各地高中自主招生数学试题选编
各地高中自主招生数学试题选编
一、黄冈中学2011自主招生数学
1. 方程组
的解是___．
解答：设x+1=a ，y-1=b ，则原方程可变为
，
由②式又可变化为
=26，
把①式代入得=13，这又
可以变形为（+
）2-3
=13，
再代入又得-3=9，
解得ab=-27， 又因为a+b=26，
所以解这个方程组得或
，
于是（1），解得
；
（2），解得．
故答案为
和
．
2. 若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的
取值范围为________．
分析：分a=0，a ≠0两种情况分析．
解答：∵如果a ≠0，不论a 大于还是小于0，对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立是不可能的， ∴a=0，则左边式子ax=0， ∴b ＜0一定成立，
∴a ，b 的取值范围为a=0，b ＜0．
3. 设-1≤x ≤2，则|x-2|-|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为________．
解答：∵-1≤x ≤2，∴x-2≤0，x+2＞0，
∴当2≥x ＞0时，|x-2|-|x|+|x+2|=2-x-x+x+2=4-x ；
当-1≤x ＜0时，|x-2|-|x|+|x+2|=2-x+x+x+2=4+
x ，
当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，
则最大值与最小值之差为1． 故答案为：1
4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是
A.
B.
C.
D.3
分析：圆锥的侧面展开图是扇形，从A 点出发绕侧面一
周，再回到A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．
解：∵图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到 2π=
，
∴n=120°即扇形的圆心角是120°，
∴弧所对的弦长AA ′=2×3sin60°=3
，选C ．
5. 有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是________．
解答：
∴=
=
．EF=．=2EF=
．故答案为
．D ；又直角三角形内切圆的半径r=
，则它们的比是
．解答：设直角三角形的两条直角边是S=
，r=，∴a+b=2r+c ，
a+b=2r+c 代入S=
S=
r=r ∴它们的比是
．故选A.≤ B.≤ C.≤ D.≤a=，的范围介于这两点之间，故≤
根据题意得，
②-①得x+y+z=1.05（元）．故选B．
10.设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不
相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取
值范围是
A. B.
C. D.
分析：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的
不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）
（x2-1）＜0，
x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最
后确定a的取值范围．
解答：∵方程有两个不相等的实数根，
则△＞0，
∴（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得-＜a＜，
∵x1+x2=-，x1x2=9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．
11. 如图，正方形ABCD的边AB=1，和都
是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是
（） A. B.1- C.-1 D.1-
分析：图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，
1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇
形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之
差，即-1=．
解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②-①，
得：S3-S4=S扇形-S正方形=-1=．
故选A．
12.已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x
的取值范围是
A.1＜x＜
B.
C. D.
分析：根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的
平方和与平方差之间．
解答：因为32-22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即
．故选B．
13. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了
%
x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了
%
x，则第三季度的产值比第一季度增长了（）
A、%
2x B、%
2
1x
C 、
%%)1(x x ?+ D 、%%)2(x x ?+
分析：设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．
解答：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b 2-4ac=4（m-2）2-4（m 2-3m+3）=-4m+4＞
0， ∴m ＜1，
结合题意知：-1≤m ＜1．
（1）∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4（m-2）2-2（m 2-3m+3）=2m 2-10m+10=6 ∴
，
∵-1≤m ＜1， ∴；
（2）
=
=
（-1≤m ＜1）．
∴当m=-1时，式子取最大值为10．
14. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表：
问（1）当冰箱每周生产100台时，空调器、彩电每周各生产多少台？
（2）每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少千元？
解：（1）设每周应生产空调、彩电的数量分别为x 台、y 台，则有
，
解得：
，
答：每周应生产空调器、彩电各50台，210台． （2）设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、z 台，则有，
，
由①②得3x+y=360，
总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z ）+（2x+y ）=720+（3x+y ）-x=1080-x ， ∵z ≥60， ∴x+y ≤300， ∴x+360-3x ≤300， ∴x ≥30，∴A ≤1050
当 x=30，y=270，z=60时； A=1050，
答：每周应生产空调器、彩电、冰箱各30，270，60
台，才能使产值最高．最高产值是1050千元． 15. 一个家庭有三个孩子，请用树状图法分析并求出：（1）求这个家庭有三个男孩的概率；
（2）求这个家庭有两个男孩一个女孩的概率； （3）求这个家庭至少有一个男孩的概率．
解：用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
∴（1）这个家庭有三个男孩的概率为；
（2）这个家庭有两个男孩一个女孩的概率为； （3）这个家庭至少有一个男孩的概率为
． 16. 一个家庭有3
个小孩．
（1）这个家庭有3个男孩的概率是______； （2）这个家庭有2男1女孩的概率是______； （3）这个家庭至少有1个男孩的概率是______． 解：根据题意得：画树状图得，
∴一共有8种情况，
∴这个家庭有3个男孩的概率是， 这个家庭有2男1女孩的概率是， 这个家庭至少有1个男孩的概率是．
则代数式的
C.
