第二章 推理与证明教案

1

第二章 合情推理与演

绎推理

§2.1.1 合情推理(1)

学习目标

1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含

义；

2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习难点：能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

学习过程

一、目标展示。

二、自主学习

在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；

（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.

以上例子可以得出推理是

的思维过程.

三、互动交流

※ 学习探究

探究任务：归纳推理

问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3,

10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .

问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .

新知：归纳推理就是由某些事物

的

,推出该类事物的 的推理，或者

由 的推

理.简言之，归纳推理是由

的推理.

※ 典型例题

例1 观察下列等式：1+3=4=22，

1+3+5=9=2

3，

1+3+5+7=16=2

4，

1+3+5+7+9=25=2

5， ……

你能猜想到一个怎样的结论？

变式：观察下列等式：1=1

1+8=9， 1+8+27=36，

1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？

例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且

n

n

n a a a +=

+11(1,2,3...n =，试归纳出这个数列的

通项公式.

变式：在数列{n a }中，11(2n n n

a a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.

试一试：

练

1. 的结果.

练 2. 在数列{n a }中，11a =，122n

n n

a a a +=+（*

n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.

四、达标检测

1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数

3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），

猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2

()1

f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2

()21f x x =+ 4.111

()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得

- -

2

357

(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222

f f f f f =>>>>

猜测当2n ≥时，有__________________________.

5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ . 五、归纳小结

1．归纳推理的定义.

2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 六、布置作业

1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.

2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，12

3

a =-，满

足1

2(2)n n n

S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式. 七、教后感

§2.1.1 合情推理（2） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习重点：能利用类比进行简单的推理学习过程 一、目标展示

二、自主学习

1.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ?≥；1212

11

()()()4ii a a a a ++≥；

123123

111

()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以

归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .

2. 猜想数列1

111

,,,,13355779

--???? 的

沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生

存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类

比思维，即类比推理.

新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.

三、精讲点拨

例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.

例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有

3

关性质.

新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出

的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.

※ 动手试试

练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比112211

22

OM N OM N S OM ON S OM ON ??=?

.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，

则类似的结论是什么？

练2. 在ABC ?中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式111116

2A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π

++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？

四、达标检测 1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理

B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理

D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”

B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”

C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b

c c c

+=+ （c≠0）”

D.“

n n a a b =n

（b ）” 类推出“n n

a a

b +=+n （b ）

3. 设)

()(,sin )('

010x f x f x x f ==

，

'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈

N ，则2007()f x = （ ）.

A.sin x

B.－sin x

C.cos x

D.－cos x

4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.

5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……. 2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间

的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另

一类事物的性质得出一个命题（猜想）.

3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.

※ 知识拓展 六、课时作业 1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有

*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈ 成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？

2.在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足???? ??+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S

七、教后感

- -

4

§2.1.2 演绎推理

学习目标

1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，

体会演绎推理的重要性；

2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们

进行一些简单的推理. 学习重点：掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程

一、目标展示 二、自主学习

复习1：归纳推理是由 到 的推理.

类比推理是由 到

的推理.

复习2：

合情推理的结

探究任务一：演绎推理的概念

问题：观察下列例子有什么特点？

（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所

以 ；

（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳

运行，冥王星是太阳系的大行星，因

此 ； （3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ?

，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ?

时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ； （5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ； （6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 . 新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到

的推理. 探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

新知：“三段论”是演绎推理的一般模式： 大前提—— ； 小前提—— ； 结 论—

— .

试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至

（6）写成“三段论”的形式.

三、精讲点拨 例 1 在锐角三角形ABC 中，

,A D B C B E A C ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点

M 到D ，E 的距离相等. 新知：用集合知识说明“三段论”：

大前提：

小前提：

结 论：

例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是

增函数.

小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如

果大前提是显然的，则可以省略. 例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正

确吗？为什么？ 所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前

提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前

提） 菱形是正多边形. （结 论）

小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

※ 动手试试 练 1. 用三段论证明：通项公式为

(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. 练2. 在ABC ?中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.

证明：在ABC ?中，,CD AB AC BC ⊥>， 所以AD BD >， 于是ACD BCD ∠>∠. 指出上面证明过程中的错误.

