知识点196--反比例函数图象的对称性(填空题)

一、填空题（共50小题）

1、（2011?西宁）反比例函数的图象的对称轴有　2　条．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．

解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．

故答案为：2．

点评：此题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．

2、（2011?乌鲁木齐）正比例函数y=kx的图象反比例函数y=的图象有一个交点的坐标是

（﹣1，﹣2），则另一个交点的坐标是　（1，2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：探究型。

分析：根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．

解答：解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴两函数的交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），

∴另一个交点的坐标是（1，2）．

故答案为：（1，2）．

点评：本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．

3、（2011?黔南州）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函

数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于　π　（结果保留π）．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解．

解答：解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积．

⊙A和x轴y轴相切，

因而A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，

设A的坐标是（a，a），

点A在函数y=的图象上，因而a=1．

故阴影部分的面积等于π．

故答案为：π．

点评：能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键．

4、（2010?泰安）如图，一次函数y=ax（a为常数）与反比例函数（k为常数）的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为　（2，﹣3）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：找到点A的关于原点对称的点的坐标即可．

解答：解：若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为（2，﹣3）．

点评：用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数．

5、（2010?邵阳）如图，直线y=k1x与双曲线y=相交于点P、Q．若点P的坐标为

（1，2），则点Q的坐标为　（﹣1，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：根据直线y=k1x与双曲线y=的图象均关于原点对称解答即可．

解答：解：∵直线y=k1x与双曲线y=的图象均关于原点对称，

∴点Q的坐标与点P的坐标关于原点对称，

∵点P的坐标为（1，2），

∴点Q的坐标为（﹣1，﹣2）．

点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

6、（2010?钦州）反比例函数（k＞0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为　（﹣2，﹣1）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：数形结合。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵A点的坐标为（2，1），

∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）．

故答案为：（﹣2，﹣1）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

7、（2009?益阳）如图，反比例函数（k＜0）的图象与经过原点的直线l相交于A，B

两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为　（2，﹣1）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：点A与B关于原点对称，则B点的坐标为（2，﹣1）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

8、（2009?荆门）直线y=ax（a＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则

4x1y2﹣3x2y1=　﹣3　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：根据直线y=ax（a＞0）与双曲线y=两交点A，B关于原点对称，求出

y1=﹣y2，y2=﹣y1，代入解析式即可解答．

解答：解：由题意知，直线y=ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=交于两点，

则这两点关于原点对称，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

又∵点A点B在双曲线y=上，

∴x1×y1=3，x2×y2=3，

∴原式=﹣4x2y2+3x2y2=﹣4×3+3×3=﹣3．

点评：本题利用了过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称而求解的．

9、（2009?黄石）下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B

两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是　π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据正比例函数图象和双曲线的中心对称性，可知阴影部分的面积是圆A的面积．解答：解：∵直线和双曲线都关于原点对称，

∴A、B关于原点对称，

且两圆为等圆，

∵点A的坐标为（2，1），

∴圆A的半径是1，

∴两个阴影部分面积的和是S=π?12=π．

故答案为：π．

点评：能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键．

10、（2008?梅州）已知直线y=mx与双曲线的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2），则m=　

2　；k=　2　；它们的另一个交点坐标是　（1，2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：待定系数法。

分析：首先把已知点的坐标代入，即可求得m，k的值；再根据过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称的性质，进行求解．

解答：解：根据题意，得：﹣2=﹣1×m，﹣2=，

解得：m=2，k=2．

又由于另一个交点与点（﹣1，﹣2）关于原点对称，则另一个交点的坐标为（1，2）．

点评：本题利用了待定系数法确定出了m，k的值，还利用了过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称的性质．

11、（2007?恩施州）已知，如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为（2，1），分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为　π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：由于反比例函数，正比例函数的图象关于原点对称，根据A点坐标为（2，1）可以确定B的坐标，然后根据图象对称性的特点即可求出两个阴影部分面积的和．

解答：解：∵反比例函数、正比例函数的图象关于原点对称，

又A点坐标为（2，1），

则B点坐标为（﹣2，﹣1），

又∵圆与x轴相切，

∴圆的半径为1，

而图中两个圆的阴影部分刚好可以拼成一个完整的圆，

所以两个阴影部分面积的和为π．

故答案为：π．

点评：此题综合考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图象和性质及圆等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．

