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解直角三角形1

教学过程

一、新课导入

在直角三角形中,共有三条边、三个角(六个元素),你能根据所学的知识谈谈它们之间的关系吗?

二、复习预习

在直角三角形中:

1.三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)

2.锐角之间关系:∠A+∠B=90°

3.边角之间关系:

正弦函数:sinA=

余弦函数:cosA=

正切函数:tanA=

三、知识讲解

考点1 锐角三角函数的定义

在Rt△ABC 中,∠C=90°.

(1)正弦:我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦,记作sinA .

即sinA=斜边

的对边A ∠=c a . (2)余弦:锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦,记作cosA .

即cosA=斜边

的邻边A ∠=c b . (3)正切:锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切,记作tanA .

即tanA=的邻边的对边A ∠∠A =b

a . (4)三角函数:锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.

考点2 锐角三角函数的增减性

(1)锐角三角函数值都是正值.

(2)当角度在0°~90°间变化时,

①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);

②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);

③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).

(3)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinA≤1,1≥cosA≥0.当角度在0°<∠A<90°间变化时,tanA>0..

考点3 特殊角的三角函数值

(1)特指30°、45°、60°角的各种三角函数值. sin30°=21 ;cos30°=23;tan30°=3

3; sin45°=22;cos45°=2

2;tan45°=1; sin60°=

23;cos60°=21;tan60°=3; (2)应用中要熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐增大,余弦逐渐减小,正切逐渐增大;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.

(3)特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多

考点4 同角三角函数的关系

(1)平方关系:

sin2A+cos2A=1

(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系):

sinA或sinA=tanA?cosA.一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=

cosA

(3)正切之间的关系:tanA?tanB=1.

考点5 互余两角的三角函数关系

在直角三角形中,∠A+∠B=90°时,正余弦之间的关系为:

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值,即sinA=(90°-∠A);

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值,即cosA=sin(90°-∠A);也可以理解成若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA

四、例题精析

【例题1】(2011?巢湖模拟)学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.

根据上述对角的正对定义,解下列问题:

(1)sad60°的值为()A.B.1 C.D.2

(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是.

(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.

【规范解答】解:(1)根据正对定义,

当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,

则三角形为等边三角形,

则sad60°==1.

故选B.

(2)当∠A接近0°时,sadα接近0,

当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.于是sadA的取值范围是0<sadA<2.

故答案为0<sadA<2.

(3)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A=.

在AB上取点D,使AD=AC,

作DH⊥AC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,

则AD=AC==4k,

又∵在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A=.

∴DH=ADsin∠A=k,AH==k.

则在△CDH中,CH=AC﹣AH=k,CD==k.于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=k.

由正对的定义可得:sadA==,即sadα=.

【总结与反思】

此题是一道新定义的题目,考查了正对这一新内容,要熟悉三角函数的定义,可进行类比解答

【例题2】(2014?衡阳三模)在一次数学活动课上,数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.

【规范解答】解:

过点B作BM⊥FD于点M,

在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,∴∠ABC=30°,BC=AC tan60°=10,

∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°.

∴BM=BC?sin30°=10×=5,

CM=BC?cos30°=10×=15,

在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,

∴∠EDF=45°,

∴MD=BM=5,

∴CD=CM﹣MD=15﹣5.

【总结与反思】本题考查了解直角三角形的应用,关键是能通过解直角三角形求出线段CM、MD的长..

【例题3】(2014?普陀区一模)求值:

【规范解答】解:==﹣1.

【总结与反思】本题考查了特殊角的三角函数,是基础知识比较简单.

【例题4】化简:﹣.

【规范解答】解:原式=﹣|sin26°﹣cos26°|

﹣(cos26°﹣sin26°)

=|sin26°+cos26°|+sin26°﹣cos26°

=sin26°+cos26°﹣cos26°+sin26°

=2sin26°..

【总结与反思】本题考查了同角的三角函数值,二次根式的性质的应用,题目具有一定的代表性,难度适中.

