高一数学必修4期末复习 —— 三角函数与向量
班别 姓名 学号
一、弧长公式 l = |α|r (弧度制适用) 180
r
n l π=
(角度制适用) 扇形面积公式 r l s ?=2
1
(弧度制适用) 3602r n s π=(角度制适用)
1、已知扇形AOB 的圆心角为π3
2
,弧长为2π,则弦AB 的长为______________ 答案:33
2、已知扇形的圆心角为120o,半径为6,求扇形的弧长及所含弓形的面积。答案:4π,3912-π
二、三角函数的诱导公式(课本21页、30页、31页、39页、41页)“奇变偶不变,符号看象限。” 3、求值:sin1485°= _____ cos (–1020°)= _______ tan
6
37π
=________ cot ??
?
??-
317π=______ sin1980°=_________ sin (–1530°)= ________
答案:
22,2
1,33,33,0,–1 4、求值:?
?
?
??-+4
15tan 325cos π
π = ____________ 答案:23
5、求值:419tan 629sin 310cos πππ+??
?
??-+ = ____________ 答案:–2
6、已知316sin =???
??+απ,则??? ??-απ3cos = ___________ , ??
? ??+απ32cos = ___________ 答案:
31;3
1- 7、已知tan ( π – α ) = a 2, | cos (π – α ) | = – cos α ,则
()
απ+cos 1= __________ 答案:14
+a
8、已知
()()παπα2cos sin 21-=-,则
()()()
ααπαπαπ--??
?
??+--+-sin 2sin 32cos 5sin 的值为__________答案:53
-
三、同角三角函数公式:sin 2α+ cos 2α= 1 α
α
αcos sin tan =
tan αcot α=1 9、已知sin αcos α=
81,且α∈??
?
??2,4ππ,则cos α– sin α=_______ 答案:23-
10、已知函数f ( x ) = sin 2 x + cos 2 x ,(Ⅰ) 求()4f π
的值; (Ⅱ) 设α∈(0,π)
,()22
f α= 求sin α的值.(05年高考浙江文科卷)答案:1
;sin α=
11、已知5
1
cos sin ,02=+<<-x x x π
.(I )求sin x – cos x 的值;(Ⅱ)求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.
(05年高考福建文科卷)答案:(I ).5
7
-()24175II - 解法一:(Ⅰ)由,25
1cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .25
49
cos sin 21)cos (sin .25
24
cos sin 22=-=--=x x x x x x
又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02
<-><∴<<-
x x x x x π
故 .5
7cos sin -=-x x
解法二:(Ⅰ)联立方程??
???
=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x 由①得,cos 5
1
sin x x -=
将其代入②,整理得,012cos 5cos 252=--x x ???
???
?
=-=∴<<-=
-=∴.
54c o s ,53s i n ,02.5
4c o s 5
3
c o s x x x x x π 或
故 .5
7cos sin -=-x x
()24175
II -
四、三角函数的图象与性质
12、把函数y=sinx 图象上的所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移3
π个单位,则所得到的函数图象解析式为______________________ 答案: )6
2
1sin(π
+=x y
13、把函数y=sinx 的图象上的所有点先向左平移3
π
个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,则所得到的函数图象解析式为____________________ 答案: )3
21sin(π
+=x y
14、将函数y = 2 sin ( 2x +3
π
)的图象上的所有点沿向量a = (10π , 0 )平移后,得到函数的函数解析式
是___________ 答案:y = 2 sin ( 2x +
15
2π
) 15、将函数y = 2 ( x – 3 ) 2 +5的图象上的所有点沿向量= (– 1 , – 3 )平移后,得到函数的函数解析式是__________
答案:y = 2 ( x – 2 ) 2 +2
16、点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为v 个单位).设开始时点P 的坐标为(–10,10),则5秒后点P 的坐标为( ) (A )(–2,4)(B )(–30,25)(C )(10,–5)(D )(5,–10) (05年高考全国卷)答案:(C )
17、已知点A ( 1 , 2 ),B ( 3 , 3 ),将向量沿向量= (–1 , 2 )平移后所得向量是( ) (A) ( 1 , 3 ) (B) ( 2 , 1 ) (C) ( 3 , – 1 ) (D) ( 1 , – 2 ) 答案:(B)
18、已知函数f ( x ) = Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,求直线3
=y 与函数f ( x )图象的所有交点的坐标。(03
答案:??? ??+3,64ππk 或??
