圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理，其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时?、x1+x2 、x1? x2及相交弦长的简便算法。

适用领域范围：标准双曲线与抛物线

定理内容

若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中，△‘为一与△同号的值，

定理说明:

1.应用该定理于椭圆时,应将代入。

2.应用于双曲线时,应将代入,

同时不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.

可知ε与?'的值不会因此而改变。

定理补充

联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。

1.若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,

则:

这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：

2.若曲线为椭圆

则

3.若曲线为双曲线

则

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：

联立两方程得……（二次式子）（*）

所以x1+x2=……①，x1x2=……②；

所以|x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）

化简得|x1-x2|=

(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数

圆锥曲线常见题型与答案

圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,,

圆锥曲线非对称问题

圆锥曲线非对称问题 韦达定理是初中要求的基本知识，到了高中，他的作用日趋明显，在解析几何的解答题中，有着不可或缺的地位，对于直接运用韦达定理的运算，学生已非常熟练，但在有些问题中会遇到两根不对称的情形，一定要学会找关系，用性质 问题导入 已知椭圆C：的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），M,N为左右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于两点A,B且当m=?√33时，A是椭圆C的点，且△AF1F2的周长为6． （1）求椭圆C的方程； （2）设点A在x轴上方，设AM,BN,交于一点T，求证点T的横坐标为定值 变式训练 已知椭圆C：的左右顶点为M，N，过定点p（-3，0）且斜率不为零的动直线与椭圆c交于A，B 两点，设A（x1，y1）B（x2，y2）从左往右依次为P,A,B (1)求x1x2+4x1+x2的值 (2)设直线AN与直线BM交于点E，求证点E的横坐标为定值

一，共线向量问题型 例1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2 2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E. 1）求曲线E 的方程； 2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 例2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214 y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ= ， 2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 例3设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=PB 125，求a 的值

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

圆锥曲线(韦达定理的使用)

圆锥曲线中韦达定理的使用 例：已知椭圆 116 252 2=+y x ，过左焦点1F 作一条直线交椭圆于A 、B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M 、N 。若以MN 为直径的圆恰过1F ，求 a 的值。 解： 25 小结：解析几何综合题中最典型的直线与曲线交于两点，考查二次方程韦达定理的应用。一般地解题的框架为： 1、直线方程代入曲线方程，准备好韦达定理； 2、主要目标分析，合理转化； 3、韦达定理代入，整理求解。

练习题： 1、已知不过原点的直线L 与椭圆14 22 =+y x 交于点A 、B ，且直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 的面积的取值范围。 解：设直线AB ：()0≠+=m m kx y ，代入14 22 =+y x 整理得 直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列=??2 2 11x y x y 韦达定理代入： 解得 =?= ?d AB S AOB 2 1 2、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB 的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围． 解：将直线1y kx =+代入2 2 1x y -=化简得 由“与左支交于两点”得 AB 的中点为 直线l 方程为 ，其在y 轴的截距b = 所以b 的取值范围是 。 3、过椭圆222 2=+y x 的右焦点F 作弦PQ ，A （0，1），直线AP 、AQ 分别交直线0 2=--y x 于点M 、N ，求当|MN|最小时直线PQ 的方程。 4、椭圆222 2 =+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，弦AB 的中点在直线012=+x 上， 求B F A F 22?的取值范围。

圆锥曲线弦长公式

圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二

. 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

韦达定理在圆锥曲线中的应用叫叫

韦达定理在解析几何中的应用 韦达定理步骤 1、 设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。 2、 直线与曲线方程联立方程组。 3、 消去x, 得到关于或y 的一元二次方程. 4、 结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。 韦达定理注意与向量的联系 一，求弦长 .直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式 ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣2 1k +?=)1](4)[(2 212 21k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k + ? =)11](4)[(2212 21k y y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。 （1 ）若12||x x -=||AB = （2 ）12||y y -=||AB = 2．斜率为1的直线经过抛物线2 4y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = 3、抛物线 y 2 =4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么 |AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 4、y=kx-2交椭圆x 2+4y 2 =80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣ PQ ∣等于___________. 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线 截得的弦长。已知向量()()()() m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是实数） ，又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r ，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。 （I ）求曲线C 的方程； （II ）设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当MN =42 3 时，求直线l 的方程。

圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理 1、圆锥曲线与直线的关系 椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22 221x y a b +=(0)a b 双曲线：22 221x y a b -=(0)a b 、 直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充) （1）椭圆与双曲线联立： 2 2 2222212()10k km m x x a b b b +++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了) 类一元二次方程：2 0Ax Bx C ++= 2 221()k A a b =+，所以0A ，即方程为一元二次方程。 判别式：24B AC ?=- 22 2222221()4()(1)km k m b a b b ?=-+- 化解得：22 222214()k m a b a b ?=+- 1) 当0?，方程无实根，直线与椭圆没有交点； 2) 当0?=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切； （相切是因为重根，而不是只有一个根） 3) 当0? ，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立： 2 2 2222212()10k km m x x a b b b ----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b =- 22 222214()k m a b a b ?=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线） 2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线 的平行线） 3) 当0,0A ≠?时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当0,0A ≠?=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切； 5) 当0,0A ≠? 时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交. PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