=
=
=
代数式的值最小，为
2πr=， 解得r=2cm ．
4. 若n 为整数，则能使
1
1
-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分析：原式=1+，则n-1的值，一定是±1或±2．就
可以求出n 的值．
解答：当n=0时原式等于-1； n=2时原式等于3； n=3时原式等于
2；
n=-1时原式等于0． 故选D ． 5. 函数y=
的自变量x 的取值范围是____． 分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
解答：根据题意得，x-1≥0且|x|-2=0， 解得x ≥1且x ≠±2，
所以，x ≥1且x ≠2．故答案为：x ≥1且x ≠2． 6. 分解因式： (1)=+-xy y x
2733
．
解答：-3x 3y+27xy ， =-3xy （x 2-9）， =-3xy （x+3）（x-3）． (2) -3x 3+12x 2-12x 解：
-3x 3+12x 2-12x ， =-3x （x 2-4x+4）， =-3x （x-2）2．
7. 把2007个边长为1的正方形排成如右图所示的图形，则这个图形的周长是 ．
解法一：
分析：最上层或最下层只有一个正方形，故最上与最下的两层的周长为5和3，中间的1002层周长为4，计算可知这个图形的周长为5+3+4×1002=4016． 解答：这个图形的周长为5+3+4×1002=4016． 解法二：
分析：本题可依次解出n=1，2，3，…，对应的图形的
周长．再根据规律以此类推，可得出n=2007时，图形的周长．
解答：∵n=1时，周长为4，即4+0×2； n=2时，周长为6，即4+1×2； n=3时，周长为8，即4+2×2； n=4时，周长为10
，即4+3×2； …；
∴n=2010时，周长为4+2006×2=4016． 8. 如图，正方形
ABCD
的边长为
4
cm ，正方形
AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点
A
旋转，那么C F
两点之间的最小距离为( )cm ．
分析：据题意得到，当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 之间的距离最小，从而求得CF 的长． 解答：当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC-AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC-AF ＜CF ＜AC+AF ，
∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小， ∴CF=AC-AF=4
-=3
cm ．
9. 将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；
（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片 正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张， 将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的 两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或 列表法加以说明. 解：（1）（4分）
42=
偶数p 2
1
=………………4分 （2）①（4分）树状图为：
1 2 3
4 2
4 1 2 3 4 1 1
2
3
4
（12） （13）（14）（21）（23）（24）（31）
三、长郡中学2008年实验班选拔考试
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )
(A) 直线y = –x上(B) 抛物线y =2x上
(C) 直线y = x上(D) 双曲线xy = 1上
分析：根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．
解答：A.y=-x即表示x与y互为相反数，正确；
B.例如（-1，1），就符合此解析式，正确；
C.当该点坐标为（0，0）时就成立，正确；
D.因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线
上，错误．
2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是( )
A. 35
B.30
C.25
D.20
分析：设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．
解答：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．
根据题意得=k%．解得k=20．3．若－1＜a＜0，则
a
a
a
a
1
,
,
,33一定是( ) (A) 1/a最小，3a最大(B) 3a最小，a最大
(C) 1/a最小，a最大(D)
a
1
最小，3a最大
分析：在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．
解答：∵若-1＜a＜0，∴a可取-0.001，
那么a3=-0.000 000 0001，
=-0.1，=-1000，
∴最小，a3最大，
4．如图，将△ADE绕正方
形ABCD的顶点A顺时针
旋转90°，得△ABF，连结
EF交AB于H，则下列结
论错误的是（）
(A) AE⊥AF （B）
EF：AF =2：1
(C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC
分析：由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．
解答：由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∴AE⊥AF，所以A正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：
AF=：1，所以B正确；
∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，
∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．
∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH?FE不正确．故选C．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）
(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44
分析：可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m 的值，进而可得四边形的面积．解答：
解：如图，连AF，设S△ADF=m，
∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，
则有2m=S△AEF+S△EFC，
S△AEF=2m-16，
而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，
又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，
而S△ABF=m+S△BDF=m+10，
∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m-16），解得m=20．
S△AEF=2×20-16=24，
S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．
6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）
（A）30 （B）35 （C）56 （D）448
解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，
又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，
所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0,
则tanA = __ ___ .