?
??+
3,654ππk (k ∈Z)
19、用“五点法”画函数y=sin2x +3cos2x 的图形,并说出此函数图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到。
20、函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是______(05年高考全国卷)答案:π
21函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数( )(05年高考福建卷)答案:C A .]4
,4[π
π-
B .]4
3,4[
π
π C .]2
,
0[π
D .],2
[
ππ
22、函数y = sin (2x -3
π
)的单调递增区间是________________ 答案:[k π-12π,k π+125π]( k ∈Z )
23、在下列各区间中,函数y = sin (x + 4
π
) 的单调递增区间是( ) (A) [2π,π] (B) [0, 4π ] (C) [-π,0] (D) [4π,2
π
] (96年高考上海卷) 答案:(B)
24、函数y = 2sin (4π- x )的单调减区间是________________ 答案:[k π-8
π
, k π+83π]( k ∈Z )
25、关于函数f ( x ) = 2 cos ( 2 x -3
π
),有以下5个命题:(1)f ( x )的表达式可改写为 f ( x ) = 2 sin ( 2 x +6
π
);(2)f ( x )的图象关于点(-12π, 0 )成中心对称;(3)f ( x )的图象关于直线
x = -12π 对称;(4)f ( x )在x ∈[32π,67π]上单调递增;(5)当x = k π+6
π( k ∈Z )时,y m a x = 2 。写出所有正确命题的序号________________ 答案:(1)(2)(4)(5)
五、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
两角和差正弦公式的变形(合一变形)
()?ααα++=+sin cos sin 22b a b a (其中a
b =
?tan ) 特殊地:sin α±cos α=2sin(α±
4π) sin α±3cos α= 2sin (α±3
π) 3sin α±cos α=2sin (α±
6
π)
26、若71cos =α,??? ??∈2,0πα,则??? ?
?
+3cos πα=_______(05年高考上海卷)答案:-1411
27、已知α为第二象限的角,3sin 5α=
,β为第一象限的角,5cos 13
β=. 求sin ( 2α-β) , cos ( 2α-β) , tan ( 2α-β) 的值.(05年高考全国卷)
解:∵α为第二象限角, sin α=
35,∴cos α= -45, t a n α= -34, t a n2α= -247
又∵β为第一象限角, cos β=513, ∴sin β=1213, t a n β5
∴tan(2)αβ-=2412tan 2tan 7524121tan 2tan 253
175αβαβ--
-=
=+?-?28、已知tan 2
α
=2,求(1)tan (4πα+)的值(2)ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值
(3)sin αcos α-cos2α的值。(05年高考北京卷)答案:(1)7
1
-(2)67
解:(I )∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2α
αα?=
==---; 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4
π
απααπα
α+++=
=--
=41
1
34713
-+=-+;
(II )由(I), tan α=-34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23
-+=--
29、已知cos α+ cos β=21,sin α-sin β=31,求cos (α+β)的值。 答案:72
59-
30、已知α,β∈(0,π), 且tan α、tan β是方程x 2 + 6 x + 7 = 0的两根,求α+β的值。答案:4
5π
六、二倍角的三角函数公式
sin2α = 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1 -2 sin 2α= cos 2α- sin 2α
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
(1)升幂公式 1 + sin2α= ( sin α+ cos α) 2 1- sin2α= ( sin α- cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α=2 sin 2α (2)降幂公式 22cos 1cos 2
αα+= 2
2cos 1sin 2
αα-=
31、化简?--?+20sin 120sin 1等于__________ 答案:2sin10o 32、化简ααααcos sin 1cos sin 1++-++ααααcos sin 1cos sin 1-+++=__________ 答案:α
sin 2
33、函数x y 2
sin =的最小正周期和奇偶性分别是( )(95年高考上海卷) (A) π2,偶函数 (B) π2,奇函数 (C) π,偶函数 (D) π,奇函数 答案:
(C ) 34、已知函数1cos sin 2
3
cos 212++=
x x x y ,R x ∈ (2000年全国高考理科卷) (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图象可由y = sin x ( x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 答案:(1)?
???
