大学物理3.4章课后答案

习题4
4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量 ；
（2）质点所受张力T的冲量 。
解：（1）设周期为 ，因质点转动一周的过程中，
速度没有变化， ，由 ，
∴旋转一周的冲量 ；
（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，
且 ，∴张力T旋转一周的冲量：

所以拉力产生的冲量为 ，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度 。已知其中一力 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力 在1s到3s间所做的功；
（2）其他力在1s到3s间所做的功。
解：（1）由于椭圆面积为 ，
∴
（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的
总功为零，所以当该 做的功为125.6J时，其他的力
的功为 125.6J。

4-3．质量为 的质点在 平面内运动，运动学方程为
，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
（2）从 到 的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义： ，而 ，
∴ ；
（2）由 ，
所以冲量为零。

4-4．质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以 =600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小 =30m/s，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；
（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：
∴
根据圆周运动的规律： ，有： ；
（2）根据冲量定理可得： 。

4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为 ，中微子的动量为 ，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为 ，求其反冲动能。
解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有：
（1）

又∵ ，∴ ，
所以 ， ；
（2）反冲的动能为： 。

4-6．中子的发现者查德威克于1932年通过快中子与氢核、氮核的对心弹性碰撞发现氢核的反冲速度为 ，氮核的反冲速度为 ，已知氢核的质量为 ，氮核的质量为 ，试推算中子的质量及其初速度。
解：设快中子的质量为 ，氢核的质量为 ，氮核的质量为 ，
根据弹性碰撞的规律，可得： ， ，
代入已知量，可得：

那么， ，
。

4-7．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 ，子弹从枪口射出时的速率为 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：
（1）子弹走完枪筒全长所用的

时间 ；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量 ；
（3）子弹的质量。
解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有： ，
得： ；
（2）由冲量定义： 有：

（3）再由 ，有： 。

4-8．有质量为 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为 。
，而 ， ，
∴ 。

4-9．两个质量分别为 和 的木块 ，用一劲度系数为 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。 紧靠墙。今用力推 块，使弹簧压缩 然后释放。（已知 ， ）求：（1）释放后 两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。
（1）
所以： ；
（2）
那么计算可得：

4-10．二质量相同的小球，一个静止，一个以速度 与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数 。
解：（1）完全非弹性碰撞具有共同的速度： ，∴ ；
（2）完全弹性碰撞动量守恒，能量守恒：
两球交换速度；
（3）假设碰撞的恢复系数 ，按定义： ，
有： ，再利用 ，
可求得： ， 。


4-11．如图，光滑斜面与水平面的夹角为 ，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑 时，恰好有一质量 的子弹，沿水平方向以速度 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为 。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
(碰撞前木快的速度)
再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：
。

4-12． 水平路面上有一质量 的无动力小车以匀速率 运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为 的车厢连接，车厢前端有一质量为 的物体，物体与车厢间摩擦系数为 。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，
物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。
(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)
解：（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：
，
再

将 与 看成一个系统，由动量守恒有：
，
对 ，由功能原理有：

；
（2）由 ，有： 。
4-13．一质量为 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为 。一质量为 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了 。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为 ，求子弹所受的平均阻力。
解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。
（1）相碰后，压缩前： ，
压缩了 时，有： ，
计算得到： ，
；
（2）设子弹射入木快所受的阻力为 ，阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加。

∴

4-14．质量为 、长为 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为 的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度 从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即 。求在整个过程中船的位移 。
分析：将题中过程分三段讨论。
（1）设船相对于静水的速度为 ，而人以相对于船的速度为 ，则人相对于静水的速度为 ，开始时人和船作为一个系统动量之和为零。由于水对船有阻力，当人从船尾走到船头时，系统动量之和等于阻力对船的冲量，有： ，此时， 方向 方向相反，船有与人行进方向相反的位移 ；
（2）当人走到船头突然停下来，人和船在停下来前后动量守恒，有：
， 为人停下来时船和人具有的共同速度， 方向应于原 方向相同；
（3）人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来，表明最后人和船作为一个系统动量之和又为零，则这个过程水阻力对船的冲量耗散了系统的动量，有：
，船有与人行进方向相同的位移 。
综上，系统在（1）和（3）两过程中动量的变化相同，水的阻力在（1）和（3）两过程中给系统的冲量也是相同的。
解：∵ ，利用 ，而： ，
有： ，得： ，
即： 。

4-15．以初速度 0将质量为m的质点以倾角 从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：
（1）作用在质点上的力矩 ；
（2）质点的角动量 。
解：（1）
（2）