5

四、达标检测

1. 因为指数函数x y a =是增函数，1

(2x y =是指数函数，则1

()2x y =是增函数.这个结论是错误的，这是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平

面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a ≠

?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

4.归纳推理是由 到 的推理；

类比推理是由 到 的推理；

演绎推理是由 到 的推理. 5.合情推理的结论 ；

演绎推理的结1. 合情推理???归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊

；结论

不一定正确.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确. 六、布置作业 1. 用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，则B C ∠=∠.

2. 用三段论证明：3()()f x x x x R =+∈为奇函

数. 七、教后感

§2.1 合情推理与演绎推理(练习)

学习目标

1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进

行一些简单的推理;

3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.

学习过程

一、目标展示

二、自主学习

1．归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.

合情推理的结论 . 2．演绎推理是由 到 的推理。演绎推理的结论 .

三、互动交流 探究任务： 观察（1）

000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=

（2）000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.

变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 2

3125sin 65sin 5sin 222=++

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性

的命题，并给出的证明.

三、精讲点拨 例 2 在Rt ABC ?中，若90C ∠=?，则

22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项

- -

6

和为n S ，有如下性质：

（1）()n m a a n m d =+-，

（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈， 则m n p q a a a a +=+，

类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.

※ 动手试试

练 1. 若数列{}n a 的通项公式

)()

1(1

2

+∈+=

N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -???--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f

练2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ,

则三角形的面积1

()2

S r a b c =++，根据类比思想，

若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V = . 四、达标检测 1. 由数列1,10,100,1000, ，猜想该数列的第n

项可能是（ ）.

A.10n

B.110n -

C.110n +

D.11n

2.下面四个在平面内成立的结论

①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，

则必与另一条相交

③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 在空间中也成立的为（ ）. A.①② B. ③④ C. ②④ D.①③ 3.用演绎推理证明函数3

y x =是增函数时的大前提是（ ）. A.增函数的定义 B.函数3y x =满足增函数的定义 C.若12x x <，则12()()f x f x < D.若12x x <, 则12()()f x f x >

4.在数列{}n a 中,已知

112,31n

n n a a a a +==+*()n N ∈,试归纳推理出

n a = .

5. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则

(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）. 五、归纳小结

1. 合情推理???归纳推理：由特殊到一般

类比推理：由特殊到特殊；结论

不一定正确.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确. 六、布置作业

1. 证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.

2. 数列{}n a 满足2n n S n a =-,先计算数列的前4项,再归纳猜想n a .

七、教后感

§2.2.1 综合法和分析法（1）

学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，

了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习重点 会用分析法和综合法证明数学命题。 学习过程

一、目标展示 二、自主学习 1：两类基本的证明方法: 和 .

2：直接证明的两中方法: 和 . 三、互动交流

探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b >,

求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.

新知：一般地,利

用 ,经过一系列的推理论

7

证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.

反思：

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.

三、精讲点拨 例1已知,,a b c R +

∈，1a b c ++=，求证：1119a b c

++≥

变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：

111

(1)(1)(1)8a b c

---≥.

小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要

不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.

例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.

变式：设在四面体P ABC -中,

90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.求

证:PD 垂直于ABC ?所在的平面.

小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,

如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.

※ 动手试试 练 1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=

练2. ,A B 为锐角，

且tan tan tan A B A B +，

求证：60A B += . （提示：算tan()A B +）

四、达标检测

1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的

（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2. 如果821,,a a a ???为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a =

3. 设23451111

log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P << C ．23P << D ．34P << 4.若关于x 的不等式22133(2(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，

则k 的范围是____ . 5. 已知b a ,是不相等的正数

，x y ==，则,x y 的大小关系是_________. 五、归纳小结

综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. ※ 知识拓展

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是

从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从

题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一

系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法

是一种由因索果的证明方法. 六、作业布置. 1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c

a b c

+-+-+-++>

2. 在△ABC 中，证明：22221

12cos 2cos b a b B a A -=-

七、教后感

- -

8

§2.2.1 综合法和分析法(二)

学习目标

1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.

