分数阶Fourier变换中量纲归一化因子的选取
第33卷 第2期系统工程与电子技术
Vol.33 No.22011年2月
Systems Engineering and Electronics February 2011
文章编号:1001 506X(2011)02 0237 05
收稿日期:2009 12 23;修回日期:2010 06 12。基金项目:国家杰出青年科学基金(60625104)资助课题
作者简介:刘锋(1960 ),男,教授,博士,博士研究生导师,主要研究方向为电子信息战理论及应用。E mail:fengliuh y@https://www.wendangku.net/doc/f45213910.html,
分数阶Fourier 变换中量纲归一化因子的选取
刘 锋1,徐会法1,陶 然2
(1.海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;
2.北京理工大学信息科学技术学院,北京100081)
摘 要:针对分数阶Fourier 变换数值计算中量纲归一化因子的优化选取,分析了量纲归一化对chirp 信号的调频率和初始频率的影响,以及chirp 信号在(p,u)平面上的尖峰位置的影响,推导了两个chirp 信号的尖峰在p 轴和u 轴上的投影距离与量纲归一化因子的关系。发现两个尖峰的距离随着量纲归一化因子的变化而变化,并且具有极大值。提出一种量纲归一化因子选取的方法,通过调节信号的观测时间和采样频率,选择合理的量纲归一化因子,增大两个信号尖峰间的距离,减小多分量chirp 信号在分数阶Fourier 域的相互影响。仿真结果验证了该方法的有效性。
关键词:分数阶Fourier 变换;chirp 信号;量纲归一化因子选取
中图分类号:T N 957.51 文献标志码:A DOI :10.3969/j.issn.1001 506X.2011.02.01
Selection of dimensional normalization parameters in
fractional Fourier transform
LIU Feng 1,XU H ui fa 1,TAO Ran 2
(1.Department of Electroni c Eng ineering ,Naval A eronautical and Astronautical Univ ersity,Yantai 264001,China;
2.S chool of Inf ormation S cience and T echnology,Beijing Institute of Technolog y,Beij ing 100081,China) Abstract:Dimensional norm alizat ion is required in the digital com putat ion of th e fract ional Fourier trans
form,but how to select a suitable dimensional norm alizat ion paramet er is not studied yet.For this reason,the influence of the dim ensional normalization on t he init ial frequenc y,the chirp rate and the peak s position on the (p ,u)plane is analyzed.And the relationship betw een the dim ensional normalization paramet er and the distance betw een tw o chirp signals peaks at t he p axis and the u axis is deduced.It is discovered t hat th e distance betw een tw o peaks varies w it h the dimensional norm alizat ion paramet er and it h as maximum s.A met hod is present ed to choose the dimensional normalization param eter.By changing signals observat ion time and sam pling frequency,a suit able dimensional norm alizat ion param eter is selected to increase t he distance bet w een tw o s ignals peak s and reduce the m utual influence among multi component ch irp s ignals.T he effectiveness of this m ethod is verified by t he simulation results.
