数学串讲讲义概率部分例题解析1
排列组合与概率
一、计数问题
1,做题重点：
(1)先分析要做什么事情，以什么本。
※1（以什么为本，按照什么分步：两句话判断）
理解题型：5个球放入4个盒子，几种方法。（经典“球盒”模型，不加说明球各不相同，盒子各不相同）
5
以球为本。 4
(2)选择分步还是分类去做，一般用分步。
2,两大原理：
分类：做一件事情，有n 类不同的方法，每类方法都可单独完成这件事情，且第i 类方法相应有Ni 种方法，则完成这件事情总的方法数为
N 总=N1+N2+N3+…+Nn
分步:做一件事情，需要依次完成n 个步骤，并且做第i 步时相应有Ni 种方法，则完成这件事情总的方法数为
N 总=N1*N2*N3*…*Nn
区别： 分类：类类独立，每一类均可以独立完成要做的事。 分步：步步相关，每一步均完成才完成要做的事。 注意：
※2(分步的时候，步与步间不能出现重复选择(主要会出现在“至少”问题中))
理解题型：10个红球，5个白球。任取4个出来，至少一个红球的取法？ 4
4
1
3
1551014C C C C -≠?
※3(分步的时候，当遇到某一步的方法数有多种可能时，往回跳一步进行分类，是什么原因造成多种可能按照什么分类)
理解题型：0到9共10个数，能组成多少个无重复数字的5位偶数？
13
9811348810 ?????????
，先排个位，2，再排首位，3，最后排中间3位
个位为：1C P 个位不为0 ：C C P
3，两个计算公式：
排列：从n 个元素中，选出m 个元素(m ≤n), 按照顺序排成一排，总共有多
少种排法，称为排列数，记作
.)!
(!)1()2)(1(m n n m n n n n P m
n -=
+---=
组合：从n 个元素中，选出m 个元素(m ≤n),啥也不做。总共有多少种取法，称为组合数，记作
1
2)1()1()1(??-+--=
m m m n n n C
m n
!
)!
(!!m P m n m n m
n
=
-=
区别：
排列：从n 个元素中，选出m 个元素(m ≤n)，排成一排(排序)。 组合：从n 个元素中，选出m 个元素(m ≤n)，啥也不干。 排列比组合多一个步骤。 注意：
※4(互换元素位置，结果不同，用排列) ※5(互换元素位置，结果相同，用组合)
理解题型：2,3,5,7,11,13共6个数，任取两个相乘，有多少个不同的积？ 任取两个相除，有多少个不同的商?
2
6
2
6
?????积： C 商： P 4，典型例题：
题型一：合理的分步与分类
提示：以什么为本，按什么分步，多数结合优先法使用。
例1.1：
现从5名管理专业，4名经济专业和1明财会专业的学生中选出一个3人小组，要求3个专业各有1名学生，几种选法？
541
??每个专业选一名：
例1.2：
6种颜色涂图中四个区域，每区域一种颜色，相邻区域颜色不同，
几种涂法？
???以区域为本D-A-B-C 6544
例1.3：
电影院门口有5个人在排队等候进场，现在又来3个人，如果这3个人可以任意插队排入，则这8个人有多少不同的排法？
3
8
85 P 1
?等价于：个人排一排，其中个人顺序一定。
例1.4：
有10个不同的节目，选6个排成节目单，要求其中某个人独唱节目不能排在第二个节目位置上，有几种排法？
1
5
99
106?等价于个人，选6个出来排到个位置，其中第二个位置不能选某个人。 1.先搞定第二个位置。 2，再搞定其余5个位置。 C P
题型二：计数问题中的相邻和相间问题
提示：先将元素在外面排序(唯一一个需要先在外面排序的模型)，等所有元素顺序定好后最后统一放入位置。
相邻(捆绑法) 1，先捆绑相邻元素，捆好后当成一个新元素。(一般为全排列) 2，将捆好的“一个”新元素与其他元素在外面排序。(一般为全
排列)
两步就把所有元素排好序了，最后统一放入位置。 相间(插空法) 1，先将无关元素在外面排序。(一般为全排列) 2，再将不相邻元素插空排入。(两人间算一个空，两端算两个空) 两步就把所有元素排好序了，最后统一放入位置。