利用韦达定理及对称解决圆锥曲线大题

1. 已知动圆P 过定点A(-3,0),并且在定圆B(x-3)2+y 2=64的内部与之相切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 答案： 22 1167x y += 2. 已知：点A(4,0),点B 在2 2 4x y +=上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程. 答案：2 2 (2)1x y -+= 3. 已知椭圆C:22 143x y +=.确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，C 上有两个两个不同的点关于该直线对称. 答案: 213213 1313m - ≤≤ 4. 设曲线C ：13 22 =+y x 与直线m kx y +=相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，－1），当||||AN AM =时，求实数m 的取值范围. 答案：（0.5，2） 5． 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆C 上，且112PF F F ⊥，12414,33 PF PF ==。 (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)若直线l 过圆2 2 420x y x y ++-=的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程. 解法一: (1)因为点P 在椭圆C 上,所以6221=+=|PF ||PF |a ,.a 3= 在Rt △21F PF 中,522 12221=-=|PF ||PF ||F F |,故椭圆的半焦距,c 5= 从而42 22=-=c a b ,所以椭圆C 的方程为14 922=+y x (2)设A , B 的坐标分别为)y ,x (),y ,x (2211. 已知圆的方程为5122 2 =-++)y ()x (,所以圆心M 的坐标为),(12- 从而可设直线l 的方程为12++=)x (k y 代入椭圆C 的方程得02736361836942 222=-+++++k k x )k k (x )k ( 因为A,B 关于点M 对称 所以29491822 221-=++-=+k k k x x 解得98= k ,所以直线l 的方程为=y 129 8 ++)x (,即02598=+=y x 6．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)-，(2,0)，离心率是6 3 ，直线y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； 解：（Ⅰ）因为 63 c a = ，且2c =，所以22 3,1a b a c ==-= 所以椭圆C 的方程为2 213 x y += （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<< 由22 13 y t x y =???+=?? 得2 3(1)x t =±- 所以圆P 的半径为2 3(1)t - 解得32t =± 所以点P 的坐标是（0，32 ±） 7. 已知O ：2 2 1x y +=和定点(2,1)A ，由O 外一点(,)P a b 向O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =． (Ⅰ) 求实数a b 、间满足的等量关系； (Ⅱ) 求线段PQ 长的最小值； (Ⅲ) 若以P 为圆心所作的P 与O 有公共点，试求半径取最小值时的P 方程. 答案：（Ⅰ）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222 PQ OP OQ =- 又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-. 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （Ⅱ）由230a b +-=，得23b a =-+. 22221(23)1PQ a b a a =+-=+-+-2 5128a a =-+=2645()55 a -+. 故当6 5 a = 时，min 2 5.5PQ =即线段PQ 长的最小值为2 5.5 （Ⅲ）设 P 的半径为R ， P 与 O 有公共点， O 的半径为1， 1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+. 而222226 9(23)5()55 OP a b a a a =+=+-+=-+， 故当6 5a = 时，min 3 5.5 OP =此时, 3235b a =-+=，min 3515R =-.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin )sin(++=e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用

直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用 【例1】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32 . （1）求双曲线E 的标准方程； （2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为线l 的方程. 【例2】已知双曲线C ： 22 221x y a b -=（0,0a b >>4． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求

【例3】已知椭圆C:()22 2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为； 圆M ：2220x y Dx +--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； ，使得AP AQ 为定值；并求出该定点的坐标 . 【例4】的椭圆C 的一个焦点坐标为() . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点() 0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ?的取值范围.

【例5】已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点． (1)求证： l 与C 必有两交点； OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． 【例6】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b +=>>,右焦点为,0). (1)求椭圆C 的方程; ,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为）

【例7】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>> ，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为1 1. （1）求椭圆的方程； （2）过点10,3S ??- ??? 的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的

圆锥曲线韦达定理和点差法运用(1)

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。 例2、F 是椭圆13 42 2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。 （1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切, 例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程

例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 例6、已知椭圆 )52(11 2 2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

1.分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+)1(1 30 24---= x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)， （注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,4 1 ） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x= 41，∴Q(1,4 1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细 体会 2.分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5 设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F ' 542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA 当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2 1 ， ∴PH PF PH PF == 2,2 1 即 ∴PH PA PF PA +=+2 当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142 =-=-A x c a

非涉及韦达定理圆锥曲线大题精选

非涉及韦达定理圆锥曲线大题精选 1．（本题满分14分） 已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个交点为() 13,0F -,而且过点13,2H ? ? ?? ?. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.

