高一三角与向量的复习

高一数学必修4期末复习 —— 三角函数与向量

班别 姓名 学号

一、弧长公式 l = |α|r (弧度制适用) 180

r

n l π=

(角度制适用) 扇形面积公式 r l s ?=2

1

(弧度制适用) 3602r n s π=(角度制适用)

1、已知扇形AOB 的圆心角为π3

2

,弧长为2π,则弦AB 的长为______________ 答案:33

2、已知扇形的圆心角为120o,半径为6,求扇形的弧长及所含弓形的面积。答案:4π,3912-π

二、三角函数的诱导公式(课本21页、30页、31页、39页、41页)“奇变偶不变,符号看象限。” 3、求值:sin1485°= _____ cos (–1020°)= _______ tan

6

37π

=________ cot ??

?

??-

317π=______ sin1980°=_________ sin (–1530°)= ________

答案:

22,2

1,33,33,0,–1 4、求值:?

?

?

??-+4

15tan 325cos π

π = ____________ 答案:23

5、求值:419tan 629sin 310cos πππ+??

?

??-+ = ____________ 答案:–2

6、已知316sin =???

??+απ,则??? ??-απ3cos = ___________ , ??

? ??+απ32cos = ___________ 答案:

31;3

1- 7、已知tan ( π – α ) = a 2, | cos (π – α ) | = – cos α ,则

()

απ+cos 1= __________ 答案:14

+a

8、已知

()()παπα2cos sin 21-=-,则

()()()

ααπαπαπ--??

?

??+--+-sin 2sin 32cos 5sin 的值为__________答案:53

-

三、同角三角函数公式:sin 2α+ cos 2α= 1 α

α

αcos sin tan =

tan αcot α=1 9、已知sin αcos α=

81,且α∈??

?

??2,4ππ,则cos α– sin α=_______ 答案:23-

10、已知函数f ( x ) = sin 2 x + cos 2 x ,(Ⅰ) 求()4f π

的值; (Ⅱ) 设α∈(0,π)

,()22

高一三角与向量的复习

f α= 求sin α的值.(05年高考浙江文科卷)答案:1

高一三角与向量的复习

;sin α=

11、已知5

1

cos sin ,02=+<<-x x x π

.(I )求sin x – cos x 的值;(Ⅱ)求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.

(05年高考福建文科卷)答案:(I ).5

7

-()24175II - 解法一:(Ⅰ)由,25

1cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .25

49

cos sin 21)cos (sin .25

24

cos sin 22=-=--=x x x x x x

又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02

<-><∴<<-

x x x x x π

故 .5

7cos sin -=-x x

解法二:(Ⅰ)联立方程??

???

=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x 由①得,cos 5

1

sin x x -=

将其代入②,整理得,012cos 5cos 252=--x x ???

???

?

=-=∴<<-=

-=∴.

54c o s ,53s i n ,02.5

4c o s 5

3

c o s x x x x x π 或

故 .5

7cos sin -=-x x

()24175

II -

四、三角函数的图象与性质

12、把函数y=sinx 图象上的所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移3

π个单位,则所得到的函数图象解析式为______________________ 答案: )6

2

1sin(π

+=x y

13、把函数y=sinx 的图象上的所有点先向左平移3

π

个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,则所得到的函数图象解析式为____________________ 答案: )3

21sin(π

+=x y

14、将函数y = 2 sin ( 2x +3

π

)的图象上的所有点沿向量a = (10π , 0 )平移后,得到函数的函数解析式

是___________ 答案:y = 2 sin ( 2x +

15

) 15、将函数y = 2 ( x – 3 ) 2 +5的图象上的所有点沿向量= (– 1 , – 3 )平移后,得到函数的函数解析式是__________

答案:y = 2 ( x – 2 ) 2 +2

16、点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为v 个单位).设开始时点P 的坐标为(–10,10),则5秒后点P 的坐标为( ) (A )(–2,4)(B )(–30,25)(C )(10,–5)(D )(5,–10) (05年高考全国卷)答案:(C )

17、已知点A ( 1 , 2 ),B ( 3 , 3 ),将向量沿向量= (–1 , 2 )平移后所得向量是( ) (A) ( 1 , 3 ) (B) ( 2 , 1 ) (C) ( 3 , – 1 ) (D) ( 1 , – 2 ) 答案:(B)

18、已知函数f ( x ) = Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,求直线3

=y 与函数f ( x )图象的所有交点的坐标。(03

高一三角与向量的复习

答案:??? ??+3,64ππk 或??

