线性空间3
线性空间3
1．设()ij A a =是n n ?矩阵，其中{
,1,a i j a ij i j
≠==
（a ）求行列式det A 的值，这里det A 表示矩阵A 的行列式； (b) 设}
{
0W X AX ==，求W 的维数及W 的一组基。 2．设A 是元素全为1的n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵。
（1）求行列式aE bA +的值,其中,a b 是实常数；
(2) 已知1()rank aE bA n <+<, 试确定,a b 所满足的条件，并求下列线性子空间的
维:()}{
0,n
W
x aE bA x x R =+=∈
3．设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组0AX =与0BX =的解空间，如果
8123,2,rankA rankB W W K ==+=，那么12dim()W W ?= 。
4．设V 是数域P 上的n 维线性空间,(,)x y β是V 上的非退化的反对称双线性函数,I 是V 的子空间,记
}{|,(,)0,I v v V x v x I β⊥=∈=?∈证明:
（I ）dim I ⊥
=dimV-dimI,这里dimV 表示V 的维数. （II ）dimI 与dim I ⊥
的奇偶性相同. 5．设M ∈n n
p
?,f(x),g(x)∈P[x],且(f(x),g(x))=1.令A=f(M),B=g(M),W,1W ,2W 分别为线性方程组
ABX=0,AX=0,BX=0的解空间,证明W=1W ⊕2W .
6．设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A w w ??
?
= ? ?
??
,
其中w =,
则V 的一组基为________
7．设1n εε 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,W 是V 的非平凡子空间,1r αα 是W 的一组基, 证明:在1n εε 中可找到n-r 个向量1i in r εε- ,使1r αα ,1i in r εε- 为V 的一组基.
8．设V 是n 维线性空间,A 是V 的线性变换.设U 是V 的子空间，求证:dim(A(U))+dim(1
(0)A U - )=dim(U).
这里,A(V)=}{
()|A V αα∈,}{
1
(0)|()0A V A αα-=∈=.
9．设1V ,2V 是n 维线性空间V 的子空间,且V=12V V ⊕,设()L α是V 中向量α生成的子空间,且满足
1()V L α =0,2()V L α =0.求12(())(())V L V L αα++ 的维数并证明.
10．平面上全体向量组成的集合，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k αα= ，是否构成实数域 上的线性空间？
11．试证：实线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。
12．设A 为n 阶正定矩阵(1)n >n R α∈，且α是非零列向量。令B A αα'=，求B 的最大特征值以及B 的 属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基。
13．设A 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ有
A W ξ∈则称W 是A 的-----子空间。
（A ）非平凡； （B ）不变； （C ）核； （D ）零。
14．设122212221A ?? ?= ? ???，已知A 的3个特征向量：对应于51λ=的特征向量为1111ξ?? ?
= ? ???，对应于12
λ=-的
特征向量为100,12311ξξ????
? ?
== ? ? ? ?--????
