2015年全国大学生高教社杯数学建模竞赛——关于在太阳下对影子拍摄的时间及位置进行定位的模型研究

太阳影子定位

12数本班翁陈鑫 12209055

摘要

在现实生活和一些学术研究中，存在一部分已经拍摄的照片或者视频由于其他因素没有添加拍摄时间和地点。当我们要检索、分类照片或研究照片、视频里当地的气候、环境等数据时，由于拍摄日期和地点不明，便无法确定相机在拍摄时所处环境的经纬度，在进行上述课题研究时便会受到局限。笔者相信投影物体、影长轨迹和时间、纬度之间应该存在某个几何关系，本文主

的安徽合肥某地所提供的当地数据要致力于探索该几何关系。在2015年4月22日北纬3187

中，笔者通过赤道式日晷的设计原理得到太阳下固定直杆的影长轨迹的二次曲线方程，故此坚信也定有另一条二次曲线可以得到影子长度轨迹，也可以估计相机的地理位置。

针对问题一，首先，设时间为x，影子长度为y，在笔者查阅的一篇文章‘自制立杆测日影’[]1中，有类似于本题‘立竿见影’中反映的有关影子长度与时间的关系描述，笔者通过作者所给的从上午8时至下午4时对影长的观察与测量数据，用EXCEL、MATLA等软件对该数据进行了相关处理，数据处理表示，上午8时到12时有：y = 1.2071x2 - 28.813x + 177.46（R2 = 0.9987），下午12时到4时有：y = 1.375x2 - 34.065x + 217.26（R2 = 0.9992），整合有：y = 1.1688x2 - 28.069x + 173.92（R2 = 0.9985），即影子长度与时间有对应的二次曲线关系。影子长度关于各参数的变化累积有几个因素的影响：杆高、太阳高度角、太阳方位角以及赤纬角。当杆高越长，影子越长，杆高与影长成正比例关系；太阳高度角越高，影子越短，成反比例关系；当杆子的纬度与太阳纬度越来越接近，则影子越短，杆子纬度与太阳纬度重合时，影子长度为零。用太阳方位角的正弦和方位角反函数，求得第一问。

针对问题二，我们可以运用二次拟合函数算得时间和影长的关系，取函数最小值经度，从而求得被测物体所在经度，再利用方位角公式算得被测物体所在纬度，从而确定北侧物体所处的位置。

针对问题三，经纬度的求法与题二相似，日期则可通过太阳高度角公式求出。

针对问题四，先测出视频中虚影长，并用比例算出实际影长，再用如题二的方式计算出被测杆的经纬度，从而确立出拍摄的地点。

在解题过程中，笔者建立的模型…，对此模型的评价是，对于在太阳下影子的轨迹的照片，不同纬度位置以及相机的朝像角度大体上估计出来没有问题，但是对于在阴天或是没有太阳的晚上拍摄出来的照片难以验证。

关键词影长轨迹二次曲线拟合函数太阳高度角赤纬角

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、模型假设

[1] 数据中的参数之间在相互影响时是同时开始作用的。

[2]天气对仪器、视频实验数据不会造成影响，旗杆不会因为不可抗力因素而受到影响。

[3]太阳及地球运动轨迹不会发生变化，不考虑拍摄地点有反光严重的物体从而影响

数据的有效性。

三、符号说明

X时间

L影长

h太阳高度角

H杆高

A太阳方位角

δ 赤纬角（太阳直射点纬度）

? 当地纬度

Ω 时角 cos (δ) 赤纬角余弦值

tan (A ) 太阳方位角正切值

sin （A ） 太阳方位角正弦值

cos (h ) 太阳高度角余弦值

cot (h ) 太阳高度角余切值 s t 太阳时

四、数据处理

§4.1对安徽合肥某地日影数据的分析

立一小棒，在上午8时、9时、10时、11时、12时、13时、14时、15时、16时所测各整时的某一影长为和太阳高度如下：

数据表格如下： 观测 棒长 15cm 15cm

15cm

15cm

15cm

15cm

15cm

15cm

15cm

观测 时间 8时 9时 10时 11时 12时 13时 14时 15时 16时

观测 影长

24.4cm 15.5cm 10.2cm 6.8cm 5.4cm 6.7cm 10.1cm 15.4cm 24.3cm

上午8时到12时的影长与时间的二次曲线关系如图1所示：

8点

太阳高度31.56度 24.4cm

15.0cm

图1

24.4

15.5

10.2

6.8

5.4

y = 1.2071x 2 - 28.813x + 177.46

R 2 = 0.9987

0510152025300

2

4

68

10

12

14

时间：h

影子长度：l

系列1

多项式 (系列1)

下午12时到16时的影长与时间的二次曲线关系如图2所示：

图2

6.7

10.115.424.3

y = 1.375x 2 - 34.065x + 217.26

R 2 = 0.9992

0510152025

300

5

101520

时间：h

影子长度：l

系列1

多项式 (系列1)

将两个曲线表整合以后得到图3，如下所示：

图3

24.415.510.2

6.85.4

6.710.1

15.424.3

y = 1.1688x 2 - 28.069x + 173.92

R 2 = 0.9985

05101520253005

101520

时间：h

影子长度：l

系列1

多项式 (系列1)

通过上述数据，笔者可以大胆假定：在同一纬度上，太阳下的影子和时间之间具

有二次曲线关系，这一假定让笔者对本题目接下来各问的求解有证明的自信，即通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期的方法是存在的。

五、模型的分析、建立与求解

§5.1问题一 影子长度变化的数学模型 5.1.1太阳位置基本概念

在实际生活当中,地球绕着太阳运转,但人们为了描述太阳在天空的移动位置,假想存在一个以观察者为中心,以无限长为半径的球体,天空中所有星体,都在该球体上绕地轴转动,这个假想的球即为天球。太阳在天球上的位置时刻都在变化,可以用赤道坐标系和地平坐标系从不同角度来确定其位置。天文学中,赤道坐标系是将地球上的经纬度坐标系扩展到天球,与赤道面平行的纬度圈在天球上则为赤纬圈,通过南北极的经度圈在天球上称为时圈。太阳的位置可用赤纬δ和时角Ω表示[]2

。

所谓赤纬,是指观测时刻的太阳倾角,即太阳直射光线和赤道平面之间的夹角。而时角则是指太阳所在的时圈和通过正南方的时圈之间的夹角。从天球北极看,逆时针方向为负。天文学中,地平坐标系是以子午圈为主圈,地平圈为基圈,南点为主点的

5

5.5

6

6.5

7坐标系。可以用太阳高度角h 和方位角A 来描述太阳的位置。对于地球上的某个地点,太阳高度角h 是指地平面和太阳光的入射方向之的夹角。太阳方位角A ，即太阳所在的方位,指太阳直射光线在地平面上的投影与地平面正南方之间的夹角，以正南方向为零度，向西为正值逐渐变大，向东为负值逐渐变小，直至在正北方合为±180°。

