SIWEIXUNLIAN思维训练
学生在五年级下册接触了百分数,初步了解了百分数,明确了百分数的意义,掌握了解百分数方程的方法和技巧。但是学生到了六年级,学习了百分数的应用之后,学生就开始犯糊涂了,经常会出现:该用除的用乘、该用乘的用除、还有将单位“1”看错了等。这里先分析百分数的应用题,然后结合实际例子,总结如何巧解百分数应用题。
一、经典例题,总结题型
百分数的应用题课本上是归纳为四节内容,一般有以下几种题型。
1.去年植树200棵,今年植树250棵,今年比去年增加了百分之几?
2.去年植树200棵,今年比去年增加20%,今年植树多少棵?
3.今年植树300棵,今年比去年增加了20%,去年植树多少棵?
4.今年植树的棵树占计划棵树的50%,去年植树的棵树占计划棵树的30%,已知今年比去年多植200棵,问计划栽多少棵树?
5.小红将300元存三年
定期,年利率为5.00%,到期
后将钱全部取出,捐给“希望
小学”,问她能捐多少钱?
二、分清模型,提炼方法
1.今年比去年增加的量
是250-200=50(棵),单位
“1”是去年200棵,所以列式
为:(250-200)÷200=25%。此
题是在百分数应用(一)中学
习的,解决这类问题,其实关
键就是要搞清楚问题的实
质,明白增加百分之几表示
的含义,要想求增加百分之
几,也就是求增加的量占原
来的(单位“1”)的百分之几。
方法为将大数减小数得到增
加或减少的量,再除以单位
“1”的量即可。
2.今年和去年比,以去年
作为单位“1”,单位“1”已知,
所以用乘法。今年比去年增
加20%,今年是去年的(1+
20%),所以列式为:200×(1+
20%)=240(棵)。此题是在百
分数应用(二)中学习的,解
决此类问题的方法和技巧,
首先是找准单位“1”,然后看
比单位“1”多还是少,如果比
单位“1”多,那现在的量是原
来量的(1+百分比),再将单
位“1”的量×(1+百分比)。
3.同样,今年和去年比,
以去年作为单位“1”,但是单
位“1”是未知的,所以用除
法。今年比去年增加了20%,
那今年是去年的(1+20%),
所以列式为:300÷(1+20%)=
250(棵)。此题是在百分数应
用(三)中学习的,解决此类
问题的方法,和第2题有点
雷同,首先也是找准单位
“1”,然后看比单位“1”多还
是少,如果比单位“1”多,那
现在就是原来的(1+百分
比),再将已知量除以(1+百
分比)。如果用方程来解决此
类问题,等量关系式为:原来
的量+增加的量=现在的量。
4.此题中单位“1”是计划
植树,200棵是今年比去年多
的量,所以要找到今年比去
年多的量占单位“1”的百分
之几,就可以求出单位“1”
了,故此题列式为:200÷
(50%-30%)=1000(棵)。此题
同样是在百分数应用(三)中
学习的,解决此类问题的方
法是,先确定两个百分数所
对应的单位“1”是相同的,然
后将已知量除以百分比相减
的差,就可以求出单位“1”
了。这里容易出错的是,如果
单位“1”不同,那就不能直接
相减,如甲乙两工程队修一
焦际
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段公路,甲修了40%,乙修了剩下的30%,甲比乙多修300米,问这条路有多长?学生往往会出现这样的解答:300÷(40%-30%)=300÷10%=
3000(米),这个问题的单位“1”不相同,不能直接相减,正确的列式为:300÷[40%-(1-40%)×30%],先求出乙是单位“1”的百分之几,然后再进行相减相除。
5.此题比较简单,代入利息的计算公式:利息=本金×利率×时间,利息=300×5.00%×3=45(元)。此题是在百分数应用(四)中学习的,解决此类问题的方法比较简单,就是记住公式,找准数据,代入计算。容易出现问题的是时间,有的题目中写了三年期利率为5.00%,那就会有部分学生直接将本金乘利率不乘时间了,认为已经是三年的了,就不需要乘3了,主要还是对于公式的理解不够透彻,其实利率可以理解为单位时间内占本金的百分比,然后再乘时间,才是你应该得到的利息。与利息有关的计算还有“利滚利”,已知利息、利率、时间求本金等问题。解题的关键是要理解公式本身及公式的变式。
三、类比分析,总结规律
这5种题型,容易混淆的是第2和第3这两种题型。这两种题型的解题方法有点相同,因此也就会引发错误,解决它们的核心是先找到单位“1”,找单位“1”实际也是有诀窍的。
在一道题中和谁比较谁
就是单位“1”,单位“1”的量
一般有以下特点:一是“比”
字之后的量是单位“1”,如甲
比乙多20%。二是“是”字之
后的量是单位“1”,如甲是乙
的30%。三是“占”字之后的
量是单位“1”,如甲占乙的
40%。四是“相当于”之后的
量是单位“1”。有了这些技巧
之后找单位“1”就非常轻松
了。找到单位“1”后就看它是
已知量还是未知量,如果单
位“1”已知,那就用乘法来解
决,如果单位“1”未知,那就
应该用除法解决。
以增加百分比为例,可
以总结出这样的规律:单位
“1”已知,单位“1”×(1+百分
比),(1+百分比)表示的是现
在的是原来的百分之几;如
果单位“1”未知,将已知量÷
(1+百分比),(1+百分比)表
示的是已知量占单位“1”的
百分之几。比如:甲是15千
克,甲比乙重20%,求乙是多
少千克?要解决这个问题,首
先找到单位“1”,这里甲是和
乙比的,
“比”字后是乙,所以
乙是单位“1”,再看单位“1”
是已知还是未知,本题中乙
是需要我们求的量,所以是
未知的,那应该用除法来解
决。甲比单位“1”多20%,那
就表示甲是乙的(1+20%),
然后将已知量除以(1+
20%),即15÷(1+20%),这样
就可以求出乙。但是有部分
学生错误地认为,甲比乙多
20%,那么乙比甲就少20%,
列式为:15×(1-20%),很明
显这是错误的,因为甲比乙
多20%并不等于说乙比甲少
20%。所以解决问题的关键
是找准单位“1”,确定单位
“1”是已知还是未知,然后利
用模型列式计算。
四、趣味练习,巩固提高
可以加入一些学生们熟
悉的情境来展开巩固练习。
1.我们班男生比女生多
百分之几?女生比男生少百
分之几?
2.先让几个学生站起
来,然后问站的同学比坐的
同学少百分之几?(因为随着
学生的起立,数据在变化,所
以对于学生的思维应变能力
要求比较高,但是学生很感
兴趣)
3.某某同学第一单元检
测考了60分,第二单元他想
增加25%,问第二单元他想
考多少分?或是第一单元考
了95分,比上学期期末检测
多了10%,问上学期期末考
了多少分?(因为学生成绩只
会出现点五分,所以这个题
也可以让结果保留整数)
百分数应用题本身具有
很强的抽象性和复杂性,一
部分学生学起来感觉非常
难,尽管师生付出了不少的
努力,但对一般的学生而言,
还是难以掌握,只有当学生
弄明白百分数应用题的几种
题型及特征之后,解决起问
题来就比较得心应手了。
(作者单位:安徽安庆市
石化第一小学)
责任编辑王永强