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高数下册课后习题答案(机械工业出版社)

下册各章习题参考答案第七章

习题7.1

1. A: IV , B:V , C: VIII, D: III

2. x 轴: 34, y 轴: 41, z 轴: 5.

(1) (a,b,-c), (-a,b,c),(a,-b,c) (2) (a,-b,-c), (-a,b,-c), (-a,-b,c)

(3) (-a,-b,-c) 4．略

习题7.2

1. c b a 875+- 2，3，4 略习题7.3

1. 52==→

→

BA AB , 11=→

AC , 3=→

BC . 2.

→

→?AC AB 2

3. ?

???±

116,11

7,11

4. (1). -12, (2). 1; (3). 105

1arccos

-π

5. (1). x 0⊥α轴， yoz //α平面；（2）z x 0⊥α面且指向与y 轴的正向一致;

(3). x 0//α轴， yoz ⊥α平面. 习题7。4

1. 0631044=-++z y x

2. 9

116)

4()1()3

2(2

++++

z y x ,它表示球心在)3

4,1,3

2(-

半径等于

2的一个球面. 3. x y z 52

=+ 4---7 略

8．母线平行与x 轴的柱面方程: 1632

=-z y ;

母线平行与y 轴的柱面方程: 16232

=+z x .

9. 9)1(222=-++x y x , 0=z . 10. ?

??==+01

3222y z x

11.

22≤≤≤≤≤+z y

z x y x .

12. (1) )20(;

sin 3,

cos 23,cos 23π≤≤??

?????

=t t z t y t x ; (2) )20(;0,

sin 3,cos 31π≤≤?

???

==+=t z t y t x

习题7.5

1．略

2. 04573=-+-z y x

3. 023=--z y x

4. 0139786=-++z y x 5．

(1) 05=+y (2) 03=+y x (3) 029=--z y 6. 1 7. 531124-=+=-z y x 8.

1224

3-=

+=--z y x

9. 065111416=---z y x ; 10．略

11. (1) 平行 (2) 垂直

(3) 直线在平面上.

习题7.6

1．略

2. (1) 圆; (2) 椭圆; (3) 双曲线; (4) 抛物线

第八章

习题8.1

1. (1) 1; (2) 0; (3) 4

1－; (4) e ; (5) 2; (6) 0.

2. )(2

2y x xy +≤

习题8.2 1. (1)

3y y x x

z -=??,

33xy x y

z -=??; (2)

)ln(21

xy x x

z =

??,

)

ln(21xy y y

??;

(3)

y x y

x y

z csc

sec

??,y

x y

z csc

sec

=??;

(4) 1

-=??z

y z x

y x

u ,

z y

u z y

ln 1

-=??,

x x

y z

u z

z ln ln =??;

(5)

z y x y x z x

u 21)

(1)

(-+-=

??-,

z y x y x z y

u 21)

(1)

(-+--

=??-,

y x y x y x z

u 2)

(1)ln()(-+--=

??;

(6)

)]2sin()[cos(xy xy y x

u -=??,

)]2sin()[cos(xy xy x y

u -=??,

π=

α.

4. (1)

812y x x

z -=??,

812x y y

z -=??,

xy y

x z 162

-=???;

(2)

)

(2y x xy x

z +=

??,

)

(2y x xy y

z +-=

??,

222

)

(y x x

y y

x z +-=

???;

(3)

y y x

z x

2ln =??，

)1(--=??x y

x x y

z ，

)ln 1(1

y x y y

x z x +=???-；

(4)

[]2

2sin cos 22x

x x

z +-

=??,

cos 2x y

z =??,

sin 2x x y

x z =

???.

x z y

x z -

=???=???.

6. ?

????+≠++=??000)(222

223

＝当当y x y x y x y x f ； ??

???+≠++=??0

)(2

2223

＝当当y x y

x y x x

y f .

习题8。3

1. (1) ??

??-=

dx x y dy e x dz x y

; (2) )()(2

322xdy ydx y x y dz -+=;

(3)

)(xydz zxdy yzdx e

du xyz

++=；

（4） 2

1(2)()x dz xy dx x dy y

=++-

2. dy dx dz 3

231+

3． 0.119,0.125z dz ?=-=-

4． 2.95

习题8。4

)2sin cos sin (cos

2y y y y x x

z -=??，

[

y y y y x y

z 2sin )sin (cos sin

cos 3

+--=??．

)23(3)23ln(2y

y x x

y x y x x z -+

-=??,

)23(2)23ln(2y

y x x

y x y

x y

z --

=??