??∈+=
Z k k x x ,6ππ
(2)4562sin 21+??? ??+=πx y
七、三角函数的值域
35、函数y = sin2x – 2 cos 2
x 的最大值是_______(94年高考上海卷) 答案:2--1 36、函数y = 9 – 8 cosx – 2 sin 2 x 的最大值是_____最小值是______ (00年市一摸) 37、函数y = sin 2 x + 2 cos x (3
43
π
π
≤
≤x )的最大值是_____最小值是______(02年市一摸) 答案:最大值是4
7
,最小值是--2
38、函数y = sin 2 x – sinx + 1(
3
43
π
π
≤
≤x )的最大值是_____最小值是______ 答案:最大值是1,最小值是2
2
3-
39、已知函数f ( x ) = 2 sin 2x +23( 1 -- 2 cos 2
x )
(1)求当f ( x )取得最大值时x 的取值;(2)求f ( x )的单调递增区间。 答案:(1) x = k π+125π (k ∈Z) (2) [k π--12π , k π+12
5π] (k ∈Z)
40、函数x x y cos 3sin +=(2
2
π
π
≤
≤-
x )的最大值是________最小值是____
(96年高考全国卷)答案:最大值是2,最小值是--1
41、已知函数f (x ) = 3 sin 2
x + 2 sinx cosx + 5 cos 2
x – 4,(1)若x ∈R ,求f (x )的值域; (2)若x ∈[0,4
π
],求f (x )的值域。
42、已知函数f (x ) = sinx + cosx + 2 sinx cosx + 2(1)若x ∈R ,求f (x )的值域;(2)若x ∈[0,2
π
],求f (x )的值域。答案:(1)??
?
???+23,43;(2)[]
23,3+
八、三角形中的三角函数 (1)正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin === (R 为ΔAB
C 外接圆半径) a : b : c = sinA : sinB : sinC
特殊地,a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++
(2)余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c ?cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b ?cosC
bc a c b A 2cos 222-+= , ac b c a B 2cos 222-+= , ab
c b a C 2cos 2
22-+=
(3)、面积公式:S =
21a h = 21a b sinC = 21bc sinA = 2
1
a c sinB 面积公式的向量表示:在△ABC 中,设()y x ,=,()v u ,= ,则S = 2
1
| x v – y u | 43、在ΔABC 中,下列命题正确的是__________________ 答案:(2) (1)若sin A =
21,则A = 30o (2) 若cos A =2
1
,则A = 60o (3) 若a = 80,b = 100,A = 45o,则此三角形有一解 (4) 若a = 18,b = 20,A = 150o,则此三角形一定存在. (5) 若a = 1,b =3,A = 45o,则此三角形有一解
44、在ΔABC 中,已知sin 2A = sin 2B ,判断ΔABC 的形状。 答案:等腰三角形或直角三角形
45、在ΔABC 中,已知sin A = 2 sin B cos C ,判断ΔABC 的形状。(05年春季高考北京卷) 答案:等腰三角形
46、在ΔABC 中,已知
C
c
B b A a cos cos cos =
=,则ΔABC 是( ) (A) 直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰直角三角形 (05年春季高考上海卷)答案:(B)
47、在ΔABC 中,sinA : sinB : sinC = 2 : 3 : 4,则∠ABC 的余弦值= _______ (03年高考上海卷)答案:
16
11
48、ABC ?中,3
π
=A ,BC=3,则ABC ?的周长为( )(05年高考江苏卷)答案:D
A.33sin 34+???
?
?
+
πB B.36sin 34+??? ??+πB C.33sin 6+??? ??+πB D.36sin 6+??? ?
?
+πB 49、△ABC 的三个顶点是A (– 5 , 0 ) , B ( 3 , – 3 ) , C ( 0 , 2 ),则△ABC 的面积S = ___________
答案:15.5
50、△ABC 的三个顶点是A (– 5 , 0 ) , B (– 2 , y ) , C ( 0 , 2 ),△ABC 的面积为2,则点B 的坐标为___________答案:??