12、（2007?鄂尔多斯）如图，双曲线与直线y=k2x相交于A、B两点，如果A点的坐

标是（1，2），那么B点的坐标为　（﹣1，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵点A与B关于原点对称，

∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

13、（2007?赤峰）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数

（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是　2π　．（结果保留π）

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：此题需要看懂图形，由于反比例函数图象的中心对称性，所要求的阴影部分的面积即为半圆的面积．

解答：解：根据图形，知这是一个中心对称图形；则阴影部分是面积和相当于半圆的面积，即2π．

故填2π．

点评：此题注意根据图形的中心对称性，把阴影部分组合到一起可以简便计算．

14、（2006?南通）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两

点，则2x1y2﹣7x2y1的值等于　20　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数

图象上点的坐标特点解答即可．

解答：解：由题意知，直线y=ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=交于两点，

则这两点关于原点对称，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

又∵点A点B在双曲线y=上，

∴x1×y1=4，x2×y2=4，

∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20．

故答案为：20．

点评：本题利用了过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称而求解的．

15、（2006?防城港）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=　2π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．

解答：解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．

故答案为：2π．

点评：解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．

16、（2006?大连）如图，双曲线y=与直线y=mx相交于A，B两点，B点的坐标为

（﹣2，﹣3），则A点的坐标为　（2，3）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点

对称．

解答：解：由图象可知：直线y=mx经过原点与双曲线y=相交于A，B两点，

又由于双曲线y=直线y=mx均关于原点对称且相交于A，B两点，

则A、B两点关于原点对称，B点的坐标为（﹣2，﹣3），

则A点的坐标为（2，3）．

故答案为：（2，3）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

17、（2005?长春）图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两

点为圆心，画与y轴相切的两个圆．若点A的坐标为（1，2），则图中两个阴影面积的和是　π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面

积的和是圆的面积．

解答：解：若点A的坐标为（1，2），即圆的半径为1；

由反比例函数的对称性可得：两个阴影面积的和是S=π×12=π．

故答案为：π．

点评：解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．

18、若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是

（﹣，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：正比例函数y=4x与反比例函数y=的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，

那么（，2）关于原点的对称点为：（﹣，﹣2）．

故答案为：（﹣，﹣2）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

19、直线y=2x与双曲线y=的图象的一个交点为（2，4），则它们的另一个交点的坐标是　

（﹣2，﹣4）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：因为直线y=2x与双曲线y=的交点均关于原点对称，

所以另一个交点坐标为（﹣2，﹣4）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

20、如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B

的坐标为　（﹣3，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：因为直线y=mx与双曲线y=的交点均关于原点对称，

所以另一个交点坐标为（﹣3，﹣2）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．

21、如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的

坐标为（1，2），则点B的坐标是　（﹣1，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：数形结合。

分析：由题意，点A的坐标适合正反比例函数的解析式，把点A的坐标（1，2）代入

y=mx（m≠0）与y=，分别求出m、n的值为2、2．即正比例函数y=2x①与反比例函数

y=②，利用①②组成的方程组可得：2x=，得x=±1，故点B的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2．

解答：解：把点A的坐标为（1，2）代入y=mx与y=，得m=2，n=2．即

y=2x①，y=②，

解之得：x=±1，

将x=﹣1代入①得y=﹣2，

∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．

故答案为：（﹣1，﹣2）．

点评：本题可将问题转化为方程来求解．图象经过点，则点适合方程．

22、边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=

与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积之和是　8　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．

解答：解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．

∵正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，

∴四个小正方形全等，每个小正方形的面积=S□ABCD=×4×4=4，

∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，

∴阴影部分的面积=S□ABCD=×4×4=8．

故答案为：8．

点评：本题考查的是关于x轴对称的反比例函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．

23、如图，过原点的一条直线与反比例函数y=（k≠0）的图象分别交于A，B两点．若A 点的坐标为（a，b），则B点的坐标为　（﹣a，﹣b）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：过原点的一条直线即正比例函数的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象分别交