由题意得：（2sinA-cosA）2=0，
解得：2sinA-cosA=0，2sinA=cosA，
∴tanA==
8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B
第4题
船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过
小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形. 分析：根据题意画出图形，设经过x 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形，在Rt △OBC 、Rt △OCA 和Rt △ABO 中分别应用勾股定理，即可求出x 的值．
解答：
解：如下图所示，设经过x 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形，则BC=3x ，AC=12x ， 在Rt △OBC
中，根据勾股定理得：122+（3x ）2=OB 2；
在Rt △OCA 中，根据勾股定理得：122+（12x ）2=AO 2； 在Rt △ABO 中，OB 2+AO 2=AB 2=（15x ）2； ∴122+（3x ）2+122+（12x ）2=（15x ）2， 解得：x=2或-2（舍去）．
即经过2小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形．
9. 如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .
解答：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴
A 点的坐标为：（-4，2），
B 点的坐标为：（-2，6），
C 点的坐标为：（2，4）， 将A ，B ，C 代入y=ax 2+bx+c ，
，
解得：
，
∴二次函数解析式为：y=-
x 2-x+
．
10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起，已知大球半径为18cm ，小球半径2cm ，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于________cm ．
分析：由桌面上有大小两颗球，相互靠在一起，可知两
圆相外切，由两颗球分别与桌面相接触的两点可知两圆与桌面相切，作出常用辅助线，构造出直角三角形，即可求出．
解答：
解：由题意可得：⊙O 与⊙A 相外切，两圆与桌面相切，切点为B ，C ，
连接OA ，AC ，OB ，做AD ⊥OB ， ∴OA=18+2=20cm ，OD=18-2=16cm ， ∴AD=
=12cm ． 故答案为：12．
11．（本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A 队共积19分。
(1) 试判断A 队胜、平、负各几场?
(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A 队
下列图象中，是函数的图象是A. B.
C. D.
来确定函数的图象所在的象限．解答：∵函数中的
∴函数的图象关于
解答：
解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB=60°， 设三角形的边长是a ， ∴AB=a ， ∵⊙O 是内切圆，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°， ∴BO=tan30°AB=a ，
则正三角形的面积是a 2
，而圆的半径是
a ，面积
是
a 2，
因此概率是
a 2
÷
a 2
=
．故选C ．
3. 满足不等式300
2005 n 的最大整数n 等于 （ ）
（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 分析：可以先令n=10，看是否满足等式，同理可令n=11，也可令n=12，通过计算可求出n 的最大值． 解答：若n=10，
∵10200=2200×5200=4100×5200，
∴
，∴（）100＞1，
∴n=10满足不等式， 若n=11，
∵
=
=（）100
×（）200
=[（）×（）]100=
（
）100，
又∵
＞1，∴（）100＞1，
∴11200＜5300，∴n=11满足不等式． 若n=12， ∵
=（
）100，
又∵
＜1， ∴n=12不满足不等式，
故n 最大取11．故选D ．
4.甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行， 相遇后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那 么，甲车速是乙车速的
（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 分析：如果设A ，B 两车站路程为s ，甲、乙车速分别为a ，b ，那么当甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开
出相向而行到相遇时所用时间为
．又相遇后甲行驶
1小时到达B 站，根据甲由A 车站行驶到B 车站的时间不变可列出方程=
+1①，同样，乙再行驶4小时
到达A 站，根据乙由B 车站行驶到A 车站的时间不变可列出方程=
+4②，将方程①②变形，即可求出
的值，从而得出正确选项．
解：设A ，B 两车站路程为s ，甲、乙车速分别为a ，b ． 由题意，有．
变形得， 两式相除，得
．故选C ．
5.图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 如图所示，设矩形面积为s ，按图中所设的长度，得a
（c+d ）=4，bc=6，d （a+b ）=8，从而结合图形可
得出关于s的一个等式，然后将选项代入判断即可得出答案．
【解析】
设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，
s=（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，
∵ac+ad=4，bc=6，da+bd=8，
∴18-ad=s，
∴ac=s-14，
三式相乘，得a（c+d）?bc?d（a+b）=abcds=4×6×8，ads=32①；
又ac=s-14，bd=s-10，所以abcd=（s-14）（s-10），6ad=（s-14）（s-10）②；
由①②得s（s-14）（s-10）=192，
用四个选项的值验证，当阴影面积为7时s=16，s（s-14）（s-10）=16×2×6=192成立．
故选C．
6. 如图，已知AB，CD分别是半圆O的直径和弦，AD 和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）
A.sin α
B.cosα
C.sin2α
D.cos2α
