初中数学变式题十道

初中数学变式教学研究

——牡丹江市第九中学 范超

1、多项式5432332-+-xy y x y x 的项数、次数分别是多少？

变式1：关于x 、y 的多项式5432331-+--xy y x y x m 的是五次四项式，求m 的值（m 为正整数）。

变式2：关于x 、y 的多项式5432331-+--xy y x y x m 的是四次四项式，求m 的值（m 为正整数）。

变式3：关于x 、y 的多项式54313-+--xy y x kxy m 的是四次三项式，求k 、m 的值（m 为正整数）。

2、已知：31=+x x ，求221

x

x +的值。

变式1：已知：31=+x x ，求1

2

42

++x x x 的值； 变式2：已知221x x +

=3，求4

4

1x x +的值；

变式3：已知0132=+-x x ，求221

x

x +的值。

3、已知：按一定规律排列的一列数依次为1，2，4，8，16，……，按此规律排

列下去第7个数是？第n 个数是？

变式1、按一定规律排列的一列数依次为2，4，8，16，32，……，按此规律排

列下去第7个数是？第n 个数是？

变式2、按一定规律排列的一列数依次为,31

1

,151,71,31,1……，按此规律排列下去

第7个数是？第n 个数是？

变式3、按一定规律排列的一列数依次为,31

5

,154,73,32,1---……，按此规律排列

下去第7个数是？第n 个数是？

4、已知：将两个等腰直角三角板如图1放置，其中一个三角板的45 °角顶点

与另一个三角板斜边的中点重合且直角边互相垂直, △BME 与△ NEA 相似吗？若AC=BC=4,则BM ·AN 的值？

变式1：如图2：当绕着这个三角板的45°角顶点 逆时针旋转,旋转角α(0°＜

α＜ 45°),那么△BME 与△NEA 相似吗 ？BM ·AN 的值改变吗?

变式2：如图3：当绕着这个三角板的45°角顶点逆时针旋转,旋转角α(45°＜

α＜90°),那么△BME 与△NEA 相似吗 ？BM ·AN 的值改变吗?

变式3：在图2和图3中，AC=BC=4,在BM ·AN=8的条件下,设AN=x ，两个三角板

的重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式？

5、已知：正方形ABCD ，A 在直线MN 上，正方形绕点A 顺时针旋转，过点C 作BE ⊥MN 于E ，过点B 作CF ⊥MN 于F ，当点E 与点A 重合时，如图1，易证：AF+CF=2BE ，

变式1：当正方形绕点A 转到图2的位置时，AF 、CF 与BE 有怎样的数量关系？ 变式2：当正方形绕点A 转到图3的位置时，AF 、CF 与BE 有怎样的数量关系？ 变式3：当正方形绕点A 转到图4的位置时，AF 、CF 与BE 有怎样的数量关系？

M A B C D N （E ） （F ） M A B C D N E

F 图1 图2

M A B C N

E F D 图4 A B C

N E F 图3 M M

A C E D B

F

(N) 图1 M A C E

D

B

F

N 图2

图3

M

A C E D

B F

N G 图3

6、如图1，在锐角△ABC中，BN、CM分别均是高，其中有几对相似三角形？

变式1、连接MN,图2中共有几对相似三角形？

变式2、在图2中，△AMN和△ACB相似吗？若相似，请予以证明；若不相似，请说明理由。

变式3、若∠BAC=60°，G为BC的中点，连接MG、NG，△MNG是怎样的三角形，写出猜想并给予证明。

7、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形CEFG的边CE上，连接BE、DG，BE、

DG的数量关系和位置关系分别是？

变式1、如图2，连接AG、AE、EG，若正方形ABCD的面积是4，正方形ECGF的面积是9，则△AEG的面积是多少？

变式2、如图3，矩形ABCD的边CD在矩形CEFG的边CE上，且

CG

BC

CE

AB

=,连接

AG、AE、EG，若矩形ABCD的面积是4，矩形ECGF的面积是9，则△AEG

的面积是多少？

变式3、如图4，平行四边形ABCD的边CD在平行四边形CEFG的边CE上，且CG

BC

CE

AB

=,连接AG、AE、EG，若平行四边形ABCD的面积是4，平行四边

形ECGF的面积是9，则△AEG的面积是多少？

图1

图2

图3 图4

A

B C

M

N

图1

A

B C

M

N

图2

A

B C

M

N

图3

G

8、已知：如图1，燃气管道上修建一个泵站，分别向A 、B 两地供气，泵站修在

管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

变式1、如图2，已知正方形ABCD ，P 、Q 分别为BC 、CD 边的点，且BP=3，DQ=1，

E 为对角线BD 上的一个动点，求E 在什么位置使EP+EQ 的值最小?

变式2、如图3，有A 、B 两村位于河流L 两侧，为了便于通行，两村商店要在河

上建造一座桥梁，问桥梁应建在何处，才能使两村的路程最短?

变式3、如图4，有A 、B 两厂位于河流MN 同侧，现拟在河边修建一座抽水站，

同时供应两厂及沿岸设施的用水，且在沿岸设施供水的管道为a 。问抽水站应该建在何处，才能使所需要的供水管道最短？

9、如图1，∠B=2∠C ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，求证：AB+BD=DC 。

变式1、如,2，AD ⊥BC ，BD=DE ，点E 在AC 的垂直平分线上，AB 、AE 、CE 的长度

有什么关系？AB+BD 与DC 有什么关系？

变式2、如图3，三角形纸片ABC 中，将纸片的一角折叠，使B 点恰好落在BC

边上的E 点，折痕为AD ，且满足AB+BD=DC ，则，∠B 与∠C 之间存在一种数量关系，并说明理由。

变式3、如图4，在△ABC ，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，则 AB 、BD 、DC 间存在怎样

的数量关系并加以证明。

A

B l

图

1 图2

A 河流l 图3 A B

l

a

图4

A B E D C 图1 A B C 图2

A B

E

C

A B D C 图4

10、已知：如图1，正方形ABCD 中,∠MAN=45°, ∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的

两边分别交BC 、CD 于点M 、N ． 当∠MAN 绕点Ａ旋转到BM ≠DN 时（如图1）, BM ﹑DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

变式1、如图2，正方形ABCD 中, M 、N 分别是BC 、CD 上的点，且∠MAN=45°,AG

⊥MN ，AG 与正方形的边长之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 变式2、如图3，△AMN 中，∠MAN=45°，AG ⊥MN ，MG=1，NG=3，求AG 的长及

△AMN 的面积。

变式3、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 是∠ABC 的角平分线，且CE=2DE ，

若四边形ADEB 的面积为1，则梯形的面积为？

变式4、如果凸八边形形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、

FG 的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长。

B C D M N 图1 A 图4 G H

C

D B

E A

F 图5

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