?

??+

3,654ππk (k ∈Z)

19、用“五点法”画函数y=sin2x +3cos2x 的图形,并说出此函数图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到。

20、函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是______(05年高考全国卷)答案:π

21函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数( )(05年高考福建卷)答案:C A .]4

,4[π

π-

B .]4

3,4[

π

π C .]2

,

0[π

D .],2

[

ππ

22、函数y = sin (2x -3

π

)的单调递增区间是________________ 答案:[k π-12π,k π+125π]( k ∈Z )

23、在下列各区间中,函数y = sin (x + 4

π

) 的单调递增区间是( ) (A) [2π,π] (B) [0, 4π ] (C) [-π,0] (D) [4π,2

π

] (96年高考上海卷) 答案:(B)

24、函数y = 2sin (4π- x )的单调减区间是________________ 答案:[k π-8

π

, k π+83π]( k ∈Z )

25、关于函数f ( x ) = 2 cos ( 2 x -3

π

),有以下5个命题:(1)f ( x )的表达式可改写为 f ( x ) = 2 sin ( 2 x +6

π

);(2)f ( x )的图象关于点(-12π, 0 )成中心对称;(3)f ( x )的图象关于直线

x = -12π 对称;(4)f ( x )在x ∈[32π,67π]上单调递增;(5)当x = k π+6

π( k ∈Z )时,y m a x = 2 。写出所有正确命题的序号________________ 答案:(1)(2)(4)(5)

五、两角和差的三角函数公式

sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β

()β

αβ

αβαtan tan 1tan tan tan ±=

±

两角和差正弦公式的变形(合一变形)

()?ααα++=+sin cos sin 22b a b a (其中a

b =

?tan ) 特殊地:sin α±cos α=2sin(α±

4π) sin α±3cos α= 2sin (α±3

π) 3sin α±cos α=2sin (α±

6

π)

26、若71cos =α,??? ??∈2,0πα,则??? ?

?

+3cos πα=_______(05年高考上海卷)答案:-1411

27、已知α为第二象限的角,3sin 5α=

,β为第一象限的角,5cos 13

β=. 求sin ( 2α-β) , cos ( 2α-β) , tan ( 2α-β) 的值.(05年高考全国卷)

解:∵α为第二象限角, sin α=

35,∴cos α= -45, t a n α= -34, t a n2α= -247

又∵β为第一象限角, cos β=513, ∴sin β=1213, t a n β5

∴tan(2)αβ-=2412tan 2tan 7524121tan 2tan 253

175αβαβ--

-=

=+?-?28、已知tan 2

α

=2,求(1)tan (4πα+)的值(2)ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值

(3)sin αcos α-cos2α的值。(05年高考北京卷)答案:(1)7

1

-(2)67

解:(I )∵ tan

2α=2, ∴ 22tan

2242tan 1431tan 2α

αα?=

==---; 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4

π

απααπα

α+++=

=--

=41

1

34713

-+=-+;

(II )由(I), tan α=-34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1

7346

3()23

-+=--

29、已知cos α+ cos β=21,sin α-sin β=31,求cos (α+β)的值。 答案:72

59-

30、已知α,β∈(0,π), 且tan α、tan β是方程x 2 + 6 x + 7 = 0的两根,求α+β的值。答案:4

六、二倍角的三角函数公式

sin2α = 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1 -2 sin 2α= cos 2α- sin 2α

α

α

α2tan 1tan 22tan -=

(1)升幂公式 1 + sin2α= ( sin α+ cos α) 2 1- sin2α= ( sin α- cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α=2 sin 2α (2)降幂公式 22cos 1cos 2

αα+= 2

2cos 1sin 2

αα-=

31、化简?--?+20sin 120sin 1等于__________ 答案:2sin10o 32、化简ααααcos sin 1cos sin 1++-++ααααcos sin 1cos sin 1-+++=__________ 答案:α

sin 2

33、函数x y 2

sin =的最小正周期和奇偶性分别是( )(95年高考上海卷) (A) π2,偶函数 (B) π2,奇函数 (C) π,偶函数 (D) π,奇函数 答案:

(C ) 34、已知函数1cos sin 2

3

cos 212++=

x x x y ,R x ∈ (2000年全国高考理科卷) (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;

(2)该函数的图象可由y = sin x ( x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 答案:(1)?