分析：很显然△CDE和△ABE是相似三角形（根据圆周角定理，可找出两组对应角相等），因此它们的面积比等于相似比的平方，而cosα正好等于两三角形的相似比，由此可得出所求的结论．
解答：
解：连接AC，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACE=90°．
∴cosα=．
∵∠ECD=∠EAB，∠CDE=∠ABE，
∴△ECD∽△EAB，
∴=（）2=cos2α．故选D．
7. 两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（）
（A
）b
a>（B）b
a<（C）b
a=
（D）与勺子大小有关
分析：设各杯的量为1，一勺的量为x．第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为，分别计算再进行比较即可．
解答：设各杯的量为1，一勺的量为x．
第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为
，
奶油杯里的咖啡量为．
所以a=b．故选C．
8. 设A，B，C是三角形的三个内角，满足
B
C
B
A2
3,
5
3<
>，这个三角形是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）都有可能
分析：由3A＞5B，3C＜2B，得到3A+2B＞5B+3C，则A＞B+C，不等式两边加A，得到2A＞A+B+C，在利用三角形的内角和定理得A＞90°，即可判断三角形
的形状．
解答：∵3A ＞5B ，2B ＞
3C ， ∴3A+2B ＞5B+3C ，
即A ＞B+C ，
不等式两边加A ，
∴2A ＞A+B+C ，而A+B+C=180°， ∴2A ＞180°，即A ＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形．故选B ． 9. 计算：=________．
解答：原式=
=
=
． 10. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1， 正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ .
分析：过点O 作三角形边的垂线，垂足为E 、F ，根据O 为等边△ABC 的中新可得OE=OF ，即四边形OABC 的面积等于四边形OEBF 的面积，故求四边形OEBF 的面积即可解题．
解答：
解：
过点O 作三角形边的垂线，垂足为E 、F ， ∵O 为等边△ABC 的中心，∴OE=OF ，
所求四边形OABC 的面积等于四边形OEBF 的面积， 即正三角形面积的． 正三角形的面积为×2×=
，
故四边形OABC 的面积=，
故答案为
．
11. 五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1 场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛 了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛 了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比 赛了 ___ 场.
分析：由A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场可知，A 和全部对手进行了比赛，D 除A 外都没有比，B 除D 外都比过，C 和DE 没有比，推出E 得比赛场次，再算出一共得比赛场次即可解得．
解答：每队要进行4场比赛
∵A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，
∴D 只和A 比赛，没和其他队比赛，B 和ACE 都进行了比赛，C 和AB 举行了比赛，E 和AB 进行了比赛，故E 队比赛了 2场，到这一天为止一共已经赛了（4+3+2+1+2）÷2=6 场． 故答案为6、2．
12. 已知∠AOB=30°，C 是射线OB 上的一点，且 OC=4．若以C 为圆心，r 为半径的圆与射线OA 有两 个不同的交点，则r 的取值范围是________．
分析：根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．
若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
解答：
解：由图可知，r 的取值范围在OC 和CD 之间． 在直角三角形OCD 中，∠AOB=30°，OC=4， 则CD=OC=×4=2； 则r 的取值范围是2＜r ≤4．
13. 今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B
两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配
一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为个(50-x)，依
题意，得：
8050(50)3490
4090(50)2950x x x x +-??
+-?≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ??
?
≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取
31,32,33，∴可设计三种搭配
方案：
①A
种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型
17个． （2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元
解答：由已知=
=3，得到x+y=3xy ，
则=
==
=． 15. 当x = ( )时，y 有最小值，最小值等于( )． 分析：先分类讨论x 的取值范围，然后根据一次函数的性质即可得出答案．
解答：当x ≤-3时，y=-3x-6； 当-3＜x ≤-2时，y=-x ； 当-2＜x ≤-1时，y=x+4； 当x ＞-1时，y=3x+6；
当x=-3时，y=3，当
x=-2时，y=2，当x=-1时，y=3， 所以当x=-2时，y 的值最小，最小值为2． 故答案为：2
16. 实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t
的最大值为________．
解答：x 2-2x-4y=5可转化为y=x 2-x-， 代入t=x-2y 中可得， t=x-2
（x 2-x-），
即t=x-x 2+x+=-x 2+2x+，
则t 的最大值为
=．
17. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形. 图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于 ( ) （用a ，b 的代数式表示）.