学习难点：

根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程 一、目标展示 二、自主学习

1．综合法是由 导 ;

2．基本不等式: 三、互动交流

探究任务一：分析法

问题：如何证明基本不等式

(0,0)2

a b

ab a b +≥>>

新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成

立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为

判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 反思：框图表示 要点：逆推证法；执果索因

三、精讲点拨

例1 求证：3526+>+

变式：求证:3725+< 小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径. 例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.

变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1

()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.

小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决

问题.

※ 动手试试

练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等

时,圆的面积比正方形的面积大.

练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥

四、达标检测

1. 3725几种,其中最合理的是（ ） A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法

2.不等式①233x x +>;②2b a

a b

+≥,其中恒成

立的是（ ）

A.①

B.②

C.①②

D.都不正确

3.已知0y x >>,且1x y +=,那么（ ）

A.22x y x y xy +<<<

B.22

x y xy x y +<<<

9

C.22x y x xy y +<

<< D.22

x y

x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则

222a b c ++ ab bc ac ++. 5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提

炼出一个常见的不等式: .

五、归纳小结

分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???，

直到所有的已知P 都成立.

六、布置作业

1. 已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b -+-<.

2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+

七、教后感

§2.2.1 综合法和分析法（3）

学习目标

1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;

2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;

3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.

学习重点：学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;

学习过程 一、目标展示 二、自主学习

复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 . 三、互动交流 ※ 学习探究

探究任务一：综合法和分析法的综合运用

问题：已知,()2

k k Z π

αβπ≠+∈,且

2sin cos 2sin ,sin cos sin ,

θθαθθβ+=?=求

证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβ

αβ--=++.

新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图

表示为：

试试：已知tan sin ,tan

sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.

反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.

三、精讲点拨

例 1 已知,A B 都是锐角，且2

A B π

+≠

，

(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=?

变式：已知1t a n

12t a n

αα-=+，求证：

3s i n 24c

αα=-.

小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.

例 2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥?，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.

- -

10

变式：如果,0a b >，则lg lg lg

22

a b a b

++≥

.

小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.

※ 动手试试

练1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y

分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c

x y

+=.

练 2. 已知5

4

A B π

+=，且,()

2

A B k k Z π

π≠+∈，求证：

(1t a A

B +

+=.

四、达标检测

1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,

x x y -=+其中是偶函数的有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个

2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）.

①//////αββγαγ???? ； ②//m m αβ

βα⊥??⊥??

； ③//m m ααββ⊥??⊥?

? ； ④////m n

m n αα????? 其中为真命题的是（ ） A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④ 3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是

（

）.

A ．a ，b 均为负数，则2a b

b a +≥

B 22≥

C ．

lg log 102

x x +≥

D ．

1

,(1)(1)4a R a a

+∈++≥

4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：

①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β

③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n

其中真命题是 . 5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是

q 的 条件. 五、归纳小结

1. 直接证明包括综合法和分析法.

2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

六、布置作业

1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.

111

a b c

<++.

2. 已知,,,a b c d 都

是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.

七、教后感

§2.2.2 反证法 学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的

一种基本方法——反证法； 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 学习重点：会用反证法证明问题. 学习过程

一、目标展示

二、自主学习 复习1：直接证明的两种方法:

和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.

11

- -

12

C 3H 8

C 2H 6CH 4H H H H H H H H H H H

H H H C C C C C H H H H C

第二章 推理与证明(复习)

学习目标

1. 了解合情推理和演绎推理的含义；

2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎

推理的基本模式；

3. 能用综合法和分析法进行数学证明；

4. 能用反证法进行数学证明.

学习重点

能用综合法和分析法进行数学证明；

学习过程

一、目标展示

二、自主学习 复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 . 复习2：综合法是由 导 ;分析法

是由 索 . 直

接证明的两种方法: .

问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出

几个用合情推理和演绎推理的例子吗？

探究任务一：直接证明和间接证明

问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？

三、精讲点拨

例 1 已知数列{}n a 的通项公式

2

1

()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，试通过计算(1),(2)f f f 的值，推测出()f n 的值.

变式：已知数列

()()1111

,,,,1335572121n n ???-+ ⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？

小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种

猜想，推理的结论都有待进一步证明.

例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程

x 2+px +2=0的两实根.

（1）求证：tan()p αβ+=；

（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.

变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，

AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴

SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.