《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1

当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少,所以在全网范围内,都不易被找到。您看到的资料,制作于2021年,是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最终形成了本作品。本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦! 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点:直角三角形的解法 难点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板,多媒体

本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上,忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣,比较贴近生活,能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高。再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是,学生在“说”英语这个环节还有待提高,大部分学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. ⑶: 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 二、预习检测 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ;的邻边的对边;斜边的邻边;斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°. a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据. 三、质疑探究 例1在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且b=2, a=6,解这个三角形. 例2在Rt △ABC 中, ∠B =35o ,b=20,解这个三角形. 四、精讲点拨 已知一边一角,如何解直角三角形? 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中,若sinA= 4 5 ,AB=10,那么BC=_____,tanB=______. 2、在△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,那么sinA=________. 3、在△ABC 中,∠C=90°,sinA=3 5 ,则cos A 的值是( ) A .35 B .45 C .916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思

九年级下第一章解直角三角形专项练习3

第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数: 1、各三角函数之间的关系: ⑴sin =cos ; ⑵sin 2+cos 2= ; ⑶tan = . 2、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,AC =12,BC =15。 (1)求AB 的长; (2)求sinA 、cosA 的值; (3)求A A 2 2 cos sin +的值; (4)比较sinA 、cosB 的大小。 2、(1)在Rt △ABC 中,∠C =900 ,5=a ,2=b ,则sinA = 。 (2)在Rt △ABC 中,∠A =900 ,如果BC =10,sinB =0.6,那么AC = 。 (3)在ABC Rt ?中,C ∠=90,c = 8 , sinA = 4 1 ,则b = . 3、选择:(1)在Rt △ABC 中,∠C =900 ,3 1 tan = A ,AC =6,则BC 的长为( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 (2)Rt ABC ?中,C ∠=90,43AC BC ==,,cos B 的值为 ( ) 15A 、 35B、 43C、 34 D、 (3)ABC ?中,C ∠=90,tan 1A =,则sin B 的值是 ( ) 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算: (1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. (3)???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?

解直角三角形教案设计

解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构: 本小节主要学习解直角三角形的概念,直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析: 教学重点和难点:直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,首先要使学生知道什么叫做解直角三角形,直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系.正确选用这些关系,是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义,理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义: 实际上分别给了三个量的关系:a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值,它们都是实数,但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时,它就转化为一个一元方程,解这个方程,就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来,表达三角函数的定义的4个等式,可以转化为求

边长的方程,也可以转化为求角的方程,所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种,列表如下: 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到,只要已知条件适当,所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是,它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决,而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到,只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题,就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如,在锐角三角形ABC中,,求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题,我们只需作出BC边上的高(想一想:作其它边上的高为什么不好.),问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中,有两个独立的条件,具备求解的条件,而在Rt中,只有已知条件,暂时不具备求解的条件,但高AD可由解时求出,那时,它也将转化为可解的直角三角形,问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的,如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角

公开课--解直角三角形的方法和技巧

教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 ( : — : ) 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第( 1 )次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系,运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题,下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在,首先我们要找到所求元素所在的直角三角形,然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件,还需要哪些条件,需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图,∠B=90°,∠CDB=40°,DB=5,EC=2,求ED 的长。 分析:首先寻找直角三角形,其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形, 直角三角形有两个,而根据条件,Rt △BCD 可以先直接解,然后为解Rt △BDE 提供条件。 解:在Rt △BCD 中,∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中,BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解,这时可以引入未知数,让未知数参与运算,最后列方程求解。 例1、如图,已知∠C=90°,AB=26,∠CBD=45°,∠DAC=30°,求BC的长. 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ,但是没有一个直角三角形条件够用,原因是AB=32不属于任一个直角三角形,可以通过设BC=x ,则AC=x+26,让字母参与运算, 最后立方程求解。 解:设BC=x ∵∠CBD=45°,∠C=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中,∠DAC=30°,AC=x+26 tan30°=26+x x ,3x= 3 (x+26),x=3 3326-, x=13( 3 +1)∴BC=13( 3 +1). 三、构造直角三角形

