高等数学复习提纲 同济大学 下册

高等数学复习提纲

一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题

二、知识点 1．平面及其方程。

例题：一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.

解 所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i b a n 3011112-+=-=?=,

所求平面的方程为

(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.

2．空间直线及其方程。

例题：求过点(2, 0, -3)且与直线?

??=+-+=-+-012530

742z y x z y x 垂直的平面方

程.

解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即

k j i k

j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=.

所平面的方程为

-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,

即 16x -14y -11z -65=0.

例题：求过点(3, 1, -2)且通过直线1

2354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线1

2354z

y x =+=-的方向向量

s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i s s n 229824112521--=-=?=.

所求平面的方程为

8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即 8x -9y -22z -59=0.

3．旋转曲面。

例题：将

zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求

所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±

得旋转曲面的方程y 2+z 2

=5x .

例题：将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.

解 将方程中的x 换成2

2y x +±得旋转曲面的方程

x 2+y 2+z 2=9.

4. 多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数 x

y

e z = 的全微分

解 xdy e x

dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=.

例题：设z =u 2ln v , 而y

x u =, v =3x -2y , 求x

z ??, y

z ??.

解 x

v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 22

2)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, y

v v z y u u z y z ?????+?????=??

)2()(ln 222-+-?=v u y x v u 22

32)23(2)23ln(2y

y x x y x y x ----=. 例题：设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dt

dz .

解 dt dy

y z dt dx x z dt dz ???+???=2223)2(c o s t e t e y x y x ?-?+=--

)6(cos )6(cos 22sin 223

t t e t t e t t y x -=-=--. 例题：设sin y +e x -xy 2=0, 求

dx

dy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy

y e y xy y y e F F dx dy x

y x 2cos 2cos 222--=---=-=. 例题：设x

y y x arctan ln 22=+, 求dx dy

.

解 令x

y

y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则

2

2222222)()(11221y x y x x y x

y y x x y x F x ++=-?+-

+?+=, 2

2222221)(11221y x x y x x

y y x y y x F y +-=?+-

+?+=,

y

x y x F F dx dy

y x -+=-=.

5.重积分（直角坐标，极坐标）。

例题：??+D

d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};

解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是

??+D

d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1

11

122)(x d y y x ?--+=1

11132]31

[ x d x ?-+=1

12)3

12(113]3232[-

+=x x 38=.

例题：??+D

d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形

闭区域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,

??+D

d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π

0)][sin(dx y x x x

?-=π0)s i n 2(s i n dx x x x ?--=π

0)c o s 2c o s 2

1(x x xd

+--=0|)c o s 2c o s 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π23-=.

例题：利用极坐标计算下列各题:

(1)??+D

y x

d e σ2

2

，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;

解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以

????=+D

D

y x d d e d e θρρσρ2

22

)1()1(2

124420

2

02

-=-?==

??e e d e d ππρρθπ

ρ.

(3)σd x y

D

arctan ??, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成

的第一象限内的闭区域.

解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以

???????=?=D

D

D

d d d d d x

y θρρθθρρθσ)arctan(tan arctan ??

?=402

1

π

ρρθθd d ??==403

2

164

3π

πρρθθd d .

5．求曲顶柱体体积。

例题：求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积. 解

由?

??--=+=2

22

2262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2,

故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以

??+---=D

d y x y x V σ)]2()26[(2222??--=D

d y x σ)336(22

?

?---=2

20

2220

)2(12x dy y x dx π6)2(82

32=-=?

dx x .

例题：计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.

解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }.

在极坐标下}cos 0 ,2

2

|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以

??≤++=

ax

y x dxdy y x V 22)(22πθθρρρθπ

πθ

π

π422cos 0

2244

232

3cos 4a d a d d a ==?=???--.

6 常数项级数的审敛法。

例题：判定下列级数的收敛性:

(1) )

4)(1(1 631521

???++++???+?+?n n ; 解 因为145lim 1

)

4)(1(1

lim 222

=++=++∞→∞→n n n n n n n n , 而级数∑∞

=1

21

n n 收敛,故所给级数收敛.

