2019年高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天练案13万有引力定律及其应用新人教版

练案[13] 万有引力定律及其应用

一、选择题(本题共10小题，1～6题为单选，7～10题为多选)

1．(2018·河南八校联考)火星探测项目是我国继载人航天工程、嫦娥工程之后又一个重大太空探索项目，2018年左右我国将进行第一次火星探测。已知地球公转周期为T ，到太阳的距离为R 1，运行速率为v 1，火星到太阳的距离为R 2，运行速率为v 2，太阳质量为M ，引力常量为G 。一个质量为m 的探测器被发射到一围绕太阳的椭圆轨道上，以地球轨道上的A 点为近日点，以火星轨道上的B 点为远日点，如图所示。不计火星、地球对探测器的影响，则导学号

21993066( D )

A ．探测器在A 点的加速度大于v 2

1R 1

B ．探测器在B 点的加速度大小为

GM R 2

C ．探测器在B 点的动能为12

mv 22 D ．探测器沿椭圆轨道从A 到B 的飞行时间为12(R 1＋R 22R 1)32

T [解析] 根据牛顿第二定律，加速度由合力和质量决定，故在A 点的加速度等于沿着图中小虚线圆轨道绕太阳公转的向心加速度，a ＝v 2

1R 1

；故A 错误；在B 点的加速度等于沿着图中大虚线圆轨道绕太阳公转的向心加速度，a ＝GM R 22或a ＝v 2

2R 2

，故B 错误；探测器在B 点的速度小于v 2，故动能小于12

mv 22，故C 错误；根据开普勒第三定律，有： R 31

T 2＝R 1＋R 223T ′2 联立解得：T ′＝(R 1＋R 22R 1)32

T 故探测器沿椭圆轨道从A 到B 的飞行时间为12(R 1＋R 22R 1)32

T ，故D 正确。 2．(2018·福建省高三上学期龙岩市六校期中联考试题)2017年6月19号，长征三号乙

火箭发射中星9A 卫星过程中出现变故，由于运载火箭的异常，致使卫星没有按照原计划进入预定轨道。经过航天测控人员的配合和努力，通过10次的轨道调整，7月5日卫星成功变轨。卫星变轨原理图如图所示，卫星从椭圆轨道Ⅰ远地点Q 改变速度进入地球同步轨道Ⅱ，P 点为椭圆轨道近地点。下列说法正确的是导学号 21993067( D )

A ．卫星在椭圆轨道Ⅰ运行时周期大于在同步轨道Ⅱ运行时的周期

B ．卫星在椭圆轨道Ⅰ的P 点的速度小于在同步轨道Ⅱ的Q 点的速度

C ．卫星在椭圆轨道Ⅰ的机械能等于在同步轨道Ⅱ的机械能

D ．卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小，轨道半径变小，动能变大

[解析] 由图可知，椭圆轨道Ⅰ的半长轴小于同步轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，椭圆轨道Ⅰ运行时周期小于在同步轨道Ⅱ，故A 错误；卫星从近地圆轨道上的P 点需加速，使得万有引力小于向心力，进入椭圆转移轨道。所以卫星在近地圆轨道上经过P 点

时的速度小于在椭圆转移轨道上经过P 点的速度。根据G Mm r 2＝m v 2

r 得，v ＝GM r

，知同步轨道的半径大于近地轨道的半径，则同步轨道的线速度小于近地轨道的线速度。综上可知卫星在椭圆轨道Ⅰ的P 点的速度大于在同步轨道Ⅱ的Q 点的速度，故B 错误；卫星发射越高，需要克服地球引力做功越大，所以卫星在轨道Ⅰ的机械能小于在轨道Ⅱ的机械能。故C 错误；卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小则开始时速度减小，而速度减小后需要的向心力减小，所以卫星将做向心运动；即卫星在微小阻力的作用下，机械能减小后做向心运

动，轨道半径变小；由G Mm r 2＝m v 2

r

，可知轨道半径减小后动能变大，故D 正确。 3．(2018·江西省临川区第一中学高三上学期第三次段考试题)在被预言将近百年、苦苦追寻几十年之后，首个位于地球之外13亿光年的引力波源GW150914被人类直接探测到，引力波的发现具有划时代的意义。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的)，则导学号 21993068( B )

A ．b 星在周期为l －Δr l ＋Δr

T

B ．a 星的线速度大小为πl ＋Δr T

C ．a 、b 两颗星的半径之比为

l

l －Δr D ．a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr

[解析] 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b 星的周期为T ，故A 错误；根据题意可知，r a ＋r b ＝l ，r a －r b ＝Δr ，解得：r a ＝l ＋Δr 2，

r b ＝l －Δr 2，则a 星的线速度大小v a ＝2πr a T ＝πl ＋Δr T ，a 、b 两颗星的半径之比为l ＋Δr l －Δr ，故B 正确，C 错误．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m a r a ω2＝m b r b ω2，解得m a m b ＝r b r a ＝l －Δr l ＋Δr

