰梯形； 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. 2. 等腰梯形性质 ①等腰梯形同一底上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等. 3. 等腰梯形判定 ①两腰相等的梯形叫做等腰梯形；； ②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； ③对角线相等的梯形是等腰梯形. 4. 重心 线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点； 三角形的重心就是三角形的三条中线的交点. 一、基础练习 1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC, A . 30° B . 45° C. 60° D. 80° 2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD / BC,对角线AC, BD相交于点0,以下四 个结论： ① / ABC= / DCB，② 0A=0D， ③/BCD=Z BDC，④S ZAOB=S A DOC. 其中正确的是（） A .①②B.①④C.②③④D.①②④ 2.女口图，等腰梯形ABCD 中, A B / DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，贝U梯形 ABCD的面积是（） A. 1615 B. 16 5 C. 32、15 D. 16.17 3. 4. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD // BC, AD=5, AB=6, BC=8, AE / DC,贝U △ABE的周长是( ) A . 3 B. 12 C. 15 D. 19 (2010金华)如图，在等腰梯形ABCD中，AB / CD，对角线 AC平分/ BAD, / B=60° CD=2cm，则梯形ABCD的面积为 ( )cm2. 5. 6. 7. A. 3、3 C. 6.3 若等腰梯形的 上、面积是( ) B. 6 D. 12 下底边分别为 A. 16.3 B. 8 3 C. 1和3, 一条对角线长为 4、3 D. 2.3 4, 则这个梯形的 已知梯形的两底边长分别为6和8, —腰长为7,则另一腰长 是_______________ . 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC丄BD于点O, AE丄BC, DF丄BC,垂足分别为E, F，设AD=a, BC=b,则四边形AEFD的周长是( ) A . 3a+b B. 2 (a+b) C. 2b+a D. 4a+b a的取值范围 C 8.沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为 课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问 题.如图，若y是关于t的函数，图象为折线O-A-B- C, 17 其中 A (t1, 350), B (t2, 350), C (一，0),四 80 y 3?0 ]7 30 13731 A. B.—— C.——D. 51680160 O 边形OABC的面积为70,则t2-t i=( ) 9.如图，在梯形ABCD中，AB / DC , DB平分/ ADC,过点A作AE / BD，交CD 的延长线于点E,且/ C=2/E. (1) 求证：梯形ABCD是等腰梯形； (2) 若/ BDC=30°, AD=5, 求CD 的长. 梯形和等腰梯形的判定与性质 一、 考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二： (1) 梯形的性质： ①两底平行 ②梯形的面积S= 1 2 (a+b)h （2）等腰梯形的性质 ①、等腰梯形在同一底上的两个角 。 ②、等腰梯形的对角线 。 ③、等腰梯形的对角 。 考点二：等腰梯形的判定 1、两腰相等的 是等腰梯形。 2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。 3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。 二、 怎么考（例题精讲） 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。 例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. 例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，3 4tan =∠CAD ，CA=CD ， B F C A D 图 2 E 图1 E 、 F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y. （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动． 当运动时间t =_______ 秒时。以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形． 例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长 三、课堂练兵（课堂训练） 1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为 2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ， 若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______． 4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个 六边形的周长等于______． 第12题 B G 第30讲 梯形和等腰梯形的判定与性质 一、 中考考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二： (1) 梯形的性质： ①两底平行 ②梯形的面积S= 1 2 (a+b)h （2）等腰梯形的性质 ①、等腰梯形在同一底上的两个角 。 ②、等腰梯形的对角线 。 ③、等腰梯形的对角 。 考点二：等腰梯形的判定 1、两腰相等的 是等腰梯形。 2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。 3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。 二、 重庆怎么考（例题精讲） 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。 例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90 ,∠C =45 ,AD =1,BC =4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. B F C A D 图 2 E 图1 例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，34tan =∠CAD ，CA =CD ， E 、 F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y . （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动． 当运动时间t =_______ 秒时。以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形． 例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长 三、课堂练兵（课堂训练） 1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为 2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD 的平分线，且 CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______． 4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个 六边形的周长等于______． 5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ． 若 第12题 B G 等腰梯形的判定 同步练习 1．如图1，请写出等腰梯形ABCD （AD ∥BC ，AB=CD ）特有而一般梯形不具备的3个特殊性 质：（1）_________________；（2）_________________；（3）_________________． B A C D B A C D (1) (2) (3) 2．