5.1.2分析影子长度关于各个参数的变化

影子长度关于各参数的变化累积有几个因素的影响: 1.太阳高度角 2.地理纬度 3.时间

太阳高度角随着太阳赤纬和地方时的变化而变化[]2

。太阳赤纬用δ表示,观测地

的地理纬度用?表示,太阳赤纬与地理纬度都是南纬为负、北纬为正,太阳时角用Ω示，则太阳高度角的计算公式：

sinh sin sin sin cos cos ?δ?δ=+Ω （1）

式中，α表示太阳高度角；?表示地理纬度；Ω表示时角，中午时t=0,子时t=12；

δ表示太阳赤纬，冬至日数值最大，一年内任何一天的赤纬角可用下式计算 sin 0.39795cos[0.98563(173)]n δ=- （2） 式中，N 为日数，自1月1日开始计算。当地方时正午时t=0,cos 1t = 由所给的北京时间以及地点可得: 观测地理纬度为39.907222?=?。

地方时角 t ：以中午12点为0时，12之前每差1小时为15-时，12点之后的，每1小时，为15度。例：10 点为30-，14点为30，再令影长为L ，杆长为H ，影长

计算公式为： tanh H

L = （3）

运用MATLAB 软件运行以下程序：（见附录1），可作出下图4：

图4

§5.2问题二 直杆所处位置地点分析 5.2.1“立竿见影”现象

一根直立的竿,其影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化。假设某天某时刻的太阳位置如图1所示,立于地面上的竿高为H,太阳光线通过竿顶P 点,在地面上形成一个影子点P ′,影子的长度OP ′为L 。定义太阳光线与地面的夹角'pp o β∠=，则数学关系式为：

cot L

H

β= （4）

图5

地球上某一点所受的日照变化情况,是由地球自转及绕太阳公转引起的。一天中,地球自转一周360°,(地球每小时自转15°,称之为时角(Ω),太阳位置也随时间变化,因此可获得不同时间竿顶落影点P ′,诸P ′点形成了一天的竿影轨迹线。相反地,可以将影子轨迹线看成是界于受光和背光的临界线。 5.2.2竿影日照图原理

以竿顶在阳光下产生的影子端点移动的轨迹,代替太阳运行轨迹。运用相对运动原理,将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动,太阳绕地球转动。如图6所示,将太阳系假设为一个近似球体,地球与近似球体为同一球心,太阳绕地球在近圆

形的椭圆轨道上运行。定义与地球赤道位于同一平面上的球面圈为赤道圈；与地球地平线圈位于同一平面上的球面圈为地平圈；与地球上经度圈位于同一平面上的球面圈为时圈(通过地球南、北极的球面圈称为经度圈)；经过太阳位置L 点、并垂直于地平圈的球面圈为方位圈,经过太阳位置点平行于地平圈的球面圈为高度圈[]3

。

图6

太阳位置点L 在天体中相对地球位置O 上某一点的相对位置,由该点的地理纬度、季节(月、日)和时间3个因素决定。通常是以地平坐标及赤道坐标同时表示太阳的位置,即以太阳高度角h ,方位角A 及赤纬角δ、时角Ω来表示。其中,太阳对地球上某点的垂直照射光线与其在赤道圈上投影线的夹角称为赤纬角[]4

；通过太阳位

置点L 与地球位置点O 的连线与其地平圈上投影线的夹角称为高度角,可知高度角的范围是0°～90°；经过球心O 与太阳位置点在地平圈上投影点的直线与地平圈正南向OS 所夹的角称为方位角。定义方位角坐标以正南向S 点为起始0°；逆时针方向为负,分180°；顺时针方向为正,亦分180°；正北向N 点为±180°。因此根据太阳位置的变化可以绘制出坐标网图,在坐标网图中用同心圆来代表太阳高度圈,用圆周上的刻度角来表示太阳的方位角(自南向西为正值,自南向东为负值)。故竿影轨迹点的坐标就可用太阳位置参数和上述式(1)求得。相关计算公式如下

15Ω= （5）

12t n =- （6）

由（1）太阳高度角公式，以及太阳方位角公式：

cos sin sin cosh

A δ?Ω

= （7）

式中，Ω 表示太阳某位置的方位方向；n 表示24h 制的时间数，? 表示长杆所在的

地理纬度。

假设影子端点00'(,)p x y ，故影子的长度为落影点p ’到原点O 的距离。 对于以上求解太阳高度角和方位角的计算公式,需要求解太阳赤纬和时角等参数,通常可以通过查询中国气象局出版的《地面气象观测规范》来得到相应的参数,但由于该《地面气象观测规范》[]4

每隔几年才更新一次,同时考虑到要计算某一天的

任何时刻的太阳位置,故这里采用以下方法求解太阳赤纬和时角,以满足实时性的要求及避免查表的繁琐。

00tan y A x =? （8）

根据影子轨迹线的走势,可得到左右对称的两个极限位置点,因为轨迹线左右两段是分别单调递增、递减的,由此可以分别获得其函数中的阶跃点或突变点,本文中以X 点坐标值的突变为极限位置的判断。极限位置对应的时间即为某地某天的日出、日落时间点。

22

00

00(0)(0)cot cot L x y L H H x y β?=-+-?

?

=?

?

??=+?

（9） 联立（1）（4）（5）（6）（7）（8）（9）以及图6可得出杆高H 的均值为1.455849。

根据附件1-3得到各参数表格如下： 北京

时间 x

坐标(米) y

坐标(米) 影子长度 （米）

方位角(A ) Tan (A ) sin （A ）

14:42 1.0365 0.4973 1.149625826 25.63112108 0.479787747 0.432575529 14:45 1.0699 0.5029 1.182198976 25.17558606 0.470043929 0.425393703 14:48 1.1038 0.5085 1.215296955 24.73463932 0.460681283 0.418416254 14:51 1.1383 0.5142 1.249051052 24.30994357 0.451726258 0.411672525 14:54 1.1732 0.5198

1.28319534 23.89629828 0.443061712 0.405082519

14:57 1.2087 0.5255 1.317993149 23.49769901 0.434764623 0.39871224 15:00 1.2448 0.5311 1.353364049 23.10575574 0.426654884 0.392429517 15:03 1.2815 0.5368 1.389387091 22.7280359 0.41888412 0.386357411 15:06 1.3189

0.5426 1.426152856 22.36243465 0.411403442 0.380464126

15:09 1.3568 0.5483 1.463399853 22.00425515 0.404112618 0.374675451 15:12 1.3955 0.5541 1.501481622 21.65614551 0.397061985 0.369035486 15:15 1.4349 0.5598 1.540231817 21.3123338 0.390131716 0.363451783 15:18 1.4751 0.5657 1.579853316 20.98179003 0.383499424 0.358071217 15:21