)6(cos 2

2sin 3

t t e

dz t

t -=-.

x e ax

sin

6. (1)

212f ye

f x x

z xy

'+'=??,

212f xe f y y

z xy

'+'-=??;

(2)

11f y

u '=

??,

212

1f z

f y

u '+

=??,

f z

y z

u '-

=??;

(3)

212f x f x

u '+'=??,

212f y f y

u '+'=??,

212f z f z

u '+'=??.

8. (1)

12f y

f y

f x

z ''+''+''=??,

223

21f y

f y

x f y x y x z '-''-''-

=???;

22322

2f y

x f y

x y

z ''+'=??; (2)

222212311

442f y x f xy f y f y x

z ''+''+''+'=??;

223122211

212

25222f y x f y x f xy f x f y y

x z ''+''+''+'+'=???;

22412311

212

442f x f y x f y x f x y

z ''+''+''+'=??; (3) )(23313

132

cos 2cos sin y x y x y

x e f x e f x f x f f e

z +++''+''+''+'-'=??,

33)(2231312

sin cos sin cos f e y f e x f e y x f f e

x z y x y x y x y

x ''+''-''+''-'=???++++ 33)(2232222322

sin 2sin cos f e y f e y f y f f e

z y x y x y

x ''+''-''+'-'=??+++ (4)

)(

"6)(

)(2)(22

y f x

y x

y f x

y x x

y f x

z -

+=??，

)(

"22

32x

y f x

y y

x z -

=???，

)(

"12

y f x

z =

习题8。5

x y x dx

dy -+=

. 2.

xyz xyz

yz x

z --=

??,

xyz xyz

xz y

z --=

??.

x z

z +=

??，

)

z x y z

z +=

??.

22322

)

(22xy e e z y z xy ze

y x

z z

---=

??.

)

()

2(xy z y x xyz

z z y

x z ---=

???.

8. (1)

)13(2)

16(++-

=z y z x dx dy ,

3+=

z x dx

; (2)

y x x

z dz dy z x z y dz

dx --=

--=

,; (3) 122

11212

)12)(1()12(g f g v f x g f f g vy u x

u ''--'-'''-'-'-=

??;

122

11)12)(1()1(g f g v f x g f u f x x

v ''--'-''-'+'=

??.

(4)

)cos (sin sin +-=

??v v e v

u u

)c o s (s i n c o s +--=

??v v e v

u u

;

]1)c o s (s i n [c o s +--=??v v e u e

v x v

, ]

1)cos (sin [sin +-+=??v v e u e v y v u u

. (5)

)

()(y x x y r r r

x +-=

??，

)

()(y x y x r r r

y +-=

??，

)

(1y x x y s

x +-=

??，

)

(1y x y x s

y ++=

10．

1]cos 2[1cos f x e x xf f x

u y

?+??-

+=??

习题8。6 1. (1) 切线方程：

--=z y x π

－; 法平面方程：3322-=+-πz y x ；

(2) 切线方程：)

2(1000

z z z y y x x y m --=

法平面方程：0)(21)(00

0=--

-z z z y y y m x x ；

(3 ) 切线方程：1

116

1--=-=

z y x －；法平面方程：24916=-+z y x .

2. )1,1,1(--和)27

1,91,31(--

. 3. 切平面方程：0=++a z x ；法线方程：?

??=+=a y a z x .

4 )0,2,4(-和)0,2,4(-;

5. 切平面方程：024412=++--z y x ; 法线方程：

112

2-=--=

-z y x －.

法线的方向余弦为：)161

161

12(

习题8。7

1. (1) 极大值82,2=-）（f ; (2) 极大值36)2,3(=f ; (3) 极小值2

)1,2

e f -

=-; (4) 极大值4

1)0,0(=

f .

2. 2

时，表面积最小。（其中k 表示该容积的体积）。

3．）（

,58; 4. 正方体的边长为

2a . 5。）（5

,58 6. 当矩形的边长为,3

p p 时，饶短边旋转所得的圆柱体的体积最大。（其中p 表示

该矩形的周长） 8．12

9．(1) 在21

38,2164=

=y x 时取得最大收益; (2) 当25.1,25.0==y x 时收益最大.