? ??-522,或(– 2 , 2 )
51、在△ABC 中,AB=,75C 45A 3?=∠?=∠,,则BC 的长度是 (05年高考北京卷)答案:2
52、在ABC ?中,若?=120A ,AB=5,BC=7,则AC=_______,ABC ?的面积S = ______ (05年高考上海卷)答案:3,
34
15
53、在ΔABC 中,a + b = 10,而cos C 是方程2 x 2 – 3x – 2 = 0的一个根,求ΔABC 周长的最小值。答案:10 +53(《全解》198页例4)
54、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B (1)求角A 的度数;(2)若3=a ,b + c =3,求b 和c 的值。 (02年市一摸)
答案:(1)60o。(2)b = 1,c = 2或b = 2,c = 1
55、在△ABC 中,a ,b , c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边,若a ,b , c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为2
3
,求b 的长度。(04年高考全国卷)答案:1+3
56、在△ABC 中,已知63,3
1
cos ,3tan ===
AC C B ,求△ABC 的面积(05年高考湖北文科卷)答案:.3826+
解法1:设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ,
.2
1cos ,23sin ,60,3tan ==
∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=
-=C C 82
3
2263sin sin =?==B C b c . .3
263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=
+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 2
1
+==
?A bc S ABC 解法2:同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得
222221
2cos ,546428,8100.2
b a
c ac B a a a a =+-=+-??∴-+=即
124460,090,30120.a a B C A ===<<∴<<
所得
1
,sin sin 303,sin sin sin sin 2
a b b b a A A B B B ==?>?==> 由
得
243,,4a a =-<=+而舍去故
故所求面积.3826sin 2
1
+==?B ac S ABC
57、在△ABC 中,,a ,b , c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边,若a ,b , c 成等比数列,cosB =4
3, (1)求cot A + cot C 的值;(2)若2
3
=?,求a + c 的值。(05年高考全国卷) 答案:77
4
;3(
《全解》203页例2)
58、在海岸A 处,发现北偏东45°方向距A 为
(
)
13-海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°
方向距A 为2海里的C 处的我方缉私艇奉命以103海里 / 时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里 / 时的速度,从B 处向北偏东30°方向逃走,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?
并求出所需时间。(《全解》199页例6)
九、平面向量
1、向量的加法与减法
A B D C
59、已知=,=,且|| = || = 4,∠AOB = 60°,则|+| =_________,|–|=______ 答案:43 , 4
60、已知|| = 6,|| = 8,且|+| =|–|,则与的夹角为___________, –与的夹角的余弦值为_______________(01年春季高考上海卷)答案:90°,5
4
-
2、向量的大小(或称模):向量的大小,也就是向量的长度,记作||或||。
计算公式:(1)向量法:|a | =;(2)坐标法:设a =(x ,y ),则|a | =22y x +
61、设和均为单位向量,其夹角是60°,则| + 3| = ( ) (A)
7 (B) 10 (C)13 (D) 4 (04年高考全国卷)答案:(C)
62、已知向量a =(-2,2),b =(5,k ).若| a +b |不超过5,则k 的取值范围是( ) A .[-4,6] B .[-6,4] C .[-6,2] D .[-2,6] (05年高考湖北卷)答案:C
63、已知向量= ( cos θ, sin θ),= (3,–1 ),则 | 2–| 的最大值、最小值分别是( ) (A) 42,0 (B) 4,22 (C) 16,0 (D) 4,0 (04年高考湖南卷)答案:(D)
3、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法:a 2b = |a | |b | cos (2)坐标法:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a 2b = x 1 x 2 + y 1 y 2
64、已知|| = 6,|| = 4,与的夹角为60°,求(1) 2 ,(2) (+ 2)(--3)
(3) (+)(--) (4) (+ 2) 2
65、在△ABC 中,若∠C = 90°,AC = BC = 4,则?= ________ (05年春季高考上海卷)答案:–16
66、已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则OB OA ? = . (05年高考湖南卷)答案:2
1
-
67、已知a = (–1 , 1 ),b = ( 2 , 1 ),c = ( 1 , 2 ),则(a 2b )c =____________ 答案:(–1 , –2 ) 68、已知a = (4 , –3 ),|b | = 1,且a 2b = 5,则b = __________(04年高考江苏卷)答案:??? ?
?-53,54
69、已知??? ?
?
=3535x sin ,x cos
a ,??? ??-=33x sin ,x cos
b ,??