例2.1：
3个3口之家一起观看演出，他们购买了坐在同一排的9张连坐票，则每一家人都坐在一起的坐法有几种？
3
3
3
3
3333
13233 P P P P ?捆绑法：
，先分别捆绑个家庭。，再把捆看成个元素排序 例2.2：
马路一边有9盏路灯均亮着，现需要灭掉其中的3盏，要求灭掉的灯不能相连，首尾两盏灯不能灭，有几种灭法？
3
5
1623 1 C ?等价于，6个“亮”的符号，跟3个“灭”的符号排序，其中首尾放“亮”，“灭”不相邻（插空法）：
，将个“亮”放好顺序。，再把个“空”插空放入。
题型三：分配问题
提示：将一些不相同的元素，按一定的数量比分成几堆，再排入几个不同的位置。(1，元素不同。2，堆与堆的比值已知。3用公式法先分堆，再排列)
例3.1：
将5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多2 名，则不同的分配方案有几种？
1
2
2
2
3
54223
C C C /P P ?等价于将一些不同的元素按一定数量比（1:2:2）分入几个不同的位置，典型分配问题1，先分堆。2，再排序：（）
例3.2：
将12本书分给甲乙丙3个人，其中一人6本，另外两人各3本，几种分法？
6
3
3
2
3
126323
C C C /P P ?等价于将一些不同的元素按一定数量比（6:3:3）分入几个不同的位置，典型分配问题1，先分堆。2，再排序：（）
题型四：不配对问题
提示：将一些带编号的元素放入一些带编号的位置（元素的个数与位置个数
例4.1：
编号为1,2,3,4,5 的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5 的座位上,则至多两组球盒号码配对的坐法有多少种?
1
52
512932
???????等价于将一些编号的元素放入一些编号的盒子（一盒子放一个球），不配对的情况1，先选择要配对的。2，再让其余均不配对：，均不配对：44，恰好一组配对：C ，恰好两组配对：C
例4.2：
有10双不同的鞋子，将其中10只左脚的鞋子打乱顺序，重新与10只右脚鞋子配对，则恰好有6对鞋子成对的情况有多少种？
6
109
?等价于将一些编号的元素放入一些编号的盒子（一盒子放一个球），不配对的情况1，先选择要配对的。2，再让其余均不配对： C
题型五：分相同元素问题
提示：将一些相同的元素，分到几个不同的位置，每个位置至少一个元素。(1，元素相同。2，每个位置至少一个元素。3用隔板法，两端不能放板子。4，这是唯一一个涉及到分相同元素问题的模型)
隔板法：先确定能放板子的位置个数，再确定需要放板子的块数，注意隔板法直接一步把元素分到位置。
例5.1
有10个三好学生名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？
5
9
?等价于将一些相同的元素放入一些不同的盒子，一盒子至少放一个球（隔板法）1，先将要分的元素排好（产生9个可以放板子的地方）。2，再放入5块板子： 1C
例5.2
将10 本相同的书分发给编号为1，2，3 的三个阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其他编号数，求不同分法的种数？
2
6
1C ?隔板法的拓展，先适当分一些元素（元素相同），再分剩下的元素使得每个位置至少一个球的时候刚好满足条件
1，二号分1本，三号分2本。2，再分剩下的7本，每个位置至少一本：
例5.3
求a+b+c+d=12的自然数解的个数(即a ，b ，c ，d 为自然数)。
3
15
-a b c d =+ 1C ?隔板法的拓展，先适当分一些元素（元素相同），再分剩下的元素使得每个位置至少一个球的时候刚好满足条件
1，4个位置每个先分1个球（，，，）。2，再分剩下的16124个球，每个位置至少一球：
二、等概率事件（古典概率）
1,基本概念：