已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ， 离心率为1 2 ，椭圆上的动点P 到直线2:a l x c =的最小距离为2， 延长2F P 至Q 使得22F Q a =u u u u r ，线段1F Q 上存在异于1F 的点T 满足10PT TF ?=u u u r u u u r . （1） 求椭圆的方程； （2） 求点T 的轨迹C 的方程； （3） 求证：过直线2 :a l x c =上任意一点必可以作两条直线 与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点.

已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （２）若曲线22251 :24025 G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，试求a 的最小值．

圆锥曲线联立及韦达定理之欧阳家百创编

圆锥曲线联立及韦达定理 欧阳家百（2021.03.07） 1、圆锥曲线与直线的关系 椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22221x y a b +=(0)a b 双曲线：22221x y a b -=(0)a b 、 直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充) （1）椭圆与双曲线联立： (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了) 类一元二次方程：20Ax Bx C ++= 2 221()k A a b =+，所以0A ，即方程为一元二次方程。 判别式：24B AC ?=- 化解得：22222214()k m a b a b ?=+-

1) 当0?，方程无实根，直线与椭圆没有交点； 2) 当0?=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切； （相切是因为重根，而不是只有一个根） 3) 当0?，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交. （2）双曲线与直线联立： 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b =- 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时 为渐近线） 2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双 曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线） 3) 当0,0A ≠?时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当0,0A ≠?=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲 线相切； 5) 当0,0A ≠?时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲 线相交. PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！ 2、联立方程与韦达定理 （1）韦达定理： 20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠?≥

高二圆锥曲线知识点总结与例题

高二圆锥曲线知识点总 结与例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二圆锥曲线知识点总结与例题分析 一、椭圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上） 或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的 位置，只要看2x 和2 y 的分母的大小。 例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 2、椭圆的性质 ①范围： 由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所 围成的矩形里； ②对称性： 椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③四个顶点：1(,0)A a - ，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b 线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。 3、点与椭圆的关系 点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；

圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理 1、圆锥曲线与直线的关系 椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 2 2 椭圆：x 2 爲=1 （a>b>O ） a b 2 2 双曲线：务-占=1 （a 、b>0） a b 直线：y = kX m （PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在 y 轴、双曲线的焦点在 y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充 ） （1）椭圆与双曲线联立: （PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了 ） 2 类一元二次方程： AX Bx 0 1 k A=（F 2）,所以A A 0 ,即方程为一元二次方程。 a b 判别式：厶=B 2 -4AC 2 当"=0 ，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切； （相切是因为重根，而不是只有一个根） 2km m 1 2 3 b 2 一1 =0 一(許 Yb? -1) 化解得: ==4(? b 2 a b a 2b 2

兀二次方程中， 2 2 JIZ 1 k m X = 4(—2 2 2以 ) a b a b 的平行线） 3）当An 0,厶Y 0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离; 4）当An 0,厶=0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切; 5）当Au 0,厶＞ 0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交 PS :注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同! （2）双曲线与直线联立: 2km ) 1) 当 A =0, B =O 时, 方程为 -1 =0 ,无解，直线与双曲线相离； （此时为渐近线） 2) 当 A =0, B = 0 时, 方程为 元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用

韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用 【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零．一、弦长问题 【韦达特征】AB== 例1顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线240 x y --= 所得弦长为，则抛 物线方程为． 二、弦的中点问题 【韦达特征】1212 00 , 22 x x y y x y ++ == 例2已知直线l与椭圆 22 1 164 x y +=交于A、B两点，且线段A B的中点为(2,1) P-，则直线 l的方程是． 三、垂直问题 【韦达特征】 （1）若O A O B ⊥，则： 1212 x x y y += （2）若,(,) PA PB P m n ⊥，则： 1122 (,),(,) PA x m y n PB x m y n =--=-- 1212 ()()()() PA PB x m x m y n y n ?=-?-+-?- 22 12121212 ()() x x m x x m y y n y y n =-+++-++ 例3若直线l：1 y ax =+与双曲线22 31 x y -=交于A、B两点,且以A B为直径的圆过原 点，求a的值.（1 a=±） 例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； 22 1 43 x y += （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是左右顶点），且以A B为 直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 2 (,0) 7 例5设椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12 F F A ，，是椭圆上的一点， 212 AF F F ⊥，原点O到直线 1 A F的距离为 1 1 3 O F． （Ⅰ）证明a=； （Ⅱ）求(0) t b ∈，使得下述命题成立：设圆222 x y t +=上任意点 00 () M x y ，处的切线交椭圆 于 1 Q， 2 Q两点，则 12 OQ OQ ⊥．