????∈20π,x (1)求2和|+| ;(2)若f ( x ) = 2– 2λ|+|(其中λ> 0)的最小值是2
3
-,求λ的值。答案:(1)cos 2 x ; 2 cos x ;(2)2
1
4、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos =
|
|||b a
(2)坐标法:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),则cos<, > =22
2221
21
2121y
x y
x y y x x +++
70、设和是两个单位向量,其夹角是60°,试求向量=2+与=2–3的夹角。 答案:120°
71、若= ( 3 , 4 ),= ( 5 , 12 ),则与夹角的余弦值为______ 答案: 65
63
72
1=
=2.c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )
(A)300
(B)600
(C)1200
(D)1500
(05年高考北京卷)答案:(C)
73、已知A (2 , 0 ) , B ( 0 , 2 ) , C ( cos α, sin α),且0 <α<π,(1)
7=
+,求OB 与OC
的夹角;(2)若⊥,求tan α的值。答案:(1)
6
π
;(2)374+-
4、单位向量:长度等于1个长度单位的向量。计算公式:
(1)与向量=(x ,y )同向的单位向量是???? ??++222
2y x y ,y x x ; (2)与向量=(x ,y )反向的单位向量是???
?
?
?+-
+-2222y x y
,
y x x
; 74、已知= ( 12 , 5 ),则与平行的单位向量的坐标是( )答案:(C) (A) ???
??135,1312 (B) ??? ??--135,1312 (C)
??? ??135,1312或??
?
??--135,1312 (D) ??? ??±±135,1312
75、已知= ( 2 , 4 ),则与垂直的单位向量的坐标是________________________ 答案:(–
552, 551)或(55
2
, –551)
5、平行向量(或称共线向量):方向相同或方向相反的非零向量。记作∥。 规定:零向量与任一向量平行。设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数 (1)向量式:a ∥b (b ≠0)<=> a =λb
(2)坐标式:a ∥b (b ≠0)<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=>
2
2
11y x y x =(y 1 ≠0 ,y 2 ≠0) 6、垂直向量:两个非零向量的夹角为90°。记作⊥。设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2) (1)向量式:⊥<=> 2= 0 (2)坐标式:⊥<=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
76、已知a = ( 1 , 2 ),b = ( x , 1 ),若向量a –3b 与向量2a +b 共线,则x 的值为______答案:2
1
77、在△ABC 中,∠C=90°,),3,2(),1,(==k 则k 的值是_______ (05年高考福建卷)答案:5
78、已知向量),10,(),5,4(),12,(k k -===,且A.B.C 三点共线,则k= (05年高考全国卷)答案:23
-
79、已知OA = (–1 , 2 ),OB = ( 3 , m ),若OA ⊥AB ,则m = ________(00年高考上海卷)答案:4
80、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足?=?=?,则点O 是ABC ?的( )
(A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点 (C )三条中线的交点
(D )三条高的交点 (05年高考全国卷)答案:(D )
81、已知点A ,(0,0)B ,C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有
BC CE λ= ,其中λ等于( )(A )2(B )12(C )-3(D )-13
(05年高考全国卷)答案:
(C )
|| cos θ叫做向量在方向上的射影,计算公式:|| cos θ= |
(3)|| cos θ叫做向量||在方向上的射影,计算公式:|| cos θ= ||
|||b a |
b |
82、已知|a | = 4,a 与b 的夹角为30°,则a 在b 方向上的投影为_________ 答案:23 83、若= ( 2 , 3 ),= (– 4 , 7 ),则在方向上的投影为( ) (A) 655
1
(B) 65 (C)
135
1
(D) 13 答案:(A)
三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一. 知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心, 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:::: 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心,则 c b a S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;
三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ,,是不共线的三点,G 是ABC △内一点,若 GA GB GC ++=0.则G 是ABC △的重心. 证明:如图1所示,因为GA GB GC ++=0, 所以 ()GA GB GC =-+. 以GB ,GC 为邻边作平行四边形BGCD , 则有GD GB GC =+, 所以GD GA =-. 又因为在平行四边形BGCD 中,BC 交GD 于点E , 所以BE EC =,GE ED =. 所以AE 是ABC △的边BC 的中线. 故G 是ABC △的重心. 点评:①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法. 例1 如图2所示,ABC △的重心为G O ,为坐标原点,OA =a ,=OB b , =OC c ,试用a b c ,,表示OG . 解:设AG 交BC 于点M ,则M 是BC 的中点, ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2
3 c b a OG ++= ∴ 点评:重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键. 变式:已知D E F ,,分别为ABC △的边BC AC AB ,,的中点.则 AD BE CF ++=0. 证明:如图的所示, ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0.. 变式引申:如图4,平行四边形ABCD 的中心为O ,P 为该平面上任意一点, 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++. 证明:1()2PO PA PC =+,1()2 PO PB PD =+, 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++. 点评:(1)证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则.(2)若P 与O 重合,则上式变为OA OB OC OD +++=0. 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二:已知G 是ABC △内一点,满足MC MB MA ==,则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心,点A ,B 的坐标分别为A (-1,0),B (1,0),且GM ∥AB ,(1)求点C 的轨迹方程;(2)若直线l 过 图3
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1)?=++O 是ABC ?的重心. 证法1:设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2:如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线,且O 分AD 为2:1 ∴O 是ABC ?的重心 (2)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明:如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥,⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : (3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长,O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明:b c 、 分别为 方向上的单位向量, ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +),令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= (b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