Keywords:fractional Fourier transform ;ch irp signal;dimensional norm alizat ion paramet er selection
0 引 言
分数阶Fouri er 变换(fractional Fourier transform,FRFT)是Fourier 变换的广义形式,是一种新兴的时频变换,可以理
解为chirp 基分解,十分适合处理chirp 信号。目前FRFT 在信号处理领域中的应用已取得了大量研究成果。其中,在基于FRFT 的chirp 信号检测算法[1 7]
和分数阶Fourier 域的
自适应滤波算法
[8 10]
中,由于信号频谱的叠加[11]
,多分量
chirp 信号之间存在相互影响的问题。文献[12]分析了强、弱chirp 信号在FRFT 域的遮蔽问题。文献[13]根据chirp 信号在FRFT 域的采样理论分析了离散FRFT 的分析范围和分辨率。文献[14]根据chirp 信号的调频率估计误差范围,讨论了两个初始频率相同、调频率不同的chirp 信号的分辨能力问题。但是,文献[13]和文献[14]均未考虑信号频谱叠加对分辨的影响。文献[15]利用FRFT 的伸缩和时延特性提高FRFT 对信号的分离能力,但是在电子侦察中,
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系统工程与电子技术第33卷
目标信号是未知的,无法利用这两种性质。文献[16 19]采
用短时FRFT方法改善了信号的时频分辨效果,但是增加
了计算量。
文献[20]提出的快速FRFT数值计算方法,被公认为
目前为止计算速度最快的一种FRFT数值计算方法[21]。
该算法在计算之前要求对原始信号进行量纲归一化处理。
由于在实际应用中,能够获得的只有信号的观测时间和采
样频率,文献[21]提出了两种实用化的量纲归一化方法:离
散尺度化法和数据补零/截取法。其中,数据补零/截取法
只适应于信号观测时间和采样频率相差不大的情况。一般
选用离散尺度化法,该方法会引起chirp信号的调频率和初
始频率发生畸变。本文以两个chirp信号为例,分析了两个
信号尖峰之间的距离与量纲归一化因子的关系,发现通过
选择合理的量纲归一化因子,可以增大两个信号尖峰之间
的距离。本文提出量纲归一化因子优化选取的方法,减小
多分量chirp信号间的相互影响。
1 分数阶Fourier变换
信号x(t)的FRFT的定义式为[22]
X p(u)=F p[x](u)= - x(t)K p(t,u)d t(1)
式中,FRFT的变换核K p(t,u)为
K p(t,u)=A exp j t
2+u2
2
cot -j tu csc , n (t-u), =2n
(t+u), =(2n 1)
(2)
式中,A =1-jcot
2
;p为FRFT的阶数,可以为任意实
数; =p /2为FRFT的旋转角度。X p(u)的逆变换为
x(t)= - X p(u)K-p(t,u)d u(3)由式(3)可以看出,信号x(t)由一组权系数为X p(u)的正交基函数K-p(t,u)所表征,这些基函数是chirp的复指数函数。
2 量纲归一化原理
文献[20]中的量纲归一化方法为:假定原始连续信号x(t)在时间轴和频率轴上都是紧支撑的,时域区间为[- t/2, t/2],频域区间为[- f/2, f/2];为了FRFT 计算处理方便,将时域和频域都转换成量纲为一的域,引入一个具有时间量纲的量纲归一化因子s=( t/ f)1/2,并定义量纲归一化坐标为
x=t/s,v=f s(4)新坐标系(x,v)实现了量纲归一化;2个区间都归一化为[- x/2, x/2],其中 x=( t f)1/2,信号采样间隔变为1/
x。
综合文献[20 21,23]中的量纲归一化方法,本文采用离散尺度化法,处理如下[21]:令信号的时宽 t=t0,时域区间为[-t0/2,t0/2],信号的带宽 f=f s,频域区间为[-f s/2,f s/ 2];按照文献[20]中的方法对原信号进行量纲归一化,可得量纲归一化因子s和归一化时宽与带宽 x分别为
s=( t/ f)1/2=(t0/f s)1/2(5)
x=( t f)1/2=(t0f s)1/2(6)离散数据原来的采样间隔为t s=1/f s,对离散数据按式(4)作量纲归一化处理后,采样间隔变为
t s=(t0f s)-1/2=1/ x(7)以1/ x为采样间隔对归一化后的连续信号采样,所得的采样数据与原来的相同。