于A，B两点；

且两者都是中心对称图形；故A，B两点也关于原点对称；

若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（﹣a，﹣b）．

故答案为：（﹣a，﹣b）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．

24、反比例函数y=的图象既是　轴对称　图形又是　中心对称　图形，它有　2　条对称

轴，且对称轴互相　垂直　，对称中心是　原点　．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：根据轴对称的特点和中心对称的特点得出．

解答：解：反比例函数y=的图象沿一三象限角平分线所在的直线折叠，可互相重合，

沿二四象限角平分线所在直线折叠，也可互相重合，

那么它是轴对称图形，有2条对称轴，对称轴互相垂直；

绕原点旋转180°后，与原图形重合，

所以是中心对称图形，对称中心是原点．

点评：轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合．

25、如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

则5x1y2﹣3x2y1的值为　10　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据关于原点对称的点的坐标并结合函数图象上点的坐标特征来解答即可．

解答：解：根据题意，x1=﹣x2，y1=﹣y2，并且x1y1=x2y2=﹣5，

所以x1y2=﹣x1y1，x2y1=﹣x1y1，

5x1y2﹣3x2y1=﹣5x1y1+3x1y1=﹣5×（﹣5）+3×（﹣5）=10．

故答案为：10．

点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称．

26、已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），则它的另一个交点的坐标是　（3，2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．

解答：解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），∴它的另一个交点的坐标是（3，2）．

故答案为：（3，2）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

27、如图所示，正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是　（﹣2，1）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：由图象可知：直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点，

又由于双曲线y=与直线y=mx均关于原点对称．

则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（2，﹣1），

则另一个交点的坐标为（﹣2，1）．

故答案为：（﹣2，1）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．

28、若直线y=kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值

为　6　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．

解答：解：由题意知，直线y=ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=交于两点，

则这两点关于原点对称，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

又∵点A点B在双曲线y=上，

∴x1×y1=2，x2×y2=2，

∴原式=﹣2x2y2+5x2y2=﹣2×2+5×2=6．

故答案为：6．

点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称．

29、正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象上一个交点是（﹣2，1），那么它们的

另一个交点是（2，﹣1）．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据直线y=kx与双曲线y=的上点均关于原点对称解答．

解答：解：因为一个交点的坐标为（﹣2，1），所以它们的另一个交点的坐标一定关于原点与此的点对称，

即另一个交点坐标为（2，﹣1）．

故答案为（2，﹣1）．

点评：此题考查的是双曲线上点的坐标特征，即双曲线上的点关于原点对称．

30、在函数y=，y=x+5，y=﹣5x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象有　

2　个．

考点：反比例函数图象的对称性；中心对称图形。

分析：找到所给函数中的正比例函数和反比例函数的个数即可．

解答：解：中心对称图形，且对称中心是原点的图象有y=，y=﹣5x共2个．

点评：用到的知识点为：图象是中心对称图形，且对称中心是原点函数有正比例函数和反比例函数．

31、如图，直径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与y轴相切于点O，反比例函数的图象与两圆分别交于点A、B、C、D，则图中阴影部分的面积为 ．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据反比例函数的图象是中心对称图形，那么阴影部分的面积可看作半径为1的半圆的面积．

解答：解：由题意得：图中阴影部分的面积为S=π×（）2=π．

故答案为：π．

点评：解决本题的关键是根据所给图形的对称性得到阴影部分的面积为一个半圆的面积．32、已知正比例函数y=kx与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个

交点是（　﹣2　，　﹣3　）．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题；待定系数法。

分析：此题可直接将坐标代入函数解析式，再联立解方程即可求出另一个交点．

解答：解：正比例函数y=kx①与反比例函数②的一个交点是（2，3），

∴将（2，3）代入①得k=，代入②得k=6，即正比例函数y=x③，反比例函数

y=④，

∴x=，解之得x=±2，把x=﹣2代入③得y=﹣3．

∴另一个交点是（﹣2，﹣3）．

故答案为：﹣2；﹣3．

点评：本题考查函数与方程的应用，函数图象经过某点，则某点适合解析式，转化为方程求解．

33、已知函数y=与y=k2x图象的交点是（﹣2，5），则它们的另一交点是　（2，﹣5）　

．

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

∴它们的另一交点是（2，﹣5）．

点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，同学们要熟练掌握．

34、如图，直线y=﹣2x与双曲线的一个交点坐标为（﹣2，4 ），则它们的另一个交点坐标为　（2，﹣4）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：函数思想。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵直线y=﹣2x与双曲线的两个交点关于原点对称，