1.516

0.5715 1.620144515 20.65538402 0.376978892 0.35274631 15:24 1.5577 0.5774 1.661270613 20.3384694 0.370674713 0.347565289 15:27 1.6003 0.5833 1.703290633 20.02650261 0.364494157 0.342454769 15:30 1.6438 0.5892

1.74620591 19.71959702 0.358437766 0.337417252

15:33 1.6882 0.5952 1.790050915 19.42085965 0.352564862 0.332504509 15:36 1.7337 0.6013 1.835014272 19.12810467 0.346830478 0.327681375 15:39 1.7801 0.6074 1.880875001 18.84050257 0.341216786 0.322934804 15:42 1.8277 0.6135 1.927918447 18.5552429 0.335667779 0.318218855

时角

(Ω) 赤纬角(δ) Cos (δ) 高度角(h ) Cos (h ) t Co (h )

杆高(H )

40.5 10.02 0.984747 59.47622454 0.507895861 0.589604 1.949827047 41.25 10.02 0.984747 58.27328027 0.525868367 0.618257 1.912148146 42 10.02 0.984747 57.03115502 0.544182921 0.648634 1.873625119 42.75 10.02 0.984747 55.75107956 0.562789353 0.680848 1.834551988 43.5 10.02 0.984747 54.4238304 0.581784736

0.7153

1.793926101

44.25 10.02 0.984747 53.05366795 0.601066691 0.752086 1.752450051 45 10.02 0.984747 51.62354769 0.620825642 0.791921 1.708963456 45.75 10.02 0.984747 50.14349585 0.640867057 0.834841 1.664253542 46.5 10.02 0.984747 48.60653895 0.661226254 0.881415 1.618026533 47.25 10.02 0.984747 46.99799486 0.682023954

0.93258

1.569194979

48 10.02 0.984747 45.31739419 0.703178882 0.988981 1.518210786 48.75 10.02 0.984747 43.54231134 0.724865843 1.052222 1.463789787 49.5 10.02 0.984747 41.68667525 0.746792869 1.122901 1.406939094 50.25 10.02 0.984747 39.7130217 0.769254361 1.203948 1.345693099 51

10.02

0.984747 37.62129733 0.792062792 1.297528 1.280335078

51.75 10.02 0.984747 35.37508208 0.815379648 1.408433 1.209351551 52.5 10.02 0.984747 32.94352567 0.839206991 1.543192 1.131554538 53.25 10.02 0.984747 30.29748762 0.863417673 1.711467 1.045916115 54 10.02 0.984747 27.36499724 0.888096362 1.932083 0.949759546 54.75 10.02 0.984747 24.03734305 0.913280169 2.242102 0.838889132 55.5

10.02

0.984747 20.09756328 0.939108867 2.732988 0.705425142

通过excel 拟合时间和影长的关系出函数关系式20.14890.17820.5469y =++。设12点为零点，把附件1所给的时分化为以小时为单位的数值，将这组数值与12相减的结果作为X 轴的数值。以1个小时为1个单位，1分钟就是60分之一小时，作为X 轴数值，以影长为Y 轴建立指教坐标系。如图7所示。

y = 0.1489x 2 - 0.1782x + 0.5469

R 2 = 1

00.5

1

1.5

2

2.5

1

23

4

时间t（h）

影子长度L （m ）

系列1

多项式 (系列1)

图7 二次函数拟合图

国际上规定，每隔15度划为一个市区。以本初子午线为基准，从西经7.5度到东经7.5度，划为中时区（或叫0时区）。在中时区以东，依次划分为东一区至东十二区；在中时区以系，依次划分为西一区至西十二区。东十二区和西十二区是同一个时区（一般称为东西十二区，以180度经线为基准，从东经172.5度到西经172.5度）在何时候，东十二区比西十二区早24小时，即一天，但时间相同，如东十二区是2008年3月1日23：57，西十二区就是2008年2月29日23：57。也就是说15度一个小时，每个经度就是4分钟了。

根据二次函数最值法x=-2a/b ，求的X 约等于0.6。

0.6即12点36分。所以影子最短的时刻为北京时间12点36分，根据影子最短

时间为当地正午12点，所以时差为36分，即36分为9度。因为北京时区的经度为东经120度，所以该地的经度为东经111度。

根据以下公式

cos sin sin cosh

A δ?Ω

=

（11）

sin 0.39795cos[0.98563(173)]n δ=- （12） sinh sin sin sin cos cos ?δ?δ=+Ω （13）

联立（11）（12）（13）求得当地纬度为北纬3330'24'' 或161'21'' 。

则当地经纬度为东经111 ，北纬335068 （即3330'24'' ）或161'21'' ，可能地点在河南南阳、河南郑州、海南三沙。 §5.3问题三 直杆所处位置地点分析2

由附件2-3所给的影子顶点数据整理如下表所示：

北京时间 x 坐标(米) y 坐标(米) 影子长度（米） 时间t 12:41 -1.2352 0.173 1.247256205 0.68 12:44 -1.2081 0.189 1.22279459 0.73 12:47 -1.1813 0.2048 1.198921486 0.78 12:50 -1.1546 0.2203 1.175428964 0.83 12:53 -1.1281 0.2356 1.152439573 0.88 12:56 -1.1018 0.2505 1.12991747 0.93 12:59 -1.0756 0.2653 1.10783548 0.98 13:02 -1.0496 0.2798 1.086254206 1.03 13:05 -1.0237 0.294 1.065081072 1.08 13:08 -0.998 0.308 1.044446265 1.13 13:11 -0.9724 0.3218 1.024264126 1.18 13:14 -0.947 0.3354 1.004640314 1.23 13:17 -0.9217 0.3488 0.985490908 1.28 13:20 -0.8965 0.3619 0.966790494 1.33 13:23 -0.8714 0.3748 0.948584735 1.38 13:26 -0.8464 0.3876 0.930927881 1.43 13:29

-0.8215

0.4001

0.91375175

1.48

13:32 -0.7967 0.4124 0.897109051 1.53 13:35 -0.7719 0.4246 0.880973762 1.58 13:38 -0.7473 0.4366 0.865492259 1.63 13:41

-0.7227

0.4484

0.850504468

1.68

通过设12点为坐标原点，则12：00为0。例：向右加1小时，即13：00为1，向左减1小时，即11：00为-1，以此类推，上表2北京时间减去12所剩余的时间，全部换算成小时，即时间t 。并通过excel 拟合出时间t 和影子长度的二次函数关系式20.09810.6289 1.6298y =++。（以时间t 为x 轴，影子长度长为y 轴建立直角坐标系）如图8所示：

