32 线性泛函的表示与延拓

3.2 线性泛函的表示与延拓

3.2.1 线性泛函的表示

由上节的学习,我们知道n R 、n C 及2l 均是自共轭空间,而且连续线性泛函*()n a f ∈R 可用内积来表示,即()(,)a f x a x =,下面说明这种性质对于Hilbert 空间均是成立的.即为下面的Riesz 表示定理,它是Hilbert 空间最有价值的结果之一,它使得在Hilbert 空间中运用有界线性泛函成为一件简单的事,这种属性是Banach 空间所不具有的性质.

定理3.2.1 黎兹(Riesz)表示定理

设H 为Hilbert 空间,f 是H 上的线性连续泛函,则存在唯一的z H ∈,满足:x H ?∈,有

()(,)f x x z =

,f z =.

32 线性泛函的表示与延拓

证明 (1) z 的存在性.

当f 为零泛函时,令0z =;当f 不为零泛函θ时,令

(){()0,}N f x f x x H ==∈

称()N f 为f 的零空间.因为f θ≠,所以()N f H ≠,即(){0}N f ⊥≠,于是存在0()z N f ⊥∈且00z ≠.x H ?∈,令

00()()v f x z f z x =-

则得00()()()()()0f v f x f z f z f x =-=,即()v N f ∈,因此0z v ⊥,即

00000000(,)(()(),)()(,)()(,)0v z f x z f z x z f x z z f z x z =-=-=

可见

00002

000

()()

()(,)(,)(,)(,)f z f z f x x z x z x z z z z =

== 其中002

()f z z z z =

(2) z 的唯一性.

假设存在1z H ∈也满足x H ?∈,有1()(,)f x x z =,于是

11(,)(,)(,)0x z x z x z z -=-=

取1x z z =-,可得11(,)0z z z z --=,即1z z =.

(3) f z =.

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因为()(,)f x x z x z =≤?,即

()f x z x

≤,所以

()sup{

}x f x f z x

≠=≤;

另一方面,由2

(,)()z z z f z f z ==≤

,可得z f ≤,故f z =.□

32 线性泛函的表示与延拓

注1:由上述的表示定理知,对于Hilbert 空间H 而言,*()f x H ?∈,z H ?∈,使得

()(,)f x x z =

,f z =.

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反过来,z H ?∈,存在线性连续泛函()(,)z f x x z =,因此存在?:*H H →,其中()z z f ?=,可验证?是从H 到*H 上的线性等距同构映射,即

*H H =,

可见Hilbert 空间H 是自共轭空间.

例3.2.1 设f θ≠是向量空间X 上的任意线性泛函,0()x X N f ∈-是任意固定的元素,证明:x X ?∈,有唯一的表达式

0x x y α=+,

其中()y N f ∈,α∈K 以及(){()0,}N f x f x x X ==∈.

证明 (1) 存在性

x X ?∈,由于0()x X N f ∈-,即0()0f x ≠,于是可令

0()

()

f x f x α=

,0y x x α=-. 显然00()()()()0f y f x x f x f x αα=-=-=,所以()y N f ∈,可见x 可表示为0x x y α=+.

(2) 唯一性

若存在1α∈K ,1()y N f ∈也满足101x x y α=+.那么

0101x y x y αα+=+,

110()y y x αα-=-,

由于1()y y N f -∈,于是

101()()()0f x f y y αα-=-=,

因为0()0f x ≠,可得1αα=,1y y =.□

3.2.2 线性泛函的延拓

通过前面的学习和例子知,某些空间上的线性连续泛函很多,自然想到,是否每个线性赋范空间上均有线性连续泛函?下面的延拓定理给出了答案.

定理3.2.2 (Hahn-Banach )汉恩-巴拿赫定理

设G 为线性赋范空间X 的线性子空间,f 是G 上的任一线性有界泛函,则存在X 上的线性有界泛函F (见图3.2.1),满足

(1) 当x G ∈时,()()F x f x =; (2) X

G

F f

=.

其中X

F

表示F 作为X 上的线性泛函时的范数;G

f

表示G 上的线性泛函的范数.

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K

图3.2.1 线性有界泛函延拓示意图

注2:由于上述定理的证明比较难,故略.必须注意这种线性有界泛函的延拓不唯一,即上述定理中的线性有界泛函F 并不唯一存在.

注3:将G 上的线性有界泛函f 延拓到整个空间X 上,通常而言,所得的延拓泛函F 具有比f 更大的范数,汉恩-巴拿赫延拓定理告诉我们,存在最小范数的延拓,而且这个最佳延拓的范数就是f 的范数.

推论 3.2.1 设X 为一线性赋范空间,对任何0x X ∈,00x ≠,则必存在X 上的线性连续泛函f ,满足

(1) 00()

f x x =; (2) 1f =.