分析：Rt △ABC 的边BC 在斜边AB 上的射影为a ，利用勾股定理直接解答即可．
解答：Rt △ABC 的边BC 在斜边AB 上的射影为a ，由BC 2=a ?AB 可得，AB=．
故答案为：．
18. 若
3210x x x +++=，则
26
27--+x x + …
+x x
++-11
+ … +2726x x +的值是（ ）
（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 解：由x 3+x 2+x+1=0，得x 2（x+1）+（x+1）=0， ∴（x+1）（x 2+1）=0，而x 2+1≠0， ∴x+1=0， 解得x=-1，
所以x 27+x 26+…+x+1+x+x 26+x 27=-1+1-1+1-…+1-1=-1． 故选C ．
19. 用橡皮筋把直径为10cm 的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到0.1cm ）等于( )
分析：仔细观察图形，可以发现三段弧的长度之和恰好为一个圆周，三段线段正好是圆的直径，再计算即可．
解答：
解：如图所示，
∵AB、CD、EF等于圆的直径，∴AB+CD+EF=30cm，
∵
+
+=圆的周长，∴这条拉紧的橡皮筋
的长度=AB+CD+EF+
++
=30+2π?5=30+10π≈61.4cm．
20. 李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款a元，后来她退了2包酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她
b元（0 解答：设酸奶的价格为x，鲜奶为y， 依题意得：4x+4y=a，2x-4y=b，解得：x=． 21.若 a b c t b c c a a b === +++ ，则一次函数2 y t x t =+的图象必定经过的象限是（）（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限 （C）第二、三、四象限（D）第三、四象限 解答：由已知得（b+c）t=a；（c+a）t=b；（a+b）t=c，三式相加得：2（a+b+c）t=a+b+c， ①当a+b+c≠0时，t=； ②当a+b+c=0时，a+b=-c，t=-1． ∴一次函数y=tx+t2为y=-x+1或y=x+ ， ∵y=-x+1过第一、二、四象限； y=x+过第一、二、三象限； ∴一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是第一、二象限． 22.如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象的对称轴，则有（） （A）a＋b＋c＞0 （B）b＜a+c （C）abc＜0 （D）2a=b 分析：由二次函数的图象可 得：a＞0，b＜0，c＜0， 对称轴x=1，则再结合图象 判断各选项． 解答：由图象可得：a＞0， b＜0，c＜0，对称轴x=1． A根据图象知，当x=1时， y＜0，即a+b+c＜0；故 本选项错误； B根据图象知，当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，则b ＜a+c；故本选项正确； C∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；故本选项错误； D∵对称轴x==1，b=-2a；故本选项错误； 故答案是：B． 23. 已知x、y、z 是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z ，则S的最大值与最小值的和为（） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 解答：要使S取最大值，2x+y最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负实数， ∴z=0，解方程组，解得：， ∴S的最大值=2×1+1-0=3； 要使S取最小值， 联立得方程组，（1）+（2）得4x+3y=7，y=， （1）-（2）×2得，x+3z=1，z=， 把y=，z=代入S=2x+y-z，整理得，S=x+2， 当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负实数，∴x的最小值是0， ∴S最小=2， ∴S的最大值与最小值的和3+2=5．故选A． 24. ） PC 平分∠APC BPC =∠3,BAC =∠ PACB S 四边形ABC S ?为定值，当 APC ∠= ∴四边形1 322??=的结果相同的是A. B. C. D. 解答：，=++，、阴影部分面积是、阴影部分面积是×、阴影部分面积是xy=× A 、甲比乙更优惠 B 、乙比甲更优惠 C 、甲与乙相同 D 、与原标价有关 解答：设原票价都为x ， 则按甲告知，票总价为：x+x+x=2.5x ， 按乙告知，票总价为：3x ?80%=2.4x ， 2.5x ＞2.4x ．所以乙比甲优惠．故选B ． 3. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ， 若将⊙O 在CB 上向右 滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也 分析：连接O ′C ，O ′B ，O ′D ，OO ′，则O ′D ⊥BC ． 因为O ′D=O ′B ，O ′C 平分∠ACB ，可得∠O ′CB=∠ ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2 ． 解答： 解 ：当滚动到⊙O ′与CA 也相切时，切点为D ， 连接O ′C ，O ′B ，O ′D ，OO ′， ∵O ′D ⊥AC ， ∴O ′D=O ′B ． ∵O ′C 平分∠ACB ， ∴∠O ′CB=∠ACB=×60°=30°． ∵O ′C=2O ′B=2×2=4 ∴BC= = =2 ． 故选C ． 4. 平面内的9条直线任两条都相交，交点数最 多有m 个，最少有n 个，则m n +等于【 】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 分析：求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最 多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n 的值． 