习题8。8

1. (1) 321+; (2)

2e ; (3)

98; (4)

)(212

2b a ab

2、沿梯度的方向上的方向导数最大，梯度方向为)3,2,1(=l

，方向导数的最大值为14，最小值

为0.

3. (1) ）（5,8; (2) ）（1,2

1-; (3) ）（3,0; (4) ）

（e e e 3,2,. 综合练习题8 2.

y x e

x yz x

u +++=??)2(22

y x e

y xz y

u +++=??)2(2

y x e

z xy z

u +++=??)2(2

??'+''+''=???y f y y x z 2

x f x x y f f x y x f y

x z cos cos sin )cos sin 2(22221211

'+''+''-+''=???－.

7. 51. 8.

11.

z x

y x f z x z x e z x f x

y f dx

du )

sin()

()sin(----+-=.

10. 22

3cos =

θ. 11. 3

9a V =.

第九章习题答案

习题9.1

1. (1)

a π (2)

2. (1) 12I I < (2) 123I I I << (3) 12I I >

3. (1) 2

1d x y

e σ+≤

≤??

(2)

21sin()4

d D

x y σπ≤

+≤

习题9.2

1. ( 1)

3231

(,)x x

x f x y y +-?

d d ;

191

(3)

(,)(,)d d d d y y f x y x y f x y x -+

(2)

(,)d d x f x y y -?

;

2(,)d d y f x y x -??

(3)

1220

(,)(,)d d d d x

x x x x f x y y x f x y y +

???; 注意：此为第一象限内区域上的积分，

好像还得有第三象限的区域。

122

(,)(,)d d d d y

y y y y f x y x y f x y x +

2. (1)

(,)(,)(,)y dy f x y dx x f x y y x f x y y =+

????d d d .

(2)

(,)d d x

e x

f x y y ??

3. (1) 3(1)4π

π+

(2)ln 2 1(3)4e e ?

?- ??

? (4) 1(1)4e - (5) 1130 4. (1)

2sec 3

(cot )d d f r r πθπ

θ??

(2)

2cos 2

()d d a f r r r π

θθ

5. (1) 4

()e e π- (2)

(2ln 21)2

- (3) a .

6. (1)

4π

(2) ln 2 (3 )

(4) 23

7. (1)

1(cos1cos 2)6

- (2)

习题9.3

(1) 110

(,,)d d d x x y f x y z z -?

. (2)

(,,)d d y x y f x y z z -?

(3)

2111

(,,)d d d x y x

x y f x y z z +-?

2. (1)

(2)

325π (3 ) 2

1(1)28

3. (1) 18

(2)

134

π (3 )

(1cos

)(13

()d x y f x y z z ++??

;

()d d d r

r r f r z z π

;

240

()d d sin d f π

φρρφρ?

习题9.4

163

R 2.

4. 5. 8-

6. 7. 13 8. 2(0,0,

9. (1) 2k a π (2) (0,0,

10. . 324,

105

x y I I ==

，4

z I a h π=

11. 12

F k a k πμ=

(k 为引力常数) .

综合练习题9

1. (1)(2)(3)A C B .

(1)

211

(,)d d x x f x y y -?

(2)

(,)d y

y f x y x ? 或

100

(,)(,)d d x

x f x y y x f x y y +

(3)

(4) 2

()]3

ht f t π+

3. (1) 3

(2)ππ

+ (2)

14e

(3) 1e - (4)

(5) 2

2e π

6. 4

243

ha h a ππ+

3sec tan csc 4

sec tan 30

(cos ,sin )(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr

d f r r rdr

πθθ

θθ

πθθθθ

θθθ

θθ+

8. 2

0(,,)x y dy f x y z dz +?

第10章习题答案

习题10.1

1. (1)

(2)

41)3

(3)

25615

(4) 32

(5)11)12

(6) 9

a π

习题10.2

1. (1)

(2) - (3) 0 (4) 2π- (5)874

(6)

2. 12

3.22

()2

k a b -

4 .(1)

s ?

(2)

(1)]d L

x Q s +-?

习题10.3

1. (1) 18π (2) 2360 (3)

125

(4)

1sin 24

2. (1) 12π (2)

a π.

3. (1) 0 (2) 2π-

4. 4-

1k =- , 2

(,)arctan

y u x y x

=-.