∴它们的另一个交点坐标为（2，﹣4）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数．

35、已知正比例函数y=k1x与反比例函数y=（k＞0）的一个交点是（﹣2，﹣3），则另一

个交点是（　（2，3）　）．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：数形结合。

分析：由于正比例函数y=k1x图象与反比例函数y=（k＞0）的图象都关于原点对称，而它们的一个交点是（﹣2，﹣3），根据对称性可以得到其另一个交点．

解答：解：如图，正比例函数y=k1x图象与反比例函数y=（k＞0）的图象都关于原点对

称，

而它们的一个交点是（﹣2，﹣3），

∴另一个交点是（2，3）．

故答案为：（2，3）．

点评：本题主要考查了正比例函数图象和反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

36、已知函数y=2x与的图象的一个交点坐标是（1，2），则它们的图象的另一个交点

的坐标是　（﹣1，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：函数思想。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵点（1，2）关于原点对称的点是（﹣1，﹣2），

∴所求的点的坐标为（﹣1，﹣2）．

故答案是：（﹣1，﹣2）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．

37、反比例函数y=（k≠0）的图象是关于　原点　对称的　中心对称　图形．（填写轴对

称或中心对称）

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则图象的两个分支关于原点对称．

解答：解：反比例函数的图象的两个分支是关于原点对称的中心对称图形．

故答案为：原点，中心对称．

点评：此题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

38、如图，有反比例函数、的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S

=　2π　．

阴影

考点：反比例函数图象的对称性。

分析：由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．

解答：解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．

故答案为：2π．

点评：本题考查了反比例函数图象的对称性．解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．

39、已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是　（2，1）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：函数思想。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），且反比例函数y=（k2≠0）的图象关于原点对称，

∴它的另一个交点的坐标与（﹣2，﹣1）关于原点对称，

∴它的另一个交点的坐标是（2，1）；

故答案是（2，1）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

40、已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（2，3），则另一个交点的坐标为　（﹣2，﹣3）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：函数思想。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，

∴另一交点的坐标为（﹣2，﹣3）．

故答案是：（﹣2，﹣3）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数，这要求同学们要熟练掌握．

41、已知一次函数y=﹣3x与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点为

（1，﹣3），则另一个交点的坐标为　（﹣1，3）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：函数思想。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵一次函数y=﹣3x与反比例函数的图象有两个交点关于原点对称，

∴另一个交点的坐标与（1，﹣3）关于原点对称；

∴另一个交点的坐标为（﹣1，3）；

故答案是：（﹣1，3）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的坐标的横纵坐标分别互为相反数．

42、反比例函数的图象的两个分支关于　原点　对称．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：常规题型。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则图象的两个分支关于原点对称．

解答：解：反比例函数的图象的两个分支关于原点对称．

故答案为：原点．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

43、已知反比例函数的图象如图，则它关于x轴对称的图象的函数解析式为　y=﹣（x＞0）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据图象关于x轴对称，可得出所求的函数解析式．

解答：解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，

即﹣y=，

则y=﹣．

故答案为：y=﹣（x＞0）．

点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容．

44、在反比例函数的图象的一支曲线上有一点A（1、3），则在另一支曲线上有一点B

的坐标为

（﹣1，﹣3）　．（选一个你认为合适的点）

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：开放型。

分析：此题只需根据反比例函数图象的两支关于原点对称即可得出点A关于原点的对称点，或者由点A的坐标求得k的值再任意写出一点在第三象限的点即可．

解答：解：由于反比例函数的图象的一支曲线上有一点A（1、3），

则根据反比例函数图象两支的对称性可得B点坐标为（﹣1，﹣3）．

故答案为：（﹣1，﹣3）．

点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，关键是判断出图象的两支关于原点对称．45、如图中是正比例函数与反比例函数的图象，相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），分别以A、B为圆心，以1个单位长度为半径画图，则图中两个阴影部分面积的和是　π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：数形结合。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，图中阴影部分的面积等于单位圆的面积．