解答： 三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交： 1+2=3 四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交： 1+2+3=6 五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交： 1+2+3+4=10 六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交： 1+2+3+4+5=15 七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交： 1+2+3+5+6=21 八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交： 1+2+3+5+6+7=28 九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交： 1+2+3+4+5+6+7+8=36 则m+n=1+36=37 5. 甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地 相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经 过（ ）小时，两人相遇。 分析：本题中涉及到三个量路程、速度、时间，因为已 知路程为65千米，两人的速度和是32.5千米/时，所 以经过65÷32.5=2小时，两人相遇． 解答：65÷32.5=2（小时）故填2． 6. 若化简16812+---x x x 的结果为52-x ， 则x 的取值范围是 。 解答：原式可化简为|1-x|-|x-4|， 当1-x ≥0，x-4≥0时，可得x 无解，不符合题意； 当1-x ≥0，x-4≤0时，可得x ≤4时，原式=1-x-4+x=-3； 当1-x ≤0，x-4≥0时，可得x ≥4时，原式=x-1-x+4=3 当1-x ≤0，x-4≤0时，可得1≤x ≤4时， 原式=x-1-4+x=2x-5． 据以上分析可得当1≤x ≤4时，多项式等于2x-5． 7. 如果多项式2 12x px ++可以分解成两个一 次因式的积，那么整数 p 的值是 。 分析：把12分解为两个整数的积的形式，p 等于这两 个整数的和． 解答：∵把12分成两个整数乘积的形式有： 1×12；（-1）×（-12）；2×6；（-2）×（-6）； 3×4；（-3）×（-4）， ∴p 的值为1+12=13；-1-12=-13；2+6=8；-2-6=-8； 3+4=7；-3-4=-7， ∴p 的整数值为±7或±8或±13． 点评：主要考查了二次三项式的分解因式： x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）． 8. 已知12x x ，为方程2 420x x ++=的两实根， 则3 1 21455x x ++= 。 解：∵x 1，x 2为方程x 2+4x+2=0的两实根， ∴x 12+4x 1+2=0，x 1+x 2=-4，x 1?x 2=2， ∴x 12=-4x 1-2， 而x 13=x 12?x 1， ∴x 13+14x 2+55 =x 12?x 1+14x 2+55 =（-4x 1-2）?x 1+14x 2+55 =-4x 12-2x 1+14x 2 +55 =-4（-4x 1-2）-2x 1+14x 2+55 =14（x 1+x 2）+8+55 =14×（-4）+63 =7． 9. 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解 出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做 难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做 容易题，那么难题比容易题多（ ）道。 分析：本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①， 又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z=180②， ①×2-②，得x-z=20， 所以难题比容易题多20道． 解答：设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题． x+y+z=100① x+2y+3z=180② ①×2-②，得x-z=20， ∴难题比容易题多20道． 六、南充高中2011年面向省外自主招生考试数学试卷 1.分解因式x 2-y 2-2x-4y-3 x 2-y 2-2x-4y-3 =（x 2-2x+1）-（y 2+4y+4） =（x-1）2-（y+2）2 =[（x-1）+（y+2）][（x-1）-（y+2）] =（x+y+1）（x-y-3） 2. 圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14，则 这个四边形的面积为？ 解答：设AB=5，BC=10，CD=11，AD=14， ∵52+142=102+112， ∴BD 2=AB 2+AD 2=BC 2+CD 2， ∴∠A=∠C=90°， ∴S 四边形= AB ?AD+BC ?CD=5×7+5×11=90． 3. 在△ABC 中，D 是AC 的中点，E,F 分别是BC 的三等 分点，AE,AF 分别交BD 于M,N 两点，则 BM:MN:ND 等于？ 分析：首先作PD ∥BC ，QE ∥AC ，由D 为AC 的中点， 推出PD ：FC=1：2，由E ，F 为BC 边三等分点，推出 PD ：BF=1：4，即可求出DN ：NB=PD ：BF=1：4， 继而求出ND=BD ，然后根据BQ ：QD=QE ：CD=BE ： BC=1：3，推出BQ=BD ，QM=BD ，继而推出BM 与BD 的关系，便可求出结果． 解答： 解：如图，作PD ∥BC ，QE ∥AC ， ∵D 为AC 的中点，∴PD ：FC=1：2， ∵E ，F 为BC 边三等分点，∴PD ：BF=1：4， ∴DN ：NB=PD ：BF=1：4， ∴ND=BD ，BQ ：QD=QE ：CD=BE ：BC=1：3， ∴BQ=BD ，QM=QD=×BD=BD ， ∴ BM=BQ+QM=BD ， ∴BM ：MN ：ND=5 ：3：2． 4. 方程组 的解为________． 解答： ， 设 x+=m ，x+y=n ， 原方程组变形为： ， 由②得： m=6-n ，③ 把③代入①得： = ， 解得：n 1=6（舍去），n 2=3， 把n 2=3代入②得：m 2=3， 则， 解得：或； 故答案为：或． 5. 有三位同学，每位同学都以相同的可能性分配到4个房间中的一个，则这三个同学都被分配到同一个房间的概率为（ ） 解答：三位同学4个房间，每一位同学都有4种分配情 况，所以，一共有4×4×4=64种情况， 三人分配到同一个房间的情况有3种，所以，P=． 6. 