证明 设0{}G span x =,0x tx G ?=∈,定义0()x t x ? ,显然有

32 线性泛函的表示与延拓

00()x x ?=,

000()()x tx t x tx x ??====.

于是?是G 上的一个线性有界泛函,且

()

sup

1x x x

??≠==.

由Hahn-Banach 延拓定理知,存在X 上的线性有界泛函f ,使得00()f x x =以及1f ?==.□

注4:(1)由上述推论知,任何一个非空的线性赋范空间X ,只要包含非零元素,那么X 上的非零线性连续泛函f 是非常多的.

(2)因为当00x ≠时,一定存在X 上的非零线性连续泛函f ,使得00()f x x =,所以要判别0x X ∈是否为0元素,只要判别对于X 上的所有线性有界泛函f ,是否满足0()0f x =.

下面说明Hahn-Banach 延拓定理的几何意义. 定义3.2.1 超平面,球,支撑

设X 为一线性赋范空间,*f X ∈(实线性有界泛函),称

{()}c f L x X f x c =∈=

为X 中的一个超平面;称{,}x x X x r Ω=∈≤为X 中的一个球.对于子集G X ?,若x G ?∈,有()f x c ≤,则称G 位于c f L 的一侧;如果G 位于c f L 的一侧,且0c f x G L ∈ ,则称超平面c f L 支撑着G .

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c f

图3.2.2 超平面c f L 支撑着G 示意图

Hahn-Banach 延拓定理的几何意义:在球Ω的球面{,}x x X x r ?Ω=∈=每一点处存在支撑球Ω的超平面c f L (见图3.2.2).

事实上,当

0x ∈?Ω时,0x r =,显然00x ≠,于是存在*0f X ∈,使得01f =,

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000()f x x r ==,即

000{,()}r f x L x x X f x r ∈=∈=.

当x ∈Ω时,

00()f x f x x r ≤=≤

即球Ω位于c f L 的一侧,故在0x 点超平面c f L 支撑着球Ω.

推论3.2.2 设G 是线性赋范空间X 的子空间,0x X ∈,

00(,)inf{}0y G

d x G x y d ∈=-=>,

则必存在X 上的线性有界泛函f ,满足

(1) x G ?∈,()0f x =; (2) 0()f x d =; (3) 1f =.

证明 设10{,}G span G x =,由于0x G ?,所以1G 中的元素y 可唯一的表示为0y x tx =+,其中x G ∈.在1G 上定义泛函1:G ?→R ,其中

0()x tx td ?+=.

易验证?是1G 上的线性泛函,且0()x d ?=;当x G ∈时()0x ?=.下面证明1

1G ?

=.

01y x tx G ?=+∈,其中x G ∈,t ∈R 且0t ≠,因为

0()()y x tx ??=+t d =01

()t x x t

≤--0x tx =+y =,

于是当y θ≠有

()

1y y

?≤,即1

1G ?

≤.

另一方面由00(,)inf{}y G

d x G x y d ∈=-=可知,存在{}n x G ?,使得0lim n n d x x →∞

=-.于是

00()()n d x x x ??==-1

0n G x x ?

≤-,

令n →∞,可得1

G d d ?

≤,即1

1G ?

≥.

故1

1G ?

=,根据Hahn-Banach 延拓定理知,?可延拓成空间X 上的线性有界泛函f ,满

足(1)

x G ?∈,()()0f x x ?==;(2) 00()()f x x d ?==;(3) 1

1X

G f

?

==.□

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推论3.2.3 设G 是线性赋范空间X 的子空间,0x X ∈,

那么0x G ∈?*f X ?∈,若x G ?∈,

有()0f x =,则必有0()0f x =.

证明 ?设0x G ∈时,即存在{}n x G ?,使得0lim n n x x →∞

=.对于*f X ∈,当x G ∈有()0

f x =成立时,便可得

0()lim ()0n n f x f x →∞

==.

?若0x ?,

则0(,0d x G d =>,根据上述推论知,存在*f X ∈,满足x G ?∈,有()0f x =,且0()0f x d =>,产生矛盾,故0x G ?.□

结论1换种说法如下:

推论3.2.4 设G 是线性赋范空间X 的子空间,0x X ∈,那么0x 可用G 中元素的线性组合任意精度逼近?*f X ?∈,若x G ?∈,有()0f x =,则必有0()0f x =.

3.2.3 延拓定理的应用与二次共轭空间

线性赋范空间X 的全体线性有界泛函组成X 的共轭空间*X ,*X 不仅是一线性赋范空间,而且是完备的空间,即Banach 空间,称它的共轭空间**()X 为X 的二次共轭空间,表示为

****()X X =,那么**X 与X 的关系如何?

定义 3.2.2 设X 为线性赋范空间,如果在线性等距同构意义下**X X =,则称X 是自反空间.