图8

图8是一个二次函数，根据二次函数的性质。此二次方程有最小值。其最小值

的坐标2b

x a

=-，因此 3.21x =。（这里x 为时间，因此可近似取两位小数）

国际上规定，每隔15 划为一个时区。以本初子午线为基准，从西经7.5 到东经7.5 ，划为中时区（或叫0时区）。在中时区以东，依次划分为东一区至东十二区；在中时区以系，依次划分为西一区至西十二区。东十二区和西十二区是同一个时区（一般称为东西十二区，以180度经线为基准，从东经172.5 到西经172.5 ）在何时候，东十二区比西十二区早24小时，即一天，但时间相同，如东十二区是2008年3月1日23：57，西十二区就是2008年2月29日23：57。也就是说15经度一

个小时，每个经度就是4分钟。

由 3.21x =，得影子长度最短时的时间为北京时间15：13。

根据影子最短时候应为当地正午12：00，则与北京时间15：13相差3小时13分。即52.75 。因为北京时间是以东经120 为时区计时，则附件2中该地经度应为：

12052.7562.25-=

北京时间 x 坐标(米) y 坐标(米) 影子长度（米） 时间

13:09 1.1637 3.336 3.533142184 1.15 13:12 1.2212 3.3299 3.546768029 1.2 13:15 1.2791 3.3242 3.561797643 1.25 13:18 1.3373 3.3188 3.578100715 1.3 13:21 1.396 3.3137 3.595750783 1.35 13:24 1.4552 3.3091 3.61493428 1.4 13:27 1.5148 3.3048 3.635425983 1.45 13:30 1.575 3.3007 3.657218272 1.5 13:33 1.6357 3.2971 3.680541115 1.55 13:36 1.697 3.2937 3.705167836 1.6 13:39 1.7589 3.2907 3.731278025 1.65 13:42 1.8215 3.2881 3.758917911 1.7 13:45 1.8848 3.2859 3.788087888 1.75 13:48 1.9488 3.284 3.818701015 1.8 13:51 2.0136 3.2824 3.850809619 1.85 13:54 2.0792 3.2813 3.88458522 1.9 13:57 2.1457 3.2805 3.919911828 1.95 14:00 2.2131 3.2801 3.956875992 2 14:03 2.2815 3.2801 3.99553479 2.05 14:06 2.3508 3.2804 4.035750835 2.1 14:09

2.4213

3.2812

4.077863059

2.15

由图9是一个二次函数，根据二次函数的性质。此二次方程有最小值。其最小

值的坐标2b

x a

=-，因此0.74x = 。所以同理可得影子长度最短时的时间为为北京时

间为12：45。

根据影子最短时候应为当地正午12：00，则与北京时间12：45相差45分。即11.25 。因为北京时间是以东经120 为时区计时，则附件3中该地经度应为：

-=

12011.25108.75

图9

§5.4问题四视频拍摄地点分析

视频数据分析如下表所示：

时间虚影长直杆虚长度直杆实际长度时间t实际影长

8:55:000.12150.1022-3.08 2.382352941

9:00:000.11750.1022-3 2.303921569

9:05:000.11350.1022-2.91 2.225490196

9:10:000.110.1022-2.83 2.156862745

9:15:000.1070.1022-2.75 2.098039216

9:20:000.10350.1022-2.67 2.029411765

9:25:000.10.1022-2.58 1.960784314

9:30:000.0960.1022-2.5 1.882352941

9:34:300.0940.1022-2.43 1.843137255

根据观察附件4的视频，分别在表4所示的各个时刻测量记录视频影长，并测量

杆的虚长度。求得实际影长=实际杆长/虚杆长*虚影长，并根据各个时间段的实际影长差求得影长变化，近而得到影长变化率。

太阳直射点纬度：sin 0.39795cos[0.98563(173)]n δ=- （14） 由视频所测日期2015年7月13日，得n=194天 所以由（14）得21.86N δ=

根据时间t 与影子长度的关系，通过二次拟合得到如图10所示的二次函数图像。

根据二次函数的性质。此二次方程有最小值。其最小值的坐标2b

x a

=

-，因此0.94x =。所以同理可得影子长度最短时的时间为为北京时间为12:56。

根据影子最短时候应为当地正午12：00，则与北京时间12:56相差56分。即14 。因为北京时间是以东经120 为时区计时，则附件4视频中该地经度应为：

12014106E -=

通过方位角公式cos sin sin cosh

A δ?Ω

=

计算出纬度为2740'34''N 或者1830'58''W -

因此我们通过查询地图经纬度可得到拍摄的地点可能是广州或者澳大利亚凯恩斯。

六、模型评价与优化

§6.1模型评价

6.1.1优点

①模型在图像处理和显示上，采用MATLAB和EXCEL分别作图和拟合数据

②拟合二次曲线变化趋势，使问题结果更加清晰

③从数据中筛选出影子长度变化时的合理数据并融合本题模型中心思想给出科学直观的显示数据

6.1.2缺点

①适用于白天拍摄的照片或者视频

②对阴天或没有光照的素材局限比较大

③只能大致对拍摄地点进行估测，经纬度的精确性有些许偏差

§6.2优化模型的建立

针对上述模型的缺陷中所显露出来的问题，笔者抽取了几个样本，通过计算和逻辑推理发现，任何一个地区，在日出，日没时，太阳高度角0

h= ，一天中的正午，即真太阳时，太阳高度角最大，此时太阳位于正南（北半球），即太阳方位角0

A= （或180 ）。

任何一天内，按真太阳时，上、下午太阳的位置均对称与正午，例如14:25:00对称于09:35:00两者太阳高度角和方位角的数值相同，只是方位角的符号相反，上午偏东，方位角为负值；下午偏西，方位角为正值。因此，当晚上或者阴天的某一时刻拍照的照片或视频没有办法用影子模型对它进行定位时，利用在白天两个对称时刻的影子长度是相等的，且两个对称时刻相加恰好是‘24’，因此可以通过它的对称时刻求出它。

七、模型推广

本模型的建立对于研究太阳影子长度轨迹与时间、地点确定等有一定意义，尤其在当今社会，有大部分照片、视频可能需要利用到此模型便可以对拍摄的时间、地点等数据达到进行研究的目的。

本文也可以为社会各行各业人员提供某些需要和模型参考。

参考文献

[1] 席贻霞.自制立杆测日影〔R〕.安徽.2015

[2]张闯、吕东辉、项超静等.太阳实时位置计算及在图像光照方向中的应用〔R〕.上海.2010年11月

[3]曹俊茹.大地纬度计算日影高度角方法〔M〕.山东.2012年

[4]郑鹏飞、林大钧、刘小羊、吴志庭等.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究〔Z〕.上海.2010-06