(1)随机试验 (2)随机事件 (3)基本事件 (4)必然事件 (5)不可能事件 (6)复合事件 2,基本关系：
(1)事件的和 (2)事件的积 (3)事件的差
(4)事件的互不相容(互斥) (5)事件的对立(互为逆事件) (6)摩根律
3,基本概率公式：(用文氏图理解)
（1）()()()()P A B P A P B P AB +=+-
（2）()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+
（3）(-)()()P A B P A P AB =-
4,古典概率公式：
N ()N A A P A =
=
所含的基本事件数总
总的基本事件数
注意：
前面3知识点个考到概率极低，08年改革后从没考过，主要考第4个内容，等概率事件(古典概率)公式计算。
题型一：取球问题（无放回取球）
本质：简单的分步计数问题，注意这里归纳的取球模型都是不放回的，放
回的模型属于最后一块二项概率公式的内容。
袋中共有N 个球，其中红球M 个，非红球N －M 个。从袋中取n 个球出来(等同于从袋中取n 次球，每次取1个，看后不放回袋中，再取下一个球)，则恰好取到k 个
红球的概率为n N k n M N k M C C C /--。
例1.1
10个男生，6个女生。随机挑出4个人。(1)恰好2个女生的概率？(2)至少1个女生的概率？
4
2
2
166104
4
4
161610
C C ?-（1）：典型的分球模型，
分母：C ，分子：（2）：典型的分球模型，
分母：C ，分子：C C
例1.2
甲口袋有6个白球，4个红球，乙口袋有3个白球，5个红球。从两个口袋中分别摸出一个球，都是白球的概率？
1
1
1
1
10863 C ???（1）：典型的分球模型，
分母：C C ，分子：C （2）：也是独立事件 甲中取白球：6/10 乙中取白球：3/8 同时都发生 6/103/8
例1.3
在10道备选试题中，甲能答对8题，乙能答对6题。若某次考试从这10道题中随机抽出3道作为考题，至少答对2题才算合格，则甲乙两人考试都合格的概率是？
3
3
2
1
2
1
3
101028828
321310646
33
1010
2
1
3
2
8286 -=+ ++甲乙独立，各自抽题考试
（1）：甲能合格的概率， 包括3个都会做，恰好两个会做 分母：C ，分子：C C C C C C （2）：乙能合格的概率，包括3个都会做，恰好两个会做
分母：C ，分子：C C C 甲乙均合格，概率相乘
或者 总分母：C C 总分子：（C C C ）（C 1
3
46+C C ）
题型二：抽签模型
本质：简单的排列问题，就是将号排入格子。 特征：(1)出现序数词“第i ”。
(2)前几次(个)情况未知，即前面几次(个)无任何要求。 算法：直接将“第i ”改成“第一”，快速得到答案。
例2.1
有一抽奖箱，内有30张票，其中有3张是中奖的，派5个人去抽奖，没人只抽一张，抽完不放回去，则 (1)第5个人能抽中奖的概率。 (2)第3个人能抽中奖的概率。 (3)第5个人才抽中奖的概率。
5
1
4
30329
3
303/30
305 C 3/30
303 ?（1）：典型的抽签模型，当成第一个人去抽，抽中的概率为或者等价于张票，分给个格子，其中第5个格子里放中奖票的概率 分母：P ，分子：P （2）：典型的抽签模型，当成第一个人去抽，抽中的概率为 或者等价于张票，分给个格子，其中第3个格子里放中奖票的概率 分母：P ，1
2
329
5
1
4
30327
C (3):305 C ??分子：P 不是抽签模型，等价于张票，分给个格子，其中第5个格子里放中奖票而前面 4格均不放中奖票的概率的概率。 分母：P ，分子：P
例2.2
某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号(最后一位)，假设拨过了的号码不再重复，则可得出事件A 的概率是0.1.
(1)A 表示第3 次拨号接通电话； (2)A 表示拨号不超过3 次而接通电话.
