Excel线性内插值计算实例

Excel线性内插值计算实例

excel插值，通常通过函数公式完成。如果手工计算插值，N多烦琐。

excel插值函数有trend和forecast函数。通过这两个excel插值函数来写相关的插值公式。

下面是两个相关excel 插值资料和案例，供学习者使用。

第一：线性内插值计算实例

excel附件中包括四个工作表：一维插值、二维插值(1)、二维插值(2)、三维插值。

第二：Excel画平滑曲线散点图

excel附件详细说明了Excel画平滑曲线散点图的算法，并提供了一个自定义函数BezierInt() ,让用户可以随时查找曲线上任意点的坐标(函数值)。

附件的.mht文件，是一个简单介绍贝塞尔三次插值的文档，可以用IE打开，更多贝塞尔插值的算法，可以用搜索引擎插值。

附件的.xls文件，打开以后，会看见三个工作表，分别演示了：找一个数值在曲线上的一组对应点，找一个数值在曲线上的所有对应点，和贝塞尔曲线是怎样在通过每两个节点的（每一对输入的X-Y数值代表平面坐标系的一个点，称为节点,Excel的平滑曲线通过每一个节点）。

如果需要在其他Excel文档使用BezireInt() 函数，需要按Alt+F11,双击模块一复制所有代码，然后打开其他Excel文档按Alt+F11,插入－模块，然后粘贴代码。

自定义函数的使用方法是:在空白单元格输入=BezierInt(X坐标的范围,Y坐标的范围,待查的数值)，函数就会返回一个包含六个元素的数组，分别是三个点的X,Y坐标。

如:根据a1:a4的数值作为X值,b2:b4的数值作为Y值，画了一个平滑线散点图。想查找c1的数值是不是在这条曲线上。可以输入：

=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,1) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,2) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的Y坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,3) 得到第2个X值=C1数值的点的X坐标

=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,4) 得到第2个X值=C1数值的点的Y坐标

=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,5) 得到第3个X值=C1数值的点的X坐标

=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,6) 得到第3个X值=C1数值的点的Y坐标

如果有多段曲线上的点包含C1的数值，那么可以增加输入参数，指定从哪个节点开始查找。

=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1,3),1,1) 得到从第三组X-Y数据开始查找，返回第一个符合C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1,3),1,2) 得到从第三组X-Y数据开始查找，返回第一个符合C1数值的点的Y坐标。

函数默认输入数值是X值，要根据Y值找点的话,还可以增加输入参数，指定输入的是Y 值=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1,1,"Y"),1,1) 得到返回曲线上第一个Y值=C1数值的点的X 坐标。

线性插值法计算公式解析 2

线性插值法计算公式解析 ２０11年招标师考试实务真题第16题:某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定,产能指标评标总分值为1０分,产能在1０0吨/日以上的为10分,80吨/日的为5分,60吨/日以下的为0分,中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为9５吨/日,应得( )分。 A、8、65 B.8.75 C、8.８5 D、8、95 分析:该题的考点属线性插值法又称为直线内插法,就是评标办法的一种,很多学员无法理解公式含义,只能靠死记硬背,造成的结果就是很快会遗忘,无法应对考试与工作中遇到的问题,对此本人从理论上进行推导,希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一:适用于某项指标越低得分越高的项目评

二、公式推导 ??对于这个插值法,如何计算与运用呢,我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图,只有图出来了,根据三角函数定义,ｔana=角的对边比上邻边,从图上可以瞧出,∠A就是始终保持不变的,因此,根据三角函数ｔanａ,我们可以得出这样的公式 图一:tanａ=(F1-F2)/(Ｄ2－D1)=(F-Ｆ2)／(Ｄ2-D)＝(Ｆ 1-F)/(D-D1),通过这个公式,我们可以进行多种推算,得出最终图二:适用于某项投标因素指标越高,得分越高的情 形,如生产效率等

公式如下 F=F2＋(F1-F2)*(Ｄ２-Ｄ)/(Ｄ2-Ｄ１) 或者F= F1-(F1-F2)*(Ｄ-D1)/(Ｄ2－D1) 图二:tana=(Ｆ1－Ｆ２)/(D2-D1)=(Ｆ-F2)/ (D-D1)＝(F1-F)/(D2-Ｄ) 通过这个公式我们不难得出公式: F= F2＋(F１-F2)*(D-D１)／(D2-D1) 或者F=Ｆ1-(F1-F2)*(Ｄ2-Ｄ)/(D２-D1) 三:例题解析 例题一:某招标文件规定有效投标报价最高的得３0分,有效投标报价最低的得60分,投标人的报价得分用线性插值法计算,在评审中,评委发现有效的最高报价为３０0万元,有效最低的报价为240万元,某A企业的有效投标报价为28０万元,问她的价格得分为多少 分析,该题属于图一的适用情形,套用公式 计算步骤:F=60+(3０－60)／(300-240)＊(280-24０)=40 例题二:某招标文件规定,水泵工作效率85％的3分,９5%的８分,某投标人的水泵工作效率为9２％,问工作效率指标得多少分？ 分析:此题属于图二的适用情形,套用公式 F=3+(92%-85%)＊(8-3)/(95%-85%)=３+7/2=6、5