，故D 错误。故选B 。 4．(2018·山东省日照市高三上学期11月期中试题)2017年6月15日，中国空间科学卫星“慧眼”被成功送入轨道，卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气。“慧眼”是我国首颗大型X 射线天文卫星，这意味着我国在X 射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等。下列关于“慧眼”卫星的说法，正确的是导学号 21993069( B )

A ．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小

B ．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低

C ．“慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用

D ．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度

[解析] AB ：卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据G Mm r 2＝m v 2

r 可得v ＝GM r

，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，故A 错误、B 正确。卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，故C 错误；据v ＝

GM r

，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，故D 错误。

5．(2018·河北省定州中学高三上学期期中试题)某同学设想驾驶一辆“陆地——太空”两用汽车(如图)，沿地球赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以增加到足够大。当汽车速度增加到某一值时，它将成为脱离地面绕地球做圆周运动的“航天汽车”。不计空气阻力，已知地球的半径R ＝6400km 。下列说法正确的是导学号 21993070( B )

A ．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大

B ．当汽车速度增加到7.9km/s ，将离开地面绕地球做圆周运动

C ．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1h

D ．在此“航天汽车”上可以用弹簧测力计测量物体的重力

[解析] 汽车沿地球赤道行驶时，由重力和支持力的合力提供向心力。设汽车的质量为

m ，支持力为F ，速度为v ，地球半径为R ，则由牛顿第二定律得mg －F ＝m v 2R

，解得F ＝mg －m v 2R

，当汽车速度v 增大时，支持力F 减小，则汽车对地面的压力减小。故A 错误；7.9km/s 是第一宇宙速度，当汽车速度v ＝7.9km/s 时，汽车将离开地面绕地球做圆周运动，成为近地卫星，故B 正确；“航天汽车”环绕地球做圆周运动时半径越小，周期越小，则环绕地球附

近做匀速圆周运动时，周期最小。最小周期T ＝2πR v

，v ＝7.9km/s ，R ＝6400km ，代入解得T ＝5087s ＝1.4h ，“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1.4h ，故C 错误；在此“航天汽车”上物体处于完全失重状态，不能用弹簧测力计测量物体的重力，故D 错误。

6．(2018·福建省东山二中高三上学期期中试题)如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是导学号 21993071( D )

A ．a 2>a 3>a 1

B ．a 2>a 1>a 3

C ．a 3>a 1>a 2

D ．a 3>a 2>a 1

[解析] 在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，根据向心加速度a n ＝4π2

T

2r ，由于拉格朗日点L 1的轨道半径小于月球轨道半径，所以a 2＞a 1，同步卫星离地高度约为36000公里，故同步卫星离地距离小于拉格朗日点L 1的轨道半径，根据a ＝GM

r

2得a 3＞a 2＞a 1，故选D 。

7．(2018·江西省临川二中高三上学期第五次理综物理)关于人造地球卫星，下列说法正

确的是导学号 21993072( AD )

A ．在地球周围做匀速圆周运动的人造卫星的线速度一定都小于7.9km/s

B ．发射速度大于7.9km/s 的人造地球卫星进入轨道后的线速度一定大于7.9km/s

C ．由v ＝GM r

可知，离地面越高的卫星其发射速度越小 D ．卫星的轨道半径因某种原因缓慢减小，其线速度将变大

[解析] 地球的第一宇宙速度是7.9km/s ，故A 正确；人造地球卫星进入轨道后的线速度小于7.9km/s ，故B 错误；公式v ＝GM r

是运行速度，离地面越高的卫星其运行速度越小，但发射速度要更大一些，因为要克服地球的引力做更多的功，故C 错误；由公式v ＝

GM r 可知，卫星受阻力作用轨道半径缓慢减小后，其线速度将变大，故D 正确。

8．(2018·河北省衡水第一中学高三上学期分科综合考试)2016年12月22日，我国成功发射了国内首颗全球二氧化碳监测科学实验卫星(以下简称“碳卫星”)。如图所示，设“碳卫星”在半径为R 的圆周轨道上运行，经过时间t ，通过的弧长为s ，已知引力常数为G 。下列说法正确的是导学号 21993073( CD )

A ．“碳卫星”内的物体处于平衡状态

B ．“碳卫星”的运行速度大于7. 9km/s

C ．“碳卫星”的发射速度大于7. 9km/s

D ．可算出地球质量为s 2R Gt

2 [解析] “碳卫星”绕地球运行，做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故不处于平衡状态，处于失重状态，A 错误；7.9km/s 为第一宇宙速度，是最大的运行速度，“碳卫星”轨道半径比地球半径大，因此其运行速度应小于7.9km/s ，B 错误；7.9km/s 是最小的地面发射速度，“碳卫星”轨道半径比地球半径大，因此其发射速度应大于7.9km/s ，C 正确； “碳