附录

附录1

n=295；

fai=39.907222*pi/180；

delta=asin(0.39795*cos(0.98563*(n-173)*pi/180) )

t1=9:1/20:15；

t=15*(t1-12)*pi/180；

alfa=asin(sin(fai)*sin(delta)+cos(fai)*cos(delta)*cos(t) )；

plot(t1,3./tan(alfa))

2015建模A题太阳影子定位

A题太阳影子定位 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39 度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析

太阳影子定位

太阳影子定位 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。 针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为多少m。

一、问题重述 1.1问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.2问题提出 问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。 问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。 二、问题分析 这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹， 2.1问题一的分析 针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。 2.2问题二的分析 针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件 1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1

太阳影子定位,2015数学建模国赛A题资料

对太阳影子定位算法探究 摘要 本文是对2013年全国大学生数学建模竞赛A题的解答.随着人们对数据挖掘的深入，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期已经成为视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，进而可以促进视频分析定位技术发展。 对于问题一，我们根据地球自转公转的自然规律，建立影子长度变化的数学模型，并且分析影子长度关于各个参数的变化规律。基于对问题的分析以及理论的学习研究，画出模拟概念图，然后计算相关量（如太阳高度角、赤纬角等）的表达式，并按照相关地理知识建立起模型，得到杆子影长与时间函数表达式，再将题目所给的数据代入求解方程，并用MATLAB作出曲线图，最后检验模型的准确性。 对于问题二，我们以问题一所求出的表达式和资料作为基础，继而利用球面天文学求算太阳视坐标的简化算法建立一模型直接求解出经度，纬度的估算值。再代进数据并用利用多项式拟合出更长的时间序列曲线，用函数的特征值（最低点）加上时角，时区计算相关知识，再推算出经度值。最后利用第一问模型，经度，加上曲线获得的几组影长数据联立求解出大致纬度，最后估算杆子所在的地区。 对于问题三，结合问题一问题二所建立的模型，将附件2，附件3的数据先画出散点图并以多项式拟合出两条相对完整的曲线，通过其曲线函数求得影长的最小值以及最小值所对应的时间求得经度，纬度，将经度和纬度代入赤纬角公式以及影长公式可求得相应的具体日期。 对于问题四，首先将视频数据利用MATLAB，并且编程处理视频得到每分钟一帧的图片，再把相关图片转化为灰度图矩阵，最后用语句转化为二值图（0为黑，1为白）。下一步把二值图集分析并且分析出杆子影长的变化规律，求出视频拍摄点经度，利用模型一求出纬度，即是位置。 关键字：影长位置 MATLAB编程多项式拟合最小二乘法二值图

大学生数学建模太阳影子定位

基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 摘要 本文研究了基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 针对问题一，本文运用天文、地理知识和基本的几何关系，得到影长关于各个参数的函数关系子模型，并建立影长逐级代换模型。我们首先找出影响影子变化的因素，即时间、日期、地理位置、杆的高度；再根据定量分析的方法，得出影子变化与四种因素的变化规律；然后将不同地理位置均按120°E正午12点为0°时角计算当地时角，并通过构建太阳高度角与杆长的简单直角三角图形，利用MATLAB [1]软件计算得出北京时间9:00—15:00时间段内影子的变化曲线。根据曲线得出，该时间段内影长的变化范围在 3.674m—7.366m。每个整点影长如 标求出每个时刻所对应的方位角，将问题一和二中关系式联立，以1°为步长，通过编程遍历整个坐标系分别解出对应时刻不同地理位置所求出的方位角与理论方位角最接近的地理位置，每一点只对应一个时刻。再根据所给信息进行大致筛选，并通过求筛选出的任意一点同其他时刻理论方位角与实际方位角差的平方和最小时的点进行二次筛选。由于误差较大，我们需通过实数离散逐级求解模型，来分别以1分和1秒为步长对先前的二次筛选点进行小范围的遍历，遍历规则同上。最终求出最佳近似位置为： （39°29’30”N，120°29’30”E） 针对问题三，同样利用问题二中模型，增加了日期变量，此时所需遍历参数为经度、纬度、日期,用模型二的方法初步得到21个三维坐标，然后由此21个数据定出与它们方差最小的点的坐标，再进一步减小步幅，得到新的精度更高的21个坐标（精度达到分），重复以上步骤确定经纬精度达到1秒，日期精度达到1日，以此作为我们逐层优化得到的近似最优解，也就确定了坐标。最终求出最佳近似位置和日期分别为： 附录2：（35°29’29”N，31°29’29”E） ,日期为10月6日 附录3：（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日针对问题四，首先对视频进行截图，取时间间隔1min，对图片进行增大对比度处理，建立空间距离矩阵，确定影子长度，位置的变化，进行相应的处理，确定坐标系，坐标点，第一小问就转化为了问题二模型进行求解了，第二小问缺少日期，符合模型三，利用模型三求解即可 关键词：逐级遍历优化、近似最优位置、控制变量法、问题归并

小学科学《太阳和影子》教学设计

太阳和影子教学设计 一、教学内容分析及教学设想和实施方法 1、教学内容分析及设想 太阳的运动和影子的变化，对孩子们来说，太习以为常了。即使是一年级的学生也不陌生，但正是这日复一日，年复一年的重复变化，却往往被学生忽视。一方面，学生对宇宙万物怀着与生俱有的，强烈的好奇心，另一方面，他们对自然界的运动和变化缺乏足够的重视。因此，本课的教学就是让学生通过丰富多彩的探究活动，让孩子们真切感觉到太阳和影子永无止境地有规律运动和变化，认识到太阳的运动与影子之间的关系，感悟到司空见惯的现象中往往包含着值得我们探究的科学道理，意识到科学探究，永无止境。 根据学生的年龄特点，本课采用学生喜欢的探究活动的方式，如猜谜语，手影等实物演示理解影子的形成条件；用手电筒代替太阳模拟太阳一天的运动过程观察影子变化规律等。在教学过程中，注重课内外相结合，课内观察与中长期观察相结合，学生观测记录与研讨相结合，意在让学生“建构”，自己掌握科学学习的方法，自己发现科学现象的规律。 本课的主要活动有：猜谜语，影子形成的实物表演；回忆太阳和影子一天中的位置和大小、方向，猜想太阳位置和影子的变化规律，然后通过模拟太阳实验，观察太阳位置和影子变化，通过实验进行验证。通过这些活动，学生享受成功的喜悦，交流分