内插法计算公式

内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下：

Excel线性内插值计算实例

Excel线性内插值计算实例 excel插值，通常通过函数公式完成。如果手工计算插值，N多烦琐。 excel插值函数有trend和forecast函数。通过这两个excel插值函数来写相关的插值公式。 下面是两个相关excel 插值资料和案例，供学习者使用。 第一：线性内插值计算实例 excel附件中包括四个工作表：一维插值、二维插值(1)、二维插值(2)、三维插值。 第二：Excel画平滑曲线散点图 excel附件详细说明了Excel画平滑曲线散点图的算法，并提供了一个自定义函数BezierInt() ,让用户可以随时查找曲线上任意点的坐标(函数值)。 附件的.mht文件，是一个简单介绍贝塞尔三次插值的文档，可以用IE打开，更多贝塞尔插值的算法，可以用搜索引擎插值。 附件的.xls文件，打开以后，会看见三个工作表，分别演示了：找一个数值在曲线上的一组对应点，找一个数值在曲线上的所有对应点，和贝塞尔曲线是怎样在通过每两个节点的（每一对输入的X-Y数值代表平面坐标系的一个点，称为节点,Excel的平滑曲线通过每一个节点）。 如果需要在其他Excel文档使用BezireInt() 函数，需要按Alt+F11,双击模块一复制所有代码，然后打开其他Excel文档按Alt+F11,插入－模块，然后粘贴代码。 自定义函数的使用方法是:在空白单元格输入=BezierInt(X坐标的范围,Y坐标的范围,待查的数值)，函数就会返回一个包含六个元素的数组，分别是三个点的X,Y坐标。 如:根据a1:a4的数值作为X值,b2:b4的数值作为Y值，画了一个平滑线散点图。想查找c1的数值是不是在这条曲线上。可以输入： =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,1) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,2) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的Y坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,3) 得到第2个X值=C1数值的点的X坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,4) 得到第2个X值=C1数值的点的Y坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,5) 得到第3个X值=C1数值的点的X坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,6) 得到第3个X值=C1数值的点的Y坐标 如果有多段曲线上的点包含C1的数值，那么可以增加输入参数，指定从哪个节点开始查找。

线性插值法计算公式解析

( 线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（ ）分。 A ． B ．8.75 C ． D ． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F 、 F F 2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 … 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）

/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) < 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A．8.65 B．8.75 C．8.85 D．8.95 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，

通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分？ 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝6.5 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容， 供参考，感谢您的配合和支持）

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分

内插法计算公式

内插法计算公式 内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的

折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），

线性内插法

线性内插法具体怎么计算？ 内插法：就是在给定的二组数据为直线关系，在其区域之间的值，位于此直线上从而求出，在其区域之间的某一数据。就是二者之间对应的情况下，按内插入法来求出另个数值，如二组数据：Y1，Y2 X1，X2已知：(X1，X2)一组上的某点值，求另一组（Y1，Y2）上的某点对应值。现在要求已知：(X1，X2) )一组上的奌X，求：另一组（Y1，Y2）上的Y点对应值。 公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——所要求某区间的内插值； Y1、Y2——分别为所要求某区间之间的低值和高值； X1、X2——分别为所要求某区间之间对应的低值和高值。 图集11G101—1第53页中：锚固区的保护层厚度3d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.8：5d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.7。 【例1】假设，锚固区的保护层厚度为3.2d。求受拉钢筋搭接长度修正系数ζa？公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——受拉钢筋锚固长度修正系数内插ζa取值； Y1、Y2——分别受拉钢筋锚固长度修正系数表中的低值ζa＝0.7和高值ζa＝0.8；X1、X2——锚固区的保护层厚度表中的低值3d和高值5d； 解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚×﹙3.2d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.2＝0.71。 答：锚固区的保护层厚度为3.2d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.71。 【例2】假设，锚固区的保护层厚度为3.4d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.4d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.4＝0.72。 答：锚固区的保护层厚度为3.4d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.72。 【例3】假设，锚固区的保护层厚度为3.5d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.5d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.5＝0.725。 答：锚固区的保护层厚度为3.5d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.725。 公式举例仍不太理解怎么办？ 用笨办法吧！ 【例1】假设锚固区的保护层厚度为4d，求锚固长度修正系数ζa的取值？ 一解：锚固区的保护层厚度：（5d＋3d）÷2＝4d 。 锚固长度修正系数ζa：（0.8＋0.7÷2＝0.75。 答：锚固长度修正系数ζa的取值为0.75 。 二解： 保护层厚度：用（高值减低值）5d－3d＝2d 用2d÷20＝0.1d（即把2d分成20份，毎份为0.1d）；（实际操作时，因已知已4d了，可不计算。在算计ζa时可目测，只要除10即可，不必除20，是适应如提保护层厚度为3.1d。故我把它分得细一些。） 锚固长度修正系数ζa：用（高值减低值）0.8－0.7＝0.1 用0.1 ÷20＝0.005（道理同上，跟着保护层厚度差值分）；