由Riesz 定理知,Hilbert 空间是自反的、自共轭的空间,例如n R 、2l 及2[,]L a b 均是自反的、自共轭的空间.然而对于一般的线性赋范空间X 而言,X 与**X 有什么关系?

定理3.2.3 设X 为线性赋范空间,则X 与它的二次共轭空间**X 的某个子空间X

线性等距同构.

证明 (1) x X ?∈,定义一个**x

X ∈ . 设x 是X 中的元素;*f X ∈,即f 是X 上的线性有界泛函,现定义*X 上的一个泛函

*:x

X → R ,即*f X ?∈定义 ()()x

f f x . 下面验证x

是*X 上的线性有界泛函,即**x X ∈ . *,f g X ?∈,,αβ?∈R ,因为

()()()()()()()x

f g f g x f x g x x f x g αβαβαβαβ+=+=+=+ ; ()()x

f f x f x M f =≤?= , 其中M x =,所以x

是*X 上的线性有界泛函. (2) 证明x x

= . 由于()()x

f f x f x =≤? ,以及1

sup{()}f x x f == ,所以 x

x ≤ ; 另一方面,当0x ≠时,由Hahn-Banach 延拓定理的推论3.2.1知,存在*g X ∈,使得

()g x x =,1g =,

于是

()()x

x g g x x ≥== , 因此x x

= . (3) 建立线性等距同构映射.

设**{}X

x x X X =∈? ,令?:X X → (x x → ). ①?是线性映射.

,x y X ?∈,,αβ?∈R ,有

**()x y x y X ?αβαβ+=+∈,**()()x y x

y X α?β?αβ+=+∈ . 因为*f X ?∈、有

()()()()x y f f x y f x f y αβαβαβ+=+=+;

()()()()()()x

y f x f y f f x f y αβαβαβ+=+=+ , 所以()x y ?αβ+=()()x y α?β?+,即?是线性映射.

②?是等距映射.

由上述(2)的证明知x x

= . ③?是1-1映射. 当,x y X ∈,且x y ≠时,

()()()0x y x y x

y x y ???-=-=-=-≠ 于是?是单映射,加之满射显然成立,故?是1-1映射.□

注5:由上述定理知,?:

X X → 是从X 到**X 的子集X 上的线性等距同构映射,即X X ? ,意味着将X 可以嵌入到**X 中,见下面图3.2.3.

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图3.2.3 X 嵌入到**

X 中示意图

例3.2.2 设12,X X 是线性赋范空间,积空间12X X ?上的范数定义为1212(,)x x x x =+,

**

12

X X ?上的范数定义为1212(,)max{,}f f f f =,证明 ***

1212

()X X X X ?=?. 证明 (1)存在从*12()X X ?到**

12X X ?上的1-1映射?.

12(,)f f f ?→:的定义以及?是单射:对于任意的*12()f X X ∈?,记111()(,)f x f x θ=,则有

11111()(,)(,)f x f x f x f

x θθ=≤=,

即*11f X ∈;类似的记222()(,)f x f x θ=,同理有*22f X ∈,于是**

1212(,)f f f X X =∈?.

?是满射:对于**

1212

(,)f f X X ∈?,定义12121122(,)(,)()()f f x x f x f x =+,容易验证12(,)f f 是12X X ?上的线性泛函.因为1212(,)x x X X ?∈?,有

12121122(,)(,)()()f f x x f x f x ≤+

1122f x f x ≤+

1212max{,}()f f x x ≤+,

所以12(,)f f 线性有界,即**

1212(,)f f X X ∈?,且1212(,)max{,}f f f f ≤.

(2)?是保距映射.

若121max{,}f f f =,取()11{}n x X ?,且()11n x =,使得()11()n f x f →,于是就有

()1(,)1n x θ=,且当n →∞时有

()()121111(,)(,)()n n f f x f x f θ=→

所以12112(,)m a x {,}

f f f f f ≥=.类似可证12212(,)max{,}f f f f f ≥=,因此对于*1212(,)()f f f X X =∈?有

1212(,)max{,}f f f f f ==,

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而且对于**1212()(,)f f f X X ?=∈?而言,其范数的定义为12()max{,}f f f ?=,即

()f f ?=.

例3.2.3 设{0}X ≠为线性赋范空间,证明对于每一个x X ∈有*

,0

()sup {

}f X f f x x f

∈≠=.

证明 *f X ?∈,因为()f x f x ≤,所以当0x ≠且0f ≠时,有

()f x x f

当0x ≠时,由Hahn-Banach 延拓定理的推论3.2.1知,存在*0f X ∈,使得

0()f x x =,01f =,

即00

()f x x f =

,于是

*,0

()sup {

}f X f f x x f

∈≠≤.

因此*,0

()sup {

}f X f f x x f

∈≠=.□

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