九下第一章解直角三角形电子教案

九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起(一) 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习: 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案 ―-俯角仰角问题教学目标: 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题,掌握数形结合的思想方 法。 教学重点: 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点: 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题。 教学方法:三疑三探 教学过程: 一、复习引入新课 如图:在△ABC中,∠C=90°, ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为; 锐角之间关系为;边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题: 问题:小玲家对面新造 了一幢图书大厦,小玲心想: “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高,站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗?他望着大厦顶端和大厦底部,可测出视线与水平线之间的夹角各一个,但这两个角如何命名呢? ο 46A B C Cο 29 A

AE =DE ×tan a =BC ×tan a =22.7×tan 22° ≈9.17 AB =BE +AE =AE +CD =9.17+1.20 ≈10.4(米) 答:旗杆的高度约为10.4米. 2、解:在ΔABC 中,∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中,∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答:大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题?请大胆提出来,大家共同解决。 三、 运用拓展 1、 生自编题 2、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C

解直角三角形练习题1(含答案)

解直角三角形练习题1 一. 选择题:(每小题2分,共20分) 1. 在△EFG 中,∠G=90°,EG=6,EF=10,则cotE=( ) A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,tanC 的值是( ) A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中,若2 2cos =A ,3tan = B ,则这个三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18,在△EFG 中,∠EFG=90°,FH ⊥EG ,下面等式 中,错误的是( ) A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为( ) A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°,下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 7. 在△ABC 中,∠C=90°,5 2 sin = A ,则sin B 的值是( ) A.32 B.52 C.54 D. 5 21 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为 60°,则平行四边形的面积是( )米2 A. 150 B.375 C. 9 D. 7 9. 如图19,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i= 2∶3,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是( ) A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它 们的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( ) A. αsin 1 B. α cos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题:(每小题2分,共10分) 11. 已知0°<α<90°,当α=__________时,2 1 sin =α,当α=__________时,Cota=3. 12. 若 ,则锐角α=__________。 13. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,5 3 sin = A ,36=++c b a ,则a=__________,b=__________,c=__________,cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ,则底边上的高为__________cm ,底角的余弦值为__________。

公开课--解直角三角形的方法和技巧

教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 ( : — : ) 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第( 1 )次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系,运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题,下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在,首先我们要找到所求元素所在的直角三角形,然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件,还需要哪些条件,需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图,∠B=90°,∠CDB=40°,DB=5,EC=2,求ED 的长。 分析:首先寻找直角三角形,其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形, 直角三角形有两个,而根据条件,Rt △BCD 可以先直接解,然后为解Rt △BDE 提供条件。 解:在Rt △BCD 中,∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中,BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解,这时可以引入未知数,让未知数参与运算,最后列方程求解。 例1、如图,已知∠C=90°,AB=26,∠CBD=45°,∠DAC=30°,求BC的长. 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ,但是没有一个直角三角形条件够用,原因是AB=32不属于任一个直角三角形,可以通过设BC=x ,则AC=x+26,让字母参与运算, 最后立方程求解。 解:设BC=x ∵∠CBD=45°,∠C=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中,∠DAC=30°,AC=x+26 tan30°=26+x x ,3x= 3 (x+26),x=3 3326-, x=13( 3 +1)∴BC=13( 3 +1).