0.1
?条件一：典型的抽签模型，当成第一次拨通，概率为条件二：不超过3次拨通包含：第一次拨通，第二次拨通，第三次拨通。 30.1
题型三：分球模型
本质：分母为球盒问题，分子为带条件的分步计数问题,一般就两种问法。 将n 个人分到N 个房间中去，(1)恰有n(n ≤N)个房间各有一人的概率?(2)若某指定的房间恰有k （k ≤n ）个人的概率?
例3.1
有6个人，去住8间房，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率
(1)恰好有6个房间各有1人。
(2)恰好指定的6个房间各有1人。 (3)指定的某个房间中有3人。
(4)第一号房间有1人，第二号房间有3人。
6
6
8663
3
613
2
657
6
???分母为6个人去住8间房，共8：
（1）分子：P （没说指定，要先选出6个）（2）分子：P （指定，不用选）
（3）分子： 1，先给指定房间3个人，2再安排其余3人 C （4）分子： 1，先给1号房间1个人，2再给2号房间3人,3再安排其余2人 C C
三、独立事件的概率
题型一：独立事件的公式应用
定义：两个事件A 和B ，如果A 的发生与否对B 发生的概率无任何影响，
则称A 与B 是独立事件，且()()()P AB P A P B =。
公式：
(1)()()()P AB P A P B = 积运算
(2)()1()()P A B P A P B +=- 和运算 拓展：
(1) )()...()()...(2121n n A P A P A P A A A P = 积运算
(2) )()...()(1)...(2121n n A P A P A P A A A P -=+++ 和运算
例1.1
有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，他们发出信号的概率分别是0.9 和0.8，则在紧急情况出现时。
(1)两个报警器都发出信号的概率？ (2)报警器均未发出信号的概率？
(3)至少一个报警器发出信号的概率？ (4)只有一个报警器发出信号的概率？
===1-?????独立事件：
（1）P （AB ）P （A ）P （B ）=0.90.8（2）P （A B ）P （A ）P （B ）=0.10.2（3）P （A+B ）P （A ）P （B ）=1-0.10.2(4)P （AB ）+P （A B ）=0.10.8+0.90.2
例1.2
有两个大小相同的抽屉，甲抽屉内有4个红球6个白球，乙抽屉有2个红球1个白球，随机打开一个抽屉取出一个球，取到红球的概率是？
14210
1223?
????
??
??
两种可能取到红球：甲抽屉取到：相加乙抽屉取到：
题型二：二项概率公式的应用（包括有放回取球）
定义：在相同条件下，将某试验重复进行n 次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n 次独立重复试验。当每次试验只有两个结果时，即A 和A ,又称为n 重贝努力试验。
公式：在n 重贝努力试验中，假定每次试验事件A 出现的概率为p （0 则在n 次试验中事件A 恰好出现k(k ≤n)次的概率为 ()(1)k k n k n n P k C p p k n -=-<=（）。 理解题型：掷一颗骰子，掷3次，恰好有1次出现点数6的概率是？ 11 2 3 31 5 66 独立重复试验，表明共个格子，只有1个格子要出现6 C （）（） 例2.1 甲乙两人进行比赛，每局甲胜的概率是0.6，规定5局3胜制，求 (1)甲以3：1战胜乙的概率。 (2)打完5局家获胜的概率。 (3)甲获胜的概率。 2 2 1 1 3 2 2 2 1 43 3 3 40.60.40.650.60.40.6++0.6独立重复试验， （1）表明共个格子，第4次甲胜，且前面3次甲胜2 C （）（）（）（2）表明共个格子，第5次甲胜，且前面4次甲胜2 C （）（）（）（3） （1）（2）C （） 例2.2 甲在射击，每次击中的概率为0.7，则在第三次击中目标前恰好未击中4次的概率是？ 2 2 4 1 6 70.70.30.7独立重复试验，表明共个格子，第7次击中，且前面6次有2次击中。 C （）（）（） 例2.3 10个球中有3个红球，有放回的抽取，每次取一球，直到第8 次才取到5 次红球的概率是？ 4 4 3 1 7 837310 10 10 独立重复试验，表明共个格子，第8次取到红球，且前面7次有4次取到红球。 C （）（ ）（ ）