。试计算k A ，其中
k 是自然数。
15．设V 是数域P 上的一个三维空间，,,123
ξξξ是它的一组基，f 是V 的一个线性函数，已知
()1,(2)11321f f ξξξξ+=-=-，()312f ξξ+=-。求：()112233f x x x ξξξ++。
16．设()1,2,1,21α=--，()3,1,1,12α=-，()1,0,1,13α=--，()2,5,1,51β=--，()1,2,2,32
β=--。由
,1,2,3i i α=生成的子空间记为1W ，由,1,2j j β=生成的子空间记为2W ：
（1）求12W W ?的维数；
（2）求1
2W W ?的一组基。
17．（1）证明：在[]P x n 中，多项式()()()(),1
11f x a x a
x a x a i
i i n =-----+ (1,2,3,,)i n = 是一组
基，其中,,,12a a a n
是互不相同的数。
（2）在（1）中取,,,12a a a n
的全体n 次单位根，求由基11,,,n x x
- 到基,,,12f f f n
的过度矩
阵。
18．判断题：设123,,V V V 是线性空间V 找茬儿子空间，而且任意两个的交为0， 则123V V V ++能直和。
19判断题：设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足 12{0}V V = ，则12V V V =⊕。
20．设1V ，2V 是n 维欧氏空间n R 的线性子空间，且dim 1V 21．设V 是数域F 上x 的次数小于n 的全体多项式构成的线性空间，定义V 上的线性变换A ，使 [()]'()()A f x xf x f x =-，其中'()f x 表示f(x)的导数，求A 的核与值域，并证明线性空间V 是1(0) A -与A V 的直和。 22．设V 为数域P 上n 维线形空间，A 为V 上线形变换。已知32A A =但2 A A ≠。试问是否存在 B 的一组基使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵？ 23． 设V 为数域P 上n 维线形空间（n ≥1）.证明：必存在V 中一个无穷的向量序列{}1i i α∞ =， 使得{}1i i α∞ =中任何n 个向量都是V 的一组基。 24．数域F 上全体n 阶反对称矩阵的集合S 是否构成上F 上的线性空间？若能，S 的维 数是多少？ 25．()n M F 表示数域F 上的全体n 阶方面军阵构成的线性空间，试证： （I ）N 级对称矩阵的集合1W 和n 级反对称矩阵的集合2W 都是()n M F 的线性子空间。 （II ） 12()n M F W W =⊕。 26．设V 是欧氏空间，1W 与2W 是V 上的两个子空间试证： （I ） 若12W W ?，则12W W ⊥ ⊥ ?； （II ） 当Ｖ是有限维时，若1W 是Ａ—子空间，则1W ⊥ 是Ａ—子空间，其中Ａ是Ｖ 上的任一正交变换。 第六章 线性空间习题解答P267 .1设,,M N M N M M N N ?==证明: 证明: 一方面.M N M ? 另一方面, 由于M M ?,,N M ? 得 .N M M ? 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =. (2))()()(L M N M L N M = 证 明 : (1) . ),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即 .M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈. 另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ??,所以 )()()(L N M L M N M ?. (2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ??,所以 )()()(L M N M L N M ?. 另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈?且则 若).(,L N M x M x ∈∈则 若 ∈∈∈?x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有 ) ()()(),(L N M L M N M L N M x ?∈所以. 3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1. 由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目 设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1 第五章 线性空间-知识点及其注释 知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。 #n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。 #线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。 #线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。 向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。 在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示?线性方程组 1122 s s x x x αααα+++=有解? 1212(,, ,,)(,, ,)s s rank rank ααααααα=。 #向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组 s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。显然，向量组等价是 等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。 线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T 4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型 3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú 5.5 子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。 1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为 即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈ 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间. 证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有， 111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间. ∴ 111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈ 于是 ()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴ 12W W +是V 的子空间。 推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则 {}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈ 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121 如何证明是向量空间 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数 则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》 空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。 （1）求证：EF⊥CD； （2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2 线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组 第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。 LECTURE2 De?ntion.A subset W of a vector space V is a subspace if (1)W is non-empty (2)For everyˉv,ˉw∈W and a,b∈F,aˉv+bˉw∈W. Expressions like aˉv+bˉw,or more generally k a iˉv+i i=1 are called linear combinations.So a non-empty subset of V is a subspace if it is closed under linear combinations.Much of today’s class will focus on properties of subsets and subspaces detected by various conditions on linear combinations. Theorem.If W is a subspace of V,then W is a vector space over F with operations coming from those of V. In particular,since all of those axioms are satis?ed for V,then they are for W. We only have to check closure! Examples: De?ntion.Let F n={(a1,...,a n)|a i∈F}with coordinate-wise addition and scalar multiplication. This gives us a few examples.Let W?F n be those points which are zero except in the?rst coordinate: W={(a,0,...,0)}?F n. Then W is a subspace,since a·(α,0,...,0)+b·(β,0,...,0)=(aα+bβ,0,...,0)∈W. If F=R,then W ={(a1,...,a n)|a i≥0}is not a subspace.It’s closed under addition,but not scalar multiplication. We have a number of ways to build new subspaces from old. Proposition.If W i for i∈I is a collection of subspaces of V,then W i={ˉw∈V|ˉw∈W i?i∈I} W= i∈I is a subspace. Proof.Letˉv,ˉw∈W.Then for all i∈I,ˉv,ˉw∈W i,by de?nition.Since each W i is a subspace,we then learn that for all a,b∈F, aˉv+bˉw∈W i, and hence aˉv+bˉw∈W. Thought question:Why is this never empty? The union is a little trickier. Proposition.W1∪W2is a subspace i?W1?W2or W2?W1. 