《解直角三角形复习》公开课教案

《解直角三角形复习》教案 单位:泸县一中 年级: 九 学科: 数 学 设计者:_______ 时间:2015年 4月14日 【学习目标】: 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°,45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值,会由一个特殊锐角的三角函数值,求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系,会运用勾股定理,直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】:从实际问题中提炼图形,将实际问题数学化,将抽象问题具体化。 【教学难点】:运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】: 一、考点梳理: 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数:的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数:cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数:tan 的

3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义:一般地,在直角三角形中,除直角外,共有 5 个元素,即______条边和______个锐角.由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 4、解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2)方位角 一般以观察者的位置为中心,南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图: OA 方向用方位角表示为 ;OB 方向用方位角表示为 。 (3)坡角、坡度 坡角:指坡面与水平线的夹角,如图中的 坡度:指坡面的垂直高度与水平距离的比,如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系: 二、基础巩固: 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m

解直角三角形1

解直角三角形单元测试题 一、判断题 1、ctgl5°·ctg75°=ctg45°(); 2、(2sin3O°-1)2=1(); 3、sin75°=sin(45°+30°)=sin45°+sin30°(); 4、在△ABC中,,则∶∶=3∶6∶8(); 5、锐角A>B,则sinA>cosB (); 6、若α,β均为锐角,sinα-cosβ=0,则α+β=90°(); 7、三角形的一锐角A满足关系式,则A=45°(); 8、sinα的值随角α的不断增大而增大,cosα的值随角α的不断增大而减小(); 9、直角三角形ABC中,sinA/sinB=a/b,故直角三角形中,边长与其对角成正比(); 10、在0°<α<90°时,tgα<sinα()。 二、填空题: 11、可用三角形内锐角的正弦表示成__________。 12、A为一锐角,若sinA=,则cosA=__________,又若cosA=,则tgA =__________。 13、三边长分别为5、12、13的三角形的外接圆半径为________,内切圆半径为________。

14、顶角为锐角的正弦值为,周长为18cm的等腰三角形的底边长是 __________,腰长是__________。 15、A、B为直角三角形ABC的两锐角,sinA和sinB是方程的两个根,则=__________,sin2A+sin2B=__________。 16、在直角三角形ABC中,∠C=60°,斜边BC=14 cm,则BC边上的高为 __________ cm 。 三、选择题 17、α为锐角,则=()。 (A)1-sinα-cosα(B)l+sinα+cosα (C)0 (D)sinα+cosα-1 18、正六边形的两条对边相距12cm,那么这个正六边形的边长为()。 (A)7.5 cm (B)cm (C)cm (D)cm 19、A、B为Rt△ABC的两锐角,∠C=90°,则有()。 (A)sinA=sinB (B)cosA=cosB (C)sinB=cosC (D)sinA=cosB 20、正三角形边长为,则其外接圆半径等于()。 (A)(B)(C)(D) 21、若0°<α<90°,则的值等于()。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 四、计算和解答题 22、计算:

公开课教案解直角三角形

解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯 思想方法: 1、数形结合思想:用锐角三角函数解直角三角形,主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时,要画出它的平面或截面示意图,按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想:在解直角三角形时,常常通过设未知数列方程求解,使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想:在求三角函数值和解直角三角形时,常利用三角函数的 意义,可以实现边和角的互化,利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点: 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法. 教学难点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大,分数约4-6分,主要以填空题、选择题出现;解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一,分数达到8~12分不等,分值占的比例较大,应引起足够的重视。 考点一:锐角三角函数的概念 例1(郴州市2007年)如图1在直角三角形 B 3

ABC 中,则______. 考点二:特殊角的三角函数值的计算 例2:计算 考点三:解非直角三角形 例3 :如图所示,已知:在△ABC中,∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积(结果可保留根号)。 考点四:解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工,工程需要测量某一段河的宽度。如图1,一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向,测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处,测得∠ACB=68°. (参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48); 1)求所测之河的宽度 2)除图1的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图2中画出图形。

九年级下第一章解直角三角形专项练习3

第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数: 1、 各三角函数之间的关系: ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长; (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值; (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, a =,;5 , b =2,贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中,/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6,那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中,一 C = 90, c = 8 , sinA = ,则 b = . 4 1 3、 选择:(1 )在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, tanA , AC = 6,则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ? (2) Rt ABC 中, C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中, C = 90, tan A =1,则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o.