3 信号尖峰在(p,u)面上的位置
设单分量chirp信号x(t)的模型为
x(t)=A exp(j2 f0t+j 0t2)(8)式中,f0为初始频率; 0为调频率;观测时间为t0;采样频率为f s。该信号经量纲归一化后的时频分布图如图1所示。其中,粗黑线表示chirp信号的时频分布线, ( (0, /2)或 ( /2, ))为时频线与x轴的夹角,本文取 (0, /2)。u v坐标系表示时频轴以角 逆时针旋转,本文取 (0, )。 0、 1为FRFT的两个旋转角度,其中
( 0=p0 /2)为信号x(t)的 最佳 分数阶旋转角, 0= + /2。v0为时频线与v轴的交点,u max为时频线与 最佳 分数阶域u轴的交点。
图1 chirp信号量纲归一化后的时频分布图
设信号量纲归一化后的调频率为 0,中心频率为v0。在图1中,tan = 0, 0= + /2,再由式(4)和式(5)可得
=v
x
=f s
t/s
= 0s2= 0t0/f s
v0=f0s=f0(t0/f s)1/2
(9)
0=arccot(- 0t0/f s)(10)则信号的 最佳 分数阶数为
p0=arccot(- 0t0/f s)/( /2)(11) 在图1中,信号时频分布线的中点,即为时频分布线与v轴的交点v0,在分数阶域u轴上的投影坐标为
第2期刘锋等:分数阶Fourier 变换中量纲归一化因子的选取
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u m =v 0sin
(12)
式中, 为FRFT 的旋转角。由式(12)可知,信号频谱的中点在分数阶域u 轴上的坐标为u m ,随着旋转角 的变化而变化。当旋转角为 0时,信号的尖峰在u 轴上的坐标
u ma x =v 0sin 0
(13)
式(11)和式(13)给出了信号x (t)的尖峰在(p ,u)平面上的坐标。由式(9)、式(11)和式(13)可以看出,信号的尖峰在(p ,u)平面上的坐标受量纲归一化因子s 的调节,因此,可以通过调节信号的观测时间和采样频率,来改变信号的尖峰在(p,u)平面上的坐标。
4 量纲归一化因子的选取
一个有限长的chirp 信号在各个分数阶Fourier 域内的频谱具有不同的聚集特性,只在与其匹配的 最佳 FRFT 域内出现频谱尖峰,呈现最好的能量聚集。利用这一特性,实现了chirp 信号的检测和参数估计,以及分数阶Fourier 域的滤波。任取两个chirp 信号x r 与x l ,它们的信号形式如同式(8),初始频率分别为f r =10H z 与f l =11H z,调频率分别为 r =10H z/s 与 l =12H z/s 。设它们的 最佳 分数阶旋转角分别为 r 和 l (不防设 r < l , r =p r /2, l =p l
/2),在其各自的 最佳 分数阶域内的最大值点的坐标分别为u r ma x 与u l ma x ,则它们的最大值点在平面(p,u)内的坐标分别为(p r ,u r max )和(p l ,u l ma x )。下面分析量纲归一化因子s =(t 0/f s )1/2
和点(p r ,u r max )与点(p l ,u l max )之间
的距离的关系。
由式(11)可知,在量纲归一化坐标系内,信号x r 与x l
的尖峰在p 轴上的投影距离为
R p =|p l -p r |=
|arccot (- l t 0/f s )-arccot (- r t 0/f s )|/( /2)(14)
由式(13)可知,在信号量纲归一化坐标系内,x r 与x l
的尖峰在u 轴上的投影距离为
R u =|u r max -u l max |=(t 0/f s )
1/2|f l sin l -f r sin r |=
(t 0/f s )1/2
f l
1+ 2l (t 0/f s )
2
-f r
1+ 2r (t 0/f s )
2
(15)
式(14)和式(15)分别给出了信号x r 与x l 的尖峰在p 和u 轴上的投影距离,以及投影距离与量纲归一化因子的关系。由式(14)和式(15)可知,当信号x r 与x l 的调频率和初始频率一定时,可以通过改变信号的观测时间和采样频率,来改变两个尖峰在p 和u 轴上的投影距离。上文已设f r =10H z,f l =11H z, r =10H z/s 和 l =12H z/s,分析信号x r 与x l 的尖峰在p 和u 轴上的投影距离随量纲归一化因子的平方s 2