一元二次方程 0192= ++px x 的两根恰好比方 程02 =+-B Ax x 的两个根分别大1，其中A,B,p 都为整数，则A+B= 设x 2-Ax+B=0两根为x,y ,则-p=x+1+y+1 x+y = A -p=A+2 xy=B (x+1)(y+1)=19 B+A+1=19 B+A=18 7. 在菱形ABCD 中， BC AE ⊥于点E ，EC=1, 13 5 =AB AE ，则四边形AECD 的周长为 解：在菱形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ∵AE ⊥BC ∴∠AEB=90° 在直角三角形ABE 中，sinB= 又sinB= 设AE=5x （x ＞0），则AB=13x 根据勾股定理，得 BE= =12x ∵BE+EC=BC ，EC=1 ∴12x+1=13x 解得x=1 ∴AB=DA=CD=13，AE=5 ∴AE+EC+CD+DA=5+1+13+13=32． 即四边形AECD 的周长是32． 8. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，一次函数 4 )1(2k x k y - -=，若它们的图像对任意的实数k 都 只有一个公共点，则二次函数的解析式为 分析：根据题意由y=ax 2+bx+c ①，y=k （x-1）-②， 组成的方程组只有一组解，消去y ，整理得，ax 2+（b-k ） x+c+k+ =0，则△=（b-k ）2-4a （c+k+ ）=0， 整理得到（1-a ）k 2-2（2a+b ）k+b 2-4ac=0，由于对 于任意的实数k 都成立，所以有1-a=0，2a+b=0， b 2-4ac=0，求出a ，b ，c 即可． 解答：根据题意得， y=ax 2+bx+c ①， y=k （x-1）-②， 解由①②组成的方程组，消去y ， 整理得，ax 2+（b-k ）x+c+k+ =0， ∵它们的图象对于任意的实数k 都只有一个公共点，则 方程组只有一组解， ∴x 有两相等的值， 即△= （b-k ）2-4a （c+k+ ）=0， ∴（1-a ）k 2-2（2a+b ）k+b 2-4ac=0， 由于对于任意的实数k 都成立，所以有1-a=0， 2a+b=0，b 2-4ac=0， ∴a=1，b=-2，c=1， 所以二次函数的解析式为y=x 2-2x+1． 9. 某学生连续观察了n 天的天气情况，观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数n= 分析：他们每天上午、下午各测一次，七次上午晴， 五次下午晴，共下八次雨，所以共测了20次，所以这 个学生工观察了10天． 解答：由题意，知：这位学生每天测两次，总共测的 次数为7+5+8=20； 因此x=20÷2=10（天）． 故答案为：10． 10. 甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时 后他们分别到达各自的终点A 和 B ，若仍从原地出发， 互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达 B ，甲的速度与乙的速度之比为 分析：设两人的速度为未知数，根据“甲在乙到达 A 之后35分钟到达B ”，得到等量关系：甲用的时间-乙 用的时间= ，列出方程，求得甲乙的速度之比即可． 解答：设甲的速度为v 1千米/时，乙的速度为v 2千米/ 时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为v 1千米， 到B 的路程为v 2千米，从而有方程： ， 化简得， 解得 = 或 =-（不合题意舍去）． 11. 已知二次函数22y x x =--及实数2a >-，求 （1）函数在2x a -< ≤的最小值 （2）函数在2a x a ≤≤+内的最小值 解：二次函数y=x 2-x-2= -的图象如图 顶点坐标为（， ）， （1）当-2＜a ＜时，函数为减函数， 最小值为当x=a 时，y=a 2-a-2． 当a ≥时，y min =-， （2）当a ＞-2，且a+2＜， 即：-2＜a ＜-时，函数为减函数， 最小值为：y x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2， 当a ＜≤a+2，即-≤a ＜时， 函数的最小值为y=-． 2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D) 数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0 A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1) （tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2） 2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c② 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 福州一中历年自主招生物理试卷（整理） 一．选择题 （2007） 1．用绳子拉着重物在光滑水平面上运动，当重物速度达到V 时，绳子突然 断裂。绳子断裂后，重物的速度将（） A．逐渐减小B．逐渐增大C．立即变为零D．保持V 不变 2．载人航天是当今世界技术最复杂、难度最大的航天工程，它代表一 个国 家的生产力发展水平和经济实力，更是扬国威的最佳途径。2005年 10 月12日 至17 日，我国神舟六号载人航天飞行获得圆满成功。神州六号载人飞船环绕地球做圆周运动时离地面的高度是（） A．343km B．686km C．1029km D．1372km 3．如果作用在一个物体上的两个力大小分别为5N 和8N，则这个物体所受的合力大小（） A．可能小于3N B ．可能大于13N C．可能是10N D．一定等于13N 4．甲身高180cm，眼距头顶8cm，乙身高160cm，眼距头顶 6cm，两人同居一室，今欲固定一铅直悬挂的平面镜，使各人站立于镜前时，均可看见自己的全身像，则镜子的最小长度应为（）A．98.5cm B．99.0cm C．99.5cm D．100.0cm (2008) 5．当电磁波的频率增大时，它在真空中的速度将（） A.减小 B.增大 C.不变 6.战斗机在空中加油时的情景如图所示，已知加油 机的速度是 800km/h，则此时战斗机的速度应尽可能（） A．等于0 km/h B.等于800km/h C. 大于800km/h D.小于800km/h 7．街道旁的路灯、江海里的航标灯都要求夜晚亮、白天灭。利用半导 体的电学特性制成了自动点亮、熄灭的装置，实现了自动控制。这是利用半导体的（） A.压敏性 B.光敏性 C.热敏性 D.三种特性都利用了8．