解直角三角形练习题(一)及答案

解直角三角形 一、选择题 1、如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长 线上的D ′处,那么tan ∠BAD ′等于( ) (A).1 (B).2 (C). 2 2 (D).22 2、如果α是锐角,且5 4 cos = α,那么αsin 的值是( ). (A ) 259 (B ) 54 (C )53 (D )25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于( ). (A ) 513 (B ) 1213 (C )10 13 (D )512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) (A )(1,3,2) (B )(3,4,5) (C )(3,4,5) (D )(32,42,52) 5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,下列式子中正确的是( ). (A )B A sin sin = (B )B A cos sin = (C )B A tan tan = (D )B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α,且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为( ). (A )3 (B ) 316 (C )320 (D )5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ). (A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元 8、已知α为锐角,tan (90°-α)=3,则α的度数为( ) (A )30° (B )45° (C )60° (D )75° 9、在△ABC 中,∠C =90°,BC =5,AB =13,则sin A 的值是( ) (A )13 5 (B )1312 (C )125 (D )512 A B C D E ?15020米30米

人教版九年级数学下教案 解直角三角形 第一课时

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 第1课时 教学目标 【知识与技能】 理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系,能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合思想,在解决问题过程中,感受成功的快乐,树立良好的学习习惯. 教学重难点 【教学重点】 运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 【教学难点】 灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 问题如图(1)所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为C,如图(2),在Rt△ABC 中,ZC =90,BC =5.2m,AB= 54.5m,你能根据上述条件求出图(2)中∠A的度数(即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数)吗?与同伴相互交流.

【教学说明】运用锐角三角函数来解决生活中趣味性问题的过程,可激发学生的学习兴趣,增强运用所学过知识解决问题的信心,教师 适时予以点拨. 二、思考探究,获取新知 在上述问题中,我们已知直角三角形的一条直角边和斜边,利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数,事实上,我们还可以借助直角三角形中两锐角互余,求出另一个锐角度数,也可以利用勾股定理得到另一条直角边. 一般地,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三形 思考(1)直角三角形中,除直角外的5个元素之间有哪些关系? (2)知道5个元素中的几个,就可以求出其余元素? 【教学说明】学生相互交流获得结论,教师再与学生一道进行系统的总结,完善知识体系. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,那么除直角C 外的5个元素之间有如下关系: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2 (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系:

九年级下第一章解直角三角形专项练习四

第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=5 3 ,那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中, tan A =1,cos B =2 1 ,则∠C 的度数是( ) A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC =1,BC =3,则sinA ,cosA 的值分别为( ) A. 21,33 B. 23,21 C. 2 1,3 D. 23,33 4.在直角三角形中,如果各边都扩大1倍,则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5.已知α是锐角,且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6.化简:140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1-tan40° C. tan40°-1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角,cos β≤ 2 1 ,则β的取值范围为( ) A.30°≤β <90° B. 0°<β≤60° C. 60°≤β<90° D. 30°≤β<60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°>cos16°>sin30° B. cos16°>sin30°>cos43° C. cos16°>cos43°> sin30° D. cos43°>sin30°>cos16° 9.如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ,AB=4,则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10.在平行四边形ABCD 中,已知AB=3cm ,BC=4cm ,∠B=60°,则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填(共6小题;每小题5分,共30分) 11.若2sin (α+5°)=1,则α= °。 12.边长为8,一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3,底长为2,则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中,∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系,则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( , )、B( , )、C( , )。 15.如右下图,把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结O B 将 A B