内插法的计算公式

内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），然后，利用对函数线性的假设，通过以下比例式求出租赁利率：

内插法应用举例 内插法在财务管理中应用很广泛，如在货币时间价值的计算中，求利率i，求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策指标中，求内含报酬率。中级和CPA教材中都没有给出内插法的原理，很多同学都不太理解是怎么一回事。下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用。 一、在内含报酬率中的计算 内插法在内含报酬率的计算中应用较多。内含报酬率是使投资项目的净现值等于零时的折现率，通过内含报酬率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计算出来的内含报酬率高于必要报酬率，则方案可行；如果计算出来的内含报酬率小于必要报酬率，则方案不可行。一般情况下，内含报酬率的计算都会涉及到内插法的计算。不过一般要分成这样两种情况： 1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值范围，再利用内插法确定内含报酬率 2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定内含报酬率。 下面我们举个简单的例子进行说明： 某公司现有一投资方案，资料如下： 初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为2400万元。 问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。 根据（1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则 NPV=1600×(P/A，I，3)－4000

工程数学插值方法 例题&习题

Chapter 1 插值方法 例题： 1. 已知f (1)=1，f (2)=3，那么y =f (x )以x =1, 2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 。 2. 经过点A (0,1)、B (1,2)、C (2,3)的插值多项式P (x )=（ ）。 A x B 1+x C 2x +1 D 12+x 3. 设P (x )是在区间[a , b ]上的)(x f y =的分段线性插值函数，以下条件中不是P (x )必须满足的条件是（ ）。 A P (x )是在区间[a , b ]上连续 B k k y x P =)( C P (x )是在区间[a , b ]上可导 D 在各子区间上是线性函数 4. 将区间[0, π/2] n 等分，用x x f y cos )(==产生n +1个节点，然后作拉格朗日插值多项式)(x L n 。用)(x L n 计算cos(π/6) (取四位有效数字)。（为简单起见，取n =1, 2）。 5. 求3次插值多项式，使6)1(,4)0(,5)1(,3)0(=′=′==P P P P 。 6. 已知函数211x y +=的一组数据(0, 1), (1, 1/2)和(2, 1/5)，求分段线性插值函数，并计算f (1.5)的近似值。 7. 求作次数4≤的多项式)(x p ，使满足条件40)1(,10)1(,0)1(,2)0(,1)0(=′′=′=?=′?=p p p p p 8. 已知连续函数P (x )的函数值如下表： x k -1 0 1 2 P (x k ) -2 -1 1 2 求方程P (x )=0在[-1,2]内的根的近似值，要求误差尽量地小。 例题答案： 1. 2x -1 2. B 3. C 4. 将区间[0, π/2] n 等分，用x x f y cos )(==产生n +1个节点，然后作拉格朗日插值多 项式)(x L n 。用)(x L n 计算cos(π/6) (取四位有效数字)。 （为简单起见，取n =1, 2）。 解：若n =1，则)0,2(),(),1,0(),(1100π==y x y x 。由式 ππππx x x l y l y x L 210 2002021)(11001?=???+???=+= 6667.0)6()6cos(1=≈ππL 若n =2，则)0,2(),(),7071.0,4(),(),1,0(),(221100ππ===y x y x y x ， 则有：2211002)2(7071.016)2)(4(8)(π ππππ?×???=++=x x x x l y l y l y x L K 8508.0)6()6cos(2=≈ππL ，其精确值为cos(π/6)=0.8660。 5. 求3次插值多项式，使6)1(,4)0(,5)1(,3)0(=′=′==P P P P 。 解：设)()()()()(2110 21103x p x p x p x p x P ??φφ′+′++=，则 0)1(,0)0(,0)1(,1)0(11 11=′=′==φφφφ， 0)1(,0)0(,1)1(,0)0(2222=′=′==φφφφ，