享自己同他人的发现，建立对宇宙的情感，从而点燃探究宇宙的热情。 2、教学实施方法 （1）通过猜谜语，知道影子现象；然后通过手影、实物投影等方式，了解影子形成的条件。 （2）回忆：一天中太阳位置及高度变化。 （3）实验：用手电筒模拟太阳在天空中的运动模式以及影长的变化，并作好观察记录。 （4）总结出太阳的位置和影子的关系，然后用动画（一天中太阳上树的影子变化规律）演示的方法，让学生形象的加深印象。 （5）根据太阳和影子变化规律，如何在生活中解决问题及运用这个规律更好的方便生活。 二、教学过程 （一）影子现象及影子形成条件教学 1．导入： 出示谜语：你有我有他也有,黑身黑腿黑黑头,灯前月下跟你走,就是从来不开口。猜一自然现象（影子） 2．学生猜谜。 3．展示中的影子现象 （1）播放视频：太阳下物体的影子：树叶的影子。 （2）投影展示一组实物影子实拍照片（太阳下的影子有灯

数学建模太阳影子定位

西安邮电大学 (理学院) 数学建模报告 题目：太阳影子定位问题 班级：信息工程1403班 学号：03144079 姓名：侯思航 成绩： 2016年6月30日

一、摘要 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二、问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 三、问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。 第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。

太阳影子确定位置

太阳影子确定位置 太阳影子定位摘要太阳影子定位摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。 本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系及MATLAB软件编程、数学建模等方法，对问题一、问题二、问题三分别给出了数学模型及处理方案。 对于问题一，根据题目所给的时间，日期，地理位置，杆长等条件，首先确定影响影子长度的各个因素，然后再根据几何知识确定它们之间的数学关系，建立相关的数学模型。 再运用MATLAB软件进行编程及绘出影长与时间点的变化曲线图。 对于问题二，根据题目可知，在时间点，日期，影子坐标已知的条件下，需要求出所测点的地理位置，即经纬度。 在问题一的基础上，我们根据问题一的相关结论，做出合理的假设。 用MATLAB软件拟合出所求点的影长与当地时间的关系曲线，确定各个影长所对应的当地时间。 根据附件1中所给点求出影长，找到对应的北京时间。 得到所求地与北京的时间差，即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。 在问题二中，我们运用相关公式转换了坐标系，分析各个公式之间的相互转换，计算出题目所求地点的纬度。

从而，确定当地的位置。 对于问题三，给定时间与影子的坐标，确定日期及地理位置。 经度的确定与问题二中求得经度的方法一样，都是通过MATLAB 软件、时间差等方法求得的。 对于纬度的求解，则是运用相关因素之间的公式，转换变化得出日期与纬度之间的关系。 再用MATLAB软件进行穷举，得出所有的纬度，来确定的。 最后，对于论文的优缺点做出了评价，还给出了客观的改进建议。 关键词MATLAB 公式一．问题重述二．问题分析1.3问题三的分析三．模型建设1.假设题目中所给的数据全都真实可靠四．符号说明五．模型的建立与解决5.1 问题一：1.模型的准备2模型的建立3模型的求解5.2 问题二：1.模型的准备2.模型的建立（1）直角坐标系的转换原直角坐标系：根据附件1给出的一系列点的坐标，用Matlab软件编写程序，输入附件1中给定的点，得到偏转角度θ。 新直角坐标系：根据原直角坐标系得到的角度θ,以此角度θ为旋转角度，建立起新的坐标系。 公式1：公式1中，θ为旋转角度，x,y分别为原直角坐标系中的横、纵坐标，x1,y1分别是新直角坐标系的横、纵坐标。

(整理)小学科学三年级下册《太阳和影子》

青岛版小学科学三年级下册《太阳和影子》教学设计 【教材简介】 本课是本单元的起始课，以“太阳”携领本单元，对光的知识进行初步的研究。通过引导学生观测一天中太阳在天空中的位置变化、物体影子长短、方向变化的情况，分析观测到的数据与现象，让学生发现影子和温度的变化与太阳的东升西落的关系。通过表达与交流，让学生认识太阳位置的变化与我们生活的关系。 【学情分析】 三年级的学生对太阳和影子已有足够的生活经验，在我们的教学中应该充分发挥学生的这种优势，给学生提供足够的自我探究的空间，使学生会通过自己的探究得到知识。 【教学目标】 1、知道影子产生的条件，知道太阳每天在天空中的运行模式；认识一天中影子的变化与太阳的运动的关系；能利用太阳辨认方向。 2、能做影子形成的探究实验，探究太阳位置变化与影子之间的关系，并能够对实验观察到的现象进行描述。 3、能在实验探究中，养成乐于探索、善于交流、团结合作的优良品质；能体会到科学探究来源于生活，科学知识服务于生活。 【教学准备】多媒体课件；手电筒、小物体等实验器材。 【教学过程】 一、游戏导入 1、学生猜谜，初识影子“人人有个好朋友，乌黑身子乌黑头，太阳光下伴你走，一到黑处就分手。”（谜底：影子） 2、讨论：你怎么知道谜底是影子的？ 你知道在什么情况下会产生影子吗？ 学生交流并演示。 小结：只有光照在不透明的物体上才能产生清晰的影子。

3、手影游戏，体会影子变化。生交流并演示。光的位置变化，会让影子产生变化。 4、谈话：除了刚才的手影，日常生活中你还在哪里看到过物体的影子？揭示课题：今天这节课我们先来研究《太阳和影子》。 【猜谜和手影游戏都是学生喜闻乐见活动方式。通过学生喜欢的游戏来导入，可以使学生迅速集中思维，很快地进入到课堂角色中来。更重要的是让学生在游戏中反复实践、体会，使学生感受到影子形成的条件，感受到影子是有变化的。】 二、探究活动 活动（一）：太阳位置变化与影子的关系 1、认识太阳下的影子。 （1）交流：你见过太阳下自己的影子吗？是什么样子的？ 学生交流自己的发现和课前观察的收获，发现影子的变化。 （2）谈话：这种变化与什么有关系呢？ 【通过引导学生研究太阳下自己的影子入手，充分调动了学生已有的知识经验，发现影子的变化与太阳的东升西落有着密切的关系。】 2、探究太阳位置变化与影子之间的关系。 （1）交流太阳在一天中的位置变化情况。学生汇报。发现太阳的东升西落。 （2）师：知道了太阳一天中的变化规律，那一天中太阳下物体的影子又有哪些变化呢？你能利用桌子上的材料来设计一个实验，模拟研究一下太阳与影子之间的关系吗？ 学生小组讨论并交流做法。 （3）出示实验要求，学生活动，教师巡视指导。 （4）汇报：你们是怎么做的？发现了什么？

太阳影子定位-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题太阳影子定位 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 太阳影子定位 摘要 本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。 针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度?、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳

赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型：??? ????=?? ?? ????-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δ?δ?λ；其次以实例对模 型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二， 关键词 一、问题重述： 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