小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵

活性有较高的要求.

※ 动手试试

练1. 求证：当22

0x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，0bc ≠.

练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈

（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；

（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）

四、达标检测 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的

规律，

写出后一种化合物的分子式．．．是（ ）. A ．C 4H 9 B ．C 4H 10 C ．

C 4H 11

D ．C 6H 12 2. 用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）.

A.a b >

B.a b <

C.a b =

A

B C

S F E

13

五、归纳小结

六、作业布置.

1. 若sin cos 1αα+=,求证:66sin cos 1αα+= 2．2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否

二、探究展示

探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨?

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命;

（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时n =k +1时命题也成立. 只要完成就可以断定命题对从n 0开始的所有正n 都成立.

原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题.

试试：你能证明数列的通项公式1

n a n

=这个猜

?

反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要.

关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立. 三、精讲点拨

例1 用数学归纳法证明

2222*

(1)(21)

123,6

n n n n n N ++++++=∈

变式：用数学归纳法证明

2*

1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+++=+∈

小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，.

例2 用数学归纳法证明:

首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)a n d

=+-,前n 项和的公式是

- -

14

1(1)

2

n n n S na d -=+

.

变式：用数学归纳法证明:

首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是

1

1n n a a q

-=,前n 项和的公式是1(1)

1n n a q S q

-=-.(1q ≠)

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试 练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时, 2135(21)n n ++++-=

练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,

21122221n n -++++=-

四、达标检测 1. 用数学归纳法证明： 22111(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠- ，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++

2. 用数学归纳法证明

))(12(312)()3)(2)(1(*

N n n n n n n n n ∈-???=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为 A. 12+k B. )12(2+k C. 11

2++k k D. 13

2++k k

3. 设*

111()()122f n n N n n n

=+++∈++ ，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B. 221+n C. 221121++

+n n D. 221121+-+n n 4. 已知数列}{n a 的前n 项和

)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a

5. 数列}{n x 满足122

1,3

x x ==，且

11112n n n

x x x -++=（2≥n ），则=n x . 五.归纳延伸

※ 学习小结

1. 数学归纳法的步骤

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. ※ 知识拓展 意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为

“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理. 六.课后作业 1. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21

n

n n n ++++=???-++

2. 用数学归纳法证明: 1

12(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n ?+?-+?-+?=++

【教学反思】

理：§2.3 数学归纳法(2) 【学习目标】

1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，

并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

2.数学归纳法中递推思想的理解.

【教学设计】

一、导学新知 复习1：数学归纳法的基本步骤？

复习2：数学归纳法主要用于研究与

15

有关的数学问题.

二、探究展示

探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,1447710(32)(31)n n ??????-?+，猜想n S 的表达式，并证明.

新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.

试试：已知数列 1111,,,,,1223314(1)n n ???????+ ,计算12,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.

反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.

三、精讲点拨

例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分

变式：证明凸n 边形的对角线的条数1

()(3)(4)2f n n n n =-≥

小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.

例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.

变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.

小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.

※ 动手试试

练 1. 已知111

()123f n n

=++++

,求证:*(2)()2n n

f n N >∈

练2. 证明不等式*|sin ||sin |()n n n N θθ≤∈

四、达标检测

1. 使不等式122

+>n n 对任意k n ≥的自然

数都成立的最小k 值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是（ ）

A. )(n p 对所有自然数n 都成立

B. )(n p 对所有正偶数n 成立

C. )(n p 对所有正奇数n 都成立

D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立

3. 用数学归纳法证明不等式1111127

124264

n -++++>

成立，起始值至少应取为 A.7 B. 8 C. 9 D. 10

4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .

5. 用数学归纳法证明等式

123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时,当

- -

16

1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的是 .

五.归纳延伸 ※ 学习小结

1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

※ 知识拓展

不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明

*1

(1)()n n N n

+∈的单调性就难以实现.

六.课后作业

1. 给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3

1-4+9-16=-(1+2+3+4) ……

猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.