解答：解：∵正比例函数与反比例函数的图象，相交于A、B两点，

∴A、B两点在反比例函数的图象上，

∴点A与B关于原点对称，

∴⊙A与⊙B关于原点对称；

又反比例函数的图象是中心对称图形，

∴两个阴影部分面积的和是等于单位圆的面积，即π×12=π．

故答案为：π．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

46、如图，有反比例函数y=、y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影

=　2π　．③

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：利用反比例函数的对称性，将阴影部分面积转化为半圆的面积，再求半圆的面积即可．

解答：解：根据反比例函数的对称性，可知

a的面积与b的面积相等，

c的面积与d的面积相等，

故阴影部分面积可转化为一个半圆的面积，

S阴影=π22=2π．

故答案为2π．

点评：此题考查了反比例函数的对称性，要明确，只要反比例函数绝对值相同，则两函数图象关于x轴、y轴对称．

47、双曲线与直线y=mx相交于A、B两点，且B点的坐标为（﹣1，2），则A点的坐标

为　（1，﹣2）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

解答：解：∵双曲线关于原点中心对称，

∴点A与B关于原点对称，

∴A点的坐标为（1，﹣2）．

故答案为：（1，﹣2）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．

48、如图，以点O为圆心的圆与反比例函数的图象相交，若其中一个交点P的坐标为

（5，1），则图中两块阴影部分的面积和为　π　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：常规题型。

分析：根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，又知两图象的交点P的坐标为（5，1），即可求出圆的半径．

解答：解：∵圆和反比例函数一个交点P的坐标为（5，1），

∴可知圆的半径r=，

∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，

∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，

∴S阴影==．

故答案为：．

点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．

49、直线y=kx（k＜0）与双曲线交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，则

3x1y2﹣8x2y1的值是　．﹣10　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：应用题。

分析：由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故

x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入3x1y2﹣8x2y1，由k=xy得出答案．

解答：解：由图象可知点A（x1，y1）B（x2，y2）关于原点对称，

即x1=﹣x2，y1=﹣y2，

把A（x1，y1）代入双曲线y=﹣得x1y1=﹣2，

则3x1y2﹣8x2y1

=﹣3x1y1+8x1y1

=6﹣16

=﹣10．

故答案为：﹣10．

点评：本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，属于一般性的题目，通过本题注意掌握两交点坐标关于原点对称．

50、正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、点B，点A的坐标为（2，4），则点B的坐标是　（﹣2，﹣4）　．

考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答．

解答：解：∵正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象都关于原点对称，

∴点A和点B关于原点对称，

又∵点A的坐标为（2，4），

∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．

故答案为（﹣2，﹣4）．

点评：本题考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性 教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下） 【教学目标】 1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式 x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正 弦函数的对称性. 2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2 π =x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）. 2．复习对称概念

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念： 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？ 4．猜想图形性质 经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书） 如何检验猜想是否正确？ 我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题） 二、探究新知 分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. （一）对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线2 π =x 对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π = x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问 题进行探索研究（见右图），在直线2 π =x 两侧正弦函 数值有什么变化规律？ 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在2 π =x 左右对称取值时，正 弦函数值相等.

函数对称性的探究

函数对称性的探究 绍兴县越崎中学数学组徐民江 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a

正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴与对称中心 Revised on November 25, 2020

函数 )sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其 图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴 的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2 π π+ =k y ，对称中心点为 （0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数 )sin(?ω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。