(2) 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 32???++???+++n π

πππ;

解 因为π

ππππ==∞→∞→n

n n n n n 22sin

lim 212sin lim ,

而级数

∑∞

=12

1n n 收敛,故所给级数收敛. (1) 2

3 23322321333

22

???+?+???+?+?+?n n

n ; 解 级数的一般项为n

n

n n u 23?=. 因为

123123lim 3

22)1(3lim lim 111>=+?=???+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n

所以级数发散.

(2)∑∞

=1

23n n n ; 解 因为

1

31)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+?=?+=∞→+∞→+∞→n

n n n u u n n n n n n n ,

所以级数收敛.

(3)∑∞

=?1

!

2n n n n n ;

解 因为

12)1

(

lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=??++?=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.

(3)∑∞

=+1

12tan n n n π. 解 因为

1

21221lim 2tan 2

tan )1(lim lim 1

21

21

<=?+=+=++∞→++∞

→+∞→n n n n n n n n n n

n n n u u ππ

ππ

所以级数收敛.

例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是 条件收敛？ (1)

4

131211???+-+-

;

解 这是一个交错级数∑∑∞

=-∞

=--=-1

111

1

)1()

1(n n n n n n u , 其中n

u n 1

=

.

因为显然u n ≥u n +1, 并且0lim =∞

→n n u , 所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞

=∞

=-=-111

1

|)

1(|n n n n n

u 是p <1的p 级数, 是发散的,

所以原级数是条件收敛的. (2)∑∞

=---11

1

3)1(n n n n ;

解 ∑∑∞=-∞

=--=-11

1

11

3|3)

1(|n n n n n n

n .

因为131331

lim 1

<=+-∞→n n

n n n ,

所以级数∑

∞

=-113

n n n

是收敛的,

从而原级数收敛, 并且绝对收敛.

7．幂级数。

例题：求下列幂级数的收敛域:

)1( 21222???+-+???++-n

x x x n n ; 解 1)1(lim 1

)1(1

lim ||lim 222

21=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1.

因为当x =1时, 幂级数成为∑∞

=-2

21)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞

=+1

211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].

∑∞

=++-1

1

212)1(n n n

n x

解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x

u n n

n .

因为2

12321|1232|l i m ||l i m x x n n x u u n n n n

n n =+?+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.

因为当x =1时, 幂级数成为∑∞

=+-1

121)1(n n n , 是收敛的; 当

x =-1时, 幂级数成为∑∞

=++-1

1121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].

8．函数展开成幂级数。

例题：将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1)sin 2x ;

解 因为x x 2cos 2

121sin 2-=,

∑∞

=-=0

2)!2()1(cos n n

n

n x x , x ∈(-∞, +∞), 所以

∑∑∞=-∞=?-=--=1212022

)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n

n n n n n n x n x x x ∈(-∞, +∞).

例题：将函数f (x )=cos x 展开成)3

(π+x 的幂级数.

解

3

sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x

)3

sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3

()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ

)( ])3

()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ 5.

例题：将函数x

x f 1)(=展开成(x -3)的幂级数.

解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)13

31( )33()1(313

311313311,

即

∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )3

3()1(311.

例题： 将函数2

31)(2

++=x x x f 展开成(x +4)的幂级数. 解 2

111231)(2+-+=++=x x x x x f ,

而 ∑∞

=<++-=+--=++-=+0)1|3

4(| )34(313

41131)4(3111n n x x x x x ,

即

)17( 3)4(1101

-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ;

∑∞

=<++-=+--=++-=+0)1|2

4(| )24(212

41121)4(2121n n x x x x x ,

即 )26( 2)4(2101

-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n .

因此

∑∑∞=∞=+++++-=++=001

122)4(3)4(231)(n n n n

n n x x x x x f

)26( )4)(3121(0

1

1-<<-+-=∑∞

=++x x n n n n

.

注意复习书上习题

刘华