小学科学三年级下册8《太阳和影子

青岛版小学科学三年级下册 8《太阳和影子》教学设计 一、教材分析 《太阳和影子》是青岛出版社《科学》三年级下册第二单元《太阳与时间》的第二课。本课主要通过手影游戏，知道产生影子的条件；根据太阳位置变化猜测、实验影子变化规律；知道利用太阳辨别方向的方法；进一步感知人类生活离不开太阳。使学生能够关注日常生活中的自然现象，激发学生探究身边科学的兴趣，培养学生的观察能力及记录观察数据的能力。 二、学情分析 太阳和影子在学生的生活中是司空见惯的现象，因此大多数学生有一定的体验。但是，由于受知识、能力和习惯的局限，学生真正有目的、有计划地去观察这些现象，并进行深入探究的却很少，学生的这些体验基本上还是浅层次的、杂乱无章的。引导学生用科学的方法来探究太阳与影子的关系，并用规范、科学的语言把所获得的认识上升为科学概念表达出来，还有一定难度，需要我们对学习方法和过程进行精心设计和指导。 三、活动目标 （一）科学知识 1、知道影子形成的条件； 2、知道太阳每天在天空中运动的模式，能利用太阳辨认方向。 3、知道物体在阳光下影子长短和方向变化的规律； 4、了解太阳在天空中的位置变化与温度变化的关系. （二）科学探究 1、能用简单测量工具对物体进行定量观察，采集数据，并做简单记录； 2、能将观察的现象用图画和语言描述其形态特征； 3、知道利用太阳光和影子为人们的生活做一些有益的事。 （三）情感态度和价值观 1、尊重通过实验获得的科学证据； 2、愿意合作与交流； 3、能体会到科学探究来源于生活，科学知识服务于生活的道理。 四、活动重难点 （一）教学重点： 1．影子形成的条件。 2．太阳位置变化与影子和气温的关系。

A题 太阳影子定位

A题太阳影子定位 摘要

一.问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 二.问题分析 本题第一问是研究太阳影子长度随各个参数的变化规律，影响太阳影子长度的因素主要有时间以及地点，也就是当地的经纬度和时间来影响太阳高度角来影响太阳影子长度。 太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。根据太阳高度角的计算公式： sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t 即求出太阳高度角就能算出太阳影子长度。 本题第二问是根据第一问的模型通过最小二乘法拟合来判断大致的经纬度，从而确定地点。

小学科学苏教版五年级上册——太阳和影子

课时教案 主备教师：李玲执教教师： 教学内容:太阳和影子 教学目标: 1.了解太阳在天空中位置的变化与温度、时间变化的关系;知道同一物体在阳光下影子长短和方向变化的规律，并能运用太阳和太阳光下物体的影子来辨别方向。 2.引导学生对日常事物进行观察，质疑。培养学生合作与交流的能力，养成长期观察的好习惯。 3.知道利用太阳光和太阳光下物体影子的变化为人们的生活做一些有益的事。 教学重点: 了解太阳在天空中位置的变化与温度、时间变化的关系;知道同一物体在阳光下影子长短和方向变化的规律，并能运用太阳和太阳光下物体的影子来辨别方向。 教学难点:连续一天的观测和记录。 教材分析: 本课是义务教育课程标准实验教科书“白天和黑夜”单元的起始课，也是“地球与宇宙”部分的入门课。主要包括三个方面的内容：了解影子和物体的关系；通过观察活动实际感知物体在太阳下的影子及其变化，画物体的影子；猜测并验证太阳下物体影子的变化规律。本课在猜想与验证、表达与交流中，使学生认识到太阳与影子的规律及关系，使学生能用科学道理解释身边的生活现象，激发学生学科学、用科学的热情。 学情分析: 本课与《太阳钟》、《昼夜交替》、《看月亮》共同组成《黑夜和白天》这一单元。本课是学生开始认识宇宙的起始课，首先是通过学生对物体影子的观察，知道影子形成的原因，在此基础上引导学生观察不同时段影子的变化使学生进一步发现影子变化的规律，然后通过模拟太阳的运动，让学生懂得一天中气温和影子的变化与太阳的运动有关。 教学具准备:多媒体课件 课时: 一课时 教学课时:一课时

教学预设： 一、激趣导入（猜一猜） 1.师说谜语：人人有个好朋友，乌黑身子乌黑头，太阳光下伴你走，一到黑处就分手。（谜底：影子） 2.学生猜谜。 3.讨论：你怎么知道谜底是影子的 关于影子你还知道哪些 4.学生交流对影子的了解。 5.学生初步感知：在灯光下有物体的影子，引入新课，板书课题。 6.同学们看见室外的阳光了吗(提醒学生不可正视太阳)(视觉体验)。 7.站在阳光下有什么感觉（感觉）温暖、热…… 8.同学们能够描述太阳此时此刻的位置吗 9.引导深入：你们还见到过其它位置上的太阳吗那是在什么时候（早晨、中午、傍晚……） 揭示课题。 二、新知探究（深入理解） （一）教室内找影子。 1.你能在室内找出自己的影子吗 2.打开教室内的电灯。 (1)学生拿起自己的课本，抬高到离桌面约10厘米的地方，在桌子上找一找书的影子。 (2)通过这个活动你发现了什么 （二）画影子，加深对影子的认识。 1.在教室里画影子。 (1)重复上面的实验，学生把自己看到的书的影子画在自己的记录纸上。 (2)猜一猜，这是谁的影子 (3)（关掉教室内的灯）问：你能根据想象画出自己的影子吗 (4)学生试着在记录纸上画。教师巡视。 让学生将自己对影子的想法贴到黑板上，进行分类。