???

??∈+=

Z k k x x ,6ππ

(2)4562sin 21+??? ??+=πx y

七、三角函数的值域

35、函数y = sin2x – 2 cos 2

x 的最大值是_______(94年高考上海卷) 答案:2--1 36、函数y = 9 – 8 cosx – 2 sin 2 x 的最大值是_____最小值是______ (00年市一摸) 37、函数y = sin 2 x + 2 cos x (3

43

π

π

≤x )的最大值是_____最小值是______(02年市一摸) 答案:最大值是4

7

,最小值是--2

38、函数y = sin 2 x – sinx + 1(

3

43

π

π

≤x )的最大值是_____最小值是______ 答案:最大值是1,最小值是2

2

3-

39、已知函数f ( x ) = 2 sin 2x +23( 1 -- 2 cos 2

x )

(1)求当f ( x )取得最大值时x 的取值;(2)求f ( x )的单调递增区间。 答案:(1) x = k π+125π (k ∈Z) (2) [k π--12π , k π+12

5π] (k ∈Z)

40、函数x x y cos 3sin +=(2

2

π

π

≤-

x )的最大值是________最小值是____

(96年高考全国卷)答案:最大值是2,最小值是--1

41、已知函数f (x ) = 3 sin 2

x + 2 sinx cosx + 5 cos 2

x – 4,(1)若x ∈R ,求f (x )的值域; (2)若x ∈[0,4

π

],求f (x )的值域。

42、已知函数f (x ) = sinx + cosx + 2 sinx cosx + 2(1)若x ∈R ,求f (x )的值域;(2)若x ∈[0,2

π

],求f (x )的值域。答案:(1)??

?

???+23,43;(2)[]

23,3+

八、三角形中的三角函数 (1)正弦定理:

R C

c

B b A a 2sin sin sin === (R 为ΔAB

C 外接圆半径) a : b : c = sinA : sinB : sinC

特殊地,a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,

R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++

(2)余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c ?cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b ?cosC

bc a c b A 2cos 222-+= , ac b c a B 2cos 222-+= , ab

c b a C 2cos 2

22-+=

(3)、面积公式:S =

21a h = 21a b sinC = 21bc sinA = 2

1

a c sinB 面积公式的向量表示:在△ABC 中,设()y x ,=,()v u ,= ,则S = 2

1

| x v – y u | 43、在ΔABC 中,下列命题正确的是__________________ 答案:(2) (1)若sin A =

21,则A = 30o (2) 若cos A =2

1

,则A = 60o (3) 若a = 80,b = 100,A = 45o,则此三角形有一解 (4) 若a = 18,b = 20,A = 150o,则此三角形一定存在. (5) 若a = 1,b =3,A = 45o,则此三角形有一解

44、在ΔABC 中,已知sin 2A = sin 2B ,判断ΔABC 的形状。 答案:等腰三角形或直角三角形

45、在ΔABC 中,已知sin A = 2 sin B cos C ,判断ΔABC 的形状。(05年春季高考北京卷) 答案:等腰三角形

46、在ΔABC 中,已知

C

c

B b A a cos cos cos =

=,则ΔABC 是( ) (A) 直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰直角三角形 (05年春季高考上海卷)答案:(B)

47、在ΔABC 中,sinA : sinB : sinC = 2 : 3 : 4,则∠ABC 的余弦值= _______ (03年高考上海卷)答案:

16

11

48、ABC ?中,3

π

=A ,BC=3,则ABC ?的周长为( )(05年高考江苏卷)答案:D

A.33sin 34+???

?

?

+

πB B.36sin 34+??? ??+πB C.33sin 6+??? ??+πB D.36sin 6+??? ?

?