=t 0/f s 的变化规律。信号x r 与x l 的尖峰
在p 轴上的投影距离 R p 随t 0/f s 的变化曲线如图2所
示。由图2可知,当t 0/f s =0.0915时, R p 取得最大值0.0580;当t 0/f s (0,0.0915]时, R p 递增;当t 0/f s >0.0915时, R p 递减。信号x r 与x l 的尖峰在u 轴上的投影距离 R u 随t 0/f s 的变化曲线如图3所示。由图3可知,当t 0/f s =0.0296时 R u 取得最大值为0.1336;当t 0/f s (0,0.0296]时, R u 递增;当t 0/f s (0.0296,0.0954)时, R u 递减,当t 0/f s [0.0954,0.3056]时, R u 递增到达第二个极大值点0.1195,当t 0/f s >0.3056时, R u 又递减。
经上述分析,得出两个信号尖峰间的距离受量纲归一化因子s =(t 0/f s )
1/2
的调节,并且具有极大值。而两个信号
尖峰间的距离,在多分量信号检测中影响两个信号的检测与参数估计,在滤波处理中影响信号的滤波效果。因此,本文提出一种量纲归一化因子优化选取方法,即在满足信号采样定理的条件下,根据两个信号尖峰间距与量纲归一化因子的变化关系,选择合理的量纲归一化因子,使两个信号尖峰在p 轴和u 轴上的投影距离尽可能的大,通过调节信号的观测时间t 0和采样频率f s 来选择量纲归一化因子,减小多分量chirp 信号之间的相互影响。
5 仿真验证
仍以信号x r 与x l 为例,仿真验证在多分量chirp 信号的FRFT 三维图形中,量纲归一化因子s =(t 0/f s )
1/2
对多分量
chirp 信号检测的影响。同上文,x r 与x l 的初始频率分别为
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系统工程与电子技术第33卷
f r =10Hz 与f l =11Hz,调频率分别为 r =10H z/s 与 l =12H z/s 。分两种情况进行仿真验证:(1)当x r 的幅值A r 与x l 的幅值A l 相等时,即A r =A l ,比较两个信号之间的分辨情况;(2)当两个分量的幅值相差较大时,取A r =0.3A l ,比较两个信号之间的遮蔽情况。
对于第一种情况,当t 0=1s,f s =180H z 时,信号的FRFT 三维图如图4所示;当t 0=1s,f s =50H z 时,信号的FRFT 三维图如图5所示。比较图4和图5可以看出,在图4中x r 与x l 的尖峰无法分辨,在图5中,x r 与x l 的尖峰能够清晰地分辨出来。因为当t 0=1s,f s =50H z 时,s 2=t 0/f s =0.02,当t 0=1s,f s =180Hz 时,s 2
=t 0/f s =0.0056,由图2和图3可知,
s =0.02时,两个信号尖峰间的距离较大,能够分辨出来。
对于第二种情况,当t 0=1s,f s =180H z 时,信号的FRFT 三维图如图6所示;当t 0=1s,f s =50H z 时,信号的FRFT 三维图如图7所示。比较图6和图7可以看出,在图6中x r 的尖峰被x l 的尖峰遮蔽,而无法检测,在图7中,x r 的尖峰能够清晰地显示出来。也是因为当s 2=0.02时,两个信号尖峰间的距离较大,x l 对x r 的遮蔽影响较小。
图6 信号的FRFT 三维图(A r =0.3A l ,t 0=1s,f s =180H z )
图7 信号的FRFT 三维图(A r =0.3A l ,t 0=1s,f s =50H z )
经验证,当信号的调频率和初始频率一定时,通过对量纲归一化因子进行优化选取,可以增大两个信号尖峰在p 轴和u 轴上的投影距离,减小信号之间的相互影响。
6 结束语
本文对快速离散FRFT 数值计算中的量纲归一化因子的选取进行了研究。发现通过改变信号的观测时间和采样频率,选择合理的量纲归一化因子,能够调节信号尖峰之间的距离。提出了一种量纲归一化因子优化选取的方法,可以增大信号尖峰之间的距离,减小多分量chirp 信号在FRFT 域的相互影响。本文为减小多分量chirp 信号在FRFT 域的相互影响提供了一种重要的方法,也为量纲归一化因子的选取提供了一种重要的方法。
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