1.(1) 3

a π (2)

+ (3) 2arctan

H R

π (4) 2ln

a a h

π (5)

120

163

a π; 3.2(2)π- ;4. 20,x y k F F a

ρ==-

;

5. 0,,,4

x y z I I I I =

习题10.5

1. (1) 2

(2)

16 (3) (4) (5)

2. (1)

32[

]

d P Q R S ∑

(2)

S ??

习题10.6

1.(1)

(2)

125

π (3) 44R π (4)

2. ((1)4(2)

0π

习题10.7

1(1) 2

a (2) (3)

a π

2.(1)

(2cos )23,

(2)0---

y e y i x j x k

3.2π;

4.12π.

综合练习题10

(1)(2)(3)C B D .

2. (1) 2

a π-

(2) 0 ,

R π

(3) 6π-.

3. (1)

arctan 8arctan 22

++ (2) (38) 2π.

4. 1a =

5. 0

243

ha h a ππ+

. 10. (1)零向量 (2)0

第11章习题答案

1. (1) 发散； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 发散;

2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5)发散; (6) 收敛

习题11.2

1. (1) 发散, (2) 发散; (3) 收敛, (4) 收敛

2. (1) 发散; (2) 发散； (3) 收敛, (4) 收敛

(5) 当01a <<时收敛，当1a >时发散, 当1,1a k =>时收敛， 1,1a k =≤时发散。

(6) 收敛; (7) 发散, (8) 收敛

3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛； (4) 发散。

4. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 1>a 时收敛,否则发散. (4) 1>a 时收敛,否则发散

5. (1) 绝对收敛;(2) 发散; (3) 发散; (4)条件收敛; (5)绝对收敛．

(6) 条件收敛; (7) 条件收敛, (8) 条件收敛

习题11.3

1. (1) (2,2)-; (2) (1,1)- (3) ()-∞+∞， (4) (2,2)- ;(5) (1,3)-; (6) [4,6) (7) [0,2), (8) 0x =

2. (1)

)11()1(12

<<--x x ; (2)

)11(arctan 2

111ln

1<<--+

-+x x x x

x ;

(3) )11()

1(12<<--+x x x ; (4)

)11()

1(23

<<--x x x

3. (1) 2

1ln 2ln[4(1)],

(13)2

x x ----<<;

(2) 11ln(1)[1,0)(0,1)

()00.11

x x x x s x x x -?

+-∈-???

==?

习题11.4

1. (1) ];,(,)1(ln )ln(1

a a a x n

a x a n

n n -??

??-+

=+∑

∞

=- (2) );,(,!

)

ln ()

1(0

+∞-∞-=

∑∞

=-n n

n a x a

(3) );,(,2

)!12()

1(2

sin

+∞-∞--=

∑∞

=---n n n n n x

(4) );,(,)!

2()

2()1(2

1)2cos 1(2

1cos

+∞-∞-+

∑∞

=n n

n x x x

(5) ];1,1(,)

1()

1()1ln()1(2

---+

=++∑∞

=n n

n n x

x x x

()];2,0(,1)1(ln 1

n n n x n

x --=

∑

∞

3. ),(,)!

12(33)!2(3)1(21cos 1

220

+∞-∞?????

??????

?+?

?? ?

++??? ?

?-=+∞

=∑n x n x x n n

n n ππ＋ 4.

)0,2(,)

1()1(11)]

1(1[111

-+='

???

? ??+-=+-=

∑∞

=-n n x n x x x

)2,6(,)4(31212

310112

--+??? ?

?-=

++∑∞

=++n n

n n x x x

6. 12

1cos lim

=--

→x

x x

x ，

C n n x

dx e

n n x

+?+=

∑?∞

=+0

2!)12(2

7. (1)的任意实数

0,)!1(!111

≠+=????

??=???? ??-∑∑∞

=-∞=-x n nx

n x dx d x e dx d n n n n x ;

(2) ?

∑

???

??-+=

∞

n n

n n t

dt x 0

2!)!12(11arcsin ]1,1[,!

)12(2!)!12(1

2-∈?+-+

=∑

∞

=+x x n n n x n n n

(3) )1,1(,)12(2)1ln()1ln(11ln 1

2-+=--+=???

??-+∑

∞

=-n n n x x x x x ; (4)

1,21(,3

)

1(12111131211

∈-+=??