与三角形“四心”相关的向量结论 濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入,三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一,与三角形的结合就显得尤为自然,因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨,就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究,得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时,能引起一些启示。 问题:设点O 在ABC ?内部,且有03=++OC OB OA ,则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析:∵03=++OC OB OA 设OD OB =3,则0=++OC OD OA , 则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131, ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究:实际上,可以将上述结论加以推广,即可得此题的本源。 结论: 设O 点在ABC ?内部,若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0,则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明: 已知O 点在ABC ?内部,且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设:OF OC r OE OB n OD OA m ===,,,则点O 为△DEF 的重心, 又EOF BOC S nr S ??=1,DOF AOC S mr S ??=1,DOE AOB S mn S ??=1, ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时,点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。 应用举例:设点O 在ABC ?内部,且40OA OB OC ++= ,则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是: A .2:1 B .3:1 C .4:3 D .3:2 分析:由上述结论易得:1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ,所以2:34:6:==?O BC ABC S S ,故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时,我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申:设O 点在ABC ?内部,且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1:若O 为ABC ?重心,则0=++OC OB OA 分析:重心在三角形的内部,且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 :O 为ABC ?内心,则0=++OC c OB b OA a 分析:内心在三角形的内部,且易证S △BOC :S △COA :S △AOB =c b a :: 结论3: O 为ABC ?的外心,则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析: 易证S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C.
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1)?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1:设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2:如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线,且O 分AD 为2:1 ∴O 是ABC ?的重心 (2)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明:如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥,AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 (3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长,O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明:b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量, ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +),令c b a bc ++= λ B C D
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 +=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 2、已知△ABC ,P 为三角形所在平面上的一点,且点P 满足:0a PA b PB c PC ?+?+?=,则P 是三角形的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中,动点P 满足:CP AB CB CA ?-=22 2 ,则P 点轨迹一定通过△ABC 的: ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明:由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥,⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略)) 4、已知△ABC ,P 为三角形所在平面上的动点,且动点P 满足: 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=,则P 点为三角形的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足?=?=?,则 点O 是ABC ?的 ( ) (A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点 (C )三条中线的交点 (D )三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点O满足关系式: 2 O A +2 BC =2 OB +2 CA = 2 OC +2 AB ,则O为ABC ?的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点,++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+
三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1.O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心,则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2.O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心,则 S BOC : S : S tan A : : AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3.O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是 : : sin : : ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4. O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ,则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件 可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) , O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心,则 S BOC : S AOC : S AOB a : b : c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ; P 范 例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1.O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) , 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的( ) (A )外心( B )内心( C )重心( D )垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ,则原 解析:因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 , AB
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1)?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1:设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++0OC OB OA ???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2:如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线,且O 分AD 为2:1 ∴O 是ABC ?的重心 (2)若O 是ABC ?的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == (3)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明:如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥,AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 (4) O 是△ABC 所在平面内一点2 2 2 2 2 2 → →→→ → →+=+=+AC OB BA OC BC OA 则 O 是△ABC 的垂心 证明:由 ,得,所以 。 同理可证。容易得到 由以上结论知O 为△ABC 的垂心。 O A B C D E O A B C D E
三角形四心的向量问题 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一. 知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心, 则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC :: ::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?||||||==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:: :: 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =-?=-?=-? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ,则 刚 才 O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++