内插法的计算公式

内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），然后，利用对函数线性的假设，通过以下比例式求出租赁利率： 内插法应用举例

内插法在财务管理中应用很广泛，如在货币时间价值的计算中，求利率i，求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策指标中，求内含报酬率。中级和CPA教材中都没有给出内插法的原理，很多同学都不太理解是怎么一回事。下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用。 一、在内含报酬率中的计算 内插法在内含报酬率的计算中应用较多。内含报酬率是使投资项目的净现值等于零时的折现率，通过内含报酬率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计算出来的内含报酬率高于必要报酬率，则方案可行；如果计算出来的内含报酬率小于必要报酬率，则方案不可行。一般情况下，内含报酬率的计算都会涉及到内插法的计算。不过一般要分成这样两种情况： 1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值范围，再利用内插法确定内含报酬率 2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定内含报酬率。 下面我们举个简单的例子进行说明： 某公司现有一投资方案，资料如下： 初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为2400万元。 问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。 根据（1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则 NPV=1600×(P/A，I，3)－4000 由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率， 所以令NPV=0 则：1600×(P/A，I，3)－4000=0 (P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

线性内插计算

线性内插计算 插值法 许多实际问题都用函数y=f（x）来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f（x）在[a,b]上是存在的，有的还是连续的，但只能给出[a,b]上的一系列点xi的函数值yi=f(xi)(i=0,1,……,n)，这只是一张函数表，有的函数虽然有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望可以根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x)。用P(x)近似f(X)。通常选一类简单的函数作为P(x)，并使P(xi)=f(xi)对i=1,2,……,n成立。这样确定下来的P(x)就是我们希望的插值函数，此即为插值法。 什么是线性插值法 线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法。 如何进行线性插值 假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的y值。 根据图中所示，我们得到（y-y0）(x1-x0)=(y1-y0)(x-x0) 假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值α=(x-x0)/(x1-x0) 同样，α=(y-y0)/(y1-y0) 这样，在代数上就可以表示成为： y = (1- α)y0 + αy1 或者， y = y0 + α(y1 - y0) 这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见外插值。 已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。 双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值，假设我们已知函数 f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四个点的值。首先在 x 方向进行线性插值，然后在 y 方向进行线性插值。与这种插值方法名称不同的是， 这种插值方法并不是线性的，而是是两个线性函数的乘积。线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。 线性插值近似法

线性插值法

线性插值法 线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。 如何进行线性插值 假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到 假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值 同样， 这样，在代数上就可以表示成为： y = (1 ? α)y0+ αy1

或者， y = y0 + α(y1? y0) 这样通过α就可以直接得到y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见外插值。 已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。 线性插值近似法 线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误线定义为 RT = f(x) ? ρ(x) 其中ρ表示上面定义的线性插值多项式 根据罗尔定理，我们可以证明：如果f有两个连续导数，那么误差范围是 正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。 线性插值法的计算实例 线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的，所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。 两点式的直线方程式为： 即

式中X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据； X——X0,X1之间的任何数据； Y——与X对应的插值数据。 例某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19．5亿元时，其相应的消费支出是多少? 表1 居民货币收入和消费支出资料(单位：亿元) 解 = 16.9 所以，当该地区居民收入是19．5亿元时，其消费支出是16．9亿元。

线性内插值

双线性内插值： 对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1)区间的浮点数，则这个像素得值f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即： f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1) 其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推 这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊 三次卷积法能够克服以上两种算法的不足，计算精度高，但计算亮大，他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点，目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到： f(i+u,j+v) = [A] * [B] * [C] [A]=[ S(u + 1)S(u + 0)S(u - 1)S(u - 2) ] ┏f(i-1, j-1)f(i-1, j+0)f(i-1, j+1)f(i-1, j+2) ┓ [B]=┃f(i+0, j-1)f(i+0, j+0)f(i+0, j+1)f(i+0, j+2) ┃ ┃f(i+1, j-1)f(i+1, j+0)f(i+1, j+1)f(i+1, j+2) ┃ ┗f(i+2, j-1)f(i+2, j+0)f(i+2, j+1)f(i+2, j+2) ┛ ┏S(v + 1) ┓ [C]=┃S(v + 0) ┃ ┃S(v - 1) ┃ ┗S(v - 2) ┛ ┏1-2*Abs(x)^2+Abs(x)^3, 0<=Abs(x)<1 S(x)=｛4-8*Abs(x)+5*Abs(x)^2-Abs(x)^3, 1<=Abs(x)<2 ┗0, Abs(x)>=2 S(x)是对Sin(x*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π） 最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值、三次卷积法等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换和非线性变换都适用。

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解 析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D- D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式