基于并列选择遗传算法的太阳影子定位方法

第35卷第1期2017年2月 陕西科技太摩摩裉 Journal of Shaanxi University of Science & Technology Vol.35 No.1 Feb.2017 关 文章编号：1000-5811 (2017)01-0193-05 基于并列选择遗传算法的太阳影子定位方法 于鹏\刘泽锋2，郭改慧\陆金巧\吕杨1 (1.陕西科技大学文理学院，陕西西安710021: 2.陕西科技大学机电工程学院，陕西西安710021) 摘要：根据“立竿见影”和竿影日照图的原理，提出了一种太阳影子定位方法.首先结合太阳 高度角、太阳赤綷角，以理论影长和实际影长的相关系数最大和其误差平方和最小为目标函数 建立了求太阳影子定位的多目标优化模型，并以测量地的经綷度作为设计变量，运用并行选择 的遗传算法进行求解，实现了对测量地的精准定位.最后通过实例分析，指出与传统的枚举算 法相比，本文采用的遗传算法的求解结果无论在精度还是在收敛速度上都优于传统的枚举算法. 关键词：太阳影子定位；多目标优化；并行选择；遗传算法 中图分类号：TP391 文献标志码：A Positioning method by the shadow of the sun based on parallel selected genetic lgorithm YU Peng1，LIU Ze-feng2，GUO Gai-hui1，LU Jin-qiao1，LV Yang1 (1. School of Arts and Sciences,Shaanxi University of Science Technology,Xi^an 710021, China；2. Col- lege of Mechanical and Electrical Engineering,Shaanxi University of Science Technology,X i’an 710021，China) Abstract：According to the natural phenomenon that produces a shadow of objects under di-rect sunlight and the formation principle of stick sunlight shadow chart,the positioning method by the shadow of the sun is https://www.wendangku.net/doc/f83021646.html,bined with relevant knowledge such as solar altitude and declination of sun.The multiple object optimization model,whose objective fun-ction is the maximum of correlation coefficient and the minimum of error sum of squares a-bout practical and theoretical shadow7s length,is built.Regarding longitude and latitude of measure area as design variables,the measure area is confirmedwith parallelism selection ge-netic algorithm.In the analysis of case,compared with enumeration method，there is the truth that,the result by genetic algorithm is more accurate and the solution speed is faster than enumeration method. Key words：positioning by the shadow of the sun；multiple object optimization；parallelism selection；genetic algorithm 收稿日期=2016-07-21 基金项目：国家自然科学基金项目（11401356) 作者简介：于鹏（1981 —），男，宁夏永宁人，讲师，硕士，研究方向：不确定推理

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位资料

摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ?θ?θ-=Ω+ 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。 (19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E 然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74 ,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。综 上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E) 和杆长L 1.962m = ，得到天数=140n 针对问题四，首先运用MATLAB 软件，根据画面灰度，运用MATLAB 软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E ，日期未知时，得到的经纬度与其相似。 【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度

太阳影子定位技术 高教社杯 数学建模 获奖论文讲课稿

太阳影子定位技术2015高教社杯数学建模获奖论文

太阳影子定位技术 摘要 本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。 第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。 第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。 在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。 这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。

为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。 第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。 运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。 关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、二值化处理、Floodfill图论算法

【新教材】青岛版(新教材)小学科学三年级下册《太阳和影子》

2.太阳和影子 【教学内容】三年级下册第一单元第2课 【教学目标】 1.能根据观察到的现象提出探究的问题；能根据假设设计探究实验，并能利用实验结果解释假设；能利用图形表示自己的研究结果。 2.乐于对日常事物进行观察，置疑，学会合作交流，养成长期观察的好习惯。能利用太阳位置的变化与人类生活的关系解决生活中的小问题。 3.了解太阳在天空中位置的变化与温度、时间变化的关系；知道同一物体在阳光下影子长短和方向变化的规律，并能运用太阳和太阳光下物体的影子来辨别方向。 【教学重难点】 教学重点：在合作学习中，探究太阳运动与影子变化的规律。 教学难点：太阳在天空中位置的变化与温度、时间变化的关系。 【教具、学具】 学生准备：2人合作课前测量自己早中晚影子长短、观察影子方向，每人一张课前观察记录单，每人一份装有“根据太阳的位置画出物体影子”的材料袋； 每组：实验记录单、透明薄玻璃片、不透明薄玻璃片、白纸、铅笔、手电筒；教师准备：学生所用探究材料；太阳卡片图三个、动物影子的图片与视频资料、太阳在天空中的位置与人类生活的关系的图片资料、无影灯图片、日晷图片。【教学过程】 一、创设情境，提出问题 1.谈话：老师给大家带来了一段动物王国里有趣的视频资料，想不想看？ 2.教师播放孔雀欣赏自己美丽的影子、水中的鱼群和一些高级灵长类中具有发达视力的脊椎动物利用影子形态变化预知险情、美洲鹳用影子捕食的视频。 3.学生观看视频资料谈感想，引出对影子的探究欲望。 4.谈话：在日常生活中，你在什么情况下也看见过影子？ 预设1：阳光下、灯光下、月光下….. 4.提出问题：关于影子，你想了解些什么？ 学生各抒己见。

根据影子判断地理位置

太阳影子定位模型建立 摘要 本文讨论求解了在直杆影子随时间变化过程中，在知道日期、杆位置、影子坐标、时间等参数条件中的某几个前提下，设计了确定型模型进行求解。 分析太阳方位与直杆影子关系，首先，将地球自转公转视为地球不动太阳动，利用立体几何知识得出太阳高度角与影子长度关系。问题一的关键在于太阳高度角与日期、竿位置、时间参数的关系。问题二中我们将立体平面化，把太阳与地球的运动关系转化为平面上的角度关系，使模型简明直接。在模型求解时，我们把各解看为离散型随机变量，对解进行权重处理，最后求得较精准的解。问题三，先结合前两题的模型预处理，再利用matlab据最小二乘法原理，来对目标函数进行曲线拟合求解。对问题四中视频进行分段截取照片处理，用photoshop软件测量影子长度与时间关系，再结合前几题模型与求解方法，可求得结果。问题被函数化，模型简明直接，提高了确定性。 关键词：太阳高度角，立体平面化，权重处理，matlab曲线拟合 问题重述 确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 通过影子长度变化建立数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出某时间段某地某固定直杆的太阳影子长度的变化曲线。 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。并利用模型对附件1的影子顶点坐标数据进行求解，求出若干个可能的地点。

根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件的影子顶点坐标数据，求出若干个可能的地点与日期。 根据一根直杆在太阳下的影子变化的视频，直杆的高度为2米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。日期未知下再尝试求解。 问题分析 根据影子变化来确定时间地点和时间，我们把地球自转看成太阳绕地球转，可以转化为太阳方位与地球各地点和时间的关系问题。 对于问题一：可以把影子长度变化规律转化为光线与水平面夹角的变化规律。我们根据地球自转公转规律和立体几何知识建立模型，且该模型得能体现光线和地面的夹角与日期时间、地理位置的关系，最后通过matlab画出影子长度随时间的变化曲线。 对于问题二：问题二相比问题一缺少一个已知量，无法通过问题一中的模型来求解，我们把太阳与直杆影子的关系转化为了平面角度关系，进而简便有效地求出杆的位置。 对于问题三：已知量较前一问更少，故我们先结合问题一和二建立的模型，再应用matlab进行曲线拟合求得参数解。 对于问题四：通过提取视频特定帧，测量出杆的影子随时间变化的实际长度数据，与问题三类似，结合模型用matlab曲线拟合求解即可，或者取多组数据用lingo软件求解方程组。 模型假设 1.假设地球公转轨迹近似为圆。 2.忽略太阳光线进入大气层时的折射误差。 3.假设地面是水平的且直杆垂直地面。 4.忽略太阳直射点纬度一天内的变化。 5.假设所给数据准确可靠。 定义和符号说明 H：杆长