+πB 49、△ABC 的三个顶点是A (– 5 , 0 ) , B ( 3 , – 3 ) , C ( 0 , 2 ),则△ABC 的面积S = ___________

答案:15.5

50、△ABC 的三个顶点是A (– 5 , 0 ) , B (– 2 , y ) , C ( 0 , 2 ),△ABC 的面积为2,则点B 的坐标为___________答案:??

? ??-522,或(– 2 , 2 )

51、在△ABC 中,AB=,75C 45A 3?=∠?=∠,,则BC 的长度是 (05年高考北京卷)答案:2

52、在ABC ?中,若?=120A ,AB=5,BC=7,则AC=_______,ABC ?的面积S = ______ (05年高考上海卷)答案:3,

34

15

53、在ΔABC 中,a + b = 10,而cos C 是方程2 x 2 – 3x – 2 = 0的一个根,求ΔABC 周长的最小值。答案:10 +53(《全解》198页例4)

54、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,2

7

2cos 2sin 42

=-+A C B (1)求角A 的度数;(2)若3=a ,b + c =3,求b 和c 的值。 (02年市一摸)

答案:(1)60o。(2)b = 1,c = 2或b = 2,c = 1

55、在△ABC 中,a ,b , c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边,若a ,b , c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为2

3

,求b 的长度。(04年高考全国卷)答案:1+3

56、在△ABC 中,已知63,3

1

cos ,3tan ===

AC C B ,求△ABC 的面积(05年高考湖北文科卷)答案:.3826+

解法1:设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ,

.2

1cos ,23sin ,60,3tan ==

∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=

-=C C 82

3

2263sin sin =?==B C b c . .3

263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=

+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 2

1

+==

?A bc S ABC 解法2:同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得

222221

2cos ,546428,8100.2

b a

c ac B a a a a =+-=+-??∴-+=即

124460,090,30120.a a B C A ===<<∴<<

所得

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1

,sin sin 303,sin sin sin sin 2

a b b b a A A B B B ==?>?==> 由

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243,,4a a =-<=+而舍去故

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故所求面积.3826sin 2

1

+==?B ac S ABC

57、在△ABC 中,,a ,b , c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边,若a ,b , c 成等比数列,cosB =4

3, (1)求cot A + cot C 的值;(2)若2

3

=?,求a + c 的值。(05年高考全国卷) 答案:77

4

;3(

《全解》203页例2)

58、在海岸A 处,发现北偏东45°方向距A 为

(

)

13-海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°

方向距A 为2海里的C 处的我方缉私艇奉命以103海里 / 时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里 / 时的速度,从B 处向北偏东30°方向逃走,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?

并求出所需时间。(《全解》199页例6)

九、平面向量

1、向量的加法与减法

A B D C

59、已知=,=,且|| = || = 4,∠AOB = 60°,则|+| =_________,|–|=______ 答案:43 , 4

60、已知|| = 6,|| = 8,且|+| =|–|,则与的夹角为___________, –与的夹角的余弦值为_______________(01年春季高考上海卷)答案:90°,5

4

-

2、向量的大小(或称模):向量的大小,也就是向量的长度,记作||或||。

计算公式:(1)向量法:|a | =;(2)坐标法:设a =(x ,y ),则|a | =22y x +

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61、设和均为单位向量,其夹角是60°,则| + 3| = ( ) (A)

7 (B) 10 (C)13 (D) 4 (04年高考全国卷)答案:(C)

62、已知向量a =(-2,2),b =(5,k ).若| a +b |不超过5,则k 的取值范围是( ) A .[-4,6] B .[-6,4] C .[-6,2] D .[-2,6] (05年高考湖北卷)答案:C

63、已知向量= ( cos θ, sin θ),= (3,–1 ),则 | 2–| 的最大值、最小值分别是( ) (A) 42,0 (B) 4,22 (C) 16,0 (D) 4,0 (04年高考湖南卷)答案:(D)

3、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法:a 2b = |a | |b | cos (2)坐标法:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a 2b = x 1 x 2 + y 1 y 2

64、已知|| = 6,|| = 4,与的夹角为60°,求(1) 2 ,(2) (+ 2)(--3)

(3) (+)(--) (4) (+ 2) 2

65、在△ABC 中,若∠C = 90°,AC = BC = 4,则?= ________ (05年春季高考上海卷)答案:–16

66、已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则OB OA ? = . (05年高考湖南卷)答案:2

1

-

67、已知a = (–1 , 1 ),b = ( 2 , 1 ),c = ( 1 , 2 ),则(a 2b )c =____________ 答案:(–1 , –2 ) 68、已知a = (4 , –3 ),|b | = 1,且a 2b = 5,则b = __________(04年高考江苏卷)答案:??? ?