卫星”的线速度v ＝s t ，根据万有引力提供向心力GMm R 2＝m v 2R ，解得地球质量：M ＝v 2R G ＝s 2R Gt

2，D 正确；故选CD 。

9．(2018·天津市第一中学高三上学期第二次月考试题)2017年11月15日，我国自行研制的风云三号D 星发射升空，这是一颗极轨气象卫星，运行周期约为100分钟。而11月5

日，北斗三号双星发射升空，标志着我国的北斗导航系统进入全球组网时代。北斗系统中的同步定点卫星与风云卫星相比，下列说法正确的是导学号 21993074( BC )

A ．两种卫星都可能经过天津上空

B ．北斗卫星的周期约为风云卫星的14.4倍

C ．北斗卫星的运行速度比风云卫星的小

D ．北斗卫星的向心力一定比风云卫星的小

[解析] 北斗系统中的同步定点卫星只能定点在赤道的上空，不能经过天津上空，选项A 错误；北斗卫星的周期为24h ，风云卫星的周期为100分钟，则北斗卫星的周期约为风云卫

星的24×60100＝14.4倍，选项B 正确；北斗卫星的高度大于风云卫星，根据v ＝GM r

可知，北斗卫星的运行速度小于风云卫星的速度，选项C 正确；因不知北斗卫星的质量与风云卫星的质量关系，则无法比较两星的向心力关系，选项D 错误；故选B 。

10．(2018·山东省日照市高三上学期11月期中试题)2017年4月23日7时26分，“天舟一号”与“天宫二号”成功对接成新的组合体，组合体开始进行推进剂补加试验，试验持续5天时间，组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动，目前组合体状态良好。关于组合体与原“天宫二号”的说法正确的是导学号 21993075( BD )

A ．组合体的运动速度比原“天宫二号”的运动速度大

B ．组合体的机械能比原“天宫二号”的机械能大

C ．组合体的加速度比原“天宫二号”的加速度大

D ．组合体的向心力比原“天宫二号”的向心力大

[解析] 组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动，据G Mm r 2＝m v 2

r ，v ＝GM r

组合体的运动速度等于原“天宫二号”的运动速度，故A 错误；组合体的运动速度等于原“天宫二号”的运动速度，组合体质量变大，组合体的机械能比原“天宫二号”的机械能大，故B 正确；组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动，据G Mm r 2＝ma ，a ＝G M

r

2组合体的加速度等于原“天宫二号”的加速度，故C 错误；组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动，据F n ＝G Mm r

2，组合体的向心力比原“天宫二号”的向心力大；故D 正确。

二、非选择题

11．(2018·福建省高三上学期龙岩市六校期中联考试题)宇航员在某星球表面上固定了一个倾角为θ＝37°的足够长的斜面，他将一个质量为m ＝2.0kg 的小物块弹射出去，使它从斜面底端以初速度v 0＝9m/s 沿斜面向上运动，并测量到当它运动了1.5s 时速度恰好变为零。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km ，sin37°＝0.6，

cos37°＝0.8，试求：

导学号 21993076

(1)该星球表面的重力加速度；

(2)该星球的第一宇宙速度。

答案：(1)7.5m/s 2 (2)3×103

m/s

[解析] (1)小物块沿斜面向上运动过程0＝v 0－at

解得：a ＝6m/s 2

又有：mg sin θ＋μmg cos θ＝ma

解得：g ＝7.5m/s 2

(2)设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有： mg ＝m v 2R

v ＝gR ＝3×103m/s

12．(2018·宜春校级月考)航天专家叶建培透露，中国将在2020年发射火星探测器，次年登陆火星。在第十届珠海航展上，中国火星探测系统首次亮相。中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成，其中着陆巡视器主要功能为实现火星表面开展巡视和科学探索。若环绕器环绕火星的运动为匀速圆周运动，它距火星表面设计的高度为h ，火星半径为R ，引力常量为G ，着陆巡视器第一次落到火星后以v 0的速度竖直弹起后经过t 0时间再次落回火星表面。求：导学号 21993077

(1)火星的密度；

(2)“环绕器”绕月球运动的周期T 。

答案：(1)3v 02πRGt 0 (2)2πR ＋h R R ＋h t 02v 0

[解析] (1)根据竖直上抛运动的基本规律可知，

火星表面重力加速度g ＝v 0t 02

＝

2v 0t 0

①， 根据火星表面万有引力等于重力得： G Mm ′R 2

＝m ′g ②， 火星密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3③，

由①②③解得：ρ＝3v0

2πRGt0

(2)根据万有引力提供向心力公式得：

G

Mm

R ＋h2

＝m(

2π

T

)2(R＋h)

解得：T＝2πR＋h3

gR2

＝

2πR＋h

R

R＋h t0

2v0