吊在室内天花板上的电风扇，静止不动时对固定吊杆的拉力为T1,当电风扇在 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1 中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两 点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环 全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42) 近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。 关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质， 2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 2018年上海交通大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题5分，共50分） 1．已知方程2212x px p --=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ??? ，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????，则n= ． 4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图 523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ． 6．化简：() ()122222246812n n +-+-++-L = ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ． 8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ． 9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ． 10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ． 二、解答题（本大题共50分） 1．已知方程x 3+ax 2 +b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （l ）最大角是最小角的两倍？ （2）最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281 ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。 4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）． 5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，?， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数 r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）? 小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。 二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ） 历年自主招生试题分类汇编——平面几何 4．（2013年北约）如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由． 解析 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ，则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ， 由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ． 题4（2012年北约）如果锐角ABC ?的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。 解： 如图，过O 分别作,,BC CA AB 的垂线，垂足为,,D E F ,设 123,,OD d OE d OF d ===， OA OB OC R === 由平几知识得2BOC A ∠=，∴BOD A ∠=，1cos d R A = 同理：2cos d R B =，3cos d R C = ∴123::cos :cos :cos d d d A B C = 即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。 评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生 的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。 A C N A C N A A C O F D E 解： 如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形， 延长,,,AE CD DC AB 有两交点,G H ，连接AC ， ∵AED EDC ∠=∠, ∴GED GDE ∠=∠ ∴GE GD = ∵,,,A C D E 在O 上 ∴CAG GDE ∠=∠,GCA GED ∠=∠ ∴CAG GCA ∠=∠ ∴GA GC = ∴AE CD = 连结AD ，同理可得AB CD =，从而AE AB CD ==， 同样，延长,,,BC ED BA DE ,可证得：BA BC DE == ∴AB BC CD DE EA ====，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。 评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。 1. （2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长. 【答案】x =x .由22222(35)6,x +=+ 解得x =. 2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求. 2．（2010年北约）AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于 是 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3 5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15
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