?-53,54

69、已知??? ?

?

=3535x sin ,x cos

a ,??? ??-=33x sin ,x cos

b ,??

????∈20π,x (1)求2和|+| ;(2)若f ( x ) = 2– 2λ|+|(其中λ> 0)的最小值是2

3

-,求λ的值。答案:(1)cos 2 x ; 2 cos x ;(2)2

1

4、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos =

|

|||b a

(2)坐标法:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),则cos<, > =22

2221

21

2121y

x y

x y y x x +++

70、设和是两个单位向量,其夹角是60°,试求向量=2+与=2–3的夹角。 答案:120°

71、若= ( 3 , 4 ),= ( 5 , 12 ),则与夹角的余弦值为______ 答案: 65

63

72

1=

=2.c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )

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(A)300

(B)600

(C)1200

(D)1500

(05年高考北京卷)答案:(C)

73、已知A (2 , 0 ) , B ( 0 , 2 ) , C ( cos α, sin α),且0 <α<π,(1)

7=

+,求OB 与OC

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的夹角;(2)若⊥,求tan α的值。答案:(1)

6

π

;(2)374+-

4、单位向量:长度等于1个长度单位的向量。计算公式:

(1)与向量=(x ,y )同向的单位向量是???? ??++222

2y x y ,y x x ; (2)与向量=(x ,y )反向的单位向量是???

?

?

?+-

+-2222y x y

,

y x x

; 74、已知= ( 12 , 5 ),则与平行的单位向量的坐标是( )答案:(C) (A) ???

??135,1312 (B) ??? ??--135,1312 (C)

??? ??135,1312或??

?

??--135,1312 (D) ??? ??±±135,1312

75、已知= ( 2 , 4 ),则与垂直的单位向量的坐标是________________________ 答案:(–

552, 551)或(55

2

, –551)

5、平行向量(或称共线向量):方向相同或方向相反的非零向量。记作∥。 规定:零向量与任一向量平行。设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数 (1)向量式:a ∥b (b ≠0)<=> a =λb

(2)坐标式:a ∥b (b ≠0)<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=>

2

2

11y x y x =(y 1 ≠0 ,y 2 ≠0) 6、垂直向量:两个非零向量的夹角为90°。记作⊥。设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2) (1)向量式:⊥<=> 2= 0 (2)坐标式:⊥<=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

76、已知a = ( 1 , 2 ),b = ( x , 1 ),若向量a –3b 与向量2a +b 共线,则x 的值为______答案:2

1

77、在△ABC 中,∠C=90°,),3,2(),1,(==k 则k 的值是_______ (05年高考福建卷)答案:5

78、已知向量),10,(),5,4(),12,(k k -===,且A.B.C 三点共线,则k= (05年高考全国卷)答案:23

-

79、已知OA = (–1 , 2 ),OB = ( 3 , m ),若OA ⊥AB ,则m = ________(00年高考上海卷)答案:4

80、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足?=?=?,则点O 是ABC ?的( )

(A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点 (C )三条中线的交点

(D )三条高的交点 (05年高考全国卷)答案:(D )

81、已知点A ,(0,0)B ,C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有

高一三角与向量的复习

高一三角与向量的复习

BC CE λ= ,其中λ等于( )(A )2(B )12(C )-3(D )-13

(05年高考全国卷)答案:

(C )

|| cos θ叫做向量在方向上的射影,计算公式:|| cos θ= |

(3)|| cos θ叫做向量||在方向上的射影,计算公式:|| cos θ= ||

|||b a |

b |

82、已知|a | = 4,a 与b 的夹角为30°,则a 在b 方向上的投影为_________ 答案:23 83、若= ( 2 , 3 ),= (– 4 , 7 ),则在方向上的投影为( ) (A) 655

1

(B) 65 (C)

135

1

(D) 13 答案:(A)

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