??+--=-+∑

∞

=+x x x x x

x x n n

n (5) ]1,1[,)!

12()1(411arctan ,1111arctan 0

-∈+-+=-++='??? ?

-+∑

∞

=+x n x

x x x x x n n n π

(6) (),)1(211

32x x x -='

???

??-="

???

- )1,1(,)2)(1(2

)

1(1

-∈++=

-∑∞

=x x

n n x n n

8. []3

)1(!

32)1(13)1(!

2213)1(2

31)1(1)(-?-??+

-??+

-+=-+==

x x x x x

x f

)2.0(,)1(!

42)

2)(1(134

∈+-?--??=x x

习题11.5

1. (1) 1.6487; (2) 0.9994.

2. (1) 0.4940; (2)0.49.

习题11.6

1. (1)

???-+-+π

∑∞

=π

-π

)sin cos 2(4)

1(41)(1222nx n nx n e e x f n n

(21),0,1,2,

L x n n π≠+=±± (2) 1

1(1)()(1)()(){c o s s i n },

n n a b b a

b a

f x nx nx n n

ππ-∞

=-----+=

∑ (21),0,1,2,)L x n n π≠+=±±

2. ],[,cos 1

1(4

cos

πππ

-∈--+

∑

∞

=-x nx n x n n

3. ),0[,sin 2)1(22

12332

π∈???

????????? ??π--+-π=∑∞

=x nx n n n x n n

； ],0[,cos )1(43

ππ

∈-+=

∑

∞

=x nx n

n n ；12

)1(2

-∑

∞

=n n

．

4. ];1,1[,cos )

12(1

521

-∈--

+∑∞=x x n n x n ππ

∑

∞

=n n

综合练习题11

2. (1) 发散; (2) 收敛（3

210n

dx x dx x

x n

<+<

）；

(3) 当1>a 收敛；10≤

? ??-=='??? ??-=-n n n n

1. (1) 二阶，非线性，, (2) 三阶，线性，, (3) 二阶，线性， (4) 一阶，非线性.

2. (1) 是, (2) 是, (3) 不是, (4) 是.

3. (1) 22x y ='; (2) 02=+'x y y .

6．0cos sin 2)('=++x x x x f 。

习题 12.2

1. (1) Cx

e y =; (2) C x y +=arcsin arcsin ;

(3) C x

=+-55

; (4) C y x =sin sin ;

Cx x y y =-+; (2) 1ln ln ++=Cx x y ;

(3) C x y y x =++cos sin ; (4) 不是.

8. (1)

x +1， C y x y x ++=-ln ; (2)

10.: (1) )tan(C x x y ++-=, (2) C x y x +-=-2)

212ln 2x Cy xy y x y =--．

习题12.3 1. (1) 322

1cos 60

1C x C x C x x y +++

; (2) 21cos ln C C x y ++-=;

(3) x e C C y 121ln --=; (4) 21ln C x C y +=. 2. (1) )1ln(1+-=ax a

4. x x x x x C x C y cos ln cos sin sin cos 21+++=.

习题 12.5

1. (1) x

C e C y 221-+=; (2) x

C C y 421+=;

(3) x

C e C y 221--+=; (4) x

(6) x x C C x x C C y sin )(cos )(4321+++=.

2. (1) x

e e

C e C y ++=-221; (2) x

y ; (6) x x x y 2sin 3

e x y =)(. 2. )/(3.26972500s cm v ≈=

3. t e R R 000433.00-=，时间以年为单位．

4. 40分钟．

5. 以O 为原点，河岸顺水方向为x 轴，k y y h a k x ),3

12(3

2-=是比例系数．

6. )(5000sin 400)(5000A t e

t i t

-=，

)](5000sin 5000[cos 2020)(5000V t t e t u t

C e C y ++=-==-=221,1,2,3γβα

3. ,s i n )(2x e x f x -= 通解为C y x y ye x =+-cos cos 22.

4. 2121,,ln )(C C C x C x f +=是任意常数.

5. s km v /1178.110≥.

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1 1．判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等代数第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导：得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等代数第6章习题解

第六章习题解答习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？（1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ；（3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ；（4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。（5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（3）不是。因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。证明：,,M N V k F ?∈∈，则所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π，（或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图 8-1 ，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向量证如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=，所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：