如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．?若再加上一个条件：?________，?则可得到梯形ABCD 是等腰梯形． 3．等腰梯形的一角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为（ ）． A ．10 B ．20 C ．3 D ．34．已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，且BD 平分∠ABC ，∠C=60°，求证：?梯形ABCD 是等腰梯形． 拓展与延伸 5．若等腰梯形的三条边长分别为3、4、11，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．21 B ．29 C ．21或29 D ．21或22或29 6．已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，点E 在边AB 延长线上，且BE=DC ． 求证：AC=CE ． B A C E D https://www.wendangku.net/doc/f71370629.html, 后花园 智力操 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，BD ⊥AC ，AE=12，?BD=?15，AC=20，求梯形ABCD 的面积． B A C E D 参考答案: 1．（1）∠A=∠D；（2）∠B=∠C；（3）AC=BD． 2．AB=CD或∠ABC=∠DCB或∠BAD=∠ADC． 3．B 4．∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°． 在△BCD中，∵∠C=60°，∴∠DBC=30°． 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC=60°． ∴∠C=∠ABC． 在梯形ABCD中，AD∥BC，且∠C=∠ABC， ∴梯形ABCD是等腰梯形． 5．B 6．在梯形ABCD中，∵AB∥DC，AD=BC， ∴∠ADC+∠DAB=180°，∠DAB=∠CBA． 又∵∠CBA+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE． 又∵BE=DC，AD=BC，∴△ADC≌△CBE．∴AC=CE． 智力操 150． 提示：过点B作BF∥AC，交DC的延长线于点F，则CF=AB．在Rt△DBF中，求得DF=25， 于是DC+AB=25，代入梯形面积公式即可． 梯形的概念、性质与判定 中考要求 基本要求：会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定 略高要求：掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题. 例题精讲 相关概念定理 1．定义： 四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形. A B C D A B C D A D B C ???? ∥ 叫做梯形. 2．等腰梯形 A B C D A D B C A D B C ? ?=? ??? ∥峛.A B C D D A B C B A A D C B C D A C B D ∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，， 3． 直角梯形 A B C D C B A B A B C D A D B C ?? ⊥???? ∥ 是直角梯形. 4．平行线等分线段定理 123 4l l l l A B B C C D ???==? ∥∥∥1111 1A B B C C D ==. 5．中位线定理 C B A D 底角腰底高 B C A D C A B D l 4 l 3 l 2 l 1D 1C 1B 1 A 1D C B A ⑴ 三角形中位线定理 ABC ?中： 11 22 AM BM MN BC MN BC AN CN =??=? =?∥，. ⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ?? =???=? ∥() 1 2MN AB CD MN AB CD =+∥∥， 二、等腰梯形 1. 等腰梯形的性质 ①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等． ③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定 ①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形． 模块一 梯形的概念 【例1】 梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平 行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形． 【例2】 等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______， 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴． 【例3】 等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是 等腰梯形． B N C M A B N C A M D 1、梯形定义 ： 2、基本概念（如图）： 底： 腰： 高： 等腰梯形直角梯形 3②等腰梯形同一底上的两个角 ． ③等腰梯形的两条对角线 ． 4、等腰梯形判定方法： 。 几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。 2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．） 例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE. 分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD; 2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE.. 例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积. 【变式练习】 1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF. (1)求证：AB=CF； (2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由. 2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( ) A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( ) A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm 课题等腰梯形的性质和判定日期 教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养 学生的分析能力和计算能力． 3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生 体会图形变换的方法和转化的思想 重难点教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教 法 小组讨论，引导发现、练习巩固 角色教师活动学生活动 备 注 教学过程一、【复习提问】 1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯 形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅 助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是 否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 二、【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形． 例1已知：如图，在梯形中，， ，求证： （1）如图，过点作、，交于，得 ，所以得． （2）作高、，通过证推 出． 与老师共同讨论 解决。 引导学 生口述 证明方 法，然 后利用 投影仪 出示三 种证明 方法 A B C D 教学过程（3）分别延长、交于点，则与 都是等腰三角形，所以可得. 由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两 个角相等． 例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等． 