2. 用数学归纳法证明:

*11

(11)(1)(1))321

n N n ++??+∈-

【教学反思】

§算法初步复习课

学习目标

1.回顾算法的概念以及三种基本逻辑结构；

2.掌握三种基本逻辑结构的应用；

3.掌握条件结构与循环结构互相嵌套的应用. 学习重点：

三种基本逻辑结构的应用

学习难点：

条件结构与循环结构互相嵌套的应用 学习过程 一、目标展示

二、自主学习 一、算法的基本概念

1. 算法定义描述：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2. 算法的特性：

①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的. ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.

④输入：一个算法中有零个或多个输入.. ⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.

3P 例1：任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.

解：算法如下：

第一步：判断n 是否等于2. 若2=n ，则n 是质数；若2>n ，则执行第二步.

第二步：依次从2~（1-n ）检验是不是n 的

因数，即整除n 的数.若有这样的数，则n 不是质数；若没有这样的数，则n 是质数. 二、三种基本逻辑结构 1. 顺序结构

顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 输入语句：INPUT “提示内容”；变量

输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句：变量=表达式

17

（2）直到型（UNTIL DO

循环体 LOOP UNTIL 条件 9P 例5：设计一个计算法，并画出程序框图 三、基本方法

1. 编写一个程序的三个步骤：

第一步：算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法； 第二步：画出程序框图：依据算法分析，画出对应的程序框图；

第三步：写出程序：耕具程序框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序语句表达出来.

15P 例4：交换两个变量A 和B 的值，并输出交换

前后的值.

2. 何时应用条件结构？

当问题设计到一些判断，进行分类或分情况，或者比较大小时，应用条件结构；分成三种类型以上（包括三种）时，由边界开始逐一分类，应用多重条件结构.注意条件的边界值. 如：（题目条件有明显的提示）

（1）编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是5的倍数.

（2）编写求一个数是偶数还是奇数的程序，从键盘上输入一个整数，输出该数的奇偶性. （3）编写一个程序，输入两个整数a,b ，判断a 是否能被b 整除.

（4）某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话 超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费.问：设计一个计算通话费用的算法，并且画出程序框图以及编出程序.

（5）基本工资大雨或等于600元，增加工资10%；若小于600元大于等于400元，则增加工资15%；若小于400元，则增加工资20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.

（6）闰年是指年份能被4整除但不能被100整

- -

18

除，或者能被400整除的年份.

如：（题目隐藏着需要判断、分类或比较大小的过程等）

（7）（课本第11页例5）编写程序，输入一元二次方程02

=++c bx ax 的系数，输出它的实数根.

（8）（课本第27页例7）编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出. 3. 何时应用循环结构？

当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构.当型循环是先判断条件，条件满足十执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环.当循环体涉及到条件是否有意义时，只能用当型循环（如图1）；当条件用到循环体初始值时，只能用直到型循环（如图2）.

应用循环结构前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件. 如：（题目条件有明显的提示）

（1）设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图.

（2）设计一个算法，计算函数53)(2

+-=x x x f 当20,,3,2,1 =x 时的函数值，并画出程序框图. （3）如果我国工农业产值每年以9%的增长率增长，问几年后我国产值翻一翻，试用程序框图描述其算法.

（4）设计一个算法，输出1000以内（包括1000）能被3和5整除的所有正整数，并画出算法的程序框图以及编程.

（5）全班一共40个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.

如：（题目隐藏着需要反复执行的过程等） （6）任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.

（7）画出用二分法求方程022

=-x 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序. 四、几个难点

1.条件结构中嵌套着条件结构

（1）编写一个程序，对于函数=)(x f

输入x 的值，输出相应的函数值. （2）基本工资大于或等于600元，增加工资10%；若小于600元大于等于400元，则增加工资15%；若小于400元，则增加工资20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.

2. 循环结构中嵌套着条件结

构

（1）任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.

（2）全班一共40个学生，

设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分. （3）画出用二分法求方程022

=-x 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序. 3. 条件结构中嵌套着循环结构

（1）任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定. 4. 循环结构中嵌套着循环结构

（1）编写一个程序，求T= 1!+2!+3!+…+20！的值.

※ 典型例题

例1.一城市在法定工作时间内，每小时的工资为8

元，加班工资每小时10元，一人一周内工作60小时，其中加班20小时，税金是10%，写出这个人净得的工资数的一个算法，并画出程序框图.

x （1

12-x （101<≤x ）

113-x )10(≥x

19

例2. 已知函数=)(x f

编写一个程序，对每输入的一个x 值，都得到相应

的函数值.