4-16．人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：
（1）卫星在近地点及远地点处的速率 和 （用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；
（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。
解：（1）利用角动量守恒： ，得 ，
同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为： ，
所以： ，
考

虑到： ，有： ， ；
（2）利用万有引力提供向心力，有：
，
可得到： 。


4-17．火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。
解：第二宇宙速度时 ，由机械能守恒：


再由动量守恒： ，
代入： 。

思考题4
4-1．一 粒子初时沿 轴负向以速度 运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与 轴成 的方向运动(速度大小不变)．试用矢量在图上表出 粒子所受到的冲量 的大小和方向。
解：由：
，
考虑到 ，
见右图示。

4-2．试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成 角的方向
从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研
究对象， 表示这块空气的质量， 和 分别表示它
吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风
速大小基本不变，但是由于 的速度方向改变了，所
以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律， 必然
对帆有一个反作用力 ，此力的方向偏向船前进的方向，将 分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

4-3．两个有相互作用的质点 和 （ ），已知在不受外力时它们的总动量为零， 的轨迹如图，试画出 质点的运动轨迹。
解：由 ，见下图。


4-4．当质量为 的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
，
，
，
试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
解：（1）机械能守恒；
（2）角动量守恒；
（3）万有引力提供向心力。

4-5．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。

4-6．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：
（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。
答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。
选择C。


习题2
2-1 质量为16kg的质点在 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 ， ，当 时， ， ， 。当 时，求：
(1) 质点的位矢；
(2) 质点的速

度。
解：由 ，有： ，
（1） ，
。
于是质点在 时的速度：
（2）


2-2 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求：
(1) 求速率v随时间t的变化规律；
(2) 求路程x随时间t的变化规律；
(3) 证明速度v与路程x之间的关系为 ，其中 。
解：（1）由牛顿运动定律 得： ，分离变量有 ，
两边积分得：速率随时间变化的规律为 ；
（2）由位移和速度的积分关系： ，
积分有：

∴路程随时间变化的规律为： ；
（3）由 ， ，∴
积分有： 。

2-3．质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：
又由牛顿第二定律可得： ，则
分离变量，可得： ，两边同时积分，有： ，
所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是 的时候子弹的位移，则：
考虑到 ， ，可推出： ，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。

2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为 、长度为 ，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度 在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．
解：在绳子 上距离转轴为r处取一小段微元绳子，假设其质量为dm，可知： ，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力： 。
距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分： 。

2-5．已知一质量为 的质点在 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离 的平方成反比，即 ， 是比例常数．设质点在 时的速度为零，求质点在 处的速度的大小。
解：由题意： ，再由牛顿第二定律可得： ，
考虑到 ， ，可推出：
两边同时取积分，则：
有：

2-6．一质量为 的质点，在 平面上运动，受到外力 (SI)的作用， 时，它的初速度为 (SI)，求 时质点的速度及受到的法向力 。
解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。
由： ，有： ，两边积分有：
，∴ ，
考虑到 ， ，有
由于在自然坐标系中， ，而 （ 时），表明在 时，切向速度方向就是 方向，所以，此时法向的力是 方向的，则利用 ，将 代入有 ，∴ 。

2-7．如图，用质量为 的板车运载一质量为 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为 ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力

为多少才能保证木箱不致滑动？
解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。
即：
可得：
解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为 ，列式有：

联立得： ，
有： 。

2-8．如图所示一倾角为 的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为 。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度 的范围。
解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，
木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：


可计算得到：此时的
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：


可计算得到：此时的 ，所以： 。

解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，
将物体m受力沿 和 方向分解，如图示，同时
考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：
方向：
方向：
考虑到 ，有： ，
解得： 。
∴ 的取值范围： 。

2-9 密度为ρ1的液体，上方悬一长为l，密度为ρ2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：
(1) 棒刚好全部浸入液体时的速度；
(2) 若ρ2<ρ1/2，棒进入液体的最大深度；
(3) 棒下落过程中能达到的最大速度。
解：（1）由牛顿运动定律 得：
，考虑到 ， ，
分离变量，有： ，
棒刚好全部浸入液体时，速度为 ，此时 ,
则两边积分，
得： ，∴ 。
（2）由 来看，棒可以全部浸入液体的条件为 ，
即： ，假若有条件 ，则棒不能全部浸入液体；
若 ，设棒进入液体的最大深度为 ，由积分
可得： ，考虑到棒在最大深度时速度为零，有： 。
（3）由牛顿运动定律 知，当 时， ，速度最大（设为 ）
有： ，即 ，
由积分 ，有：
，∴ 。

