五年级奥数竞赛班专题讲义立体图形长方体与正方体加答案

立体图形长方体与正方体

知识要点

拓展与提高

1． 长方体与正方体堆垒

【例1】如图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图

和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？

请用积木将具有这个最小体积的立体堆放出来．

【练一练】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，

从上面看如图2所示，那么这个几何体至少用了 块木块．

【例2】下图是三面涂黑、棱长为1cm 的两个正方体的展开图．展开图可分别组成A 、B 两个正方体． 现在，将这些正方体相同颜色的面粘连在一起，做成一个棱长为2cm 的正方体，如右上图所示：

要求在1个顶点的周围有三面是黑色的，除此以外的面不涂颜色．

请问：正方体A 、正方体B 各用多少个？

（侧视图）

（俯视图）(正视图)图 2

图 1

【例3】用四块同样的长方形纸板和二块同样的正方形纸板做一个长方体的纸箱，已知纸箱的表面积为

902平方分米，而且长、宽、高均为整数厘米．求它的体积最大是多少？

【例4】一个大长方体的尺寸为1110n ??，它是由一些单位立方体（注：111??和一个211??）的长

方体构成．211??的长方体在大长方体中有2362个位置可以放置．那么n = ．

【例5】将棱长为n 厘米（n 是自然数）的正方体表面涂色，然后分割成棱长为1厘米的小正方体．恰

有两面涂色的小正方体的个数等于没有涂色的小正方体个数的3倍．n = 厘米．

【例6】有甲、乙、丙三种木块，规格分别为112??，113??，122??（单位：分米）现要求用这些

木块拼20个333??的正方体，现在有足够的丙种木块，还有22块乙种木块．问最少要甲种木块多少块？

【例7】甲、乙、丙三个小正方体木块的棱长之比为1:2:4，用这三种木块拼一个棱长最小的大正方体

和一个体积最小的长方体（每个形状的三种木块都要用到），一共最少需要这三种木块多少块？

【练一练】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，甲的棱长为1cm ，乙的棱长为2cm ，丙的棱长

为3cm ，如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体且每种至少用一块，那么需要这三种木块总和至少 块．

【探究题】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的体积是乙的18，乙的体积是丙的827

．如果甲、乙、丙这三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用1块），那么最多需要这三种木块共 块，最少需要这三种木块共 块． 【练一练】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的

12，乙的棱长是丙的棱长的23

．如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用一块），那么，最少需要这三种木块一共 块．

【例8】图⑴中，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上，（不考虑水箱壁厚）

①当水箱像图⑵这样倾斜，水箱中水流出15

，这时AB 长 厘米． ②当水箱如图⑶这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平如图⑷，这时水箱中水的深度是 厘米．

【例9】如图1，一个长方形的水池子深1.25米，一个水龙头要注满水池需要3.5小时，现在要在池内

设置两块与池壁平行的挡板（体积忽略不计），一块高0.8米（B 点），它拦成的区域恰好容纳1小时注水量，另一块高1米（C 点），它拦成的区域恰好容纳2小时注水量．那么，AB 、BC

、正方体B

正方体A （4）（3）（2）（1）N

M 323

2A

B A B ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~B

A