例3. 某超市为里促销，规定：一次性购物50元以下（含50元）的，按原价付款；超过50元但在100元以下（含100元）的，超过部分按九折付款；超过100元的，超过部分按八折付款.设计一个算法程序框图，完成超市的自动计费的工作，要求输入消费金额，输出应付款.并编写程序.

例4. 设计算法的程序框图，输出2005以内除以3余1的正整数，并写出程序.

四、达标检测

1. 2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7%，那么多少年后我国人口将达到15亿？请设计一个算法，画出程序框图，并写出程序.

2. 编写一个程序，任意输入两个正整数m ，n ，输出它们所有的公因数.

3. 设计算法的程序框图，求方程01043

=-+x x 在区间]2,0[内的解.（精确到0.0005） 五、归纳小结

描述算法可以用不同的方式。例如：可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言

（算法语言）给出精锐的说明，也可以用程序框图直观的显示算法全貌。

1．自然语言

自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程。

其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；

缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题。

2．程序框图

程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程。 优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了。

3．程序语言

程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成。特点：能在计算机上执行，但格式要求严格。

程序框图

1．学习这部分知识的时候，要掌握各种图形的形状、作用以及使用规则 2．画程序框图的规则如下：

（1）一个完整的程序框图必须有起止框，用来表示程序的开始和结束。

（2）使用标准的图形符号表示操作，带箭头的流程线表示算法步骤的先后顺序，框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

（3）算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框中。

（4）如果一个流程由于纸面等原因需要分开画。要在断开处画上连结点，并标出连结的号码。如图一。实际上它们是同一点，只是化不才分开画。用连结点可避免流程线的交叉或过长，使流程图清晰。

（5）注释框不是流程图必需的部分，只是为了提示用户一部分框图的作用以及对某些框图的操作结果进行说明。它帮助阅读流程图的用户更好的理解流程图的来龙去脉。

（6）在图形符号内用于描述的语言要非常简练清楚。 六、布置作业

课本50页A 组：1，2，3，4，5 七、教后感

12+-x x （2≥x ）

1+x （2

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

高考真题分类汇编——推理与证明 (5)

高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3

2.2.1直接证明教案

课题 2.2.1 直接证明 1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法； (一)自学质疑：A 类问题： 仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题 问题1、直接证明的一般形式 问题2、分析法的概念及推理过程 问题3、综合法的概念及推理过程 B 级问题） 例1、已知0,0a b >>，求证：22 b a a b a b +≥+ 例2、已知1,1a b <<，证明： 11a b ab +<+

※ 当堂检测 （40分） 1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b +≥成立的条件有 个 2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1 a a b b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是 3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b +=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ?中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列 求证：ABC ?是正三角形 6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22 x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数 ※学生完成本节导学案的情况统计.

高考数学：专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练

第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x )

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

直接证明和间接证明(4个课时)教案

直接证明和间接证明(4个课时)教案

2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等 式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文

第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB

推理与证明综合测试题

一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++，，∥．若 EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出： ma mb EF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △， OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ） Ａ．120mS nS S m n +=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+

直接证明和间接证明4个课时教案

2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案

第五节合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 小|题|快|练 一、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an －1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。 【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。 【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。 【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )

高中数学-推理与证明单元测试卷

绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-

5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133

苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案

1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 6．教学过程: 学生探究过程：证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证a3+b3＞a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证 例2、若实数1≠x ，求证： .)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x = ].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知 ,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

推理与证明教案

推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

推理与证明教学设计范本(高中数学)

教学设计说明 一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析 推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人 类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 二、教学目标分析 新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特 殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标： (1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单

第53讲 推理与证明(解析版)

简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A

简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123

推理与证明测试题82471.docx

第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分，考试时间105分钟 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a ? b）c = ac ? be ” C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（ ^- = - + - （cHO ）” c c c D. “（b ） n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为 （'） A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都大于60度； （O 假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l \-a 成立吋，左边应该是 （ ） （A ）l （B ）l+a （C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = ￡到n = k + \^时，左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2￡ + 1) 2k + l ( ) D. 222