2-10．圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度 匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？
解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元 ， 受重力 和支持力 的作用，考虑 剖面，受力分析如图示。列式： ①， ②
①/②有： ，又由导数几何意义，有：
∴ ，积分有：
当 时 所以
，表明 剖面上，形成液面的抛物线；
同理，在 剖面上，可得： ，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐标 上，抛物面的方程为： 。

2-11．质量为 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，
劈形物质量为 ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为 ，
求释放后两物体的加速度及

它们的相互作用力。
解：利用隔离体方法，设方形物 相对于劈形物
沿斜面下滑的加速度为 ，劈形物 水平向左的加
速度为 ，分析受力有：
方形物 受力： ， ， （惯性力）；
劈形物 受力： ， ， ，如图；
对于 ，有沿斜面平行和垂直的方程为：
①
②
对于 ，有：
③
将③代入有②： ，
∴ ，代入①，有：
再将 在水平和竖直两方向上分解，有：


∴
而相互作用力：

2-12．一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角 绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为 ，求：小环平衡时距杆端点 的距离 。
解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕
Z轴的圆周运动，所以可列式：


所以，可得： 。

2-13．设质量为 的带电微粒受到沿 方向的电力 ，计算粒子在任一时刻 的速度和位置，假定 时， ， 。其中 ， 为与时间无关的常数， ， ， ， 的单位分别为 ， ， ， 。
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式： ， ，
整理可得二阶微分方程： ，
下面分c为正负做讨论：令
（1）当 时，令 ，方程为： ，
可以写成：
【考虑到高等数学中，对于 ，其通解为： 】
可得： ，即：
再对上式求一次导，得到： ，
由初始条件： 时， ， ，可知： ， ，
∴有 ， ；
（2）当 时，令 ，方程为： ，
可以写成：
【考虑到高等数学中，对于 ，其通解为： 】
可得： ，即：
再对上式求一次导，得到： ，
由初始条件： 时， ， ，可知： ，
∴有 ， ；

2-14．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为 ，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为 ，在 时，球的速率为 ，求任一时刻球的速率和运动路程。
解：利用自然坐标系，法向： ，而：
切向： ，则：
，得：


2-15 设飞机降落时的着地速度大小 ，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数 ，如果飞机受到的迎面空气阻力与速率平方成正比为Kx v2，升力为Ky v2 (Kx和Ky均为常量)，已知飞机的升阻比为 ，求从着地到停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地面无压力）。
解：（1）由牛顿运动定律 ，考虑到飞机刚着地时对地面无压力，有：
则 ，又∵ ，
∴有： ，即：
积分有：

∴路程为： 。

思考题
2-1．质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，
方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于
木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：
，
所以当 增大，小球

对木板的压力N2将减小；
小球对墙壁的压力 也减小。

2-2．质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？
解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动，
对A进行受力分析，知： ，
对B进行受力分析，知：
突然撤消拉力时，对A有： ，所以 ，
对B有： ，所以 。

2-3．如图所示，用一斜向上的力 (与水平成30°角)，将一重为 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？
解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：


整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即： （此式中F无论为多大，总成立），则可得： 。

2-4．质量分别为 和 的滑块 和 ，叠放在光滑水平桌面上，如图所示． 、 间静摩擦系数为 ，滑动摩擦系数为 ，系统原处于静止．今有一水平力作用于 上，要使 、 不发生相对滑动，则 应取什么范围？
解：根据题意，分别对 ， 进行受力分析，要使 ， 不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：

解得： ，
∴ 。

2-5．如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，可知：



则可计算得到： 。

2-6．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。
(B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。
(D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，
则E的说法正确。

2-7．一小珠可在半径为 的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度 转动，小珠偏离圆环转轴而且相对

圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，
其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处
圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：


所以，可得： ， 。

2-8．几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60° (B) 45°
(C) 30° (D) 15°
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，
可列式：
，
，
∴当θ=45°时，时间最短。

2-9．如图所示，小球A用轻弹簧 与轻绳 系住；小球B用轻绳 与 系住，今剪断 绳和 绳，在刚剪断的瞬间， 、 球的加速度量值和方向是否相同？
解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以：


所以加速度大小为： ，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，其加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
切向： ，法向： ， ，考虑到此时 ，有： ，所以此时加速度大小为： ，方向为与绳垂直的切线方向。

2-10．两质量均为 的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
上面小球： （1）
下面小球： （2）
两式联立消去 ，