若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直 线); 二. 范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不 共线的三 个点,动点P 满足 ++=λ, [)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 解析:因为 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又=-,则原式可化为)(21e e +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠, 那么在ABC ?中,AP 平分BAC ∠,则知选B. 点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想 想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本 知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2. H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥,⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))
题型三三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P 点的轨迹一定通过的() (A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心 2、已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:,则P是三角形的() A外心B内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC中,动点P满足:,则P点轨迹一定通过△ABC的:() A外心B内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心“垂心定理” H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心. 证明:由, 同理,.故H是△ABC的垂心. (反之亦然(证略)) 4、已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足: ,则P点为三角形的() A外心B内心 C 重心 D 垂心 5、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的() (A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点 6、在同一个平面上有及一点O满足关系式:+=+=+,则O为的() A外心B内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心“重心定理” G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心. 证明图中 连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD 为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略)) P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心. 证明 ∵G是△ABC的重心∴=0=0,即 由此可得.(反之亦然(证略))
7、已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:,则P的轨迹一定通过△ABC的() A外心B内心 C 重心 D 垂心 8、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足= (++2),则点P一定为三角形ABC的() 边中线的中点边中线的三等分点(非重心) C.重心边的中点 (四)平面向量与三角形外心 9、若为内一点,,则是的() A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 10、的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = (五)平面向量与三角形四心 11、已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1, 求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题) 12、在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。 13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证. 14、设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 15已知点、、在三角形所在平面内,且==,,则==则点、、依次是三角形的 (A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心(D)外心、重心、内心 题型三三角形“四心”与向量结合答案 1、解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B. 4、解析:由.即 则所以P为的垂心. 故选D. 8、取AB边的中点M,则,由= (++2)可得3,∴,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B. 9、解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心,选B。 10、1 11证明由已知+=-,两边平方得·=, 同理·=·=, ∴||=||=||=,从而△P1P2P3是正三角形.
一、三角形的四心与向量的结合 (1)?=++0OC OB OA O 是ABC ?的____________________心. (2)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的____________心. (3)设a ,b ,c 是三角形的角A,B,C 所对的边 O OC c OB b OA a ?=++0为ABC ?的_________________心. (4)OC OB OA ==?O 为ABC ?_________________心。 例1:O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 例2:O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(AC AC AB AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 例3 已知G 为ΔABC 的重心,ΔABC 所在平面内一点P 满足AP PC PB =+22,则 | || |AG AP 的值等于_______.
课堂练习: 1.已知ABC ?三个顶点C B A 、、及平面内一点P ,满足0=++PC PB PA ,若实数λ满足:AP AC AB λ=+,则λ的值为( ) A .2 B .2 3 C .3 D .6 2.若A B C ?的外接圆的圆心为O ,半径为1,0=++OC OB OA ,则=?OB OA ( ) A .21 B .0 C .1 D .2 1- 3.点O 在ABC ?内部且满足022=++OC OB OA ,则ABC ?面积与凹四边形ABOC 面积之比是( ) A .0 B .23 C .45 D .3 4 4.ABC ?的外接圆的圆心为O ,若OC OB OA OH ++=,则H 是ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 5.O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,若222OB BC OA =+ 2 22AB OC CA +=+,则O 是ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 6.ABC ?的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,)(OC OB OA m OH ++=, 则实数m = 7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形 8.已知ABC ?三个顶点C B A 、、,若CA BC CB AB AC AB AB ?+?+?=2 ,则ABC ?为( ) A .等腰三角形 B .等腰直角三角形 C .直角三角形 D .既非等腰又非直角三角形
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下: 一. 知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AO B AO C BO C S 31S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC :: ::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:: :: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 )| CB |CB | CA |CA ( OC )| BC |BC | BA |BA ( OB )AC AC | AB |AB ( OA =- ?=- ?=-? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成:0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=? ABC ?的内心; 向量()(0)|||| A C A B A B A C λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分 线所在直线); 二. 范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足)( AC AC AB AB OA OP ++=λ,[)+∞ ∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 A C B 1 e 2 e P