已知：在梯形中，，，求 证：． 分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出 ，然后再利用，即可得出 ． 解决梯形问题常用的方法 在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作 交于，从而把梯形问题转化成三角形来解， 实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法 叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法 之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形． 我们学过“如果一个 三角形中有两个角 相等，那么它们所对 的边相等．”因此， 我们只要能将等腰 梯形同一底上的两 个角转化为等腰三 角形的两个底角，定 理就容易证明了． 让学生想一想，还可 以用什么样的方法 作辅助线来解决梯 形问题，多找几名学 生回答，然后教师总 结，可借助多媒体演 示见图）． 解决梯形 问题的基 本思想和 方法就是 通过添加 适当的辅 助线，把 梯形问题 转化为已 经熟悉的 平行四边 形和三角 形问题来 解决． 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 等腰梯形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥EC，∠CEB=∠CBE，四边形ABCD是等腰梯形吗？如果是，请说明理由． 2．如图，在梯形ABCD中，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BE=CF． （1）求证：梯形ABCD为等腰梯形； （2）若AD=AE=2，BC=4，求腰AB的长． 3．在矩形ABCD中，△ABD沿对角线BD对折，A与A′重合，AD=8，AB=6，A′D与BC相交于O． （1）求证：△A′BO≌△DOC． （2）求BO的长． （3）求证：四边形A′CDB为等腰梯形． 4．等腰△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上，AE=AF，试证明四边形EBCF是等腰梯形． 5．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线BD折叠，点C落在点E处，连接DE，DE与AD交于点M．（1）证明四边形ABDE是等腰梯形； （2）写出等腰梯形ABDE与矩形ABCD的面积大小关系，并证明你的结论． 6．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥DC． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）当CD=1时，求等腰梯形ABCD的周长． 7．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线以AC、BD上两点，且AE=DF． 求证：（1）△BOE≌△COF；（2）四边形BCFE是等腰梯形． 8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ADC，过点A作AF∥BD，交CD的延长线于点F，若∠F=∠C． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）当∠BDC=30°，AD=5时，求CD的长． 9．已知正方形ABCD中，E、F分别是对角线AC、BD的三等分点 （1）求证：四边形BCFE是等腰梯形； （2）若正方形ABCD的对角线长为9cm，求等腰梯形BCFE的面积． 10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，AC、BD交于F，过点F作EF∥AB，交AD 于点E．求证：四边形ABFE为等腰梯形． 全等三角形的性质及判定（习题）例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD=BE，CD∥BE．求 证：△ACD≌△CBE． 【思路分析】 ①读题标注： D D B B ②梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由 已知得，CD=BE； 根据条件C 为AB 中点，得AC=CB； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B． 发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需 要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 A C E A C E ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC = CB （已证） ACD = B （已证） CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） E C 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 E A A 1 F E B C 2 B D C D 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使 △ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 如图，D 是线段 AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的 一对全等三角形是 ，理由是 ． A C A G D F H 全等三角形的性质及判定(习题及答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? ? 全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范 例 1：已知：如图，C 为 AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求 证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注： D D B B ② 梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ； 根据条件 C 为 AB 中点，得 AC =CB ； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角． 由条件 CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ． 发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为 AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 ? AC = CB （已证） ? ?ACD = ?B （已证） ?CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） A C E A C E E C ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 E A A 1 F E B C 2 B D C D 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使 △ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 如图，D 是线段 A B 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是 ，理由是 ． A C A G D F H B E B D 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需 要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ．全等三角形的性质及判定(讲义)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
等腰梯形的判定
等腰梯形的判定
等腰梯形性质练习题 姓名
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案
等腰梯形的性质与判定2
梯形的性质及判定
梯形的性质与判定知识梳理
第30讲 梯形和等腰梯形的判定与性质
初二数学人教版(下册)等腰梯形的判定习题(附答案)
梯形的概念、性质与判定
梯形及等腰梯形的性质和判定
等腰梯形性质教案
数学中的性质与判定方法
等腰梯形的判定专项练习30题(有答案)ok
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及标准答案)