《解直角三角形复习一》学案

《解直角三角形(一)》学案 学习目标: 1、 理解三角函数的有关概念,掌握特殊角的三角函数值; 2、 弄清解直角三角形的含义,掌握直角三角形中的边角关系,会应用这些关系解直角三角形; 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题; 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时,不断归纳数学思想和方法,进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦:sin α= ∠α的余弦:cos α= ∠α的正切:tan α= 思考:根据三角函数的定义,你能正确填空吗?你是怎样得到的? ① <sin α< ② <cos α< “ ③ <tan α< ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α(填“<”或“>”) ②观察表格,猜想:随着∠α的增大,sin α ;cos α ; tan α 。(填增大或减小) 3、由直角三角形中的已知元素(边和角),求出其它所有未知元素的过程,叫 做 。其主要依据如下: ⑴边的关系: ; ⑵角的关系: ; ⑶边角之间的三角函数关系: SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考:解直角三角形有哪几种基本类型?在练习本上列举出来,并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角,且sinA= 23,则sin 2 A = . 2、计算:0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中,若-+A B cos 2 1 -(sin 23)2=0,则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中,∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ; ②已知a=10, ∠B=600,则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 是∠ABC 的平分线,BD=63,BC=9,求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C

《解直角三角形应用举例(1)教案》

《解直角三角形应用举例(1)教案》 -----福州江南水都中学魏文勋 【学习目标】 1、了解仰角、俯角和方向角的命名特点,将实际问题转化为解直角三角形的问题, 选用适当的锐角三角函数解决方向角问题. 2、渗透数形结合的数学思想和方法,逐步培养分析问题、解决问题的能力. 【学习重点】 恰当运用三角函数有关知识解决实际问题 【学习难点】 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 1、在直角三角形中,____________ ____________________________叫解直角三角形. 2、如图,在解直角三角形的过程中,一般要用到的一些关系: 1)边的关系:__________________ 2)角的关系:__________________ 3)边角的关系: sinA=___ __, cosA=___ __, tanA=____ _. 探究一:测量长度问题中仰角与俯角的应用 小知识:在视线与水平线所成的角中视线在水平线 的是仰角;视线在水平线 的 是俯角;因此,在下图中,仰角为 ;俯角为 . 例1 (P88): 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m ,这栋高楼有多高? 变式: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的俯角为30°, 看这栋高楼底部的俯角为60°, 热气球与高楼的水平距离为120米,则这栋高楼有多高? b c a C B A C A B C A B

探究二:航海问题中方向角的应用 问题二:如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东60方向,距离灯塔32 109海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东33方向上的B 处.这时,海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远? (sin33°≈0.545,cos33°≈0.839) 【课堂练习】 1. 建筑物BC 上有一旗杆AB ,由距BC40m 的D 处观察旗杆顶部A 的仰角60°, 观察底部B 的仰角为45°,求旗杆的高度. 2.如图,海中有一个小岛A ,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上,航行12海里到达D 点,这时测得小岛在北偏东30°向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?说明理由。 【归纳小结】 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 【作业】《解直角三角形应用举例(1)》

2018年最新浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形试题及答案

2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间:120分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,cos B =23 ,则BC 的长为( ) A .4 B .2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2.如图①是一张Rt △ABC 纸片,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,如图②,那么在Rt △ABC 中,sin B 的值是( ) A.12 B.32 C .1 D.32 3.如图,点A ,B ,C 在⊙O 上,∠ACB =30°,则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,要求相邻两棵树的水平距离是6 m ,则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A .3 m B .3 5 m C .12 m D .6 m 5.下列式子:①sin60°>cos30°;②0

A .3 B.13 C.83 D .3或13 7.如图,在?ABCD 中,对角线AC ,BD 相交成的锐角为α,若AC =a ,BD =b ,则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B .ab sin α C .ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8.如图,AC ⊥BC ,AD =a ,BD =b ,∠A =α,∠B =β,则AC 等于( ) A .a sin α+b cos β B .a cos α+b sin β C .a sin α+b sin β D .a cos α+b cos β 9.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,已知AC =5,BC =2,那么sin ∠ACD =( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10.如图,在菱形纸片ABCD 中,∠A =60°.将纸片折叠,点A ,D 分别 落在点A ′,D ′处,且A ′D ′经过点B ,EF 为折痕.当D ′F ⊥CD 时,CF FD 的值为 ( ) A.3-12 B.36 C.23-16 D.3+18

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