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1.O 是ABC ?的重心? 0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故 0OC OB OA =++; 1() PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2.O 是ABC ?的垂心? OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ::::=??? 故C tan B tan A tan = ++ 3.O 是ABC ?的外心?||||||==(或2 2 2 O C O B O A ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin = ++ 4.O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |( | BC || BA |( AC | AB |( =?=?=? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+?=+?=+? ,O 是ABC ?内心的充要条件也可以是 0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S A OB A OC BOC ::::=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线); (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+ +=λ,[)+∞∈,0λ则 P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又=-,则原
平面向量与三角形“四心”的应用问题 三角形的外心,内心,重心及垂心,在高考中的考查是比较棘手的问题,先课程教材中所加的内容,更加引起我们的重视,尤其与平面向量结合在一起,那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳,供学习时参考. 1 课本原题 例1、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=,123||||||1OP OP OP ===,求证: 123PP P △是正三角形. 分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===,容易想到,点O 是123PP P △的外心,而另一个条件1230OP OP OP ++=表明,点O 是 123PP P △的重心. 故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一定是正三角形.在1951年高考中有一道考题,原题是:若一三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与本题实质是相同的. 显然,本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==. 2 高考原题 例2、O 是平面上一 定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 ()[0,).|||| AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) . A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 分析 已知等式即( )||||AB AC AP AB AC λ=+,设,|||| AB AC AE AF AB AC == ,显然,AE AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故AP 为ABC ∠的平分线,选B . 例3、ABC ?的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,()OH m OA OB OC =++,则实数m = . 分析:本题除了利用特殊三角形求解外,纯粹利用向量知识推导则比较复杂,更加重要
三角形的“四心”与向量的完美结合 知识概述: 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结 1)O 是ABC ?的重心=++?; 若O 是ABC ?的重心,则,3 1 ABC AOB AOC BOC S S S S ????= ==故;,=++ 1()PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?=?=??; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心, 则,tan :tan :tan ::C B A S S S AO B AO C BO C =???故0tan tan tan =?+?+?OC C OB B OA A 3)O 是ABC ?的外心)2 2 2 ===?或 若O 是ABC ?的外心, 则C B A AOB AOC BOC S S S AO B AO C BO C 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=??? 故2sin 2sin 2sin =?+?+?C B A 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 0=?=?=? OC OB OA 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321,,e e e ,则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+?=+?=+?e e e e e e O 是ABC ?内心的充要条件也可以是=++c b a 若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S AO B AO C BO C ::::=??? 故0sin sin sin 0=++=++OC C OB B OA A OC c OB b OA a 或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);
三角形的四心与平面向量总结 三角形“四心'向量形式的充要条件应用 1 _____________ , ____________ F - 二s A OC =S AOB =3S ABC 故 OA OB OC = 0; 二G 为ABC 的重心. O 是ABC 的垂心:=0A OB 二 OB OC 二 OC OA ; O 是 ABC (非直角三角形)的垂心,则 S B 0C : S AOC : S AOB 二 tan A : tanB :an C 故 tan AOA tan BOB tan COC =0 2 2 2 O 是匚ABC 的外心二 丨 OA |=| OB |=| OC |(或 OA OB OC ) 是 ABC 的外心则 S BOC S AOC : S Ao^sin BOCsin AOCsin AOB=sir2A:sin2B:sir2C 故sin2A0A sin2B0B sin2C0C 二 0 OA 、(-^^_^)=OB* _-B^) =OC 、,( CA ) = 0 O 是内心 ABC 的充要条件是 |AB | AC |BA | |BC | |CA | |CB | 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA 的单位向量为*£2?,则刚才0是二ABC 内心的充要条件 0A (e1 e 3 )= 0B (ei e 2)= 0C (e2 e 3)= 0 ,O 是ABC 内心的充要条件也可以是 aOA +bOB +cOC =0 。若 0 是 AABC 的内 心,则 s 店OC : S ^AOC : S ^AOB =a : b : c 故 a0A b0B c0C = 0 或 sinA0A sinB0B sinC0C = 0; | AB| PJ| BC£ |CA|PB =0 = P 是 ABC 的内心; 向量’(丄出 虫?)( ' = 0)所在直线过「ABC 的内心(是.BAC 的角平分线所在直 |AB| |AC | (一)将平面向量与三角形内心结合考查 AB AC 例1 . O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足0P = 0A ?'( - 则P 点的轨迹一定通过 ABC 的( ) (A )夕卜心(B )内心(C )重心(D )垂心 AB ———- 解析:因为 是向量AB 的单位向量设 AB 与AC 方向上的单位向量分别为 e 禾口 e 2 , 又OP - OA = AP ,则原 H 知识点总结 O 是「ABC 的重心u 0A OB OC = 0; s o 是AABC 的重心,则虫0C P^ =1( -石-P C ) 3 可以写成 AB AC ) Z
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下: 一.知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC :: ::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 O O O ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=???:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA || BC || BA |AC | AB |=- ?=- ?=- ? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成:0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S A OB A OC BOC ::::=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线); 二.范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+ +=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹 一定通过ABC ?的( ) ( A )外心( B )内心( C )重心( D )垂心 解析:AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单 位向量分别为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ?中,AP 平分BAC ∠,则知选B.