1 《线性代数》常见证明题型及常用思路 、证明题 题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明 1，K , m 必全为零，则1，K , m 线性无 关；如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立，贝S 1，K , m 线 性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。 题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1，K , m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果 有两个线性无关组， 1，K , m W 1， 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两 个子空间，要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下，有些 0 ，进而由 U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B)； A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(A m n) r(B) n r(AB)。 证: 向量空间的定义教案 (50分钟) “向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。 即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。 《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。 (2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。 (3)如果1,,n m F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。 根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。 题型2、 关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证: ()()()0n n n E E n r AB r r AB A AB E B r r A r B A ????+== ? ?????-??=≤+ ??? 上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。 第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ { 线性代数考试题型及范围： 一、填空 1、已知矩阵A或B，求A与B之间的运算，如AB，A逆B逆，kA 2、已知方阵A，求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式 3、求向量组的秩 4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式 5、其次线性方程组有非零解的充要条件 二、选择 1、同阶方阵A、B的运算性质 2、两个相似矩阵A B的性质 3、关于向量线性相关性的选择题 4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系 5、二次型正定性的判定 三、计算题 1、行列式的计算 2、求A的逆矩阵 四、解答题 1、求向量组的极大线性无关组 2、用基础解析求方程组的通解 五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵 六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知） 记住这些话： 第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。 第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αs线性无关，先考虑用定义再说。 第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=λp处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使 x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 4. 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵. 证明：因为A 、B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==, 1111111111()()()()()T T T T T T T AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A ----------?+=+=+=+=+ 则矩阵 11AB B A --+ 是对称矩阵。 5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*n -A =A . 证明：因为 *AA =A E ⑴当0A =时，*0AA =. 用反证法：假设 *0A ≠，则知*A 可逆， 在等式*O AA =左右两边同时右乘()1*-A ，得到O A =， 于是*O A =，这与假设矛盾， 可知当0A =时, 有1*0n -A ==A ； ⑵ 当0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得 **n A A =AA =A E =A 两边同时约去A ，得1*n -A =A . 6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。 证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使33221 1a a a λλλ++=0 （1）， 由已知设332211αβαβαβ++=b ，结合（1）式得 333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2） 由于321,,λλλ不完全为零，则11 λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。 7. 设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β不是A 的特征向量。 证明：假设()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=?=++=++=++， 又： 123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++ 从而： ()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=， 由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关， 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名魏云 论文题目线性空间的性质 指导教师韩英波职称副教授成绩 2013年3月16日 学年论文成绩评定表 目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (1) 1 线性空间的概念 (2) 2 线性空间的相关理论 (3) 2.1 线性空间的一些简单性质 (3) 2.2 向量的线性关系 (3) 2.3 基、维数、坐标 (6) 3 两个特殊的子空间 (7) 3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7) 3.2 酉空间的介绍 (8) 4 线性空间的同构 (8) 4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8) 4.2 同构映射的性质 (9) 参考文献 (10) 线性空间的性质 摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质. 关键词：线性空间；基；维数；同构 The properties of linear vector space Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism 前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题. 1.线性空间的概念 线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1. 由于A为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以det(A)=1 当n为奇数时，λ=1. 当n为偶数时，λ= 1. 相关例题 设A为n阶矩阵,若A2=E，试证A的特征值是1或-1. 2题目 设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T=E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B)T=A T+B T ⑤det(A)=det(A T) ⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1)n det(A) 解题过程 ∵A是正交矩阵 ∴E－A= A T A－A= A T A－EA=( A T－E)A ∵det(A)=1 ∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E) ∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)线性空间习题解答
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