专题14反比例函数图像的对称性

专题14反比例函数图像的对称性 方法技巧：①当k1+k2=0时， 反比例函数与的图像关于x 轴，y 轴对称；②反比例函数的图像既是轴对称也是中心对称图形，它的对称轴是直线y= 一、妙用反比例函数的图像的轴对称性 1、如图 l 1是反比例函数在第一象限的函数图象， 且过点A （2,1），l 1与l 2关于x 轴对称，那么图像l 2的 函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿（x ＞0） 2、双曲线的对称轴的对称轴有（ ） A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、3条 3、如图以O 为圆心，半径为2的圆与双曲线（x ＞0）交于 A 、 B 两点，若AB 的长度为 ，则k=＿＿＿＿＿＿ 4、如图直线y=x-1交x 轴D ，交双曲线 （x ＞0）于B ，直线y=2x 交双曲线（x ＞0）于A ，若OA=OB ，求k 的值。 二、妙用反比例函数的图像的中心对称性 5、若直线y= -2x 与双曲线交于（1，-2），则另一个交点坐标为＿＿＿＿＿＿ 6、已知直线y=kx （k ＜0）与双曲线 交于A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）两点，则3x 1y 2-8x 2y 1=＿＿＿＿＿＿ 7、如图点P （3a ，a ）是双曲线（x ＞0）与圆O 的一 个交点，图中阴影部分的面积为10π。 （1）k=＿＿＿＿＿＿； （2）某同学在圆O 内做随机扎针实验，针头落在阴影区域 内的概率为＿＿＿＿＿＿ 8、如图点A （3,5）关于原点O 的对称点为点C ，分别过点A 、C 作y 轴的平行线，与双曲线（0＜k ＜15）交于点B 、D ，连接AD 、BC ，AD 与x 轴交于点E （-2,0）。 （1）k=＿＿＿＿＿＿；（2）阴影部分的面积之和是＿＿＿＿＿＿

(完整word)高考专题函数对称性

函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④

函数的对称性完美

函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。

正弦函数图象的对称轴与对称中心

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 函数)sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为 2 π π+ =k y ，对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数)sin(?ω+=x A y 是由正弦函数 x y sin =演变而成。 一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数

函数的各种对称性

函数对称性的探究 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a ≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴 与对称中心 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

函数 )sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其 图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴 的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2 π π+ =k y ，对称中心点为 （0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数 )sin(?ω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。

三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用 观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈，则ω ?π22)12(-+= k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。 例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3 2π=x ，故选（B ）。 例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形； )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得

正弦函数的图像和性质

1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h

第26章 反比例函数的图象及双曲线的对称性(含详细答案解析及考点分析)

第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性 一．选择题（共14小题） 1．（2015?黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 2．（2015?兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（） A．B．C．D． 3．（2015?柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（） A．B．C． D． 4．（2015?温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）

A．B．C．D． 5．（2015?广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C． D． 6．（2015秋?龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（） A．B．C． D． 7．（2015?上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1

8．（2015?泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2015?江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 10．（2014?宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（） A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3） 11．（2014?兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（） A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2 12．（2014?江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（） A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称 13．（2014秋?宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）

函数对称性

函数对称性 一 知识点 I 函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称 推论1：的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于__________对称，图象关于

__________对称，。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y 轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题 胡春林 指导老师：刘荣玄 【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。 【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称 一、函数自身的对称性的问题 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。 例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数， 且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

高一数学《函数的对称性》知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留

给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a －b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a －b）－x代x得 f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且

2019中考数学专题练习-反比例函数图像的对称性(含解析)

2019中考数学专题练习-反比例函数图像的对称性（含解析） 一、单选题 1.如图，直线y=-x与双曲线y=相交于A（-2，1）、B两点，则点B坐标为( ) A. (2,-1) B. (1,-2) C. (1,-) D. (,-1) 2.如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= （k2≠0）的图象交于M，N两点．若点 M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 3.如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（) A. -3 B. -2 C. -1 D. -4 4.如图，反比例函数y＝的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC 的面积等于（）个面积单位．

A. 4 B. 5 C. 10 D. 20 5.已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（） A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 6.关于双曲线的对称性叙述错误的是（） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于直线y=﹣x对称 7.如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A. y= B. y= C. y= D. y= 8.如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则S阴影=（） A. π B. 2π C. 3π D. 无法确定 9.如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（） A. （2，3） B. （3，﹣2） C. （﹣2，3） D. （3，2）

高一数学函数的对称性知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结 高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

知识点：函数的对称性总结

知识点：函数的对称性总结 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个 方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P

与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c（*）